V. حساب التفاضل

وظائف المتغيرات المتعددة

مفهوم دالة من عدة متغيرات

تمت مناقشة وظيفة متغير مستقل واحد في وقت سابق. ومع ذلك ، لحل مشاكل عملية محددة ، يواجه الباحث ، بشكل عام ، مثل هذه الظواهر التي تعتمد على عدة متغيرات مستقلة في وقت واحد. كأكثر أمثلة بسيطةقد يؤدي هذا إلى الحاجة إلى حساب مساحة المستطيل أو حجم خط الموازي. في الواقع ، يتم تحديد مساحة المستطيل بكميتين مستقلتين - أطوال جانبي المستطيل و:

يتم تحديد حجم خط الموازي بالفعل من خلال ثلاث كميات مستقلة - أطوال حوافه ،،:

يمكن أيضًا الاستشهاد بأمثلة أكثر تعقيدًا. بمعنى آخر ، يمكن أن يكون عدد المتغيرات المستقلة أي شيء. في هذه الحالات ، يقولون إن القيمة المطلوبة هي دالة من متغيرين أو ثلاثة أو أكثر.

غالبًا ما يحاولون استبعاد المتغيرات الثانوية وترك واحد فقط ، المتغير الرئيسي ، أي أنهم يحاولون الحصول على وظيفة متغير واحد. لكن هذا ليس ممكن دائما. غالبًا ما ينتج عن تبسيط التعبير دالة من متغيرين أو ثلاثة متغيرات. تجدر الإشارة على الفور إلى أن دراسة وظائف العديد من المتغيرات لها طرق متشابهة. لذلك ، من أجل التبسيط ، سوف ندرس وظائف متغيرين ، وإذا لزم الأمر ، سنعمم النتائج التي تم الحصول عليها على حالة تعسفية.

في حالة وجود متغير واحد ، كانت الوظيفة عبارة عن عامل يتم تعيينه لكل عنصر من المجموعة وعنصر واحد فقط من المجموعة.

كيف يتم تحديد وسيطة دالة لمتغيرين؟ نظرًا لأننا ندرس وظائف الحجج الحقيقية ، فإن قيمة هذه الوظيفة تعتمد على زوج من رقمين حقيقيين. من وجهة نظر نظرية المجموعات ، هذا ليس أكثر من نتاج مجموعتين ، والتي تنتمي إليها المتغيرات.

التعريف 5.1.1 . لنفترض ، إذن ، أن المنتج يعطي مجموعة جديدة ، يحتوي كل عنصر منها على زوج من الأرقام.

من التعريف 5.1.1 ، يترتب على ذلك معرفة مجموعة القيم والوظائف لمتغيرين ، يمكن للمرء أن يجد مجال تعريفه. من الواضح أن هذه ستكون جميع التوليفات الممكنة لـ و.

حاصل ضرب مجموعتين من الأعداد الحقيقية ويشكل مجموعة في الفضاء. التمثيل الرسومي لهذا العمل هو مستوى أو جزء من هذا المستوى.

التعريف 5.1.2 . دالة متغيرين هي النسبة التي تعين رقمًا واحدًا ورقمًا واحدًا فقط لكل زوج من الأرقام.

إذا كانت هناك دالة للمتغيرات ، فسيكون مجالها هو المساحة أو جزء منها. لم يعد مثل هذا العدد الكبير يمكن تمثيله بيانياً.

يمكن تمثيل وظائف متغيرين ، بالإضافة إلى وظائف متغير واحد ، باستخدام جدول أو رسم بياني أو تعبير تحليلي. الطريقة الجدولية هي الأقل ملاءمة ، ومع ذلك ، عند تحديد قيمة الوظيفة بشكل تجريبي ، قد تكون الطريقة الوحيدة. تكون المهمة الرسومية والتحليلية للوظيفة أكثر إفادة. علاوة على ذلك ، فإن الطريقة الأخيرة هي الأكثر ملاءمة ، لأنها تتيح إجراء دراسة كاملة لهذا المفهوم.

للحصول على تمثيل رسومي لوظيفة من متغيرين ، يتم رسم نظام إحداثيات ثلاثي الأبعاد ، على سبيل المثال ، نظام ديكارتي مستطيل الشكل. يتم عرض منطقة تعريف الوظيفة المحددة على المستوى. في كل نقطة من مجال التعريف ، يتم استعادة عمودي ، بطول يساوي قيمة الوظيفة في هذه المرحلة. بدمج جميع النقاط التي تم الحصول عليها ، نحصل على سطح معين (الشكل 5.1.1). وبالتالي ، فإن دالة المتغيرين هي السطح ، بيانياً. لعرض وظائف لعدد أكبر من المتغيرات ، لم تعد الطريقة الرسومية قابلة للتطبيق.

عندما يتم تحديد دالة لمتغيرين تحليليًا ، يتم كتابة صيغة ، بمساعدة قيمة الوظيفة التي يتم العثور عليها من القيم المعطاة للمتغيرات المستقلة. لا تؤدي زيادة عدد المتغيرات في الإعداد التحليلي للوظيفة إلى حدوث مشكلات ( ).

عند دراسة دالة لمتغيرين أو أكثر ، تظهر نفس المفاهيم بالنسبة لدالة متغير واحد: الحد ، والاستمرارية ، والزيادات ، والمشتقة.

دعونا نفكر أولاً في أقسام السطح بواسطة الطائرات و (الشكل 5.1.2).

نظرًا لأنه ثابت على الخط ، فإنه يتغير اعتمادًا على التغيير فقط. إذا قمت بتعيين زيادة في نقطة ما ، فستكون هناك حركة إلى هذه النقطة ... سيكون الفرق بين الطلبات في هذه النقاط مساويًا للتغيير في قيمة الوظيفة ، والتي لن تعتمد على المتغير.

