محاضرة رقم 15.

تصميم (توليف) المرشحات الرقمية الخطية.

يُفهم تصميم (توليف) المرشح الرقمي على أنه اختيار معاملات وظيفة النظام (النقل) التي تلبي فيها خصائص المرشح الناتج المتطلبات المحددة. بالمعنى الدقيق للكلمة، تتضمن مهمة التصميم أيضًا اختيار بنية مرشح مناسبة (انظر المحاضرة رقم 14) مع مراعاة الدقة النهائية للحسابات. وينطبق هذا بشكل خاص عند تنفيذ المرشحات في شكل أجهزة (في شكل LSIs المتخصصة أو معالجات الإشارات الرقمية). لذلك بشكل عام فإن تصميم الفلتر الرقمي يتكون من الخطوات التالية:

1. حل مسألة تقريبية لتحديد معاملات التصفية ووظيفة النظام التي تلبي متطلبات محددة.
2. اختيار مخطط تصميم المرشح، أي تحويل وظيفة النظام إلى مخطط هيكلي محدد للمرشح.
3. تقدير تأثيرات التكميم، أي التأثيرات المرتبطة بالدقة المحدودة لتمثيل الأرقام في الأنظمة الرقمية، ذات قدرة محدودة.
4. التحقق باستخدام طرق المحاكاة مما إذا كان المرشح الناتج يلبي المتطلبات المحددة.

يمكن تصنيف طرق تصنيع المرشحات الرقمية وفقًا لمعايير مختلفة:

1. حسب نوع الفلتر المستلم:
   • طرق تصنيع المرشحات ذات الاستجابة النبضية المحدودة؛
   • طرق تركيب المرشحات ذات الاستجابة النبضية اللانهائية؛
2. بناءً على توفر نموذج أولي تناظري:
   • طرق التوليف باستخدام نموذج أولي تمثيلي؛
   • طرق التوليف المباشر (دون استخدام نموذج أولي تناظري).

من الناحية العملية، غالبًا ما يتم تفضيل مرشحات FIR للأسباب التالية. أولاً، توفر مرشحات FIR القدرة على حساب إشارة الخرج بدقة من إشارة دخل محدودة عن طريق الالتفاف دون الحاجة إلى قطع الاستجابة النبضية. ثانيًا، يمكن أن يكون للمرشحات ذات الاستجابة النبضية المحدودة استجابة طور خطية تمامًا في نطاق المرور، مما يجعل من الممكن تصميم مرشحات ذات استجابة اتساع لا تشوه إشارات الإدخال. ثالثًا، تكون مرشحات FIR مستقرة دائمًا، ومع إدخال تأخير محدود مناسب، يمكن تحقيقها فعليًا. بالإضافة إلى ذلك، يمكن تنفيذ مرشحات FIR ليس فقط باستخدام الدوائر غير العودية، ولكن أيضًا باستخدام النماذج العودية.

دعونا نلاحظ عيوب مرشحات FIR:

1. لتقريب المرشحات التي تحتوي استجاباتها الترددية على قطع حاد، يلزم وجود استجابة نبضية بعدد كبير من العينات. لذلك، عند استخدام الإلتواء التقليدي، يجب إجراء عدد كبير من العمليات الحسابية. فقط تطوير طرق الالتفاف السريعة المستندة إلى خوارزمية FFT عالية الكفاءة سمح لمرشحات FIR بالتنافس بنجاح مع مرشحات IIR التي تتميز بانقطاعات حادة في استجابة التردد.
2. إن التأخير في مرشحات FIR ذات الطور الخطي لا يساوي دائمًا عددًا صحيحًا من فترات أخذ العينات. في بعض التطبيقات، قد يسبب هذا التأخير المتعدد مشاكل.

يرتبط أحد خيارات تصميم المرشحات الرقمية بتسلسل معين من عينات الاستجابة النبضية، والتي تستخدم للحصول على استجابة التردد الخاصة بها وتحليلها (كسب التردد).

دعونا نحصل على الشرط الذي بموجبه يكون للمرشح غير العودي استجابة طور خطية تمامًا. وظيفة النظاميبدو هذا المرشح كما يلي:

, (15.1)

حيث تكون معاملات التصفية عبارة عن عينات من الاستجابة النبضية. تحويل فورييه هو الاستجابة الترددية للمرشح، بشكل دوري في التردد مع فترة. دعونا نقدمها لتسلسل حقيقي في النموذج: نحصل على الشروط التي بموجبها ستضمن الاستجابة النبضية للمرشح الخطية الصارمة لاستجابة الطور. هذا الأخير يعني أن خاصية المرحلة يجب أن يكون لها الشكل:

(15.2)

حيث يتم التعبير عن تأخير الطور الثابت من حيث عدد فترات أخذ العينات. لنكتب استجابة التردد بالصيغة:

(15.3)

وبمساواة الأجزاء الحقيقية والتخيلية نحصل على:

, (15.4)

. (15.5)

أين:

. (15.6)

هناك نوعان الحلول الممكنةالمعادلة (15.6). أحدهما (في) ليس من المصلحة، والآخر يتوافق مع القضية. بالضرب التبادلي لشروط المعادلة (15.6) نحصل على:

(15.7)

بما أن المعادلة (15.7) لها شكل متسلسلة فورييه، فإن حل المعادلة يجب أن يحقق الشروط التالية:

, (15.8)

و (15.9)

ويترتب على الشرط (15.8) أنه يوجد تأخير طور واحد فقط لكل منها، حيث يمكن تحقيق الخطية الصارمة لاستجابة الطور للمرشح. ويترتب على ذلك من (15.9) أنه، في ظل شرط معين يفي بالشرط (15.8)، يجب أن يكون للاستجابة النبضية تماثل محدد جيدًا.

ومن المستحسن النظر في استخدام الشرطين (15.8) و (15.9) بشكل منفصل للحالات الزوجية والفردية. إذا كان الرقم فرديا، فهو عدد صحيح، أي أن التأخير في المرشح يساوي العدد الصحيح لفترات أخذ العينات. في هذه الحالة، يكون مركز التماثل عند المرجع. إذا كان الرقم زوجيًا، فهو رقم كسري، والتأخير في المرشح يساوي عددًا غير صحيح من فترات أخذ العينات. على سبيل المثال، نحصل على أن مركز تناظر الاستجابة النبضية يقع في المنتصف بين عينتين.

