التحميل من موقع Depositfiles

محاضرات 1-4

وظائف العديد من المتغيرات.

أسئلة الاختبار.

الزيادة الجزئية والكلية لدالة متعددة المتغيرات (FNP).

حدود دالة متعددة المتغيرات. خصائص حدود FNP.

استمرارية الحزب الوطني التقدمي. خصائص الدوال المستمرة.

المشتقات الجزئية من الدرجة الأولى.

تعريف : إذا كانت كل مجموعة من القيم المتغيرة تتوافق مع قيمة متغيرة معينةث، ثم سوف نتصلث وظيفة المتغيرات المستقلة:

(1)

تعريف : مجال التعريفد ( و ) الدالة (1) عبارة عن مجموعة من هذه المجموعات من الأرقام
، والتي تم تعريف الوظيفة (1) لها.

منطقة د ( و ) قد تكون مفتوحة أو مغلقة. على سبيل المثال لوظيفة:

د (و ) ستكون هناك جميع النقاط في الفضاء التي تنطبق عليها المتباينة (الكرة المغلقة)، وللدالة (الكرة المفتوحة).

في ما يلي، سننظر بشكل أساسي في وظائف متغيرين، لأن أولاً، لا يوجد فرق جوهري بين متغيرين أو أكثر؛ فزيادة عدد المتغيرات لا تؤدي إلا إلى حسابات مرهقة. ثانياً، تسمح حالة المتغيرين بتفسير هندسي واضح.

التمثيل الهندسي لدالة لمتغيرين
هو بعض السطح الذي يمكن تحديده بشكل صريح أو ضمني. على سبيل المثال:أ )
- مهمة صريحة (مكافئ الدوران)، ب)
— مهمة ضمنية (المجال).

عند إنشاء الرسم البياني، غالبا ما يتم استخدام الوظائفبواسطة طريقة القسم .

مثال . إنشاء رسم بياني للوظيفة.
دعونا نستخدم طريقة القسم.

– في الطائرة
- القطع المكافئ.

– في الطائرة
-القطع المكافئ.

– في الطائرة
- دائرة.

السطح المطلوب هو القطع المكافئ للثورة.

مسافة بين نقطتين تعسفيتين
و
الفضاءات (الإقليدية).
اتصل بالرقم

مجموعة النقاط تسمىدائرة مفتوحة نصف القطر تتمركز في نقطة ما , – محيط نصف القطر مع المركز عند النقطة.

فتح دائرة نصف قطرها مع المركز عند نقطة ما يسمى-المحيط النقاط

عن

عزيمة. النقطة تسمىنقطة داخلية مجموعات ، إذا كان هناك حي
نقطة تنتمي بالكامل إلى المجموعة (أي
).

تعريف . النقطة تسمىنقطة الحدود من مجموعة إذا كان أي من أحياءها يحتوي على نقاط تنتمي إلى المجموعة ولا تنتمي إليها.

النقطة الحدودية لمجموعة قد تنتمي أو لا تنتمي إلى هذه المجموعة.

تعريف . المجموعة تسمىيفتح إذا كانت جميع نقاطها داخلية.

تعريف . المجموعة تسمىمغلق إذا كان يحتوي على جميع نقاط حدوده. مجموعة جميع النقاط الحدودية للمجموعة تسمىحدود (وغالبًا ما يُشار إليه بالرمز
). لاحظ أن المجموعة
مغلق ويسمىإغلاق المجموعة.

مثال . إذا، ثم. في نفس الوقت.

الزيادة الجزئية والكلية للدالة.

إذا كان هناك متغير مستقل (على سبيل المثال،X ) يتم زيادتها X ، ولم يتغير المتغير الآخر، فتزداد الدالة:

وهو ما يسمى الزيادة الجزئية للدالة بواسطة الوسيطةX .

إذا تلقت جميع المتغيرات زيادات، فستتلقى الدالة زيادة كاملة:

على سبيل المثال، بالنسبة للوظيفة
سيكون لدينا:

حدود دالة متعددة المتغيرات.

تعريف . سنقول أن تسلسل النقاط
يتقارب في
إلى هذه النقطة
، إذا كان في .

في هذه الحالة النقطة
مُسَمًّىحد التسلسل المحدد والكتابة:
في
.

من السهل إظهار أنه إذا وفقط إذا كان كلاهما
,
(أي أن تقارب سلسلة من النقاط في الفضاء متكافئالتقارب المنسق ).

تعريف . الرقم يسمى حد وظائف
في
، إذا ل

مثل هذا
، بمجرد.

في هذه الحالة يكتبون
أو
في
.

على الرغم من التشابه الكامل الواضح بين مفاهيم حدود وظائف متغير واحد ومتغيرين، إلا أن هناك فرقًا عميقًا بينهما. في حالة وجود دالة ذات متغير واحد، لوجود نهاية عند نقطة ما، فإن مساواة رقمين فقط ضرورية وكافية - الحدود في اتجاهين: إلى يمين وإلى يسار نقطة النهاية . بالنسبة لدالة ذات متغيرين، الميل إلى نقطة النهاية
على المستوى يمكن أن يحدث في عدد لا نهائي من الاتجاهات (وليس بالضرورة على طول خط مستقيم)، وبالتالي فإن شرط وجود حد لدالة مكونة من متغيرين (أو عدة) يكون "أكثر إحكامًا" مقارنة بوظيفة ذات متغير واحد.

مثال . يجد
.

دع الرغبة في النقطة المحددة
يحدث في خط مستقيم
. ثم
.

من الواضح أن الحد غير موجود، لأن العدد
يعتمد على .

خصائص حدود FNP:

إذا كان هناك
، الذي - التي:، المشتق الجزئي فيما يتعلق بـ وتم تقديم تدوينه.

