يطلق عليه الأبعاد المحدودة إذا كان لديه نظام توليد محدود من المتجهات.

تعليق. سوف ندرس فقط الفضاءات المتجهة ذات الأبعاد المحدودة. على الرغم من أننا نعرف بالفعل الكثير عن أساس الفضاء المتجه محدود الأبعاد، إلا أننا لسنا متأكدين من وجود مثل هذا الفضاء على الإطلاق. تم الحصول على جميع النتائج التي تم الحصول عليها مسبقًا على افتراض وجود الأساس. ما يلي يغلق هذا السؤال.

نظرية. (على وجود أساس لمساحة متجهة محدودة الأبعاد.)

أي مساحة متجهة ذات أبعاد محدودة لها أساس.

دليل. حسب الحالة، يوجد نظام توليد محدود لفضاء متجه محدد الأبعاد V: .

دعونا نلاحظ على الفور أنه إذا كان نظام توليد المتجهات فارغًا، أي. لا يحتوي على أي متجه، فمن المفترض بحكم التعريف أن مساحة المتجه هذه هي صفر، أي. . في هذه الحالة، بحكم التعريف، من المفترض أن أساس الفضاء المتجه الخالي هو الأساس الفارغ، وبحكم التعريف، يفترض أنه يساوي الصفر.

إذا كان هذا النظام مستقلا، فقد ثبت كل شيء، لأنه أساسها هو نظام مستقل خطيًا ومولد لمتجهات الفضاء المتجه.

لو هذا النظامتعتمد المتجهات خطيًا، ثم يتم التعبير عن أحد ناقلات هذا النظام خطيًا من حيث المتجهات المتبقية ويمكن إزالته من النظام، وسيظل نظام المتجهات المتبقي قيد التوليد.

دعونا نعيد ترقيم نظام المتجهات المتبقي: . ثم يتكرر المنطق.

إذا كان هذا النظام مستقلا خطيا، فهو أساس. إذا لم يكن الأمر كذلك، فمرة أخرى سيكون هناك ناقل في هذا النظام يمكن إزالته، وسيتم توليد النظام المتبقي.

من خلال تكرار هذه العملية، لا يمكن أن نترك نظامًا فارغًا من المتجهات، لأن في الحالة القصوى سوف نصل إلى نظام توليد لمتجه واحد غير صفري، وهو مستقل خطيًا، وبالتالي أساس. لذلك، في مرحلة ما نصل إلى نظام مستقل خطيًا ومولدًا للمتجهات، أي. إلى القاعدة، الخ

لقد تم إثبات النظرية.

ليما. (في أنظمة المتجهات في الفضاء المتجهي ذو الأبعاد n.)

يترك . ثم:

1. أي نظام من المتجه يعتمد خطيا.

2. أي نظام مستقل خطيا من المتجهات هو أساسه.

دليل. 1). وفقا لشروط ليما، فإن عدد المتجهات في الأساس متساوي والأساس هو نظام توليد، وبالتالي فإن عدد المتجهات في أي نظام مستقل خطيا لا يمكن أن يتجاوز، أي. أي نظام يحتوي على ناقل يعتمد خطيا.

2). على النحو التالي مما تم إثباته للتو، فإن أي نظام مستقل خطيًا لمتجهات مساحة المتجه هذه هو الحد الأقصى، وبالتالي فهو أساس.

تم إثبات الليما.

النظرية (حول تكامل الأساس.) يمكن استكمال أي نظام مستقل خطيًا من المتجهات في الفضاء المتجه إلى أساس هذا الفضاء.

دليل. يجب أن يكون هناك مساحة متجهة للبعد n وبعض الأنظمة المستقلة خطيًا لمتجهاتها. ثم .

إذاً، فوفقاً للمقولة السابقة، فإن هذا النظام هو أساس وليس هناك ما يثبته.

إذا، فإن هذا النظام ليس نظامًا أقصى استقلالًا (وإلا سيكون أساسًا، وهو أمر مستحيل، لأن). وبالتالي، هناك ناقل مثل هذا النظام - مستقلة خطيا.

إذا، الآن، ثم النظام هو الأساس.

إذا كان الأمر كذلك، فإن كل شيء يعيد نفسه. لا يمكن أن تستمر عملية تجديد النظام إلى أجل غير مسمى، لأن في كل خطوة نحصل على نظام مستقل خطيا من المتجهات الفضائية، ووفقا لليما السابقة، لا يمكن أن يتجاوز عدد المتجهات في مثل هذا النظام البعد المكاني. وبالتالي، في مرحلة ما سوف نصل إلى الأساس مساحة معينة.، إلخ.

تعريف. أساس

يُطلق على الفضاء المتجه للعمود الحسابي الذي يبلغ ارتفاعه n اسمًا قانونيًا أو طبيعيًا.

جولوفيزين ف. محاضرات في الجبر والهندسة.

5

محاضرات في الجبر والهندسة. الفصل الدراسي الثاني.

المحاضرة 23. أساس الفضاء المتجه.

ملخص: معيار الاعتماد الخطي لنظام من المتجهات غير الصفرية، والأنظمة الفرعية لنظام المتجهات، ونظام توليد المتجهات، ونظام توليد الحد الأدنى والنظام المستقل خطيًا الأقصى، وأساس مساحة المتجهات وتعريفاتها الأربعة المكافئة ، بعد الفضاء المتجه، الفضاء المتجه محدود الأبعاد ووجود أساسه، بالإضافة إلى الأساس.