يتم استخدام قيم معاملات الاستجابة النبضية لحساب استجابة التردد لمرشحات FIR. يمكن إثبات أنه بالنسبة للاستجابة النبضية المتناظرة مع عدد فردي من العينات، فإن التعبير عن دالة حقيقية ذات قيم موجبة وسالبة هو:

, (15.10)

أين

في أغلب الأحيان، يعتمد تصميم مرشح FIR على استجابة التردد المطلوبة (أو المرغوبة) ومن ثم حساب معاملات المرشح. هناك عدة طرق لحساب هذه المرشحات:طريقة التصميم باستخدام النوافذ، طريقة أخذ العينات الترددية، طريقة حساب المرشح الأمثل (حسب تشيبيشيف).دعونا نلقي نظرة على فكرة تصميم النوافذ باستخدام مرشح FIR منخفض التمرير كمثال.

بادئ ذي بدء، المطلوب استجابة الترددالفلتر المصمم . على سبيل المثال، لنأخذ استجابة ترددية مستمرة مثالية لمرشح الترددات المنخفضة مع كسب يساوي الوحدة عند الترددات المنخفضة ويساوي الصفر عند الترددات فوق مستوى معينتردد القطع . التمثيل المنفصل لمرشح الترددات المنخفضة المثالي هو خاصية دورية يمكن تحديدها بواسطة عينات على فترة دورية تساوي تردد أخذ العينات. إن تحديد معاملات مرشح الترددات المنخفضة باستخدام طرق DFT العكسية (إما تحليلياً أو باستخدام برنامج ينفذ DFT العكسي) يعطي تسلسلاً لا نهائيًا لعينات الاستجابة النبضية في كلا الاتجاهين، والتي لها شكل دالة كلاسيكية.

للحصول على مرشح غير متكرر قابل للتنفيذ بترتيب معين، يتم اقتطاع هذا التسلسل منه؛ اقتطاع بسيط لعينات الاستجابة النبضية يتوافق مع الاستخدامنافذة مستطيلة، المحددة بواسطة وظيفة خاصة، بسبب اقتطاع العينة، يتم تشويه استجابة التردد المحددة في البداية، لأنها عبارة عن التفاف في مجال التردد لاستجابة تردد منفصلة ووظيفة نافذة DFT:

, (15.11)

حيث DFT ونتيجة لذلك تظهر تموجات في نطاق تمرير استجابة التردد بسبب الفصوص الجانبية.

لإضعاف التأثيرات المدرجة، وقبل كل شيء، لتقليل مستوى الفصوص في نطاق التوقف، يتم ضرب الاستجابة النبضية المقطوعة بوظيفة الترجيح (نافذة)، والتي تتناقص بسلاسة نحو الحواف. وبالتالي، فإن طريقة تصميم مرشح FIR ذو النوافذ هي طريقة لتقليل انقطاع النافذة باستخدام نوافذ أخرى غير النوافذ المستطيلة. وفي هذه الحالة يجب أن تتمتع وظيفة الترجيح (النافذة) بالخصائص التالية:

• يجب أن يكون عرض الفص الرئيسي لاستجابة التردد للنافذة، والذي يحتوي على أكبر قدر ممكن من الطاقة الإجمالية، صغيرًا؛
• يجب أن تنخفض الطاقة الموجودة في الفصوص الجانبية لاستجابة تردد النافذة بسرعة مع اقترابها.

يتم استخدام نوافذ هامينج، كايزر، بلاكمان، تشيبيشيف، وما إلى ذلك كوظائف للوزن.

النظرية العامة لتوليف الدوائر الكهربائية الخطية ليست مدرجة في نطاق دورة "دوائر وإشارات هندسة الراديو".

يناقش هذا الفصل فقط بعض القضايا المحددة الخاصة بتركيب الدوائر الراديوية:

توليف الرباعيات النشطة في شكل اتصال متسلسل للروابط الأولية غير المتفاعلة (المنفصلة) من الدرجة الأولى أو الثانية ؛

بناء دوائر انتقائية لا تحتوي على ملفات حث (دوائر متكاملة)؛

عناصر تركيب الدوائر المنفصلة (الرقمية) والعلاقة بين استجابة التردد واستجابة الطور للمرشحات الرقمية.

يتم تركيب الدوائر التناظرية في هذا الفصل فقط في مجال التردد، أي وفقًا لوظيفة نقل معينة؛ أما بالنسبة للدوائر الرقمية فيتم أخذ التوليف بعين الاعتبار ووفقاً للمعطى استجابة نبضية(باختصار).

من المعروف أن وظيفة النقل لشبكة خطية ذات منفذين يتم تحديدها بشكل فريد من خلال الأصفار والأقطاب على المستوى (الدوائر التناظرية) أو على المستوى z (الدوائر الرقمية). ولذلك فإن عبارة "التوليف وفق دالة تحويلية معينة" تعادل عبارة "التوليف وفق أصفار وأقطاب معينة لدالة النقل". النظرية الحالية لتوليف الشبكات ذات الأربع أطراف تأخذ في الاعتبار الدوائر التي تحتوي وظيفة النقل فيها على عدد محدود من الأصفار والأعمدة، وبعبارة أخرى، دوائر تتكون من عدد محدود من الوصلات ذات المعلمات المجمعة. تركز المواد المعروضة أدناه على الشبكات الرباعية الأقطاب التي تحتوي على عدد صغير من الوصلات، والتي تعتبر نموذجية لمرشحات الترددات المنخفضة، ومرشحات التمرير العالي، ومرشحات التوقف، وما إلى ذلك، والتي تستخدم على نطاق واسع في الأجهزة الإلكترونية الراديوية.

العلم يهذب العقل؛

التعلم سوف يشحذ ذاكرتك.

كوزما بروتكوف

الفصل 15

عناصر تركيب الدوائر الثابتة الخطية

15.1. الأسئلة المدروسة

معتوليف الشبكات التناظرية ذات المحطتين. توليف رباعيات الأقطاب الثابتة وفقا لاستجابة تردد معينة. مرشحات بتروورث وتشيبيشيف.