من السهل أن نرى أن المشتق الجزئي هو مشتق دالة لمتغير واحد عندما تكون قيمة المتغير الآخر ثابتة. ولذلك، يتم حساب المشتقات الجزئية وفقا لنفس القواعد التي يتم بها حساب مشتقات الدوال لمتغير واحد.

مثال . أوجد المشتقات الجزئية للدالة
.

لدينا:
,
.

تعريف. عامل ض(مع منطقة التغيير ز) مُسَمًّى وظيفة اثنين من المتغيرات المستقلة س، صبكثرة م، إذا كان كل زوج ( س، ص) من كثير م ضمن ز.

تعريف. كثير م، حيث يتم تحديد المتغيرات س، ص،مُسَمًّى مجال الوظيفة، مجموعة Z – نطاق الوظيفة، وأنفسهم س، ص- ها الحجج.

التسميات: ض = و (س، ص)، ض = ض (س، ص).

أمثلة.

تعريف . عامل ض(مع منطقة التغيير ز) مُسَمًّى وظيفة العديد من المتغيرات المستقلةبكثرة م، إذا كانت كل مجموعة من الأرقام من المجموعة موفقًا لبعض القواعد أو القوانين، يتم تعيين قيمة واحدة محددة ضمن ز.يتم تقديم مفاهيم الحجج ومجال التعريف ومجال القيمة بنفس الطريقة التي يتم بها تقديم دالة مكونة من متغيرين.

التسميات: ض = و, ض = ض.

تعليق. منذ بضعة أرقام ( س، ص) يمكن اعتبارها إحداثيات نقطة معينة على المستوى، سنستخدم لاحقًا مصطلح "نقطة" لزوج من الوسائط لدالة مكونة من متغيرين، بالإضافة إلى مجموعة مرتبة من الأرقام التي تمثل وسيطات لدالة من عدة متغيرات.

التمثيل الهندسي لدالة لمتغيرين

النظر في الوظيفة

ض = و (س، ص), (15.1)

المحددة في بعض المناطق معلى متن الطائرة O xy. ثم مجموعة النقاط في الفضاء ثلاثي الأبعاد بإحداثياتها ( س،ص،ض)حيث هو الرسم البياني لدالة من متغيرين. وبما أن المعادلة (15.1) تحدد سطحاً معيناً في الفضاء ثلاثي الأبعاد، فستكون الصورة الهندسية للدالة قيد النظر.

مجال الوظيفة ض = و (س، ص)وهو في أبسط الحالات إما أن يكون جزءاً من المستوى الذي يحده منحنى مغلق، وقد تنتمي أو لا تنتمي نقاط هذا المنحنى (حدود المنطقة) إلى مجال التعريف، أو إلى المستوى بأكمله، أو، أخيرًا، مجموعة من عدة أجزاء من مستوى xOy.

ض = و (س، ص)

وتشمل الأمثلة معادلات الطائرة ض = الفأس + بواسطة + ج

وأسطح الدرجة الثانية: ض = س² + ذ² (مكافئ الثورة)،

(مخروط)، الخ.

تعليق. بالنسبة لدالة مكونة من ثلاثة متغيرات أو أكثر، سنستخدم مصطلح "السطح في". نالفضاء ذو ​​الأبعاد"، على الرغم من أنه من المستحيل تصوير مثل هذا السطح.

خطوط المستوى والأسطح

بالنسبة لدالة ذات متغيرين تعطى بالمعادلة (15.1)، يمكننا أن نعتبر مجموعة من النقاط ( س، ص)يا طائرة xy، من أجلها ضيأخذ نفس القيمة الثابتة، أي ض= ثابت. تشكل هذه النقاط خطًا على المستوى يسمى خط المستوى.

مثال.

أوجد خطوط المستوى للسطح ض = 4 – س² - ذ². تبدو معادلاتهم س² + ذ² = 4 - ج(ج=const) – معادلات الدوائر متحدة المركز التي يكون مركزها عند نقطة الأصل وأنصاف أقطارها . على سبيل المثال، متى مع=0 نحصل على دائرة س² + ذ² = 4 .

لوظيفة من ثلاثة متغيرات ش = ش (س، ص، ض)معادلة ش(س، ص، ض) = جيحدد سطحا في الفضاء ثلاثي الأبعاد، وهو ما يسمى سطح المستوى.

مثال.

للوظيفة ش = 3س + 5ذ – 7ض-12 الأسطح المستوية ستكون عائلة من المستويات المتوازية المعطاة بالمعادلات 3 س + 5ذ – 7ض –12 + مع = 0.

حد واستمرارية دالة ذات عدة متغيرات

دعونا نقدم هذا المفهوم δ-الأحياءنقاط م 0 (س 0، ص 0)على متن الطائرة O xyكدائرة نصف قطرها δ ومركزها عند نقطة معينة. وبالمثل، يمكننا تعريف الحي δ في الفضاء ثلاثي الأبعاد على أنه كرة نصف قطرها δ ومركزها عند النقطة م 0 (× 0، ص 0، ض 0). ل نالفضاء ذو ​​الأبعاد سوف نسميه الحي δ لنقطة ما م 0 مجموعة من النقاط ممع الإحداثيات تلبية الشرط

أين هي إحداثيات النقطة م 0 . في بعض الأحيان تسمى هذه المجموعة "الكرة". ن-مساحة الأبعاد.

تعريف. الرقم أ يسمى حدوظائف العديد من المتغيرات وعند هذه النقطة م 0 إذا كان هذا | و(م) - أ| < ε для любой точки ممن حي δ م 0 .

التسميات : .