وهكذا ، بإعطاء زيادة ، نحصل على زيادة تسمى زيادة جزئية بواسطة والمشار إليها .

يتم تحديد الزيادة الجزئية بواسطة: بطريقة مماثلة.

من خلال إعطاء زيادات في المتغيرات في وقت واحد ، ونحصل على الزيادة الكاملة للدالة:. يجب أن يؤخذ في الاعتبار أن .

دعونا الآن نقدم مفهوم الجوار لنقطة على متن الطائرة.

التعريف 5.1.3 . -جوار النقطة ذات نصف القطر هي مجموعة جميع النقاط التي تحقق المتباينة ، أو بعبارة أخرى ، مجموعة جميع النقاط التي تقع داخل دائرة نصف قطرها متمركزة عند نقطة (الشكل 5.1.3).

بناءً على تعريف الحي ، يمكن تقديم مفهوم حد دالة من متغيرين. دع الوظيفة تحدد في بعض المناطق (الشكل 5.1.3). لنأخذ نقطة في هذه المنطقة. الى حد، الى درجة؛

3) يعرف في جميع النقاط ولكن .

) لقد واجهنا بالفعل بشكل متكرر مشتقات جزئية لوظائف معقدة مثل أمثلة أكثر صعوبة. إذن ماذا يمكنك أن تقول عنه ؟! ... وكل شيء يشبه الحياة تمامًا - لا يوجد مثل هذا التعقيد الذي لا يمكن أن يكون معقدًا =) لكن الرياضيات - هذا هو الغرض من الرياضيات ، لتلائم تنوع عالمنا في إطارات صارمة. وأحيانًا يمكن إجراؤها في جملة واحدة:

في الحالة العامة ، يكون للدالة المعقدة الشكل ، أين، واحد على الأقلمن الحروف وظيفةوالتي قد تعتمد على افتراضىعدد المتغيرات.

الخيار الأصغر والأبسط هو دالة معقدة مألوفة منذ زمن طويل لمتغير واحد ، مشتقهاتعلمنا أن نجد في الفصل الدراسي الماضي. لديك أيضًا المهارات اللازمة للتمييز بين الوظائف. (ألق نظرة على نفس الوظائف ) .

وبالتالي ، الآن سنكون مهتمين بالقضية فقط. نظرًا للتنوع الكبير في الوظائف المعقدة ، فإن الصيغ العامة لمشتقاتها لها شكل مرهق للغاية وسوء الاستيعاب. في هذا الصدد ، سأقتصر على أمثلة محددة ، يمكنك من خلالها فهم المبدأ العام لإيجاد هذه المشتقات:

مثال 1

يتم إعطاء دالة معقدة ، حيث ... مطلوب:
1) ابحث عن مشتقها واكتب التفاضل الإجمالي من الرتبة الأولى ؛
2) احسب قيمة المشتق عند.

حل: أولاً ، دعنا نتعامل مع الوظيفة نفسها. نقدم لنا وظيفة تعتمد على و ، والتي بدورها هي وظائفمتغير واحد:

ثانيًا ، دعنا نولي اهتمامًا وثيقًا للمهمة نفسها - نحن مطالبون بالعثور عليها المشتقأي أننا لا نتحدث عن المشتقات الجزئية التي تعودنا على إيجادها! منذ الوظيفة يعتمد في الواقع على متغير واحد فقط ، ثم تعني كلمة "مشتق" المشتق الكامل... كيف تجدها؟

أول ما يتبادر إلى الذهن هو الاستبدال المباشر والمزيد من التفاضل. استبدل في وظيفة:
وبعد ذلك لا توجد مشاكل مع المشتق المطلوب:

وبناءً عليه ، فإن الفارق الكامل:

هذا الحل صحيح رياضيًا ، ولكن هناك فارق بسيط يتمثل في أنه عند صياغة المشكلة كما هي ، لا يتوقع أحد منك مثل هذه البربرية =) ولكن بجدية ، يمكنك حقًا العثور على خطأ هنا. تخيل أن الوظيفة تصف طيران النحلة ، وتتغير الوظائف المتداخلة اعتمادًا على درجة الحرارة. عن طريق إجراء تبديل للأمام ، نحصل عليه فقط معلومات خاصة، الذي يميز الرحلة ، على سبيل المثال ، فقط في الطقس الحار. علاوة على ذلك ، إذا تم تقديم نتيجة جاهزة لشخص ليس على دراية بالنحل الطنان وحتى ذكر نوع الوظيفة ، فلن يتعلم أبدًا أي شيء عن القانون الأساسي للطيران!

لذلك ، وبشكل غير متوقع ، ساعد شقيقنا الصاخب في إدراك معنى وأهمية الصيغة العالمية:

تعتاد على تسميات المشتقات "ذات طابقين" - يتم استخدامها في هذه المهمة. في هذه الحالة ، يجب أن يكون المرء أنيق جدافي التدوين: المشتقات ذات العلامات المباشرة "de" هي المشتقات الكاملةوالمشتقات ذات الرموز المستديرة هي المشتقات الجزئية... لنبدأ بالأخير:

حسنًا ، مع "ذيول" بشكل عام ، كل شيء أساسي:

دعنا نعوض بالمشتقات التي تم العثور عليها في صيغتنا:

عندما يتم اقتراح وظيفة في البداية بطريقة معقدة ، سيكون ذلك منطقيًا (وهذا موضح أعلاه!)اترك النتائج بنفس الشكل:

في الوقت نفسه ، من الأفضل الامتناع حتى عن الحد الأدنى من التبسيط في الإجابات "الفاخرة". (هنا ، على سبيل المثال ، يقترح نفسه لإزالة 3 سلبيات)- ولديك عمل أقل ، ويسعد صديق فروي أن يراجع المهمة بسهولة.