الاتجاهات.عند دراسة القضايا، من الضروري أن نفهم بوضوح مدى غموض حل مشكلة تركيب شبكات ذات طرفين وطرق محددة لحل المشكلة وفقا لفوستر وكاور، وكذلك اكتساب القدرة على تحديد إمكانية تنفيذ معين وظيفة مقاومة الإدخال لشبكة ذات طرفين. عند تصنيع المرشحات الكهربائية بناءً على المرشحات النموذجية، من المهم فهم مزايا وعيوب تقريب خصائص التوهين تشيبيشيف وبتروورث. من الضروري أن تكون قادرًا على حساب معلمات عناصر أي نوع من المرشحات بسرعة (مرشح التمرير المنخفض، مرشح التمرير العالي، PPF) باستخدام صيغ تحويل التردد.

15.2. معلومات نظرية مختصرة

من المعتاد في نظرية الدائرة الحديث عن التوليف الهيكلي والبارامتري. المهمة الرئيسية للتركيب الهيكلي هي اختيار هيكل (طوبولوجيا) الدائرة التي تلبي الخصائص المحددة مسبقًا. في التوليف البارامترى، يتم تحديد فقط المعلمات ونوع عناصر الدائرة التي يُعرف هيكلها. علاوة على ذلك سنتحدث فقط عن التوليف البارامترى.

عند تجميع شبكات ذات طرفين، عادة ما يتم استخدام مقاومة الإدخال كمصدر

إذا تم إعطاء دالة، فيمكن تنفيذها بواسطة دائرة سلبية إذا تم استيفاء الشروط التالية: 1) جميع معاملات كثيرات الحدود في البسط والمقام حقيقية وإيجابية؛ 2) تقع جميع الأصفار والأقطاب إما في نصف المستوى الأيسر أو على المحور التخيلي، وتكون الأقطاب والأصفار على المحور التخيلي بسيطة؛ تكون هذه النقاط دائمًا إما حقيقية أو تشكل أزواجًا مترافقة معقدة؛ 3) لا تختلف الدرجات الأعلى والأدنى لكثيرات حدود البسط والمقام بما لا يزيد عن واحد. تجدر الإشارة أيضًا إلى أن إجراء التوليف ليس واضحًا، أي أنه يمكن تنفيذ نفس وظيفة الإدخال بعدة طرق.

باعتبارها الهياكل الأولية للشبكات المركبة ذات الطرفين، عادةً ما يتم استخدام دوائر فوستر، وهي عبارة عن اتصال متسلسل أو متوازي بالنسبة إلى أطراف الإدخال، على التوالي، للعديد من المقاومات والموصليات المعقدة، بالإضافة إلى دوائر سلم كاور.

تعتمد طريقة تركيب الشبكات ذات المطرافين على حقيقة أن وظيفة إدخال معينة تخضع لسلسلة من التبسيطات المتعاقبة. في هذه الحالة، في كل مرحلة، يتم تحديد التعبير المرتبط بالعنصر المادي للدائرة المركبة. إذا تم تحديد جميع مكونات الهيكل المحدد مع العناصر المادية، فسيتم حل مشكلة التوليف.

يعتمد تركيب الشبكات ذات الأربعة منافذ على نظرية النموذج الأولي لمرشحات الترددات المنخفضة. الخيارات الممكنةيظهر النموذج الأولي لمرشحات الترددات المنخفضة في الشكل. 15.1.

يمكن استخدام أي من المخططات في الحساب، لأن خصائصها متطابقة. التسميات في الشكل. 15.1 لها المعنى التالي: - محاثة ملف تسلسلي أو سعة مكثف متوازي؛ - مقاومة المولد إذا أو موصلية المولد إذا ؛ - مقاومة الحمل، إذا أو موصلية الحمل، إذا.

يتم تطبيع قيم عناصر النموذج الأولي بحيث يكون تردد القطع . يتم الانتقال من مرشحات النموذج الأولي المقيسة إلى مستوى آخر من المقاومة والتردد باستخدام التحويلات التالية لعناصر الدائرة:

;

.

تشير القيم ذات الأعداد الأولية إلى النموذج الأولي المقيس، بينما تشير القيم التي لا تحتوي على أعداد أولية إلى الدائرة المحولة. القيمة الأولية للتوليف هي توهين قوة التشغيل، معبرًا عنها بالديسيبل:

ديسيبل,

– الطاقة القصوى للمولد مع المقاومة الداخلية والقوة الدافعة الكهربية – طاقة الخرج في الحمل.

عادة، يتم تقريب الاعتماد على التردد من خلال الخاصية الأكثر استواءً (بتروورث) (الشكل 15.2، أ)

أين .

وعادة ما يتم اختيار مقدار التوهين التشغيلي المقابل لتردد القطع بما يساوي 3 ديسيبل. في نفس الوقت. المعلمة نيساوي عدد عناصر الدائرة النشطة ويحدد ترتيب التصفية.

هدف: إتقان منهجية تجميع المرشحات الخطية (التمرير المنخفض، والتمرير العالي، وتمرير النطاق) بناءً على تقريبيات مسطحة إلى أقصى حد وتقريب تشيبيشيف.

معلومات نظرية مختصرة: لأداء هذه المهمة يجب أن يكون لديك القدرة على التحليل أنواع مختلفةالدوائر الخطية والعثور على خصائصها الرئيسية (معامل نقل التردد، دالة النقل وأقطابها)؛ معرفة مبادئ تركيب مرشحات الترددات المنخفضة الخطية المبنية على تقريبيات مسطحة إلى أقصى حد وتقريبات تشيبيشيف ومبادئ الانتقال من دوائر مرشحات الترددات المنخفضة المعروفة إلى دوائر مرشحات الترددات العالية ومرشحات تمرير النطاق.

تم تصميم مرشحات الترددات المنخفضة للإرسال بأقل قدر من التوهين للذبذبات التي لا يتجاوز ترددها تردد قطع معين وهو ما يسمى تردد القطع، في حين ينبغي تخفيف التذبذبات ذات الترددات الأكبر من تردد القطع بشكل كبير.

خواص دالة النقل للرباعي الأقطاب :

يجب أن تكون أقطاب وظيفة النقل للشبكة ذات الأربعة منافذ موجودة في نصف المستوى الأيسر للتردد المعقد p. يمكن أن تكون حقيقية أو تشكل أزواجًا مترافقة معقدة.

يجب أن يتجاوز عدد أقطاب دالة النقل دائمًا عدد الأصفار.

على عكس القطبين، يمكن وضع أصفار دالة النقل في أي نصف مستوى، أي على طول المستوى الكامل للتردد المعقد p.