البند 1. معيار الاعتماد الخطي لنظام المتجهات غير الصفرية.

نظرية. يعتمد النظام ذو المتجهات غير الصفرية خطيًا إذا وفقط إذا كان هناك متجه للنظام يتم التعبير عنه خطيًا من حيث المتجهات السابقة لهذا النظام.
دليل. دع النظام يتكون من متجهات غير صفرية ويكون معتمدًا خطيًا. النظر في نظام ناقل واحد:
. لأن
، ثم النظام - مستقلة خطيا. دعونا نعلق المتجه إليه
مستقلة خطياً، ثم نضيف إليها المتجه التالي: . إلخ. نستمر حتى نحصل على نظام يعتمد خطيا
، أين . سيكون هناك بالتأكيد مثل هذا العدد، لأنه... نظام المصدر
يعتمد خطيا على الشرط.

لذلك، من خلال البناء، نحصل على نظام يعتمد خطيا
، والنظام
مستقلة خطيا.

نظام
يمثل المتجه الصفري بشكل غير تافه، أي. هناك مجموعة غير صفرية من العددية
، ماذا

أين هو العددية
.

في الواقع، وإلا إذا
، فسيكون لدينا تمثيل غير تافه للمتجه الصفري بواسطة نظام مستقل خطيًا
وهو أمر مستحيل.

قسمة المساواة الأخيرة على عدد غير الصفر
يمكننا التعبير عن المتجه منه :

,

وبما أن العكس واضح فقد ثبتت النظرية.

البند 2. الأنظمة الفرعية لنظام ناقل الفضاء المتجه.

تعريف. أي مجموعة فرعية غير فارغة من نظام المتجهات
يسمى النظام الفرعي لنظام ناقل معين.

مثال. يترك
- نظام من 10 ناقلات. ثم أنظمة المتجهات:
;
,
- الأنظمة الفرعية لنظام متجه معين.

نظرية. إذا كان نظام المتجهات يحتوي على نظام فرعي يعتمد خطيًا، فإن نظام المتجهات نفسه يعتمد أيضًا خطيًا.

دليل. دعونا نعطي نظامًا من المتجهات
ودع النظام الفرعي من أجل التحديد
، أين
يعتمد خطيا. ثم يمثل المتجه الصفري بطريقة غير تافهة:

حيث بين المعاملات
هناك واحد على الأقل لا يساوي الصفر. لكن المساواة التالية هي تمثيل غير تافه للمتجه الصفري:

والذي، بحكم التعريف، يعني الاعتماد الخطي للنظام
، إلخ.

لقد تم إثبات النظرية.

عاقبة. أي نظام فرعي لنظام مستقل خطيًا من المتجهات يكون مستقلاً خطيًا.

دليل. ولنفترض العكس. دع بعض الأنظمة الفرعية لهذا النظام تعتمد خطيًا. ثم تشير النظرية إلى الاعتماد الخطي لهذا النظام، وهو ما يتعارض مع الشرط.

وقد أثبت التحقيق.

البند 3. أنظمة الأعمدة لمساحة العمود المتجه الحسابي.

ومن نتائج الفقرة السابقة، كحالة خاصة، تتبع النظرية.

1) يعتمد نظام الأعمدة خطيًا إذا وفقط إذا كان هناك عمود واحد على الأقل في النظام يتم التعبير عنه خطيًا من خلال أعمدة أخرى في هذا النظام.

2) يكون نظام الأعمدة مستقلاً خطيًا إذا وفقط إذا لم يتم التعبير عن أي عمود من أعمدة النظام خطيًا بدلالة أعمدة أخرى في النظام.

3) نظام الأعمدة الذي يحتوي على عمود صفري يعتمد خطيا.

4) نظام الأعمدة الذي يحتوي على عمودين متساويين يعتمد خطيا.

5) نظام الأعمدة الذي يحتوي على عمودين متناسبين يعتمد خطيا.

6) نظام الأعمدة الذي يحتوي على نظام فرعي يعتمد خطيًا يعتمد خطيًا.

7) أي نظام فرعي لنظام الأعمدة المستقل خطيًا يكون مستقلاً خطيًا.

الشيء الوحيد الذي قد يحتاج إلى توضيح هنا هو مفهوم الأعمدة المتناسبة.

تعريف. عمودين غير الصفر
تسمى متناسبة إذا كان هناك عددي
، مثل ذلك
أو

,
, …,
.

مثال. نظام
يعتمد خطيًا نظرًا لأن أول عمودين له متناسبان.

تعليق. نحن نعلم بالفعل (انظر المحاضرة 21) أن المحدد يساوي الصفر إذا كان نظام أعمدته (الصفوف) يعتمد خطيًا. في المستقبل، سيتم إثبات أن العبارة العكسية صحيحة أيضًا: إذا كان المحدد يساوي الصفر، فإن نظام أعمدته ونظام صفوفه يعتمدان خطيًا.

البند 4. أساس الفضاء المتجه.

تعريف. نظام المتجهات
يُطلق على مساحة متجهة فوق حقل K نظام توليد (توليد) لمتجهات مساحة المتجه هذه إذا كانت تمثل أيًا من متجهاتها، أي. إذا كان هناك مثل هذه المجموعة من العددية
، ماذا .

تعريف. يسمى نظام المتجهات في الفضاء المتجهي نظام توليد الحد الأدنى إذا، عند إزالة أي ناقل من هذا النظام، فإنه يتوقف عن أن يكون نظام توليد.