ومع ذلك ، فإن الفحص التقريبي لن يكون غير ضروري. استبدل في المشتق الموجود وبسّط:


(في الخطوة الأخيرة التي استخدمناها الصيغ المثلثية , )

نتيجة لذلك ، تم الحصول على نفس النتيجة كما هو الحال مع طريقة الحل "البربرية".

دعنا نحسب المشتق عند النقطة. أولاً ، من الملائم معرفة قيم "العبور" (قيم دالة ) :

نقوم الآن بإعداد الحسابات النهائية ، والتي في هذه الحالة يمكن إجراؤها بطرق مختلفة. أستخدم أسلوبًا مثيرًا للاهتمام حيث لا يتم تبسيط "الطابقين" الثالث والرابع وفقًا للقواعد المعتادة ، ولكن يتم تحويلهما إلى حاصل قسمة رقمين:

وبالطبع ، من الخطيئة عدم التحقق من سجل أكثر إحكاما. :

إجابة:

يحدث أن يتم اقتراح المشكلة بشكل "شبه عام":

"أوجد مشتق الوظيفة ، أين »

أي أن الوظيفة "الرئيسية" غير معطاة ، لكن "إدخالاتها" محددة تمامًا. يجب أن تعطى الإجابة بنفس الأسلوب:

علاوة على ذلك ، يمكن تشفير الشرط قليلاً:

"العثور على مشتق من وظيفة »

في هذه الحالة ، أنت بحاجة على المرءتشير إلى وظائف متداخلة مع بعض الأحرف المناسبة ، على سبيل المثال ، من خلال واستخدم نفس الصيغة:

بالمناسبة ، حول تسميات الحروف. لقد حثثت مرارًا وتكرارًا على عدم "التشبث بالحروف" كشرط نجاة ، والآن هذا مهم بشكل خاص! عند تحليل المصادر المختلفة حول هذا الموضوع ، كان لدي انطباع بشكل عام بأن المؤلفين "أصبحوا جامحين" وبدأوا في إلقاء الطلاب بلا رحمة في هاوية الرياضيات العاصفة =) لذا سامح :))

مثال 2

أوجد مشتق دالة ، لو

يجب ألا تكون التسميات الأخرى محيرة! في كل مرة تواجه مهمة مثل هذه ، تحتاج إلى الإجابة عن سؤالين بسيطين:

1) ما الذي تعتمد عليه الوظيفة "الرئيسية"؟في هذه الحالة ، تعتمد الدالة "z" على وظيفتين ("y" و "ve").

2) ما هي المتغيرات التي تعتمد عليها الوظائف المتداخلة؟في هذه الحالة ، يعتمد كلا "الإدخالين" على علامة "x" فقط.

وبالتالي ، لن تواجه صعوبة في تكييف الصيغة مع هذه المهمة!

حل قصير وإجابة في نهاية البرنامج التعليمي.

يمكن العثور على أمثلة إضافية للنوع الأول في كتاب مشكلة ريابوشكو (IDZ 10.1)حسنًا ، نحن نتجه إليه دالة من ثلاثة متغيرات:

مثال 3

يتم إعطاء وظيفة حيث.
احسب المشتق عند نقطة

صيغة مشتق دالة معقدة ، كما يعتقد كثير من الناس ، لها شكل مرتبط:

قرر ، بمجرد أن تفكر فيه =)

فقط في حالة حدوث ذلك ، سأقدم صيغة عامة للوظيفة:
، على الرغم من أنه من غير المحتمل عمليًا أن تصادف أي شيء أطول من المثال 3.

بالإضافة إلى ذلك ، في بعض الأحيان يكون من الضروري التمييز بين خيار "التجريد لأسفل" - كقاعدة عامة ، وظيفة في النموذج أيضًا. أترك هذا السؤال لك للدراسة بمفردك - ابتكر بعض الأمثلة البسيطة ، فكر ، جرب واشتق الصيغ المختصرة للمشتقات.

إذا لم يساء فهم شيء ما ، يرجى إعادة قراءة الجزء الأول من الدرس وفهمه ببطء ، حيث ستصبح المهمة الآن أكثر صعوبة:

مثال 4

أوجد المشتقات الجزئية لدالة معقدة ، أين

حل: هذه الوظيفة لها الشكل ، وبعد الاستبدال المباشر نحصل على الوظيفة المعتادة لمتغيرين:

لكن هذا الخوف ليس شيئًا غير مقبول ، لكنه لم يعد يريد التفريق =) لذلك ، سوف نستخدم الصيغ الجاهزة. لمساعدتك على فهم النمط بشكل أسرع ، سأدون بعض الملاحظات:

انظر بعناية من أعلى إلى أسفل ومن اليسار إلى اليمين….

أولاً ، لنجد المشتقات الجزئية للدالة "main":

الآن نجد مشتقات "x" من "إدراج":

واكتب مشتق "x" النهائي:

وبالمثل مع "اللعبة":

و

يمكنك أيضًا التمسك بأسلوب آخر - ابحث عن كل "ذيول" مرة واحدة ثم اكتب كلا المشتقتين.

إجابة:

حول الاستبدال بطريقة ما لا أعتقد ذلك على الإطلاق =) =) ، ولكن يمكنك تمشيط النتائج قليلاً. على الرغم من ذلك ، مرة أخرى ، لماذا؟ - فقط قم بتعقيد الاختبار للمعلم.

إذا لزم الأمر ، إذن تفاضل كاملهنا مكتوب وفقًا للصيغة المعتادة ، وبالمناسبة ، فقط في هذه الخطوة ، تصبح مستحضرات التجميل الخفيفة مناسبة:


لذا ...... نعش على عجلات.