مراحل تركيب التصفية :

صياغة المتطلبات الفنية لخصائص المرشح حسب عرض النطاق الترددي المحدد. في هذه الحالة، لا يتم فرض أي قيود على بنية المرشح. ويسمى هذا النهج التوليف وفقا لاستجابة تردد معين. وكقاعدة عامة، فإن الخاصية المثالية غير قابلة للتحقيق في الممارسة العملية.

تقريب الخاصية المثالية باستخدام وظيفة قد تنتمي إلى دائرة يمكن تحقيقها فعليًا.

تنفيذ الوظيفة التقريبية المختارة والحصول على مخطط دائرة المرشح مع قيم عناصره.

الأكثر انتشارًا هما نوعان من التقريب: الحد الأقصى المسطح و Chebyshev.

الحد الأقصى للتقريب المسطح يعتمد على استخدام دالة معامل نقل الطاقة الترددية، المحددة على النحو التالي:

أين
- تردد مقيس بلا أبعاد.

يسمى المرشح الذي تلبي استجابته الترددية هذه الوظيفة مرشح ذو استجابة مسطحة إلى أقصى حد أو مرشح بتروورث.

يبدأ إجراء التوليف بتحديد أقطاب وظيفة نقل المرشح، والتي من الضروري الانتقال إلى التردد المعقد الطبيعي ص نوتحديد أقطاب وظيفة نقل الطاقة الترددية للمرشح:

;

في الحالة العامة، يمكن تحديد جذور هذه المعادلة باستخدام صيغة Moivre (حساب الجذور ن- القوة رقم مركب). في هذه الحالة، من الضروري أن تأخذ في الاعتبار قيمة مرحلة العدد المركب ض= – 1 (=).

عند إيجاد جذور هذه المعادلة لأي ترتيب مرشح نيجب تنفيذ ما يلي عام نمط: تقع جميع الأقطاب على نفس المسافة الزاوية من بعضها البعض وهذه المسافة متساوية دائمًا ; لو ن- فردي، فالقطب الأول يساوي دائمًا 1 إذا ن- حتى، ثم القطب الأول
.

باستخدام خاصية التماثل الرباعي لموقع أقطاب وظيفة معامل نقل الطاقة الترددية وظروف الاستقرار والجدوى المادية للشبكات ذات الأربع أطراف، بالنسبة لوظيفة نقل المرشح، من الضروري تحديد تلك الأعمدة الموجودة فقط في النصف الأيسر من الطائرة التردد المعقد والكتابة لهم تمثيل القطب الصفريوظيفة النقل.

المرشحات الكهربائية عبارة عن شبكات ذات أربع أطراف تنقل التذبذبات في نطاقات تردد معينة f 0 ... f 1 (نطاقات التمرير) مع توهين لا يكاد يذكر ∆A ولا تنقل عمليا التذبذبات في النطاقات الأخرى f 2 ... f 3 (نطاقات التوقف ، أو غير نطاقات المرور).

أرز. 2.1.1. مرشح تمرير منخفض (LPF). أرز. 2.1.2. مرشح التمرير العالي (HPF).

هناك العديد من الأنواع المختلفة لتطبيقات المرشحات الكهربائية: مرشحات LC المنفعلة (الدوائر التي تحتوي على عناصر حثية وسعوية)، مرشحات RC المنفعلة (الدوائر التي تحتوي على عناصر مقاومة وسعوية)، المرشحات النشطة (الدوائر التي تحتوي على مكبرات تشغيلية، عناصر مقاومة وسعوية)، الدليل الموجي، المرشحات الرقمية وغيرها. من بين جميع أنواع المرشحات، تحتل مرشحات LC مكانة خاصة، لأنها تستخدم على نطاق واسع في معدات الاتصالات السلكية واللاسلكية في نطاقات التردد المختلفة. توجد تقنية تركيبية متطورة للمرشحات من هذا النوع، كما أن تركيب الأنواع الأخرى من المرشحات يستخدم هذا إلى حد كبير

تقنية. لذلك في العمل بالطبعوينصب التركيز على التوليف

أرز. 2.1.3. مرشح تمرير الموجة (PF). مرشحات LC السلبية.

مهمة التوليفالمرشح الكهربائي هو تحديد دائرة مرشح بأقل عدد ممكن من العناصر، والتي تلبي استجابة التردد لها المتطلبات الفنية المحددة. في كثير من الأحيان يتم وضع المتطلبات على خاصية التوهين التشغيلي. في الأشكال 2.1.1 و2.1.2 و2.1.3، يتم تحديد متطلبات التوهين التشغيلي من خلال مستويات الحد الأقصى للتوهين المسموح به في نطاق التمرير A ومستويات الحد الأدنى المسموح به للتوهين في نطاق التوقف As. تنقسم مهمة التوليف إلى مرحلتين: مشكلة التقريبمتطلبات تشغيل التوهين بواسطة وظيفة متحققة ماديًا و مهمة التنفيذوظيفة التقريب التي تم العثور عليها بواسطة دائرة كهربائية.

حل مشكلة التقريب هو إيجاد دالة ذات أدنى ترتيب ممكن، والتي، أولاً، تلبي المتطلبات الفنية المحددة لاستجابة التردد للمرشح، وثانيًا، تلبي شروط إمكانية التحقيق المادي.

الحل لمشكلة التنفيذ هو تحديد الدائرة الكهربائيةوالتي تتطابق الاستجابة الترددية لها مع الدالة التي تم العثور عليها نتيجة حل مشكلة التقريب.

2.1. أساسيات تركيب المرشحات وفقاً لمعايير التشغيل.

دعونا نفكر في بعض العلاقات التي تميز شروط نقل الطاقة من خلال مرشح كهربائي. كقاعدة عامة، يتم استخدام المرشح الكهربائي في الظروف التي يتم فيها توصيل الأجهزة من أطراف الإدخال الخاصة بها، والتي يمكن تمثيلها في دائرة مكافئة في شكل شبكة نشطة ذات طرفين مع المعلمات E(jω)، R1، ومن يتم توصيل أجهزة أطراف الخرج ممثلة بدائرة مقاومة مكافئة R2. يظهر مخطط توصيل المرشح الكهربائي في الشكل 2.2.1.

يوضح الشكل 2.2.2 مخططًا يتم فيه، بدلاً من المرشح والمقاومة R2، توصيل مقاومة الحمل بالمولد المكافئ (مع المعلمات E(jω)، R1)، والتي تساوي قيمتها مقاومة المولد ر1. كما هو معروف فإن المولد يسلم أقصى قدرة لحمل مقاوم إذا كانت مقاومة الحمل مساوية لمقاومة الفقد الداخلي للمولد R1.