تعليق. ويترتب على ذلك مباشرة من التعريف أنه إذا لم يكن نظام توليد المتجهات في حده الأدنى، فسيكون هناك متجه واحد على الأقل للنظام بحيث أنه عند إزالته من النظام، سيظل نظام المتجهات المتبقي قيد التوليد.

Lemma (في نظام توليد يعتمد خطيًا.)

إذا كان أحد المتجهات في نظام توليد يعتمد خطيًا على المتجهات يتم التعبير عنه خطيًا من خلال المتجهات الأخرى، فيمكن إزالته من النظام وسيتم توليد نظام المتجهات المتبقي.

دليل. دع النظام
يعتمد ويولد خطيًا، ويعبر عن أحد متجهاته خطيًا من خلال ناقلات أخرى لهذا النظام.

من أجل الوضوح والبساطة في التدوين، دعونا نفترض ذلك

لأن
هو نظام توليد، ثم
هناك مثل هذه المجموعة من العددية
، ماذا

.

ومن هنا نحصل،

أولئك. يتم التعبير عن أي متجه x خطيًا من خلال متجهات النظام
، مما يعني أنه نظام توليد، وما إلى ذلك.

النتيجة الطبيعية 1. إن نظام النواقل المعتمد خطيًا والمولد ليس بالحد الأدنى.

دليل. يأتي هذا مباشرة من الفكرة وتعريف الحد الأدنى من نظام توليد المتجهات.

النتيجة الطبيعية 2. الحد الأدنى من نظام توليد المتجهات مستقل خطيًا.

دليل. وبافتراض العكس، نصل إلى تناقض مع النتيجة الطبيعية 1.

تعريف. يُطلق على نظام المتجهات في الفضاء المتجه اسم النظام المستقل خطيًا الأقصى إذا، عند إضافة أي متجه إلى هذا النظام، يصبح معتمدًا خطيًا.

تعليق. ويترتب على ذلك مباشرة من التعريف أنه إذا كان النظام مستقلا خطيا، ولكن ليس الحد الأقصى، فهناك متجه، عند إضافته إلى النظام، ينتج نظاما مستقلا خطيا.

تعريف. أساس الفضاء المتجه V فوق الحقل K هو نظام مرتب لمتجهاته التي تمثل أي متجه لمساحة المتجه بطريقة فريدة.

وبعبارة أخرى، نظام المتجهات
يُطلق على مساحة المتجه V فوق الحقل K أساسها إذا
هناك مجموعة واحدة فقط من العددية
، مثل هذا .

نظرية. (في أربعة تعريفات متكافئة للأساس.)

يترك
- نظام مرتب من المتجهات في الفضاء المتجه. ثم العبارات التالية متكافئة:

1. النظام
هو الأساس.

2. النظام
هو نظام مستقل خطيا ومولد للمتجهات.

3. النظام
هو نظام أقصى مستقل خطيا من المتجهات.

4. النظام
هو نظام توليد الحد الأدنى من المتجهات.

دليل.

دع نظام المتجهات
هو الأساس. من تعريف الأساس يترتب على الفور أن نظام المتجهات هذا هو نظام توليد للمتجهات في الفضاء المتجه، لذلك نحتاج فقط إلى إثبات استقلاله الخطي.

لنفترض أن نظام المتجهات هذا يعتمد خطيًا. ثم هناك تمثيلان للمتجه الصفري - التافه وغير التافه، وهو ما يتناقض مع تعريف الأساس.

دع نظام المتجهات
مستقلة خطيا ومولدة. نحن بحاجة إلى إثبات أن هذا النظام المستقل خطيًا هو الحد الأقصى.

ولنفترض العكس. دع هذا النظام المستقل خطيًا من المتجهات ليس الحد الأقصى. بعد ذلك، نظرًا للملاحظة أعلاه، هناك متجه يمكن إضافته إلى هذا النظام ويظل نظام المتجهات الناتج مستقلاً خطيًا. ومع ذلك، من ناحية أخرى، يمكن تمثيل المتجه المضاف إلى النظام كمجموعة خطية من نظام المتجهات الأصلي نظرًا لأنه نظام توليد.

ونجد أنه في نظام المتجهات الجديد الموسع، يتم التعبير عن أحد متجهاته خطيًا من خلال متجهات أخرى في هذا النظام. مثل هذا النظام من المتجهات يعتمد خطيا. حصلنا على التناقض.

دع نظام المتجهات
مساحة المتجه مستقلة خطيًا إلى أقصى حد. دعونا نثبت أنه نظام توليد الحد الأدنى.

أ) أولاً نثبت أنه نظام توليد.

لاحظ أنه بسبب الاستقلال الخطي، نظام
لا يحتوي على ناقل فارغ. اسمحوا أن يكون ناقلات غير صفرية التعسفية. دعنا نضيفه إلى نظام المتجهات هذا:
. النظام الناتج من المتجهات غير الصفرية يعتمد خطيًا، لأن النظام الأصلي للمتجهات مستقل خطيًا إلى أقصى حد. وهذا يعني أنه يوجد في هذا النظام متجه يمكن التعبير عنه خطيًا من خلال المتجهات السابقة. في النظام المستقل خطيا الأصلي
لا يمكن التعبير عن أي من المتجهات من حيث المتجهات السابقة، لذلك، يمكن التعبير عن المتجه x فقط خطيًا من حيث المتجهات السابقة؛ وهكذا النظام
يمثل أي ناقل غير الصفر. يبقى أن نلاحظ أنه من الواضح أن هذا النظام يمثل أيضًا متجهًا صفريًا، أي. نظام
هو توليدي.