نظرًا لشعبية النوع المدروس من الوظائف المعقدة ، هناك مهمتان لحل مستقل. مثال أبسط بصيغة "شبه عامة" - لفهم الصيغة نفسها ؛-):

مثال 5

أوجد المشتقات الجزئية للدالة ، أين

وأكثر صعوبة - مع اتصال تقنية التمايز:

مثال 6

أوجد التفاضل الكلي للدالة ، أين

لا ، أنا لا أحاول "إرسالك إلى القاع" على الإطلاق - كل الأمثلة مأخوذة من أعمال حقيقية ، و "في أعالي البحار" قد تصادف أي أحرف تريدها. في أي حال ، تحتاج إلى تحليل الوظيفة (عن طريق الإجابة على سؤالين - انظر أعلاه)، قدمه بشكل عام وقم بتعديل صيغ المشتقات الجزئية بعناية. ربما ستشعر الآن بالارتباك قليلاً ، لكنك ستفهم مبدأ بنائها! لأن المهام الحقيقية بدأت للتو :)))

مثال 7

أوجد المشتقات الجزئية وكوّن التفاضل الكلي لدالة معقدة
، أين

حل: الوظيفة "main" لها الشكل ولا تزال تعتمد على متغيرين - "x" و "game". ولكن بالمقارنة مع المثال 4 ، تمت إضافة دالة متداخلة أخرى ، وبالتالي يتم أيضًا إطالة الصيغ التفاضلية الجزئية. كما في هذا المثال ، من أجل تصور أفضل للنمط ، سأبرز المشتقات الجزئية "الرئيسية" بألوان مختلفة:

ومرة أخرى - ادرس بعناية الإدخال من أعلى إلى أسفل ومن اليسار إلى اليمين.

نظرًا لأن المشكلة تمت صياغتها في شكل "شبه عام" ، فإن جميع أعمالنا تقتصر أساسًا على إيجاد المشتقات الجزئية للوظائف المضمنة:

سوف يتعامل الصف الأول مع:

وحتى التفاضل الكامل اتضح أنه لطيف للغاية:

لم أبدأ عمدًا في تقديم أي وظيفة محددة لك - حتى لا تتداخل الأكوام غير الضرورية مع الفهم الجيد لمفهوم المشكلة.

إجابة:

في كثير من الأحيان يمكنك العثور على مرفقات "مختلفة الحجم" ، على سبيل المثال:

هنا الوظيفة "الرئيسية" ، على الرغم من أنها تتخذ الشكل ، لا تزال تعتمد على كل من "x" و "game". وبالتالي ، فإن نفس الصيغ تعمل - فقط بعض المشتقات الجزئية ستساوي صفرًا. علاوة على ذلك ، هذا صحيح أيضًا لوظائف مثل ، حيث يعتمد كل "إدراج" على متغير واحد.

يحدث موقف مشابه في المثالين الأخيرين من الدرس:

المثال 8

أوجد التفاضل الكلي لدالة مركبة عند نقطة

حل: تمت صياغة الشرط بطريقة "الميزانية" ، وعلينا تعيين الوظائف المتداخلة بأنفسنا. ليس خيارًا سيئًا في رأيي:

تحتوي "الإدخالات" على ( الانتباه!) ثلاثة أحرف هي "X-Y-Y-Z" القديمة الجيدة ، مما يعني أن الوظيفة "الرئيسية" تعتمد في الواقع على ثلاثة متغيرات. يمكن إعادة كتابتها رسميًا في النموذج ، ويتم تحديد المشتقات الجزئية في هذه الحالة بالصيغ التالية:

نحن نتفحص ، نخترق ، نلتقط….

في مهمتنا:

المحاضرة 1 نظرية الدوال ذات المتغيرين والمتغيرات المتعددة (TFNP). 1. مفهوم FNP. 2. حد FNP. 3. استمرارية FNP. 4. المشتقات الجزئية من الدرجة الأولى. 5. مشتق دالة معقدة. 6. مشتق دالة ضمنية. 7. مشتقات الرتبة الأعلى.

1. مفهوم FNP. دع المجموعة D تكون مجالًا على المستوى. تعريف. إذا تم تعيين رقم ، فإنهم يقولون أن دالة رقمية D معطاة في المجموعة D - مجال الوظيفة.

إذا كانت نقطة ما ، فسيتم تعيين العرض من خلال إحداثيات ، دالة من متغيرين. سيكون الرسم البياني لهذه الوظيفة عبارة عن مجموعة من النقاط ذات الإحداثيات x ، y ، z - سطح في الفضاء.

التفسير الهندسي لـ f (x، y). D - جزء من المستوى 0 XY z D - إسقاط الرسم البياني للدالة f (x، y) على المستوى 0 XY z f О x D x y y الرسم البياني للدالة هو سطح في الفضاء.

2. حد دالة من متغيرين. دع النقطة تسمى مجموعة النقاط هكذا - جوار النقطة

تعريف. دعنا نشير إذا كانت النقطة P تسمى النقطة الداخلية للمجموعة D. التعريف. إذا كانت جميع نقاط D داخلية لهذه المجموعة ، فسيتم تسميتها مفتوحة. تعريف. أي مجموعة مفتوحة تحتوي على نقطة تسمى جوارها.

تعريف. تسمى مجموعة أي نقطتين يمكن توصيلهما من خلال منحنى مستمر في هذه المجموعة متصلة. تعريف. المجموعة المتصلة المفتوحة تسمى المنطقة.

دع وظيفة جوار نقطة ما يتم تحديدها في بعض (ليس بالضرورة عند النقطة نفسها. يسمى الرقم أ حد الوظيفة لأنه يميل إذا

تعيين. تعليق. يمكن أن يحدث الطموح وفقًا لأي قانون واتجاه ، بينما توجد جميع القيم المحددة وتساوي أ.

مثال. ضع في اعتبارك الوظيفة ضع في اعتبارك أن الطموح يمر عبر m (0 ، 0): على طول الخطوط المستقيمة ، تعتمد قيمة A على كيفية القيام بذلك.