يتميز مرور الإشارة عبر شبكة ذات أربعة منافذ بوظيفة نقل التشغيل T(jω). تتيح لك وظيفة نقل التشغيل مقارنة الطاقة S 0 (jω) التي يوفرها المولد للحمل R1 (المتطابقة مع المعلمات الخاصة به) مع القدرة S 2 (jω) المزودة للحمل R2 بعد المرور عبر الفلتر:

وسيطة دالة نقل العمل arg(T(jω)) تميز علاقات الطور بين emf. E(jω) والجهد الناتج U 2 (jω). وتسمى مرحلة العمل انتقال مستمر(يُشار إليه بالحرف اليوناني "بيتا"):

عند نقل الطاقة عبر شبكة ذات أربعة منافذ، تتميز التغيرات في الطاقة والجهد والتيار بالقيمة المطلقة بمعامل وظيفة نقل العمل. عند تقييم الخصائص الانتقائية للمرشحات الكهربائية، يتم استخدام مقياس تحدده دالة لوغاريتمية. هذا الإجراء هو توهين العمل (المشار إليه بالحرف اليوناني "ألفا")، والذي يرتبط بوحدة وظيفة نقل العمل من خلال العلاقات:

, (ن) ؛ أو (2.2)

، (ديسيبل). (2.3)

في حالة استخدام الصيغة (2.2)، يتم التعبير عن التوهين التشغيلي بغير الريش، وعند استخدام الصيغة (2.3) - بالديسيبل.

تسمى القيمة ثابت نقل التشغيل للشبكة الرباعية (يشار إليها بالحرف اليوناني "جاما"). يمكن تمثيل وظيفة نقل التشغيل باستخدام التوهين التشغيلي ومرحلة التشغيل على النحو التالي:

في الحالة التي تكون فيها مقاومة الفقد الداخلي للمولد R1 ومقاومة الحمل R2 مقاومة، فإن القوى S 0 (jω) وS 2 (jω) تكون نشطة. من السهل وصف مرور الطاقة عبر الفلتر باستخدام معامل نقل الطاقة، والذي يتم تعريفه على أنه نسبة الطاقة القصوى P max المستلمة من المولد بواسطة الحمل المطابق له مع القدرة P 2 المقدمة للحمل R2:

لا تستهلك الشبكة التفاعلية ذات الأربعة منافذ طاقة نشطة. إذن فإن الطاقة النشطة P 1 التي يوفرها المولد تساوي الطاقة P 2 التي يستهلكها الحمل:

دعونا نعبر عن قيمة وحدة تيار الإدخال: ونستبدلها في (2.5).

وباستخدام التحويلات الجبرية نمثل (2.5) بالصيغة:

لنمثل البسط على الجانب الأيمن من المعادلة على النحو التالي:

الجانب الأيسرالمعادلة (2.6) هي مقلوب معامل نقل القدرة:

يمثل التعبير التالي معامل انعكاس القدرة من أطراف الإدخال للرباعي:

معامل الانعكاس (الجهد أو التيار) من أطراف الإدخال للرباعي يساوي

يميز مطابقة مقاومة دخل المرشح مع المقاومة R1.

لا يمكن للشبكة السلبية ذات الأربع أطراف أن توفر كسبًا للطاقة.

لذلك، بالنسبة لمثل هذه الدوائر، يُنصح باستخدام الوظيفة المساعدة التي يحددها التعبير:

دعونا نتخيل التوهين العامل بشكل مختلف، وأكثر ملاءمة لحل مشكلة تركيب المرشح:

من الواضح أن طبيعة الاعتماد على تردد التوهين التشغيلي ترتبط باعتماد التردد على وظيفة تسمى وظيفة الترشيح: تتطابق أصفار وأقطاب وظيفة الترشيح مع أصفار وأقطاب التوهين.

استنادًا إلى الصيغتين (2.7) و(2.9)، يمكننا تخيل معامل انعكاس الطاقة من أطراف الإدخال لشبكة ذات أربع أطراف:

دعنا ننتقل إلى كتابة صور العمليات حسب لابلاس، مع الأخذ في الاعتبار أن p = jω، وكذلك يتم التعبير عن المعامل التربيعي للكمية المعقدة، على سبيل المثال، . التعبير (2.10) في شكل عامل له الشكل

تعبيرات المشغل , , هي وظائف عقلانيةالمتغير المركب "p" وبالتالي يمكن كتابته بالصيغة

حيث ، ، هي كثيرات الحدود، على سبيل المثال:

ومن الصيغة (2.11) ومع الأخذ في الاعتبار (2.12) يمكننا الحصول على العلاقة بين كثيرات الحدود:

في مرحلة حل مشكلة التقريب، يتم تحديد التعبير عن وظيفة التصفية، أي يتم تحديد كثيرات الحدود h(p)، w(p)؛ من المعادلة (2.13) يمكننا إيجاد كثيرة الحدود v(p).

إذا تم تقديم التعبير (2.8) في شكل عامل، فيمكننا الحصول على دالة مقاومة مدخلات المرشح في شكل عامل:

شروط الجدوى المادية هي كما يلي:

1. v(p) - يجب أن تكون كثيرة حدود هورويتز، أي أن جذورها تقع في النصف الأيسر من مستوى المتغير المركب p=α+j·Ω (متطلبات استقرار السلسلة)؛

2. w(p) - يجب أن يكون متعدد الحدود زوجيًا أو فرديًا (بالنسبة لمرشح التمرير المنخفض w(p) - زوجي، بحيث لا يوجد قطب توهين عند ω=0؛ بالنسبة لمرشح التمرير العالي w(p) ) - غريب)؛

3. ح(ع) – أي كثيرة الحدود ذات معاملات حقيقية.

2.2. التصنيف حسب المقاومة والتردد.

يمكن أن تأخذ القيم العددية لمعلمات العناصر L وC وR وترددات القطع للمرشحات الحقيقية قيمًا مختلفة جدًا، اعتمادًا على الظروف الفنية. يؤدي استخدام الكميات الصغيرة والكبيرة في الحسابات إلى حدوث خطأ حسابي كبير.