ب) الآن دعونا نثبت صغرها. ولنفترض العكس. بعد ذلك يمكن إزالة أحد متجهات النظام من النظام وسيظل نظام المتجهات المتبقي عبارة عن نظام توليد، وبالتالي، يتم أيضًا التعبير عن المتجه الذي تمت إزالته من النظام خطيًا من خلال المتجهات المتبقية للنظام، وهو ما يتعارض مع الاستقلال الخطي للنظام الأصلي للمتجهات.

دع نظام المتجهات
مساحة المتجه هي نظام توليد الحد الأدنى. ثم يمثل أي متجه في الفضاء المتجه. نحن بحاجة إلى إثبات تفرد التمثيل.

ولنفترض العكس. دع بعض المتجهات x يتم التعبير عنها خطيًا من خلال متجهات نظام معين بطريقتين مختلفتين:

وبطرح مساواة واحدة من الأخرى نحصل على:

بالنتيجة الطبيعية 2، النظام
مستقلة خطيا، أي. يمثل المتجه الصفري فقط بشكل تافه، لذلك يجب أن تكون جميع معاملات هذه المجموعة الخطية صفرًا:

وبالتالي، يتم التعبير عن أي متجه x خطيًا من خلال متجهات نظام معين بطريقة فريدة، وما إلى ذلك.

لقد تم إثبات النظرية.

البند 5. البعد من الفضاء المتجه.

النظرية 1. (حول عدد المتجهات في الأنظمة المستقلة خطيًا والمولدة للمتجهات.) لا يتجاوز عدد المتجهات في أي نظام مستقل خطيًا للمتجهات عدد المتجهات في أي نظام توليد للمتجهات من نفس مساحة المتجه.

دليل. يترك
نظام تعسفي مستقل خطيًا للمتجهات،
- نظام توليد تعسفي. لنفترض ذلك.

لأن
نظام التوليد، فهو يمثل أي متجه للفضاء، بما في ذلك المتجه . دعونا ربطه بهذا النظام. نحصل على نظام يعتمد خطيًا ومولدًا للمتجهات:
. ثم هناك ناقل
من هذا النظام، والذي يتم التعبير عنه خطيًا من خلال المتجهات السابقة لهذا النظام، وبموجب lemma، يمكن إزالته من النظام، وسيظل النظام المتبقي من المتجهات قيد التوليد.

. لأن هذا النظام يولد، فهو يمثل ناقلا
وبإضافته إلى هذا النظام، نحصل مرة أخرى على نظام توليد يعتمد خطيًا: .

ثم يتكرر كل شيء. يوجد متجه في هذا النظام يتم التعبير عنه خطيًا بالنسبة للأنظمة السابقة، ولا يمكن أن يكون متجهًا ، لأن نظام المصدر
مستقلة خطيا ومتجهة لا يمكن التعبير عنها خطيا من خلال المتجه
. هذا يعني أن هذا لا يمكن أن يكون إلا أحد المتجهات
. وبإزالته من النظام نحصل بعد إعادة الترقيم على النظام الذي سيكون هو نظام التوليد. بمواصلة هذه العملية، من خلال الخطوات نحصل على نظام توليد المتجهات: ، أين
، لأن وفقا لتخميننا. وهذا يعني أن هذا النظام، كنظام توليد، يمثل أيضًا المتجه، وهو ما يتناقض مع شرط الاستقلال الخطي للنظام
.

تم إثبات النظرية 1.

النظرية 2. (حول عدد المتجهات في الأساس.) أي أساس لمساحة متجهة يحتوي على نفس عدد المتجهات.

دليل. يترك
و
- قاعدتان تعسفيتان لمساحة المتجه. أي أساس هو نظام مستقل خطيًا ومولد للمتجهات.

لأن النظام الأول مستقل خطيا، والثاني هو المولد، وفقا للنظرية 1،
.

وبالمثل، فإن النظام الثاني مستقل خطيًا، والأول يقوم بالتوليد، ثم . ويترتب على ذلك
، إلخ.

تم إثبات النظرية 2.

هذه النظرية تسمح لنا بتقديم التعريف التالي.

تعريف. البعد لمساحة المتجه V على الحقل K هو عدد المتجهات في أساسه.

تعيين:
أو
.

البند 6. وجود أساس الفضاء المتجه.

تعريف. يسمى الفضاء المتجه بأبعاد محدودة إذا كان يحتوي على نظام توليد محدود من المتجهات.

تعليق. سوف ندرس فقط الفضاءات المتجهة ذات الأبعاد المحدودة. على الرغم من أننا نعرف بالفعل الكثير عن أساس الفضاء المتجه محدود الأبعاد، إلا أننا لسنا متأكدين من وجود أساس مثل هذا الفضاء على الإطلاق. تم الحصول على جميع العقارات التي تم الحصول عليها مسبقًا على افتراض وجود الأساس. النظرية التالية تغلق هذا السؤال.

نظرية. (حول وجود أساس لفضاء متجه محدود الأبعاد.) أي فضاء متجه محدود الأبعاد له أساس.

دليل. حسب الشرط، يوجد نظام توليد محدود من المتجهات لفضاء متجه محدد الأبعاد V:
.

دعونا نلاحظ على الفور أنه إذا كان نظام توليد المتجهات فارغًا، أي. لا يحتوي على أي متجه، فمن المفترض بحكم التعريف أن مساحة المتجه هذه هي صفر، أي.
. في هذه الحالة، بحكم التعريف، من المفترض أن أساس الفضاء المتجه الصفري هو الأساس الفارغ وأن بعده، بحكم التعريف، يفترض أن يساوي الصفر.