ويجب أن يؤخذ في الاعتبار أنه في هذه الحالة النقطة مقد يقترب م 0، نسبيًا، على طول أي مسار داخل الحي δ للنقطة م 0 . لذلك ينبغي التمييز بين حد دالة عدة متغيرات بالمعنى العام عما يسمى الحدود المتكررةيتم الحصول عليها من خلال مقاطع متتالية إلى الحد الأقصى لكل وسيطة على حدة.

أمثلة.

تعليق. ويمكن إثبات أنه من وجود نهاية عند نقطة معينة بالمعنى المعتاد ووجود حدود في هذه النقطة على الحجج الفردية، يتبع ذلك وجود الحدود المتكررة وتساويها. البيان العكسي غير صحيح.

تعريف وظيفة ومُسَمًّى مستمرعند هذه النقطة م 0 إذا (15.2)

إذا أدخلنا الترميز فيمكن إعادة كتابة الشرط (15.2) بالشكل (15.3)

تعريف . النقطة الداخلية م 0مجال الوظيفة ض = و (م)مُسَمًّى نقطة الاستراحةتعمل إذا كانت الشروط (15.2)، (15.3) غير مستوفاة في هذه المرحلة.

تعليق. يمكن أن تتشكل العديد من نقاط الانقطاع على المستوى أو في الفضاء خطوطأو سطح الكسر.

أمثلة.

خصائص النهايات والدوال المستمرة

نظرًا لأن تعريفات النهاية والاستمرارية لدالة ذات عدة متغيرات تتطابق عمليًا مع التعريفات المقابلة لدالة ذات متغير واحد، فإنه بالنسبة لوظائف عدة متغيرات يتم الحفاظ على جميع خصائص الحدود والوظائف المستمرة المثبتة في الجزء الأول من الدورة وهي:

1) إذا كانوا موجودين، فهم موجودون و (إذا).

2) إذا كان و لأي أناهناك حدود وهناك أين م 0، إذن هناك حد لوظيفة معقدة عند أين إحداثيات النقطة ر 0 .

3) إذا كانت الوظائف و (م)و ز (م)مستمر عند نقطة ما م 0، عند هذه النقطة تكون الوظائف مستمرة أيضًا f(M) + g(M)، kf(M)، f(M) ز(M)، f(M)/g(M)(لو ز(م 0) ≠ 0).

4) إذا كانت الدوال متصلة عند النقطة ف 0والدالة مستمرة عند النقطة م 0، أين، إذن وظيفة معقدةمستمر عند نقطة ما ر 0 .

5) الدالة مستمرة في دالة مغلقة منطقة محدودة د، يأخذ أكبر وأصغر قيمه في هذه المنطقة.

6) إذا كانت الوظيفة مستمرة في منطقة مغلقة ومحدودة د، يأخذ القيم في هذه المنطقة أو في، ثم تأخذ المنطقة دوأي قيمة وسيطة تقع بين أو في.

7) إذا كانت الوظيفة مستمرة في منطقة مغلقة ومحدودة د، يأخذ قيم علامات مختلفة في هذه المنطقة، ثم هناك على الأقلنقطة واحدة من المنطقة د، فيها و = 0.

المشتقات الجزئية

لنفكر في تغيير دالة عند تحديد زيادة لواحدة فقط من وسيطاتها - × ط، ودعنا نسميها .

تعريف . مشتق جزئيوظائف بواسطة الوسيطة × طمُسَمًّى .

التسميات : .

وبالتالي، فإن المشتقة الجزئية لدالة ذات عدة متغيرات يتم تعريفها في الواقع على أنها مشتقة للدالة متغير واحد – x i. ولذلك فإن جميع خواص المشتقات المثبتة لدالة ذات متغير واحد صالحة لها.

تعليق. في الحساب العملي للمشتقات الجزئية، نستخدم القواعد المعتادة لاشتقاق دالة لمتغير واحد، على افتراض أن الوسيطة التي يتم من خلالها إجراء التمايز متغيرة، والوسيطات المتبقية ثابتة.

أمثلة .

1. ض = 2س² + 3 xy –12ذ² + 5 س – 4ذ +2,

2. ض = س ص،

التفسير الهندسي للمشتقات الجزئية لدالة متغيرين

النظر في المعادلة السطحية ض = و (س، ص)ورسم الطائرة س =ثابت. دعونا نحدد نقطة على خط تقاطع المستوى والسطح م (س، ص). إذا أعطيت الحجة فيزيادة Δ فيوفكر في النقطة T على المنحنى بالإحداثيات ( س، ص+Δ ص، ض+Δy ض)، ثم ظل الزاوية التي يشكلها القاطع MT مع الاتجاه الموجب للمحور O في، سيكون مساوياً لـ . وبالانتقال إلى النهاية عند ، نجد أن المشتقة الجزئية تساوي ظل الزاوية التي يشكلها مماس المنحنى الناتج عند النقطة ممع الاتجاه الإيجابي للمحور O ش.وعليه فإن المشتقة الجزئية تساوي ظل الزاوية مع المحور O Xمماس للمنحنى الذي تم الحصول عليه نتيجة لتقسيم السطح ض = و (س، ص)طائرة ص=ثابت.

تفاضل دالة لعدة متغيرات

عند دراسة القضايا المتعلقة بالتمايز، سنقتصر على حالة دالة مكونة من ثلاثة متغيرات، حيث أن جميع الأدلة على ذلك أكثريتم تنفيذ المتغيرات بنفس الطريقة.

تعريف . الزيادة الكاملةوظائف ش = و (س، ص، ض)مُسَمًّى

النظرية 1. في حالة وجود مشتقات جزئية عند النقطة ( س 0، ص 0، ض 0) وفي بعض أحيائها ومتواصلة عند النقطة ( س 0، ص 0، ض 0) فهي محدودة (نظرًا لأن وحداتها لا تتجاوز 1).