ومن المعروف أن طبيعة اعتمادات التردد للمرشح لا تعتمد على القيم المطلقة لمعاملات الدوال التي تصف هذه التبعيات، بل يتم تحديدها فقط من خلال علاقاتها. يتم تحديد قيم المعاملات من خلال قيم المعلمات مرشحات L، C، R. ولذلك، فإن التطبيع (التغيير بنفس عدد المرات) للمعاملات الوظيفية يؤدي إلى تطبيع قيم المعلمات لعناصر التصفية. وبالتالي، بدلا من القيم المطلقة لمقاومات عناصر التصفية، يتم أخذها القيم النسبيةالمتعلقة بمقاومة الحمل R2 (أو R1).

بالإضافة إلى ذلك، إذا قمت بتطبيع قيم التردد المتعلقة بتردد القطع لنطاق المرور (يتم استخدام هذه القيمة في أغلب الأحيان)، فسيؤدي ذلك إلى تضييق انتشار القيم المستخدمة في الحسابات وزيادة دقة الحسابات. تتم كتابة قيم التردد المقيسة في النموذج وهي كميات بلا أبعاد، والقيمة المقيسة لتردد القطع لنطاق التمرير هي .

على سبيل المثال، خذ بعين الاعتبار مقاومة العناصر المتصلة بالسلسلة L، C، R:

المقاومة الموحدة: .

دعونا نقدم قيم التردد المقيسة في التعبير الأخير: حيث تكون المعلمات المقيسة تساوي: .

يتم تحديد القيم الحقيقية (المشوهة) لمعلمات العنصر:

من خلال تغيير قيم f 1 و R2، من الممكن الحصول على دوائر جديدة للأجهزة التي تعمل في نطاقات تردد أخرى وتحت أحمال أخرى من الدائرة الأصلية. لقد أتاح إدخال التطبيع إنشاء كتالوجات المرشحات، مما يقلل في كثير من الحالات من المشكلة المعقدة المتمثلة في تركيب المرشح للعمل مع الجداول.

2.3. بناء المخططات المزدوجة.

الكميات المزدوجة كما هو معروف هي المقاومة والتوصيل. لكل دائرة مرشح كهربائي يمكن العثور على دائرة مزدوجة لها. في هذه الحالة، ستكون مقاومة الدخل للدائرة الأولى مساوية لموصلية الدخل للدائرة الثانية، مضروبة في المعامل. ومن المهم ملاحظة أن دالة نقل التشغيل T(p) لكلا المخططين ستكون هي نفسها. يظهر مثال على بناء دائرة مزدوجة في الشكل 2.3.

غالبا ما تكون مثل هذه التحولات مريحة، لأنها تجعل من الممكن تقليل عدد العناصر الاستقرائية. كما تعلمون، فإن المحاثات، مقارنة بالمكثفات، هي عناصر ضخمة ومنخفضة Q.

يتم تحديد المعلمات الطبيعية لعناصر الدائرة المزدوجة (عند =1):

2.4. تقريب خصائص التردد.

توضح الأشكال 2.1.1 - 2.1.3 الرسوم البيانية لوظائف التوهين التشغيلية لمرشح الترددات المنخفضة (LPF)، ومرشح التمرير العالي (HPF)، ومرشح تمرير النطاق (BPF). وتبين نفس الرسوم البيانية مستويات التوهين المطلوب. في نطاق المرور f 0 ...f 1، يتم تعيين الحد الأقصى لقيمة التوهين المسموح بها (ما يسمى بتفاوت التوهين) ΔA؛ في نطاق التوقف f 2 ...f 3 يتم تعيين الحد الأدنى المسموح به لقيمة التوهين A S؛ في منطقة تردد الانتقال f 1 ... f 2 لا توجد متطلبات للتوهين.

قبل البدء في حل مشكلة التقريب، تتم تسوية الخاصية المطلوبة لتوهين التشغيل بالتردد، على سبيل المثال، بالنسبة لمرشحات التردد المنخفض ومرشحات التمرير العالي:

يجب أن تستوفي وظيفة التقريب المرغوبة شروط الجدوى المادية وأن تكرر بدقة الاعتماد المطلوب على التردد للتوهين التشغيلي. هناك معايير مختلفة لتقييم خطأ التقريب، والتي تعتمد عليها أنواع مختلفة من التقريب. في مشاكل تقريب خصائص السعة والتردد، يتم استخدام معايير الأمثلية لتايلور وتشيبيشيف في أغلب الأحيان.

2.4.1. التقريب بمعيار تايلور.

في حالة تطبيق معيار تايلور، تكون دالة التقريب المطلوبة بالشكل التالي (قيمة طبيعية):

أين هو مربع وحدة وظيفة التصفية؛

- ترتيب كثيرة الحدود (يأخذ قيمة عددية)؛

ε – معامل التفاوت. وترتبط قيمتها بقيمة ∆A - تفاوت التوهين في نطاق المرور (الشكل 2.4). لأنه عند تردد القطع لنطاق التمرير Ω 1 =1، لذلك

تسمى المرشحات التي تعتمد على تردد التوهين (2.16) مرشحات ذات خصائص التوهين المسطحة للغايةأو مرشحات مع خصائص بتروورثوالذي كان أول من استخدم التقريب باستخدام معيار تايلور عند حل مشكلة تركيب المرشح.

يتم تحديد ترتيب الوظيفة التقريبية بناءً على الشرط الذي يتجاوز فيه توهين التشغيل الحد الأدنى المسموح به عند تردد القطع لنطاق التوقف Ω 2:

أين . (2.19)

بما أن ترتيب كثير الحدود يجب أن يكون عددًا صحيحًا، فإن القيمة الناتجة

الشكل 2.4. تقريبه إلى أقرب أعلى

القيمة الكاملة.

دعونا نمثل التعبير (2.18) في شكل عامل باستخدام التحويل jΩ→:

دعونا نجد جذور كثيرة الحدود: من أين

ك = 1، 2، …، ملحوظة (2.20)

تأخذ الجذور قيمًا مترافقة معقدة وتقع على دائرة نصف قطرها. لتكوين كثيرة حدود هورويتز، تحتاج فقط إلى استخدام تلك الجذور الموجودة في النصف الأيسر من المستوى المركب:

يوضح الشكل 2.5 مثالاً على وضع جذور متعددة الحدود من الرتبة التاسعة مع مكون حقيقي سالب في المستوى المركب. مربع الوحدة

أرز. 2.5. دالة الترشيح حسب (2.16) تساوي:

كثيرة الحدود ذات معاملات حقيقية؛ - كثيرة الحدود ذات ترتيب متساوي. وبذلك يتم استيفاء شروط القابلية للتنفيذ المادي.

