В теореме нет ограничений на взаимное расположение секущих (она верна как для пересекающихся прямых, так и для параллельных). Также не важно, где находятся отрезки на секущих.
Доказательство в случае параллельных прямых
Проведем прямую BC. Углы ABC и BCD равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AB и CD и секущей BC, а углы ACB и CBD равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AC и BD и секущей BC. Тогда по второму признаку равенства треугольников треугольники ABC и DCB равны. Отсюда следует, что AC = BD и AB = CD. ■
Также существует теорема о пропорциональных отрезках :
Параллельные прямые отсекают на секущих пропорциональные отрезки :Теорема Фалеса является частным случаем теоремы о пропорциональных отрезках, поскольку равные отрезки можно считать пропорциональными отрезками с коэффициентом пропорциональности, равным 1.
Если в теореме Фалеса равные отрезки начинаются от вершины (часто в школьной литературе используется такая формулировка), то обратная теорема также окажется верной. Для пересекающихся секущих она формулируется так:
Таким образом (см. рис.) из того, что следует, что прямые .
Если секущие параллельны, то необходимо требовать равенство отрезков на обеих секущих между собой, иначе данное утверждение становится неверным (контрпример - трапеция, пересекаемая линией, проходящей через середины оснований).
Следующее утверждение, двойственно к лемме Соллертинского :
Напишите отзыв о статье "Теорема Фалеса"Литература
ПримечанияСм. также
Отрывок, характеризующий Теорема Фалеса– Я ничего не думаю, я только не понимаю этого…– Подожди, Соня, ты всё поймешь. Увидишь, какой он человек. Ты не думай дурное ни про меня, ни про него. – Я ни про кого не думаю дурное: я всех люблю и всех жалею. Но что же мне делать? Соня не сдавалась на нежный тон, с которым к ней обращалась Наташа. Чем размягченнее и искательнее было выражение лица Наташи, тем серьезнее и строже было лицо Сони. – Наташа, – сказала она, – ты просила меня не говорить с тобой, я и не говорила, теперь ты сама начала. Наташа, я не верю ему. Зачем эта тайна? – Опять, опять! – перебила Наташа. – Наташа, я боюсь за тебя. – Чего бояться? – Я боюсь, что ты погубишь себя, – решительно сказала Соня, сама испугавшись того что она сказала. Лицо Наташи опять выразило злобу. – И погублю, погублю, как можно скорее погублю себя. Не ваше дело. Не вам, а мне дурно будет. Оставь, оставь меня. Я ненавижу тебя. – Наташа! – испуганно взывала Соня. – Ненавижу, ненавижу! И ты мой враг навсегда! Наташа выбежала из комнаты. Наташа не говорила больше с Соней и избегала ее. С тем же выражением взволнованного удивления и преступности она ходила по комнатам, принимаясь то за то, то за другое занятие и тотчас же бросая их. Как это ни тяжело было для Сони, но она, не спуская глаз, следила за своей подругой. Накануне того дня, в который должен был вернуться граф, Соня заметила, что Наташа сидела всё утро у окна гостиной, как будто ожидая чего то и что она сделала какой то знак проехавшему военному, которого Соня приняла за Анатоля. Соня стала еще внимательнее наблюдать свою подругу и заметила, что Наташа была всё время обеда и вечер в странном и неестественном состоянии (отвечала невпопад на делаемые ей вопросы, начинала и не доканчивала фразы, всему смеялась). После чая Соня увидала робеющую горничную девушку, выжидавшую ее у двери Наташи. Она пропустила ее и, подслушав у двери, узнала, что опять было передано письмо. И вдруг Соне стало ясно, что у Наташи был какой нибудь страшный план на нынешний вечер. Соня постучалась к ней. Наташа не пустила ее. «Она убежит с ним! думала Соня. Она на всё способна. Нынче в лице ее было что то особенно жалкое и решительное. Она заплакала, прощаясь с дяденькой, вспоминала Соня. Да это верно, она бежит с ним, – но что мне делать?» думала Соня, припоминая теперь те признаки, которые ясно доказывали, почему у Наташи было какое то страшное намерение. «Графа нет. Что мне делать, написать к Курагину, требуя от него объяснения? Но кто велит ему ответить? Писать Пьеру, как просил князь Андрей в случае несчастия?… Но может быть, в самом деле она уже отказала Болконскому (она вчера отослала письмо княжне Марье). Дяденьки нет!» Сказать Марье Дмитриевне, которая так верила в Наташу, Соне казалось ужасно. «Но так или иначе, думала Соня, стоя в темном коридоре: теперь или никогда пришло время доказать, что я помню благодеяния их семейства и люблю Nicolas. Нет, я хоть три ночи не буду спать, а не выйду из этого коридора и силой не пущу ее, и не дам позору обрушиться на их семейство», думала она. Анатоль последнее время переселился к Долохову. План похищения Ростовой уже несколько дней был обдуман и приготовлен Долоховым, и в тот день, когда Соня, подслушав у двери Наташу, решилась оберегать ее, план этот должен был быть приведен в исполнение. Наташа в десять часов вечера обещала выйти к Курагину на заднее крыльцо. Курагин должен был посадить ее в приготовленную тройку и везти за 60 верст от Москвы в село Каменку, где был приготовлен расстриженный поп, который должен был обвенчать их. В Каменке и была готова подстава, которая должна была вывезти их на Варшавскую дорогу и там на почтовых они должны были скакать за границу. |
(она верна как для пересекающихся прямых, так и для параллельных). Также не важно, где находятся отрезки на секущих.