ثم يمكن تمثيل زيادة الدالة التي تفي بشروط النظرية 1 على النحو التالي: ، (15.6)

تعريف . إذا زادت الدالة ش = و (س، ص، ض)عند النقطة ( س 0، ص 0، ض 0)يمكن تمثيلها بالشكل (15.6)، (15.7)، ثم يتم استدعاء الدالة قابلة للتمييزعند هذه النقطة، والتعبير هو الجزء الخطي الرئيسي للزيادةأو التفاضلية الكاملةالوظيفة المعنية.

التسميات: دو، مدافع (س 0، ص 0، ض 0).

كما هو الحال في حالة دالة ذات متغير واحد، فإن تفاضلات المتغيرات المستقلة تعتبر زياداتها التعسفية، وبالتالي

ملاحظة 1. لذلك، فإن عبارة "الدالة قابلة للتفاضل" لا تعادل العبارة "للدالة مشتقات جزئية" - من أجل التمايز، فإن استمرارية هذه المشتقات عند النقطة المعنية مطلوبة أيضًا.

.

النظر في الوظيفة واختيار س 0 = 1, ص 0 = 2. ثم Δ س = 1.02 - 1 = 0.02؛ Δ ص = 1.97 – 2 = -0.03. دعونا نجد

لذلك، نظرا لذلك و ( 1، 2) = 3، نحصل عليها.

(المحاضرة 1)

وظائف 2 المتغيرات.

يسمى المتغير z دالة مكونة من متغيرين f(x,y)، إذا كان لأي زوج من القيم (x,y) G قيمة معينة للمتغير z مرتبطًا.

مواطنه.محيط النقطة p 0 هو دائرة مركزها النقطة p 0 ونصف قطرها. = (س-س 0 ) 2 +(أوه 0 ) 2

لعدد صغير بشكل تعسفي، يمكن تحديد رقم ()>0 بحيث يكون لجميع قيم x و y، التي تكون المسافة من t.p إلى p0 أقل، عدم المساواة التالية: f(x,y) A ، أي. بالنسبة لجميع النقاط p التي تقع بالقرب من النقطة p 0، بنصف القطر، تختلف قيمة الدالة عن A بأقل من القيمة المطلقة. وهذا يعني أنه عندما تقترب النقطة p من النقطة p 0 أي شخص

استمرارية الوظيفة.

دع الدالة z=f(x,y) تعطى، p(x,y) هي النقطة الحالية، p 0 (x 0 ,y 0) هي النقطة قيد النظر.

مواطنه.

3) النهاية تساوي قيمة الدالة عند هذه النقطة: = f(x 0 ,y 0);

ليم f(x,y) = f(x 0 ، ذ 0 );

ص 0

مشتق جزئي.

دعونا نعطي الوسيطة x زيادة بمقدار x؛ x+x، نحصل على النقطة p 1 (x+x,y)، نحسب الفرق بين قيم الدالة عند النقطة p:

x z = f(p1)-f(p) = f(x+x,y) - f(x,y) الزيادة الجزئية للدالة المقابلة لزيادة الوسيطة x.

ض= ليم س ض

ض = ليم و(س+س،ص) - و(س،ص)

× ×0 ×

تحديد دالة لعدة متغيرات

عند النظر في العديد من القضايا من مختلف مجالات المعرفة، فمن الضروري دراسة مثل هذه التبعيات بين الكميات المتغيرة عندما يتم تحديد القيم العددية لأحدها بشكل كامل من خلال قيم عدة أخرى.

على سبيل المثالعند دراسة الحالة الفيزيائية لجسم ما، يجب على المرء أن يلاحظ التغيرات في خصائصه من نقطة إلى أخرى. يتم تحديد كل نقطة من الجسم بثلاثة إحداثيات: x، y، z. لذلك، عند دراسة توزيع الكثافة، على سبيل المثال، نستنتج أن كثافة الجسم تعتمد على ثلاثة متغيرات: x، y، z. إذا تغيرت الحالة المادية للجسم أيضًا بمرور الوقت t، فستعتمد نفس الكثافة على قيم أربعة متغيرات: x، y، z، t.

مثال آخر: يتم دراسة تكاليف الإنتاج لإنتاج وحدة من نوع معين من المنتج. يترك:

س - تكاليف المواد،

ذ - تكاليف الدفع أجورموظفين،

ض - رسوم الاستهلاك.

ومن الواضح أن تكاليف الإنتاج تعتمد على قيم المعلمات المسماة x، y، z.

التعريف 1.1إذا كان لكل مجموعة من القيم "ن" المتغيرات

من بعض المجموعات D من هذه المجموعات تتوافق مع قيمتها الفريدة للمتغير z، فيقولون إن الدالة معطاة على المجموعة D

المتغيرات "ن".

تسمى المجموعة D المحددة في التعريف 1.1 بمجال التعريف أو مجال وجود هذه الوظيفة.

إذا تم النظر في دالة لمتغيرين، ثم جمع الأرقام

يتم الإشارة إليها، كقاعدة عامة، (x، y) ويتم تفسيرها كنقاط من مستوى إحداثيات أوكسي، ويتم تصوير مجال تعريف الدالة z = f (x، y) لمتغيرين كمجموعة معينة من النقاط على متن طائرة أوكسي.

لذلك، على سبيل المثال، مجال تعريف الوظيفة

هي مجموعة نقاط مستوى أوكسي التي تحقق إحداثياتها العلاقة

أي أنها دائرة نصف قطرها r ومركزها عند نقطة الأصل.