2.4.2. التقريب باستخدام معيار تشيبيشيف.

عند استخدام كثيرات حدود القدرة Ω 2 N B لتقريب تايلور، يتم الحصول على تقريب جيد للدالة المثالية بالقرب من النقطة Ω=0، ولكن من أجل ضمان الانحدار الكافي للدالة التقريبية لـ Ω>1 من الضروري زيادة الترتيب من كثير الحدود (وبالتالي ترتيب الدائرة).

يمكن الحصول على أفضل ميل في منطقة تردد الانتقال إذا اخترنا، كدالة تقريبية، ليس وظيفة رتيبة (الشكل 2.4)، ولكن وظيفة تتأرجح في نطاق القيم 0 ... ΔA في نطاق المرور عند 0<Ω<1 (рис. 2.7).

يتم ضمان أفضل تقريب وفقًا لمعيار تشيبيشيف من خلال استخدام كثيرات حدود تشيبيشيف P N (x) (الشكل 2.6). في الفترة -1< x < 1 отклонения аппроксимирующих функций от нулевого уровня равны ±1 и чередуются по знаку.

في الفترة -1< x < 1 полином Чебышёва порядка N описывается выражением

P N (x) = cos(N arccos(x)))، (2.21)

من أجل N=1 P 1 (x) = cos(arccos(x)) = x,

من أجل N=2 P 2 (x) = cos(2 arccos(x)) = 2 cos 2 (arccos(x)) – 1 = 2 x 2 – 1,

بالنسبة لـ N≥3، يمكن حساب متعدد الحدود P N (x) باستخدام صيغة التكرار

P N +1 (x) = 2 x P N (x) - P N -1 (x).

بالنسبة إلى x > 1، تزداد قيم كثيرات حدود تشيبيشيف بشكل رتيب ويتم وصفها بالتعبير

P N (x) = ch(N·القوس(x)). (2.22)

يتم وصف وظيفة التوهين التشغيلي (الشكل 2.7) بالتعبير

حيث ε هو معامل التفاوت الذي تحدده الصيغة (2.17)؛

تصفية وحدة وظيفة مربع.

P N (Ω) - متعددة حدود تشيبيشيف من الرتبة N.

يجب أن يتجاوز التوهين التشغيلي في نطاق التوقف القيمة A S:

باستبدال التعبير (2.22) بقيم ترددات التوقف في هذه المتباينة، نقوم بحلها فيما يتعلق بالقيمة N = NP - ترتيب متعدد حدود تشيبيشيف:

يجب أن يكون ترتيب كثير الحدود عددًا صحيحًا، لذا يجب تقريب القيمة الناتجة إلى أقرب قيمة عددية أعلى.

المعامل التربيعي لوظيفة نقل العمل (القيمة الطبيعية)

نظرًا لوجود أصفار التوهين (وهي أيضًا جذور متعدد حدود هورويتز) في نطاق المرور، يجب استبدال التعبير (2.21) لقيم تردد نطاق المرور في هذا التعبير.

دعونا نمثل التعبير (2.25) في شكل عامل باستخدام التحويل jΩ→:

يتم تحديد جذور كثير الحدود بالصيغة:

ك = 1، 2، …، NЧ، (2.26)

تقع الجذور المترافقة المعقدة في المستوى المعقد على شكل بيضاوي. تتشكل كثيرة حدود هورويتز فقط من جذور ذات مكون حقيقي سلبي:

تصفية وحدة وظيفة مربع. لذلك، نجد كثيرة الحدود باستخدام صيغة التكرار:

هي كثيرة الحدود ذات معاملات حقيقية؛ هي كثيرة الحدود ذات درجة زوجية. استيفاء شروط قابلية التنفيذ المادي.

2.5. تنفيذ وظيفة التقريب بواسطة الدائرة الكهربائية.

تعتمد إحدى طرق حل مشكلة التنفيذ على التوسع المستمر لكسر دالة مقاومة الإدخال

تم وصف إجراء التحلل في الأدبيات: , . يمكن شرح توسع الكسر المستمر بإيجاز على النحو التالي.

الدالة هي نسبة كثيرات الحدود. أولاً، يتم تقسيم كثير الحدود البسط على كثير الحدود المقام؛ ومن ثم فإن كثيرة الحدود التي كانت المقسوم عليها تصبح المقسومة، والباقي الناتج يصبح المقسوم عليه، وهكذا. تشكل النواتج التي تم الحصول عليها عن طريق القسمة كسرًا مستمرًا. بالنسبة للرسم البياني في الشكل 2.8، فإن الكسر المستمر له الشكل (عند =1):

إذا لزم الأمر، فمن الممكن من وردت

التبديل إلى المخططات المزدوجة.

2.6. طريقة تحويل متغير التردد.

يتم استخدام طريقة تحويل متغير التردد لتجميع مرشح التمرير العالي ومرشح المرشح. ينطبق التحويل فقط على ترددات Ω الطبيعية.

2.6.1. توليف HPF. بمقارنة خصائص مرشح الترددات المنخفضة ومرشح التمرير العالي في الشكلين 2.9 و2.10، يمكنك أن ترى أنهما معكوسان بشكل متبادل. هذا يعني أنه إذا قمت باستبدال متغير التردد

في التعبير عن خاصية مرشح الترددات المنخفضة، يتم الحصول على خاصية مرشح التمرير العالي. على سبيل المثال، بالنسبة لمرشح ذو خاصية Butterworth

استخدام هذا التحويل يعادل استبدال العناصر السعوية بالعناصر الحثية والعكس:

إنه

إنه .

لتجميع مرشح تمرير عالي باستخدام طريقة تحويل متغير التردد، يجب عليك القيام بما يلي.

أرز. 2.9. مرشح تمرير منخفض مع الشكل الطبيعي. 2.10. مرشح تمرير عالي مع تطبيع

مميزة. مميزة.

1. إجراء التطبيع لمتغير التردد.

2. تطبيق الصيغة (2.27) لتحويل متغير التردد

تمثل المتطلبات المعاد حسابها لخصائص التوهين التشغيلي متطلبات التوهين التشغيلي لما يسمى النموذج الأولي لمرشح التمرير المنخفض.

3. قم بتجميع نموذج أولي لمرشح الترددات المنخفضة.