دعونا كذلك، تكون مساحة متجهة غير صفرية و
نظام توليد محدود من ناقلات غير صفرية. إذا كان مستقلا خطيا، فقد ثبت كل شيء، لأنه أساسها هو نظام مستقل خطيًا ومولد لمتجهات الفضاء المتجه. إذا كان نظام معين من المتجهات يعتمد خطيًا، فسيتم التعبير عن أحد متجهات هذا النظام خطيًا بدلالة المتجهات المتبقية ويمكن إزالته من النظام، وسيظل نظام المتجهات المتبقي، بموجب Lemma 5، قائمًا يكون توليد.

دعونا نعيد ترقيم نظام المتجهات المتبقي:
. ثم يتكرر المنطق. إذا كان هذا النظام مستقلا خطيا، فهو أساس. إذا لم يكن الأمر كذلك، فمرة أخرى سيكون هناك ناقل في هذا النظام يمكن إزالته، وسيتم توليد النظام المتبقي.

من خلال تكرار هذه العملية، لا يمكن أن نترك نظامًا فارغًا من المتجهات، لأن في الحالة القصوى سوف نصل إلى نظام توليد لمتجه واحد غير صفري، وهو مستقل خطيًا، وبالتالي أساس. لذلك، في مرحلة ما نصل إلى نظام مستقل خطيًا ومولدًا للمتجهات، أي. إلى القاعدة.

لقد تم إثبات النظرية.

ليما. يترك . ثم:

1. أي نظام من المتجه يعتمد خطيا.

2. أي نظام مستقل خطيا من المتجهات هو أساسه.

دليل. 1). وفقًا لشروط الليما، يكون عدد المتجهات في الأساس متساويًا والأساس هو نظام توليد، وبالتالي لا يمكن أن يتجاوز عدد المتجهات في أي نظام مستقل خطيًا.

2). على النحو التالي مما تم إثباته للتو، فإن أي نظام مستقل خطيًا لمتجهات مساحة المتجه هذه هو الحد الأقصى، وبالتالي فهو أساس.

تم إثبات الليما.

النظرية (حول تكملة الأساس.) يمكن استكمال أي نظام مستقل خطيًا من المتجهات في الفضاء المتجه إلى أساس هذا الفضاء.

دليل. دع الفضاء المتجه للبعد n و
بعض الأنظمة المستقلة خطيًا لمتجهاتها. ثم
.

لو
، إذن بحسب القول السابق فإن هذا النظام هو أساس وليس هناك ما يثبته.

لو
، فإن هذا النظام ليس نظامًا خطيًا أقصى مستقلاً (وإلا سيكون أساسًا، وهو أمر مستحيل لأن). لذلك، هناك ناقل
، بحيث يكون النظام
- مستقلة خطيا.

إذا، الآن، ثم النظام
هو الأساس.

لو
، كل شيء يعيد نفسه. لا يمكن أن تستمر عملية تجديد النظام إلى أجل غير مسمى، لأن في كل خطوة نحصل على نظام مستقل خطيا من المتجهات الفضائية، ووفقا لليما السابقة، لا يمكن أن يتجاوز عدد المتجهات في مثل هذا النظام البعد المكاني. وبالتالي، في مرحلة ما سوف نصل إلى أساس هذا الفضاء.

لقد تم إثبات النظرية.

البند 7. مثال.

1. دع K يكون حقلاً اعتباطيًا ويكون مساحة متجهة حسابية لأعمدة الارتفاع. ثم . لإثبات ذلك، النظر في نظام أعمدة هذا الفضاء.

يترك Vمساحة المتجهات فوق الميدان ر, س- نظام المتجهات من V.

التعريف 1. أساس نظام المتجهات سيسمى هذا النظام الفرعي المستقل خطيًا ب 1, ب 2, ..., ب رأنظمة س، أن أي ناقل للنظام سمزيج خطي من المتجهات ب 1, ب 2, ..., ب ر.

التعريف 2. رتبة نظام المتجهات سهو عدد المتجهات الأساسية للنظام س. يشار إلى رتبة نظام المتجهات سرمز ر= رتبة س.

إذا س = ( 0 )، فالنظام ليس له أساس ويفترض تلك المرتبة س= 0.

مثال 1.دعونا نعطي نظامًا من المتجهات أ 1 = (1,2), أ 2 = (2,3), أ 3 = (3,5), أ 4 = (1.3). ناقل أ 1 , أ 2 تشكل أساس هذا النظام، لأنها مستقلة خطيا (انظر المثال 3.1) و أ 3 = أ 1 + أ 2 , أ 4 = 3أ 1 - أ 2. رتبة هذا النظام المتجه هي اثنان.

النظرية 1(نظرية على القواعد). دع S يكون نظامًا محدودًا من المتجهات من V, س ≠{0 }. ثم التصريحات صحيحة.

1 ° يمكن توسيع أي نظام فرعي مستقل خطيًا للنظام S إلى أساس.

2 ° النظام S له أساس.

2 ° أي قاعدتين من النظام S تحتويان على نفس عدد المتجهات، أي أن رتبة النظام لا تعتمد على اختيار الأساس.

4 ° لو ر= رتبة س, ثم تشكل أي متجهات مستقلة خطيًا أساس النظام S.

5 ° لو ر= رتبة س, ثم أي k > r متجهات للنظام S تعتمد خطيًا.