للوظيفة

مجال التعريف هو النقاط التي تحقق الشرط

أي خارجي بالنسبة لدائرة معينة.

في كثير من الأحيان يتم تحديد وظائف متغيرين ضمنيا، أي كمعادلة

ربط ثلاثة متغيرات. في هذه الحالة، كل من الكميات x، y، z يمكن اعتبارها دالة ضمنية للكميتين الأخريين.

الصورة الهندسية (الرسم البياني) لدالة متغيرين z = f (x، y) هي مجموعة من النقاط P (x، y، z) في الفضاء ثلاثي الأبعاد Oxyz، التي تلبي إحداثياتها المعادلة z = f (س، ص).

الرسم البياني لدالة الوسائط المستمرة، كقاعدة عامة، هو سطح معين في مساحة Oxyz، والذي يتم إسقاطه على مستوى الإحداثيات Oxy في مجال تعريف الوظيفة z= f (x، y).

لذلك، على سبيل المثال، (الشكل 1.1) الرسم البياني للوظيفة

هو النصف العلوي من الكرة، والرسم البياني للوظيفة

النصف السفلي من الكرة.

جدول وظيفة خطية z = ax + by + с هو مستوى في مساحة Oxyz، والرسم البياني للدالة z = const هو مستوى موازٍ للمستوى الإحداثي Oxyz.

لاحظ أنه من المستحيل تصوير دالة مكونة من ثلاثة متغيرات أو أكثر بشكل مرئي في شكل رسم بياني في مساحة ثلاثية الأبعاد.

فيما يلي، سنقتصر بشكل أساسي على النظر في وظائف متغيرين أو ثلاثة متغيرات، نظرًا لأن النظر في حالة عدد أكبر (ولكن محدود) من المتغيرات يتم تنفيذه بالمثل.

تعريف دالة لعدة متغيرات.

(المحاضرة 1)

يسمى المتغير u f(x,y,z,..,t) إذا كانت لأي مجموعة من القيم (x,y,z,..,t) قيمة محددة جيدًا للمتغير u مرتبطة.

تسمى مجموعة مجموعات قيمة المتغير مجال تعريف الدالة.

G - المجموعة (x,y,z,..,t) - مجال التعريف.

وظائف 2 المتغيرات.

يسمى المتغير z دالة مكونة من متغيرين f(x,y)، إذا كان لأي زوج من القيم (x,y) О G قيمة معينة للمتغير z مرتبطًا.

حد دالة من متغيرين.

دع الدالة z=f(x,y) تعطى، p(x,y) هي النقطة الحالية، p 0 (x 0 ,y 0) هي النقطة قيد النظر.

مواطنه.حي النقطة p 0 هو دائرة مركزها النقطة p 0 ونصف قطرها r. ص= Ö (س-س 0 ) 2 +(أوه 0 ) 2 Ø

ويسمى الرقم A حد الدالة | عند النقطة p 0 إذا كان موجودًا

بالنسبة لعدد صغير تعسفيًا e، يمكن تحديد رقم r (e)>0 بحيث بالنسبة لجميع قيم x وy، التي تكون المسافة من t إلى p0 أقل من r، فإن عدم المساواة التالية: ½f(x,y) - A½0، بنصف القطر r ، تختلف قيمة الدالة عن A بأقل من e في القيمة المطلقة. وهذا يعني أنه عندما تقترب النقطة p من النقطة p 0 أي شخصالمسار، فإن قيمة الدالة تقترب إلى ما لا نهاية من الرقم A.

استمرارية الوظيفة.

دع الدالة z=f(x,y) تعطى، p(x,y) هي النقطة الحالية، p 0 (x 0 ,y 0) هي النقطة قيد النظر.

مواطنه.تسمى الدالة z=f(x,y) مستمرة عند t p 0 إذا تم استيفاء ثلاثة شروط:

1) يتم تعريف الوظيفة في هذه المرحلة. و(ص 0) = و(س,ص);

2) f-i لديه حد عند هذه النقطة.

3) النهاية تساوي قيمة الدالة عند هذه النقطة: b = f(x 0 ,y 0);

ليم و (س، ص)= و(س 0 ، ذ 0 ) ;

صà ص 0

إذا تم انتهاك شرط واحد على الأقل من شروط الاستمرارية، فإن النقطة p تسمى نقطة انقطاع. بالنسبة للوظائف ذات المتغيرين، يمكن أن تكون هناك نقاط فاصل منفصلة وخطوط فاصل كاملة.

يتم تعريف مفهوم الحد والاستمرارية لوظائف عدد أكبر من المتغيرات بالمثل.

لا يمكن تصوير دالة مكونة من ثلاثة متغيرات بيانيا، على عكس دالة مكونة من متغيرين.

بالنسبة للدالة ذات 3 متغيرات، يمكن أن تكون هناك نقاط انقطاع وخطوط انقطاع وأسطح انقطاع.

مشتق جزئي.

لنعتبر أن الدالة z=f(x,y)، p(x,y) هي النقطة قيد النظر.

دعونا نعطي الوسيطة x الزيادة Dx؛ x+Dx، نحصل على النقطة p 1 (x+Dx,y)، نحسب الفرق بين قيم الدالة عند النقطة p:

D x z = f(p1)-f(p) = f(x+Dx,y) - f(x,y) - الزيادة الجزئية للدالة المقابلة لزيادة الوسيطة x.

مواطنه. يُطلق على حاصل مشتقة الدالة z=f(x,y) بالنسبة للمتغير x حد نسبة الزيادة الجزئية لهذه الدالة بالنسبة للمتغير x إلى هذه الزيادة عندما يميل الأخير إلى صفر.