3. استمرارية FNP. يتم استدعاء دالة متصلة عند نقطة ما إذا تم انتهاك شرط واحد على الأقل من الشروط 1 - 3 ، فعندئذ تكون نقطة انقطاع.

يمكن عزل نقاط الكسر ، وتشكيل خطوط تمزق ، وتمزق الأسطح. مثال. أ) نقطة الانقطاع - (معزولة) ب) - خط الفاصل

تعريف. يسمى الاختلاف الزيادة الإجمالية للدالة. تعريف. تسمى الحدود بالمشتقات الجزئية للدالة (بشرط أن تكون موجودة).

تتوافق قواعد حساب المشتقات الجزئية لـ FNP مع القواعد المقابلة لوظيفة ذات متغير واحد. تعليق. عند حساب مشتق FNP فيما يتعلق بأحد المتغيرات ، تعتبر جميع المتغيرات الأخرى ثوابت. مثال.

تعريف. يُطلق على الجزء الرئيسي (الخطي) من الزيادة الإجمالية لوظيفة ما عند نقطة ما الفرق الكلي للوظيفة في تلك النقطة.

5. مشتق دالة معقدة. ضع في اعتبارك دالة حيث ، على سبيل المثال ، z هي دالة معقدة x ، y. يتم حساب المشتقات الجزئية لدالة معقدة فيما يتعلق بالمتغيرات x و y على النحو التالي: (كما في حالة دالة معقدة لمتغير واحد).

المشتق الكلي أ) حيث ، أي ، z هي دالة معقدة لوسيطة واحدة t. ثم هو المشتق الكلي للدالة بالنسبة إلى السعة t.

(محاضرة 1)

دوال من متغيرين.

يسمى المتغير z دالة من متغيرين f (x ، y) إذا ارتبطت قيمة معينة من المتغير z لأي زوج من القيم (x ، y) G.

ديف.يُطلق على المنطقة المجاورة للنقطة p 0 دائرة مركزها عند النقطة p 0 ونصف قطرها. = (x-x 0 ) 2 + (أوه 0 ) 2

رقم صغير بشكل تعسفي ، يمكنك تحديد رقم ()> 0 بحيث بالنسبة لجميع قيم x و y التي تكون المسافة من m. p إلى p0 فيها أقل ، تظل المتباينة التالية صحيحة: f (x، y) A ، بمعنى آخر بالنسبة لجميع النقاط p ، التي تقع بالقرب من النقطة p 0 ، مع نصف القطر ، تختلف قيمة الوظيفة عن A بأقل من القيمة المطلقة. وهذا يعني أنه عندما تقترب النقطة p من النقطة p 0 على طول أي

استمرارية الوظيفة.

دع الدالة z = f (x ، y) معطاة ، p (x ، y) هي النقطة الحالية ، p 0 (x 0 ، y 0) هي النقطة قيد الدراسة.

ديف.

3) الحد يساوي قيمة الوظيفة في هذه المرحلة: = f (x 0، y 0) ؛

ليم و (س ، ص) = و (س 0 ، ذ 0 );

ص 0

اشتقاق جزئي.

لنجعل السعة x زيادة في x ؛ x + x ، نحصل على النقطة p 1 (x + x ، y) ، نحسب الفرق بين قيم الدالة عند النقطة p:

x z = f (p1) -f (p) = f (x + x، y) - f (x، y) هي الزيادة الجزئية للدالة المقابلة لزيادة الوسيطة x.

ض= ليم x ض

ض = ليم و (س + س ، ص) - و (س ، ص)

X x0 X

تحديد دالة لعدة متغيرات

عند التفكير في العديد من الأسئلة من مختلف مجالات المعرفة ، يتعين على المرء أن يدرس هذه العلاقات بين المتغيرات عندما يتم تحديد القيم العددية لأحدها تمامًا من خلال قيم العديد من المتغيرات الأخرى.

على سبيل المثالعند دراسة الحالة الفيزيائية للجسم ، يجب على المرء أن يلاحظ التغيير في خصائصه من نقطة إلى أخرى. يتم تحديد كل نقطة من نقاط الجسم بثلاثة إحداثيات: x ، y ، z. لذلك ، بدراسة توزيع الكثافة على سبيل المثال ، نستنتج أن كثافة الجسم تعتمد على ثلاثة متغيرات: x ، y ، z. إذا تغيرت الحالة المادية للجسم أيضًا بمرور الوقت t ، فإن نفس الكثافة ستعتمد على قيم أربعة متغيرات: x ، y ، z ، t.

مثال آخر: يتم دراسة تكلفة الإنتاج لتصنيع وحدة من نوع معين من المنتجات. اسمحوا ان:

x هي تكلفة المواد ،

ذ - تكاليف السداد أجورالموظفين،

ض - رسوم الاستهلاك.

من الواضح أن تكاليف الإنتاج تعتمد على قيم المعلمات المسماة x ، y ، z.

التعريف 1.1إذا كانت كل مجموعة من قيم المتغيرات "n"

من بعض المجموعات D من هذه المجموعات تتوافق مع قيمتها الفريدة مع المتغير z ، ثم يقولون أن المجموعة D تُعطى وظيفة

متغيرات "n".

المجموعة D المشار إليها في التعريف 1.1 تسمى مجال التعريف أو مجال وجود هذه الوظيفة.

إذا تم النظر في دالة لمتغيرين ، فإن مجموعات الأرقام

يتم الإشارة إليها ، كقاعدة عامة ، (x ، y) ويتم تفسيرها على أنها نقاط من المستوى الإحداثي Oxy ، ويتم تمثيل مجال الوظيفة z = f (x ، y) لمتغيرين كمجموعة من النقاط على المستوى أوكسي.