6 ° أي ناقل أيتم التعبير عن € S خطيًا بشكل فريد من خلال المتجهات الأساسية، أي if ب 1, ب 2, ..., ب R هو أساس النظام S، إذن

أ = أ1 ب 1 + أ2 ب 2 +...+ أرب ر; أ1 , أ2 , ..., أنيورو ف،(1)

وهذا هو التمثيل الوحيد.

بسبب أساس 5 درجات، هذا الحد الأقصى للنظام الفرعي المستقل خطيًاأنظمة س، ورتبة النظام سعدد المتجهات في مثل هذا النظام الفرعي.

تمثيل المتجهات أ في الشكل (1) يسمى عن طريق تحليل المتجه إلى ناقلات الأساسوالأرقام a1، a2 , ...، يتم استدعاؤها إحداثيات المتجهات أ على هذا الأساس.

دليل. 1° دع ب 1, ب 2, ..., ب ك- النظام الفرعي المستقل خطيا للنظام س. إذا كان كل ناقل للنظام سيتم التعبير عنها خطيًا من خلال ناقلات نظامنا الفرعي، فهي حسب التعريف أساس النظام س.

إذا كان هناك ناقل في النظام س، والذي لا يتم التعبير عنه خطيًا من حيث المتجهات ب 1, ب 2, ..., ب ك، ثم نشير إليه بـ ب ك+1. ثم الأنظمة ب 1, ب 2, ..., ب ك, ب ك+1 - مستقل خطيا. إذا كان كل ناقل للنظام سيتم التعبير عنها خطيًا من خلال ناقلات هذا النظام الفرعي، فهي حسب التعريف أساس النظام س.

إذا كان هناك ناقل في النظام س، والذي لا يتم التعبير عنه خطيًا من خلال ب 1, ب 2, ..., ب ك, ب ك+1، ثم دعونا نكرر المنطق. بمواصلة هذه العملية، سنصل إما إلى أساس النظام سأو زيادة عدد المتجهات في نظام مستقل خطيًا بمقدار واحد. منذ في النظام سعدد محدود من المتجهات، فإن البديل الثاني لا يمكن أن يستمر إلى ما لا نهاية وفي خطوة ما نحصل على أساس النظام س.

2° دع سنظام محدود من المتجهات و س ≠{0 ). ثم في النظام سهناك ناقل ب 1 ≠ 0، والذي يشكل نظامًا فرعيًا مستقلاً خطيًا للنظام س. وفقا للجزء الأول، يمكن استكماله بأساس النظام س. وهكذا النظام سله أساس.

3° لنفترض أن النظام سله قاعدتان:

ب 1, ب 2, ..., ب ر , (2)

ج 1, ج 2, ..., ج س , (3)

حسب تعريف الأساس، فإن نظام المتجهات (2) مستقل خطيًا و (2) Н س. علاوة على ذلك، بحكم تعريف الأساس، كل متجه للنظام (2) هو مزيج خطي من ناقلات النظام (3). ثم، من خلال النظرية الرئيسية حول نظامين من المتجهات ر £ س. وكذا ثبت ذلك س £ ر. ويترتب على هذين التفاوتين ر = س.

4° دع ر= رتبة س, أ 1, أ 2, ..., أ ر- نظام فرعي مستقل خطيا س. فلنبين أنها أساس الأنظمة س. إذا لم يكن أساسًا، فباستخدام الجزء الأول يمكن استكماله بأساس ونحصل على أساس أ 1, أ 2, ..., أ ر, أ ر+1,..., أ ر+تتحتوي على أكثر من ر

5° إذا كناقلات أ 1, أ 2, ..., أ ك (ك > ر) الأنظمة س- مستقلة خطيًا، فمن الجزء الأول يمكن استكمال نظام المتجهات هذا بأساس ونحصل على أساس أ 1, أ 2, ..., أ ك, أ ك+1,..., أ ك+تتحتوي على أكثر من رناقلات. وهذا يخالف ما ثبت في الجزء الثالث.

6° دع ب 1, ب 2, ..., ب رأساس النظام س. حسب تعريف الأساس، أي ناقل أ € سهناك مجموعة خطية من المتجهات الأساسية:

أ = أ1 ب 1 + أ2 ب 2 +...+ ع ب ر.

وفي إثبات تفرد مثل هذا التمثيل لنفترض العكس، أن هناك تمثيلاً آخر:

أ = ب1 ب 1 + ب2 ب 2+...+ ر ب ر.

بطرح حد التساوي بعد الحد نجد

0 = (أ1 - ب1) ب 1 + (أ2 - ب2) ب 2 +...+ (ع - ر) ب ر.

منذ الأساس ب 1, ب 2, ..., ب رنظام مستقل خطيا، ثم جميع المعاملات ai - bi =0؛ أنا = 1, 2, ..., ر. ولذلك، منظمة العفو الدولية = ثنائية؛ أنا = 1, 2, ..., روثبت التفرد.