¶ ض= ليم د س ض

à ¶ ض = ليم و(س+ د س،ص) - و(س،ص)

¶ س دس® 0 دس

وبالمثل، نحدد خارج قسمة المشتقة بالنسبة للمتغير y.

إيجاد المشتقات الجزئية.

عند تحديد المشتقات الجزئية، يتغير متغير واحد فقط في كل مرة، ويتم التعامل مع المتغيرات المتبقية على أنها ثوابت. ونتيجة لذلك، في كل مرة نعتبر فيها دالة ذات متغير واحد فقط ويتطابق المشتق الجزئي مع المشتق العادي لهذه الدالة من متغير واحد. ومن هنا قاعدة إيجاد المشتقات الجزئية: يتم البحث عن المشتقة الجزئية بالنسبة للمتغير قيد النظر باعتبارها المشتقة العادية لدالة هذا المتغير الواحد، ويتم التعامل مع المتغيرات المتبقية على أنها ثوابت. في هذه الحالة، جميع الصيغ للتمييز بين دالة متغير واحد (مشتق مجموع، منتج، حاصل القسمة) تبين أنها صالحة.

مفهوم وظيفة عدة متغيرات

إذا كانت كل نقطة X = (x 1, x 2, ... x n) من مجموعة (X) من النقاط ذات البعد n مرتبطة بقيمة واحدة محددة جيدًا للمتغير z، فإنهم يقولون إن المعطى وظيفة المتغيرات نض = و(س 1، × 2، ...x ن) = و (X).

في هذه الحالة، يتم استدعاء المتغيرات x 1، x 2، ... x n المتغيرات المستقلةأو الحججوظائف، ض - المتغير التابع، ويرمز الرمز f قانون المراسلات. تسمى المجموعة (X). مجال التعريفوظائف (هذه مجموعة فرعية معينة من الفضاء ذو ​​الأبعاد n).

على سبيل المثال، الدالة z = 1/(x 1 x 2) هي دالة مكونة من متغيرين. وسيطاته هي المتغيران x 1 وx 2، وz هو المتغير التابع. مجال التعريف هو المستوى الإحداثي بأكمله، باستثناء الخطوط المستقيمة x 1 = 0 و x 2 = 0، أي. بدون محاور x والإحداثيات. من خلال استبدال أي نقطة من مجال التعريف في الدالة، وفقًا لقانون المراسلات، نحصل على رقم معين. على سبيل المثال، أخذ النقطة (2؛ 5)، أي. × 1 = 2، × 2 = 5، نحصل على
ض = 1/(2*5) = 0.1 (أي ض(2; 5) = 0.1).

تسمى دالة من الشكل z = a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + a n x n + b، حيث a 1، a 2،...، و n، b أرقام ثابتة، تسمى خطي. ويمكن اعتباره مجموع n من الدوال الخطية للمتغيرات x 1، x 2، ... x n. يتم استدعاء كافة الوظائف الأخرى غير خطية.

على سبيل المثال، الدالة z = 1/(x 1 x 2) غير خطية، والدالة z =
= س 1 + 7س 2 - 5 – خطي.

يمكن ربط أي دالة z = f (X) = f(x 1, x 2, ... x n) بوظائف n لمتغير واحد إذا قمنا بإصلاح قيم جميع المتغيرات باستثناء واحد.

على سبيل المثال، يمكن ربط دوال ثلاثة متغيرات z = 1/(x 1 x 2 x 3) بثلاث دوال لمتغير واحد. إذا قمنا بإصلاح x 2 = a و x 3 = b، فإن الدالة ستأخذ الشكل z = 1/(abx 1); إذا ثبتنا x 1 = a و x 3 = b، فسوف يأخذ الشكل z = 1/(abx 2); إذا ثبتنا x 1 = a و x 2 = b، فستأخذ الصيغة z = 1/(abx 3). في في هذه الحالةجميع الوظائف الثلاث لها نفس الشكل. هذا ليس هو الحال دائما. على سبيل المثال، إذا قمنا بإصلاح دالة ذات متغيرين x 2 = a، فستأخذ الشكل z = 5x 1 a، أي. وظيفة الطاقة، وإذا ثبتنا x 1 = a فإنها تأخذ الصورة، أي: وظيفة الأسية.

جدولدالة لمتغيرين z = f(x, y) هي مجموعة النقاط في الفضاء ثلاثي الأبعاد (x, y, z)، حيث يرتبط تطبيق z بالإحداثي السيني x والإحداثي y بعلاقة وظيفية
ض = و (س، ص). يمثل هذا الرسم البياني بعض الأسطح في الفضاء ثلاثي الأبعاد (على سبيل المثال، كما في الشكل 5.3).

يمكن إثبات أنه إذا كانت الدالة خطية (أي z = ax + by + c)، فإن رسمها البياني يكون مستويًا في فضاء ثلاثي الأبعاد. أمثلة أخرى الرسوم البيانية ثلاثية الأبعاديوصى بالدراسة بشكل مستقل باستخدام كتاب كريمر المدرسي (الصفحات 405-406).

إذا كان هناك أكثر من متغيرين (متغيرات n)، إذن جدولالدالة عبارة عن مجموعة من النقاط في الفضاء البعدي (n+1) والتي يتم حساب الإحداثي x لها n+1 وفقًا لقانون وظيفي معين. يسمى هذا الرسم البياني سطح فائق(للدالة الخطية - طائرة مفرطة) ، كما أنه يمثل تجريدًا علميًا (من المستحيل تصويره).