لذلك ، على سبيل المثال ، نطاق الوظيفة

هي مجموعة نقاط المستوى Oxy التي تلبي إحداثياتها العلاقة

أي أنها دائرة نصف قطرها r تتمحور حول الأصل.

للوظيفة

مجال التعريف هو النقاط التي تفي بالشرط

أي خارجي لدائرة معينة.

غالبًا ما يتم تحديد وظائف متغيرين ضمنيًا ، أي على أنها المعادلة

ربط ثلاثة متغيرات. في هذه الحالة ، يمكن اعتبار كل من القيم x و y و z كدالة ضمنية للقيمتين الأخريين.

الصورة الهندسية (الرسم البياني) لدالة متغيرين z = f (x ، y) هي مجموعة النقاط P (x ، y ، z) في الفضاء ثلاثي الأبعاد Oxyz ، إحداثياتها تحقق المعادلة z = و (س ، ص).

الرسم البياني لوظيفة الحجج المستمرة ، كقاعدة عامة ، هو بعض السطح في فضاء Oxyz ، والذي يُسقط على مستوى إحداثيات Oxy في مجال الوظيفة z = f (x ، y).

لذلك ، على سبيل المثال ، (الشكل 1.1) الرسم البياني للدالة

هو النصف العلوي من الكرة والرسم البياني للدالة

النصف السفلي من الكرة.

الرسم البياني للدالة الخطية z = ax + by + с هو المستوى في مساحة Oxyz ، والرسم البياني للدالة z = сonst هو المستوى الموازي لمستوى الإحداثيات Oxyz.

لاحظ أنه من المستحيل تصور وظيفة ثلاثة متغيرات أو أكثر في شكل رسم بياني في مساحة ثلاثية الأبعاد.

في ما يلي ، سنقتصر بشكل أساسي على النظر في وظائف متغيرين أو ثلاثة ، حيث يتم النظر في حالة عدد أكبر (ولكن محدود) من المتغيرات بطريقة مماثلة.

تحديد دالة لعدة متغيرات.

(محاضرة 1)

يسمى المتغير u f (x ، y ، z ، .. ، t) إذا ارتبطت قيمة محددة جيدًا للمتغير u لأي مجموعة من القيم (x ، y ، z ، .. ، t).

تسمى مجموعة مجاميع قيمة المتغير مجال تعريف الوظيفة.

G - المجموعة (x ، y ، z ، .. ، t) - مجال التعريف.

دوال من متغيرين.

يسمى المتغير z دالة من متغيرين f (x ، y) إذا ارتبطت قيمة معينة من المتغير z لأي زوج من القيم (x ، y) Î G.

حد دالة من متغيرين.

دع الدالة z = f (x ، y) معطاة ، p (x ، y) هي النقطة الحالية ، p 0 (x 0 ، y 0) هي النقطة قيد الدراسة.

ديف.يُطلق على المنطقة المجاورة للنقطة p 0 دائرة مركزها عند النقطة p 0 ونصف قطرها r. ص= Ö (x-x 0 ) 2 + (أوه 0 ) 2 Ø

الرقم أ يسمى حد الوظيفة | عند النقطة ص 0 إن وجد

رقم صغير بشكل تعسفي e ، يمكن للمرء تحديد رقم r (e)> 0 بحيث بالنسبة لجميع قيم x و y التي تكون المسافة من m. p إلى p0 فيها أقل من r ، فإن المتباينة التالية صحيحة: ½f ( x ، y) - A10 ، مع نصف القطر r ، تختلف قيمة الدالة عن A بأقل من e في القيمة المطلقة. وهذا يعني أنه عندما تقترب النقطة p من النقطة p 0 على طول أيالمسار ، تقترب قيمة الوظيفة من الرقم A إلى أجل غير مسمى.

استمرارية الوظيفة.

دع الدالة z = f (x ، y) معطاة ، p (x ، y) هي النقطة الحالية ، p 0 (x 0 ، y 0) هي النقطة قيد الدراسة.

ديف.الوظيفة z = f (x، y) تسمى مستمرة بوحدة m. Р 0 إذا تم استيفاء 3 شروط:

1) يتم تحديد الوظيفة في هذه المرحلة. و (ص 0) = و (س ، ص) ؛

2) ph-i له حد في هذه المرحلة.

3) الحد يساوي قيمة الوظيفة في هذه المرحلة: ب = و (س 0 ، ص 0) ؛

ليم و (س ، ص)= و (x 0 ، ذ 0 ) ;

صà ص 0

إذا تم انتهاك شرط واحد على الأقل من شروط الاستمرارية ، فإن النقطة p تسمى نقطة انقطاع. بالنسبة للوظائف ذات المتغيرين ، يمكن أن توجد نقاط فصل منفصلة وخطوط فاصلة كاملة.

يتم تعريف مفهوم الحد والاستمرارية لوظائف عدد أكبر من المتغيرات بالمثل.

لا يمكن تمثيل وظيفة ثلاثة متغيرات بيانياً ، على عكس دالة متغيرين.

لوظيفة ذات 3 متغيرات ، يمكن أن توجد نقاط انقطاع وخطوط وأسطح انقطاع.

اشتقاق جزئي.

ضع في اعتبارك الوظيفة z = f (x ، y) ، p (x ، y) هي النقطة قيد الدراسة.

دعنا نعطي المتغير x زيادة Dx؛ x + Dx ، نحصل على النقطة p 1 (x + Dx ، y) ، نحسب الفرق بين قيم الوظيفة عند النقطة p:

D x z = f (p1) -f (p) = f (x + Dx، y) - f (x، y) هي الزيادة الجزئية للدالة المقابلة لزيادة الوسيطة x.

ديف. المشتق الجزئي للدالة z = f (x، y) فيما يتعلق بالمتغير x يسمى حد نسبة الزيادة الجزئية لهذه الوظيفة فيما يتعلق بالمتغير x إلى هذه الزيادة عندما تميل الأخيرة إلى الصفر.