Доказательство в случае секущих
Ошибка создания миниатюры: Файл не найден
Доказательство теоремы Фалеса
Рассмотрим вариант с несвязанными парами отрезков: пусть угол пересекают прямые texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): AA_1||BB_1||CC_1||DD_1
и при этом Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): AB=CD
.
texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): A
и Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): C
прямые, параллельные другой стороне угла. Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): AB_2B_1A_1
и Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): CD_2D_1C_1
. Согласно свойству параллелограмма: Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): AB_2=A_1B_1
и Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): CD_2=C_1D_1
.texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): \bigtriangleup ABB_2
и Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): \bigtriangleup CDD_2
равны на основании второго признака равенства треугольников Доказательство в случае параллельных прямых
Проведем прямую BC. Углы ABC и BCD равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AB и CD и секущей BC, а углы ACB и CBD равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AC и BD и секущей BC. Тогда по второму признаку равенства треугольников треугольники ABC и DCB равны. Отсюда следует, что AC = BD и AB = CD. ■
Также существует теорема о пропорциональных отрезках :
Параллельные прямые отсекают на секущих пропорциональные отрезки : Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файлtexvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): \frac{A_1A_2}{B_1B_2}=\frac{A_2A_3}{B_2B_3}=\frac{A_1A_3}{B_1B_3}.
Теорема Фалеса является частным случаем теоремы о пропорциональных отрезках, поскольку равные отрезки можно считать пропорциональными отрезками с коэффициентом пропорциональности, равным 1.
Если в теореме Фалеса равные отрезки начинаются от вершины (часто в школьной литературе используется такая формулировка), то обратная теорема также окажется верной. Для пересекающихся секущих она формулируется так:
В обратной теореме Фалеса важно, что равные отрезки начинаются от вершины
Таким образом (см. рис.) из того, что Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): \frac{CB_1}{CA_1}=\frac{B_1B_2}{A_1A_2}=\ldots = {\rm idem}
следует, что прямые Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): A_1B_1||A_2B_2||\ldots
.
Если секущие параллельны, то необходимо требовать равенство отрезков на обеих секущих между собой, иначе данное утверждение становится неверным (контрпример - трапеция, пересекаемая линией, проходящей через середины оснований).
Следующее утверждение, двойственно к лемме Соллертинского :
Пусть Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл |
В случае теоремы Фалеса коникой будет бесконечно удалённая точка, соответствующая направлению параллельных прямых.
Это утверждение, в свою очередь, является предельным случаем следующего утверждения:
Аргентинская музыкальная группа Les Luthiers представила песню, посвящённую теореме .
Великий физик начала двадцатого века Эрнест Резерфорд высказался так: «Вся наука - это либо физика, либо коллекционирование марок». В предыдущей статье мы с Вами как раз убедились в том, что физика и собирание фактов находятся на разных полюсах развития моделей. А сегодня у нас с Вами первый экскурс в прошлое.
Начнем с Фалеса Милетского, ибо по мнению историков именно он заложил первый кирпич в основание здания современной науки.