الشكل 5.3 - رسم بياني لدالة متغيرين في الفضاء ثلاثي الأبعاد

سطح المستوىدالة ذات متغيرات n هي مجموعة من النقاط في الفضاء ذي الأبعاد n بحيث تكون قيمة الدالة في كل هذه النقاط هي نفسها وتساوي C. ويسمى الرقم C نفسه في هذه الحالة مستوى.

عادةً، لنفس الوظيفة، من الممكن إنشاء عدد لا نهائي من الأسطح المستوية (المقابلة لمستويات مختلفة).

لوظيفة اثنين سطح متغيرالمستوى يأخذ الشكل خطوط المستوى.

على سبيل المثال، ضع في اعتبارك z = 1/(x 1 x 2). لنأخذ C = 10، أي. 1/(× 1 × 2) = 10. ثم × 2 = 1/(10× 1)، أي. على المستوى، سيأخذ خط المستوى الشكل الموضح في الشكل 5.4 كخط متصل. بأخذ مستوى آخر، على سبيل المثال، C = 5، نحصل على خط المستوى على شكل رسم بياني للدالة x 2 = 1/(5x 1) (موضح بخط منقط في الشكل 5.4).

الشكل 5.4 - خطوط مستوى الوظيفة z = 1/(x 1 x 2)

دعونا ننظر إلى مثال آخر. دع ض = 2س 1 + س 2. لنأخذ C = 2، أي. 2x 1 + x 2 = 2. ثم x 2 = 2 - 2x 1، أي. على المستوى، سيأخذ خط المستوى شكل خط مستقيم، ممثلًا في الشكل 5.5 بخط متصل. بأخذ مستوى آخر، على سبيل المثال، C = 4، نحصل على خط مستوى على شكل خط مستقيم x 2 = 4 - 2x 1 (موضح بخط منقط في الشكل 5.5). يظهر خط المستوى لـ 2x 1 + x 2 = 3 في الشكل 5.5 كخط منقط.

من السهل التحقق من أنه بالنسبة لدالة خطية ذات متغيرين، فإن أي خط مستوى سيكون خطًا مستقيمًا على المستوى، وستكون جميع خطوط المستوى متوازية مع بعضها البعض.

الشكل 5.5 - خطوط مستوى الوظيفة z = 2x 1 + x 2

لقد قمنا حتى الآن بدراسة وظيفة متغير واحد، أي. دراسة المتغير الذي تعتمد قيمه على قيم متغير مستقل واحد.

من الناحية العملية، يتعين علينا في كثير من الأحيان التعامل مع الكميات التي تعتمد قيمها العددية على قيم عدة كميات تختلف بشكل مستقل عن بعضها البعض. دراسة هذه الكميات تؤدي إلى مفهوم دالة لعدة متغيرات. دعونا نعطي بعض الأمثلة.

مثال 1.مساحة المستطيل هي دالة لمتغيرين مختلفين بشكل مستقل - جوانب المستطيل و: .

مثال 2.يعتمد عمل التيار الكهربائي على قسم من الدائرة الكهربية على فرق الجهد في نهايات القسم وقوة التيار وزمنه:.

مثال 3.درجة الحرارة، التي يتم قياسها في نقاط مختلفة من جسم معين، هي دالة لإحداثيات النقطة التي يتم قياسها عندها، ولللحظة الزمنية:.

التعريف 1.دعنا نتصل ن -نقطة القياس مجموعة مرتبة من الأرقام يتم استدعاء الأرقام الإحداثيات - نقطة الأبعاد. دعونا نسمي مجموعة جميع النقاط ذات الأبعاد الممكنة الفضاء ذو ​​الأبعاد n وسوف نشير إليه . دعونا نسمي هذه النقطة أصل في الفضاء الأبعاد، والعدد هو البعد فضاء.

حالات خاصة:

1. - خط الأعداد؛

2. - الطائرة؛

3.- الفضاء ثلاثي الأبعاد.

التعريف 2.ولتكن هناك كميات متغيرة، وكل مجموعة من قيمها من مجموعة معينة تقابل قيمة واحدة محددة جيدا للمتغير. ثم يقولون أنه يعطى وظيفة العديد من المتغيرات

تسمى المتغيرات المتغيرات المستقلة أو الحجج , – المتغير التابع ، رمز - قانون المراسلات .

تمامًا مثل دالة لمتغير واحد، يمكن تحديد دالة لعدة متغيرات بوضوح - و ضمنا – .

يمكن تمثيل أي دالة صريحة لعدة متغيرات كدالة لنقطة في الفضاء ذي الأبعاد: حيث يتم تعريف النقطة من خلال مجموعة من إحداثياتها.

إذا كانت كل نقطة في مجال التعريف تقابل قيمة واحدة، يتم استدعاء الدالة لا لبس فيه ، خلاف ذلك - متعدد الأقدام .

المجموعة تسمى مجال الوظيفة ، إنها مجموعة فرعية من الفضاء ذو ​​الأبعاد. مماثلة لمنطقة الفجوة يمكن أن يكون مغلق أو حول يفتح اعتمادًا على ما إذا كانت تحتوي على حدود خاصة بها أم لا.

المجال الطبيعي للتعريفالدالة (1) هي مجموعة النقاط التي توفر إحداثياتها بشكل فريد قيمًا حقيقية ومحدودة للدالة. فيما يلي، إذا لم يتم فرض قيود إضافية على التغيير في المتغيرات المستقلة من خلال بيان المشكلة، فإننا نعني بمجال تعريف الوظيفة مجال تعريفها الطبيعي.

دعونا نفكر بمزيد من التفصيل في حالتين خاصتين، وهما الأبسط وتسمحان بتفسير هندسي.

1. وظيفة متغيرين ( ن = 2)

سوف نشير إلى دالة لمتغيرين بواسطة . تتم كتابة القيمة الجزئية للدالة عند أو عند نقطة ما في النموذج أو أو.