¶ ض= ليم د x ض

à ¶ ض = ليم و (س + د س ، ص) - و (س ، ص)

¶ x دx® 0 دx

وبالمثل ، نحدد المشتق الجزئي فيما يتعلق بالمتغير y.

إيجاد المشتقات الجزئية.

عند تحديد المشتقات الجزئية ، يتغير متغير واحد فقط في كل مرة ، وتعتبر باقي المتغيرات ثابتة. نتيجة لذلك ، في كل مرة ننظر فيها إلى دالة لمتغير واحد فقط ويتزامن المشتق الجزئي مع المشتق المعتاد لهذه الوظيفة لمتغير واحد. ومن هنا جاءت قاعدة إيجاد المشتقات الجزئية: المشتق الجزئي فيما يتعلق بالمتغير قيد الدراسة مطلوب باعتباره المشتق المعتاد لوظيفة هذا المتغير الواحد ، وتعتبر المتغيرات المتبقية قيمًا ثابتة. في هذه الحالة ، فإن جميع الصيغ الخاصة بتمايز دالة ذات متغير واحد (مشتق مجموع ، منتج ، حاصل القسمة) تصبح صالحة.

مفهوم دالة من عدة متغيرات

إذا كانت كل نقطة X = (x 1، x 2، ... x n) من مجموعة (X) من النقاط في الفضاء ذي البعد n مرتبطة بقيمة واحدة محددة جيدًا للمتغير z ، فإنهم يقولون ذلك معطى دالة متغيرات nض = و (س 1 ، س 2 ، ... س ن) = و (س).

في هذه الحالة ، المتغيرات x 1 ، x 2 ، ... x n تسمى المتغيرات المستقلةأو الحججوظائف ، ض - المتغير التابعو f تعني قانون المطابقة... المجموعة (X) تسمى مجالوظائف (هذه مجموعة فرعية من الفضاء ذي البعد n).

على سبيل المثال ، الدالة z = 1 / (x 1 x 2) هي دالة لمتغيرين. وسيطاتها هي المتغيرات x 1 و x 2 ، و z هي المتغير التابع. مجال التعريف هو المستوى الإحداثي بأكمله ، باستثناء الخطوط المستقيمة x 1 = 0 و x 2 = 0 ، أي بدون محاور إحداثية وتنسيق. بالتعويض عن أي نقطة من مجال التعريف في الوظيفة ، وفقًا لقانون المراسلات ، نحصل على رقم معين. على سبيل المثال ، أخذ النقطة (2 ؛ 5) ، أي × 1 = 2 ، × 2 = 5 ، نحصل على
ض = 1 / (2 * 5) = 0.1 (أي ض (2 ؛ 5) = 0.1).

دالة بالصيغة z = a 1 x 1 + a 2 x 2 + ... + a n x n + b ، حيث a 1 ، a 2 ، ... ، و n ، b أرقام ثابتة ، تسمى خطي... يمكن النظر إليه على أنه مجموع n وظائف خطية للمتغيرات x 1، x 2، ... x n. يتم استدعاء جميع الوظائف الأخرى غير خطي.

على سبيل المثال ، الدالة z = 1 / (x 1 x 2) غير خطية ، والدالة z =
= x 1 + 7x 2-5 - خطي.

يمكن ربط أي دالة z = f (X) = f (x 1، x 2، ... x n) بوظائف n لمتغير واحد ، إذا قمنا بإصلاح قيم جميع المتغيرات باستثناء واحد.

على سبيل المثال ، دوال ثلاثة متغيرات z = 1 / (x 1 x 2 x 3) يمكن ربطها بثلاث وظائف لمتغير واحد. إذا أصلحنا x 2 = a و x 3 = b ، فستأخذ الوظيفة الشكل z = 1 / (abx 1) ؛ إذا أصلحنا x 1 = a و x 3 = b ، فسيأخذ الشكل z = 1 / (abx 2) ؛ إذا أصلحنا x 1 = a و x 2 = b ، فسيأخذ الشكل z = 1 / (abx 3). في هذه الحالة ، جميع الوظائف الثلاثة لها نفس الشكل. انها ليست دائما كذلك. على سبيل المثال ، إذا كانت x 2 = a ثابتة لوظيفة من متغيرين ، فستأخذ الشكل z = 5x 1 a ، أي دالة طاقة ، وإذا أصلحنا x 1 = a ، فستأخذ الشكل ، أي دالة أسية.

جدولدالة لمتغيرين z = f (x ، y) هي مجموعة النقاط في الفضاء ثلاثي الأبعاد (x ، y ، z) ، يرتبط تطبيق z مع الإحداثي x والإحداثيات y بالعلاقة الوظيفية
ض = و (س ، ص). يمثل هذا الرسم البياني بعض السطح في مساحة ثلاثية الأبعاد (على سبيل المثال ، كما في الشكل 5.3).

يمكن إثبات أنه إذا كانت الوظيفة خطية (على سبيل المثال ، z = ax + by + c) ، فإن رسمها البياني هو مستوى في مساحة ثلاثية الأبعاد. مزيد من الأمثلة الرسوم البيانية ثلاثية الأبعاديوصى بدراستها بنفسك حسب كتاب كريمر (ص 405-406).

إذا كان هناك أكثر من متغيرين (متغيرات n) ، إذن جدولالوظيفة عبارة عن مجموعة من النقاط (n + 1) مساحة الأبعاد ، والتي يتم حساب إحداثي x n + 1 وفقًا لقانون وظيفي معين. يسمى هذا الجدول الزمني فوق السطح(لوظيفة خطية - مستوي مفرط) ، وهو أيضًا تجريد علمي (من المستحيل تصويره).