4. قم بتطبيق الصيغة (2.27) للانتقال من النموذج الأولي لمرشح الترددات المنخفضة إلى مرشح التمرير العالي المطلوب.

5. قم بإجراء إزالة التطبيع لمعلمات عناصر مرشح التمرير العالي المركب.

2.6.2. توليف PF. في الشكل 2.1.3. يُظهر الخاصية المتناظرة للتوهين التشغيلي لمرشح تمرير النطاق. هذا هو اسم الخاصية المتناظرة هندسيًا حول متوسط ​​التردد.

لتجميع PF باستخدام طريقة تحويل متغير التردد، يجب عليك القيام بما يلي.

1. للانتقال من الخاصية المتناظرة المطلوبة لـ PF إلى الخاصية الطبيعية للنموذج الأولي لمرشح الترددات المنخفضة (واستخدام تقنية التوليف المعروفة بالفعل)، من الضروري استبدال متغير التردد (الشكل 2.11)

2.7. المرشحات النشطة.

تتميز المرشحات النشطة بغياب المحاثات، حيث يمكن إعادة إنتاج خصائص العناصر الحثية باستخدام دوائر نشطة تحتوي على عناصر نشطة (op-amps)، ومقاومات ومكثفات. يتم تعيين هذه المخططات: مخططات ARC. عيوب المحاثات هي عامل الجودة المنخفض (خسائر عالية)، والأبعاد الكبيرة، وارتفاع تكاليف الإنتاج.

2.7.1. النظرية الأساسية لمرشحات ARC. بالنسبة لشبكة خطية ذات أربعة منافذ (بما في ذلك مرشح ARC الخطي)، يتم التعبير عن العلاقة بين جهد الإدخال والإخراج (في شكل المشغل) من خلال وظيفة نقل الجهد:

حيث w(p) هي متعددة الحدود زوجية (K p 0 لمرشح الترددات المنخفضة) أو فردية (لمرشح الترددات العالية)،

v(p) هي كثيرة حدود هورويتز من الرتبة N.

بالنسبة لمرشح الترددات المنخفضة، يمكن تمثيل وظيفة النقل (القيمة الطبيعية) كمنتج للعوامل

حيث K = N U (0) = K2 1 K2 2 ... K2 (N /2) - قيمة الوظيفة H U (p) (لمرشح ذو ترتيب زوجي) عند إرسال جهد ثابت (أي عند f = 0 أو، في شكل عامل، مع p=0)؛

تتشكل العوامل الموجودة في المقام من حاصل ضرب الجذور المترافقة المعقدة

في حالة المرشح ذو الترتيب الفردي، هناك عامل واحد يتكون باستخدام جذر متعددة حدود هورويتز بقيمة حقيقية.

يمكن تنفيذ كل عامل دالة نقل بواسطة مرشح نشط منخفض التمرير من الدرجة الثانية أو الأولى (ARC). ووظيفة النقل المعطاة بأكملها H U (p) هي اتصال متسلسل لمثل هذه الشبكات ذات الأربع أطراف (الشكل 2.13).

تتمتع الشبكة النشطة المكونة من أربعة منافذ والتي تعتمد على مضخم تشغيلي بخاصية مفيدة للغاية - حيث أن مقاومة الإدخال الخاصة بها أكبر بكثير من مقاومة الخرج. إن توصيل مقاومة كبيرة جدًا بشبكة ذات أربع أطراف كحمل (وضع التشغيل هذا قريب من وضع عدم التحميل) لا يؤثر على خصائص الشبكة ذات الأربع أطراف نفسها.

H U (ع) = H1 U (ع) H2 U (ع) ... Hk U (ع)

على سبيل المثال، يمكن تنفيذ مرشح الترددات المنخفضة النشط من الدرجة الخامسة عن طريق دائرة عبارة عن اتصال متسلسل بين رباعيين من الدرجة الثانية ورباعي واحد من الدرجة الأولى (الشكل 2.14)، ورباعي منخفض من الدرجة الرابعة. يتكون مرشح المرور من اتصال متتالي لاثنين من الرباعيات من الدرجة الثانية. يتم توصيل الأقطاب الرباعية ذات عامل الجودة الأعلى أولاً بمسار إرسال الإشارة؛ يتم توصيل الشبكة ذات الأربعة منافذ من الدرجة الأولى (بأقل عامل جودة وأقل ميل لاستجابة التردد) أخيرًا.

2.7.2. توليف مرشح ARCيتم تنفيذه باستخدام وظيفة نقل الجهد (2.29). يتم إجراء تطبيع التردد بالنسبة إلى تردد القطع f c . عند تردد القطع، تكون قيمة وظيفة نقل الجهد أقل من الحد الأقصى لـ Hmax بعامل، وتكون قيمة التوهين 3 ديسيبل

أرز. 2.14. مرشح التمرير المنخفض ARC من الدرجة الخامسة.

يتم تطبيع خصائص التردد بالنسبة إلى f c. إذا قمنا بحل المعادلتين (2.16) و (2.23) بالنسبة إلى تردد القطع، فسنحصل على التعبيرات

لمرشح الترددات المنخفضة مع خاصية بتروورث؛

مع خصائص تشيبيشيف.

اعتمادًا على نوع خاصية المرشح - Butterworth أو Chebyshev - يتم تحديد ترتيب الدالة التقريبية باستخدام الصيغ (2.19) أو (2.26).

يتم تحديد جذور كثيرة حدود هورويتز بالصيغة (2.20) أو (2.26). يمكن تشكيل وظيفة نقل الجهد لشبكة ذات أربعة منافذ من الدرجة الثانية باستخدام زوج من الجذور المترافقة المعقدة، وبالإضافة إلى ذلك، يمكن التعبير عنها من خلال معلمات عناصر الدائرة (الشكل 2.14). لم يتم تقديم تحليل الدائرة واشتقاق التعبير (2.31). تتم كتابة التعبير (2.32) لشبكة ذات أربعة منافذ من الدرجة الأولى بطريقة مماثلة.

نظرًا لأن قيمة مقاومة الحمل لا تؤثر على خصائص المرشح النشط، يتم إجراء عملية إلغاء التسوية بناءً على ما يلي. أولاً يتم تحديد القيم المقبولة للمقاومات المقاومة (10 ... 30 كيلو أوم). ومن ثم يتم تحديد القيم الحقيقية لمعلمات السعة؛ ولهذا الغرض يستخدم f c في التعبير (2.15).