مجال الدالة هو مجموعة فرعية من النقاط على المستوى الإحداثي. على وجه الخصوص، يمكن أن يكون مجال تعريف الدالة هو المستوى بأكمله أو جزء من المستوى المحدد بخطوط. سيتم استدعاء الخط الذي يحد هذه المنطقة حدود المناطق. سيتم تسمية نقاط المستوى التي لا تقع على الحدود داخلي .

مثال 4.يتم تعريف الوظيفة على المستوى بأكمله.

مثال 5.يتم تعريف الدالة على المستوى بأكمله، باستثناء الخط المستقيم.

مثال 6.مجال تعريف الدالة هو مجموعة نقاط المستوى التي تحقق إحداثياتها العلاقة، أي. دائرة نصف قطرها 1 ومركزها نقطة الأصل. مجال تعريف هذه الوظيفة مغلق.

دعونا ننظر إلى المثال التالي بمزيد من التفصيل.

مثال 7.أوجد مجال الدالة.

حل.

يتم تعريف اللوغاريتم فقط عندما تكون الوسيطة موجبة، لذلك هناك شرط واحد للوسيطات: .

لتصوير المنطقة هندسيا، نجد أولا حدودها: . تحدد المعادلة الناتجة القطع المكافئ الذي يقع رأسه عند النقطة ويتم توجيه المحور نحو الجانب الموجب للمحور.

أرز. 1.1

يقسم القطع المكافئ المستوى بأكمله إلى قسمين - داخلي وخارجي بالنسبة للقطع المكافئ. بالنسبة لنقاط أحد هذه الأجزاء، يتم تحقيق عدم المساواة، والآخر (على القطع المكافئ نفسه). لتحديد أي من هذين الجزأين هو نطاق وظيفة معينة، أي. يفي بالشرط، يكفي التحقق من هذا الشرط لأي نقطة لا تقع على القطع المكافئ. على سبيل المثال، أصل الإحداثيات يقع داخل القطع المكافئ ويحقق الشرط المطلوب.

وبالتالي، فإن المنطقة المطلوبة تتكون من النقاط الداخلية للقطع المكافئ. القطع المكافئ نفسه غير متضمن في المنطقة، مما يعني أن المنطقة مفتوحة.

التعريف 3. الحيالنقطة هي أي دائرة مفتوحة تحتوي على نقطة.

على وجه الخصوص، الحي عبارة عن دائرة مفتوحة مركزها عند نقطة ونصف قطرها.

من الواضح أن الدائرة الموجودة على المستوى هي تماثل ثنائي الأبعاد لفترة تقع على خط مستقيم.

عند دراسة وظائف العديد من المتغيرات، يتم استخدام الجهاز الرياضي الذي تم تطويره بالفعل لوظائف متغير واحد إلى حد كبير. وهي: يمكن ربط أي دالة بزوج من الدوال لمتغير واحد: بالنسبة لقيمة ثابتة، دالة، وبالنسبة لقيمة ثابتة، دالة.

يجب أن يؤخذ في الاعتبار أنه على الرغم من أن الوظائف لها نفس "الأصل"، إلا أن مظهرها قد يختلف بشكل كبير.

مثال 9.دعونا نفكر في الوظيفة. عندما تكون الدالة قوة، وعندما تكون الدالة أسية.

التمثيل الهندسي لدالة لمتغيرين.

كما هو معروف، يمكن تصوير دالة لمتغير واحد بواسطة منحنى ما على المستوى، إذا اعتبرنا قيم حجتها كحروف محورية، وقيم الدالة كإحداثيات النقاط على المنحنى.

وبالمثل، يمكن تصوير دالة لمتغيرين بيانيا.

خذ بعين الاعتبار دالة محددة في منطقة على مستوى ونظام من الإحداثيات الديكارتية المستطيلة. نربط بكل نقطة من المجموعة نقطة في الفضاء يكون تطبيقها مساويًا لقيمة الدالة عند النقطة: . تمثل مجموعة كل هذه النقاط سطحًا معينًا، وهو أمر طبيعي صورة بيانيةوظائف

التعريف 4. رسم بياني لوظيفة متغيرينهي مجموعة من النقاط في فضاء ثلاثي الأبعاد يرتبط تطبيقها بالإحداثي الإحداثي وينسقها بعلاقة وظيفية.

أرز. 1.2.

وبالتالي، فإن الرسم البياني لدالة من متغيرين هو سطح، المسقطة على المستوى في مجال تعريف الوظيفة. كل عمودي على المستوى يتقاطع مع السطح عند نقطة واحدة على الأكثر.

2. وظيفة ثلاثة متغيرات (ن = 3)

سنشير إلى دالة مكونة من ثلاثة متغيرات، وسنفترض أنها متغيرات مستقلة (أو وسائط)، ومتغير تابع (أو دالة).

مجال التعريفتسمى هذه الوظيفة مجموعة جميع الأرقام الثلاثية المعتبرة. إذا تم تحديد الوظيفة تحليليا، ضمن مجال تعريفها الطبيعي تتضمن مجموعة جميع الأعداد الثلاثية التي تأخذ الدالة قيمًا حقيقية لها.

التعريف 6. الحيالنقطة هي أي مجال مفتوح يحتوي على نقطة.

على وجه الخصوص، الحي هو مجال مفتوح له مركز عند نقطة ونصف قطر.

بتمثيل ثلاثيات الأعداد كنقاط في الفضاء، يمكننا اعتبار دالة ثلاثة متغيرات دالة لنقطة في الفضاء، ومجال تعريف دالة ثلاثة متغيرات كمجموعة معينة من النقاط في الفضاء.