تعريف. نظام العناصر x..., xch الفضاء الخطييُطلق على V اسم تابع خطيًا إذا كانت هناك أرقام a"،..., otq، لا تساوي كلها صفرًا، بحيث إذا كانت المساواة (1) تتحقق فقط من أجل a] = ... = aq = 0، فإن نظام العناصر xj،..، x9 تسمى مستقلة خطيا. العبارات التالية صحيحة. النظرية 1. نظام العناصر X\,..., xq (q ^ 2) يعتمد خطيًا فقط إذا كان من الممكن تمثيل أحد عناصره على الأقل كمجموعة خطية من العناصر الأخرى.لنفترض أولًا أن نظام العناصر xx..., xq يعتمد خطيًا. من أجل اليقين، نفترض أنه في المساواة (1) يكون المعامل a9 غير صفر. نقل جميع المصطلحات باستثناء الأخير إلى الجانب الأيمن البعد الأساسي استبدال الأساس من أين. من الاستقلال الخطي للعناصر X|,..., xq يتبع ذلك a(وبالتالي نظرية 3. نظام العناصر الذي يحتوي على نظام فرعي يعتمد خطيًا يعتمد خطيًا. " دع عناصر q الأولى من النظام xx..., xq, xg +l,..., xm تعتمد خطيًا على هذه العناصر بحيث لا تكون جميع معاملات "..., aq تساوي الصفر. عن طريق إضافة العناصر، ..., xm مع عوامل صفرية، نحصل على ذلك وفي التركيبة الخطية للشكل 5، ليست كل المعاملات تساوي الصفر مثال: المتجهات من Vj تعتمد خطيًا فقط إذا كانت متحدة المستوى (الشكل 5). ). يُسمى نظام مرتب من العناصر في |,..., e № لمساحة خطية V أساسًا لهذا الفضاء الخطي إذا كانت العناصر في |,..., en مستقلة خطيًا ويمكن أن يكون كل عنصر من عناصر V يتم تمثيلها كمجموعة خطية هنا، الترتيب يعني أنه يتم تعيين رقم معين (ترتيبي) لكل عنصر. من نظام واحد يمكن تعيين عناصر n! في جي (الشكل 6). ثم الثلاثيات المرتبة هي قواعد مختلفة. دع c = (b! ... en) يكون أساسًا للمسافة V. ثم لأي عنصر x من V هناك مجموعة من الأرقام...، C بحيث بحكم النظرية 2، الأرقام،...، C - إحداثيات العنصر x في الأساس c - يتم تحديدها بشكل فريد. دعونا نرى ما يحدث لإحداثيات العناصر أثناء أبسط الإجراءات. دعونا ولأي رقم أ، عند إضافة عناصر، تتم إضافة إحداثياتها المقابلة، وعند ضرب عنصر برقم، يتم ضرب جميع إحداثياته ​​بهذا الرقم. غالبًا ما يكون من المناسب كتابة إحداثيات العناصر كعمود. على سبيل المثال، n هو العمود الإحداثي لعنصر في الأساس c. دعونا نوسع نظامًا عشوائيًا للعناصر X|،...، x، وفقًا للأساس c، وننظر إلى أعمدة الإحداثيات للعناصر X|،...، x9 على هذا الأساس: النظرية 4. نظام العناصر x\,...,xq يعتمد خطيًا عندها وفقط عندما يكون نظام أعمدة الإحداثيات الخاصة به يعتمد خطيًا في بعض الأساس. * ليكن واحدًا على الأقل من المعاملات A* مختلفًا عن الصفر. دعنا نكتب هذا بمزيد من التفصيل من هنا، نظرًا لتفرد تحلل العنصر على طول الأساس، فإنه يترتب على ذلك الاعتماد الخطي على أساس البعد تغيير الأساس، وبالتالي، فإن التركيبة الخطية لأعمدة الإحداثيات للعناصر xt،. ..، xq يساوي عمود الصفر (بنفس المعاملات A|,..., A?). هذا يعني أن نظام أعمدة الإحداثيات يعتمد خطيًا. إذا تم تحقيق المساواة (2)، فعند تنفيذ المنطق بالترتيب العكسي، نحصل على الصيغة (1). وبالتالي، فإن اختفاء بعض التركيبات الخطية غير التافهة (واحد على الأقل من المعاملات غير صفرية) من عناصر الفضاء الخطي يعادل حقيقة أن التركيبة الخطية غير التافهة لأعمدة الإحداثيات الخاصة بها (بنفس المعاملات) تساوي الصفر عمود. النظرية 5. دع الأساس c للمساحة الخطية V يتكون من عناصر n. إذن أي نظام من عناصر m، حيث m > n، يعتمد خطيًا. أو، وهو نفسه، * حسب النظرية 3، يكفي النظر في الحالة Let Xj,..., xn+| - عناصر عشوائية من الفضاء V. دعونا نوسع كل عنصر حسب الأساس ج ونكتب إحداثيات العناصر ............ على شكل مصفوفة، نخصص عمودا لإحداثيات عنصر. نحصل على مصفوفة من صفوف n وأعمدة +1 - نظرًا لأن رتبة المصفوفة K لا تتجاوز عدد n من صفوفها، فإن أعمدة المصفوفة K (يوجد منها n + 1) خطية متكل. وبما أن هذه هي أعمدة إحداثية للعناصر، فوفقًا للنظرية 4 نظام العناصر X|.....x«+| يعتمد أيضًا خطيًا. عاقبة. تتكون جميع قواعد الفضاء الخطي V من نفس عدد العناصر. ، بعد القسمة على otq F O نحصل على أن العنصر xq عبارة عن مجموعة خطية من العناصر xi،...