Небольшое отступление по поводу собственно имени героя нашего сегодняшнего повествования. Не знаю, как у Вас, а мне лично в советской школе преподавали теорему Фалеса с ударением на первом слоге. На самом деле изначальное греческое Θαλῆς имеет на первом месте букву Θ, что на греческом произносится как английское th в think. Эта буква (фита) в чистом виде присутствовала в русском языке до 1918, пока ее не сократили вкупе с ятью и ижицей. После реформы ее заменяли как рука возьмет - обычно как Ф (в данном случае), но часто и как Т (теория, тезис, театр). Кстати, упомянутый выше Резерфорд - это на самом деле Rutherford, что на русском становится по воле переводчика то Рутерфордом, то Ротерфордом, то Русерфордом. Со вторым слогом Фа-лес у в России совсем не повезло. Вам любой грек скажет, что это произносится «-лис», а не «-лес» (вообще в греческом языке, как известно, пять букв «и» приходится на несчастную парочку «е» - одна из которых эпсилон), к тому же именно на этот слог падает ударение.
С Милетом все значительно проще, обошлись заменой очередного «и» на «е». Город этот располагался на побережье Малой Азии, может кто на тот дальний берег турецкий ездил отдыхать? Основали его по легенде выходцы (или беженцы) с Крита, и нарекли в честь Милитуса, сына Аполлона и критской красавицы. В описываемые нами времена (шесть сотен лет до нашей эры) это был самый богатый город эллинистического мира с многочисленными колониями - самая известная для нас из которых город Феодосия (опять же изначально с фитой). Греками к этому времени уже была построена настоящая цивилизация - и одним из следствий этого было то, что у отдельных индивидумов стало оставаться время от тупой борьбы за существование.
Фалес был одним из таких счастливчиков - сыном богатых родителей. Секунду - вот это не случайно. В ту далекую эпоху наукой заработать себе на жизнь было непросто, не было тебе не только нобелевских премий, но и даже теплых местечек в многочисленных университетах или НИИ. В философы (а это тогда был синоним ученого) шли почти исключительно люди, которые уже предварительно решили для себя все материальные проблемы. Почему почти - поскольку спустя пару столетий наука стала настолько уважаться (и в этом во многом заслуга Фалеса), что за мудрость стали платить некоторые деньги (например, для целей образования золотой молодежи). Тем не менее если сосчитать всех древнегреческих философов, то их будет числом поменьше, чем младших научных сотрудников в любом нашем провинциальном ВУЗе. Вот только пользы от них было куда побольше - не из-за правильной мотивации ли? Они ведь алкали истины и знания, а не тринадцатой зарплаты.
Тем не менее родительские деньги Фалес судя по всему промотал … на науку, за которой он отправился из Милета в Египет, типа как наш Ломоносов из Холмогор в Москву. Во всяком случае известно, что по возвращению домой над ним издевались - мол, какой прок от твоей учености. Своих простодушных критиков Фалес поставил на место следующим образом.
Высчитав (непонятным образом) по звездам, что ожидается большой урожай оливков, он заранее скупил все прессы в округе, а потом, сдавая их в аренду по спекулятивной цене, заработал на этом себе целое состояние.
Сила человека (его интеллекта) в умении предвидеть (а иногда и создать) будущее, комбинируя известные ему модели. Настоящую известность принесло Фалесу предсказанное им солнечное затмение, которое даже остановило войну между лидийцами и мидянами. Пришлось древнегреческим горячим парням поспешно заключить мир, дабы боги сменили гнев на милость. С богами все обошлось, как Вы уже догадались.
Помочь предугадать солнечное затмение Фалесу могло знание так называемого сароса или драконического периода (примерно каждые 18 лет луна и солнце в точности повторяют свое местоположение). Об этом знали халдеи (Вавилон) и египтяне. Это в нашей терминологии модель каузальной фазы - то есть работает, но непонятно почему. Вообщем-то с точки зрения прагматики это и неважно, хоть на кофейной гуще гадай (или как тогда было модно - изучая потроха домашних животных или консультируясь с оракулами), лишь бы был требуемый результат.
Так что учился человек как видите не зря. Однако там, в Египте, его обучали жрецы в храмах после ритуалов посвящений. А он, вернувшись домой, в русле своего демократического мировоззрения (а он ведь был на короткой ноге с легендарным законодателем Афин Солоном) начал раздавать священное знание налево и направо, кому попало. На манер Прометея. И не оказалось в окрестностях ни единого Зевса его за это наказать.