، xq: وعلى العكس، إذا كان أحد العناصر يساوي مجموعة خطية من العناصر الأخرى، فنقله إلى الجانب الأيسر ، نحصل على تركيبة خطية تختلف فيها المعاملات الصفرية (-1 Ф 0). وهذا يعني أن نظام العناصر Xi,______ xq يعتمد خطيا. النظرية 2. دع نظام العناصر X|,...,X9 يكون مستقلاً خطياً و y = a\X\ + .+ aqxq. ثم يتم تحديد المعاملات ori,...,aq من العنصر y بطريقة فريدة. م دع ثم . البعد هذا الفضاء الخطي يساوي عدد عناصر FSR، أي. n - g حيث r هي رتبة مصفوفة معاملات النظام المتجانس، وهو عدد المجهولين. مثال 3. بعد الفضاء الخطي Mn لكثيرات الحدود من الدرجة التي لا تزيد عن n يساوي n + 1. 4 بما أن كل كثيرة الحدود /*(() من الدرجة ليست أعلى من n لها الشكل، يكفي إظهار الاستقلال الخطي للعناصر في |. =. خذ بعين الاعتبار المساواة حيث t = 0، نحصل على ذلك «о = 0. 5 Zak.750 دعونا نفرق بين المساواة (3) فيما يتعلق بـ t: POSITIONING t = 0. مرة أخرى، حصلنا على 0|. = 0. وبمواصلة هذه العملية، نتحقق باستمرار من أن оо = "... = а" =0. وهذا يعني أن نظام العناصر θ = 1,... ,еn4) = *n مستقل خطياً. ولذلك فإن البعد المطلوب هو n + 1. الاتفاق. علاوة على ذلك، في هذا الفصل، ما لم ينص على خلاف ذلك، من المفترض أن بعد الفضاء الخطي V متساوي. من الواضح أنه إذا كانت W عبارة عن مساحة فرعية لمساحة خطية ذات أبعاد n V، فإنها خافتة W ^ n. دعونا نظهر أنه في مساحة خطية ذات أبعاد n توجد مساحات فرعية خطية لأي بعد k ^ n يكون أساس الفضاء V. ومن السهل التحقق من أن الهيكل الخطي له البعد k حسب التعريف، نظرية ب (عند اكتمال الأساس). دع نظام عناصر الفضاء الخطي V ذو البعد n يكون مستقلاً خطيًا و k ثم في الفضاء V هناك عناصر a*+1،...، بحيث يكون النظام a" أساسًا لـ V. M. دع b يكون عنصرًا اعتباطيًا للمساحة الخطية V. إذا كان النظام يعتمد خطيًا، فإن ^ منذ ذلك الحين في مجموعة خطية غير تافهة يكون المعامل بسبب الاستقلال الخطي للنظام a إذا كان من الممكن كتابة توسيع النموذج (4) لأي عنصر b من الفضاء V، فإن النظام الأصلي a|،...، a* سيكون أساسًا حسب التعريف. لكن نظرا للظروف هذا مستحيل. ولذلك، يجب أن يكون هناك عنصر a*+i € V بحيث يكون النظام المكتمل ai,..., ab,a*+| سوف تكون خطية ولكنها مستقلة. إذا كان k + 1 = n، فإن هذا النظام هو أساس الفضاء V. إذا كان k + 1، فيجب تكرار المنطق السابق للنظام a. بهذه الطريقة، يمكن إكمال أي نظام مستقل خطيًا من العناصر على أساس المساحة بأكملها V. مثال. إكمال نظام من متجهين أ| = (1,2,0,1), aj = (-1,1.1,0) من المساحة R4 إلى أساس هذه المساحة. M دعونا نأخذ المتجهات aj = (في الفضاء R4 ونبين أن نظام المتجهات ai.aj.aj, a4 هو أساس R4. رتبة المصفوفة التي تكون صفوفها إحداثيات المتجهات aag, az, A4 يساوي أربعة، وهذا يعني أن صفوف المصفوفة A، وبالتالي المتجهات في. حج. az، a^ مستقلة خطيًا. > يتم استخدام نهج مماثل في الحالة العامة: لتكملة نظام العناصر المستقلة خطيًا إلى أساس الفضاء، يتم تقليل مصفوفة الاعتماد الخطي على أساس البعد استبدال الأساس بتحولات الصف الأولية إلى شكل شبه منحرف، ثم يتم استكماله بـ n - k من النموذج بحيث تكون رتبة المصفوفة الناتجة تساوي n العبارة التالية صحيحة. نظرية 7. اسمحوا أن تكون مساحات فرعية خطية من الفضاء الخطي V. ثم. تغيير الأساس دع تكون قواعد الفضاء الخطي V. دعونا نوسع عناصر الأساس c إلى الأساس c. لدينا هذه العلاقات مكتوبة بشكل ملائم في شكل مصفوفة. تسمى المصفوفة مصفوفة الانتقال من الأساس c إلى الأساس c. وإثبات هذه الخاصية هو التناقض اعتماد أعمدة المصفوفة S. هذه الأعمدة هي الأعمدة الإحداثية للعنصر." ,... "e"n في الأساس c. لذلك (وبسبب النظرية 4) العناصر e"و..., يجب أن يكون e"n معتمدًا خطيًا. وهذا الأخير يتناقض مع حقيقة أن c" هو الأساس. وهذا يعني أن الافتراض بأن det S = 0 غير صحيح. 2. إذا كانت...، و...، هي إحداثيات العنصر x في القاعدتين c وc" على التوالي، ثم _ استبدالهما في الصيغة بالتعبيرات (1)، نحصل على ذلك، وذلك بسبب التفرد لتحليل العنصر في الأساس، لدينا I بالانتقال إلى تسجيل المصفوفة للمساويات التي تم العثور عليها، نحن مقتنعون بصحة الخاصية 2. 3. S-1 هي مصفوفة الانتقال من الأساس c" إلى الأساس c.