الشكل 5.3 - رسم بياني لدالة متغيرين في فضاء ثلاثي الأبعاد

مستوى السطحلدالة من متغيرات n تسمى مجموعة النقاط في فضاء ذو ​​أبعاد n بحيث تكون قيمة الوظيفة في جميع هذه النقاط هي نفسها وتساوي C. الرقم C نفسه في هذه الحالة يسمى مستوى.

عادة ، يمكن رسم عدد لا نهائي من الأسطح المستوية (المقابلة لمستويات مختلفة) لنفس الوظيفة.

لدالة ذات متغيرين ، يتخذ سطح المستوى الشكل خطوط المستوى.

على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك أن z = 1 / (x 1 x 2). خذ C = 10 ، أي 1 / (× 1 × 2) = 10. ثم × 2 = 1 / (10 × 1) ، أي على المستوى ، سيأخذ خط المستوى الشكل الموضح في الشكل 5.4 كخط متصل. بأخذ مستوى آخر ، على سبيل المثال ، C = 5 ، نحصل على خط مستوى في شكل رسم بياني للوظيفة x 2 = 1 / (5x 1) (موضح بخط منقط في الشكل 5.4).

الشكل 5.4 - خطوط المستوى للوظيفة z = 1 / (x 1 x 2)

لنأخذ مثالاً آخر. دع z = 2x 1 + x 2. خذ C = 2 ، أي 2x 1 + x 2 = 2. ثم x 2 = 2 - 2x 1 ، أي على المستوى ، سيأخذ خط المستوى شكل خط مستقيم ، كما هو موضح في الشكل 5.5 كخط متصل. بأخذ مستوى آخر ، على سبيل المثال ، C = 4 ، نحصل على خط مستوى على شكل خط مستقيم × 2 = 4 - 2 × 1 (موضح بخط منقط في الشكل 5.5). يظهر خط المستوى 2x 1 + x 2 = 3 في الشكل 5.5 بخط منقط.

من السهل التأكد من أنه بالنسبة للدالة الخطية لمتغيرين ، فإن أي خط مستوى سيكون خطًا مستقيمًا على مستوى ، وستكون جميع خطوط المستوى موازية لبعضها البعض.

الشكل 5.5 - خطوط المستوى للدالة z = 2x 1 + x 2

تنزيل من Depositfiles

محاضرات 1-4

وظائف المتغيرات المتعددة.

أسئلة التحكم.

الزيادة الجزئية والكاملة لدالة متعددة المتغيرات (FNP).

حد دالة من عدة متغيرات. خصائص حدود FNP.

استمرارية FNP. خصائص الوظائف المستمرة.

المشتقات الجزئية من الدرجة الأولى.

تعريف : إذا كانت كل مجموعة معتبرة من قيم المتغيرات تتوافق مع قيمة معينة للمتغيرث ثم سوف نتصلث وظيفة المتغيرات المستقلة:

(1)

تعريف : نطاق التعريفد ( F ) الوظيفة (1) هي مجموعة من هذه المجموعات من الأرقام
لأي وظيفة تم تحديد (1).

منطقة د ( F ) يمكن أن تكون مفتوحة أو مغلقة. على سبيل المثال ، لوظيفة:

د (F ) ستكون جميع النقاط في الفراغ التي تحمل المتباينة عليها (الكرة المغلقة) ، وللحالة (الكرة المفتوحة).

فيما يلي ، سننظر بشكل أساسي في وظائف متغيرين ، منذ ذلك الحين أولاً ، لا يوجد فرق أساسي بين متغيرين وعدد كبير من المتغيرات ؛ الزيادة في عدد المتغيرات تؤدي فقط إلى حسابات مرهقة. ثانيًا ، يمكن بسهولة تفسير حالة المتغيرين هندسيًا.

التمثيل الهندسي لوظيفة من متغيرين
هي بعض الأسطح التي يمكن تحديدها بشكل صريح أو ضمني. على سبيل المثال:أ )
- مهمة صريحة (مكافئ للدوران) ، ب)
- مهمة ضمنية (المجال).

عند إنشاء رسم بياني ، غالبًا ما يتم استخدام الوظائفطريقة القسم .

مثال ... ارسم الدالة.
دعنا نستخدم طريقة القسم.

– في الطائرة
هو قطع مكافئ.

– في الطائرة
-بارابولا.

– في الطائرة
- دائرة.

السطح المطلوب هو شكل مكافئ للثورة.

مسافة بين نقطتين تعسفيتين
و
المساحات (الإقليدية)
دعا الرقم

مجموعة النقاط تسمىدائرة مفتوحة نصف القطر تتمحور عند نقطة , – دائرة نصف قطر متمركز في نقطة.

دائرة نصف قطرها مفتوحة تتمحور في نقطة ما يسمى-حي نقاط.

ا

مهمة... النقطة تسمىالنقطة الداخلية جموع في حالة وجود حي
النقاط التي تنتمي بالكامل إلى المجموعة (أي
).

تعريف ... النقطة تسمىنقطة الحدود المجموعة إذا احتوت أي من الأحياء الخاصة بها على نقاط ، تنتمي إلى المكان وليست تابعة له.

قد تنتمي أو لا تنتمي نقطة حدود المجموعة إلى هذه المجموعة.

تعريف ... المجموعة تسمىافتح إذا كانت كل نقاطها داخلية.

تعريف ... المجموعة تسمىمغلق إذا كان يحتوي على جميع نقاط حدوده. تسمى مجموعة جميع النقاط الحدودية للمجموعة بهالحدود (وغالبًا ما يُشار إليه بالرمز
). لاحظ أن المجموعة
مغلق ويسمىإغلاق المجموعة.

مثال ... اذا ثم. حيث .

زيادة الوظيفة الخاصة والإجمالية.

إذا كان هناك متغير مستقل واحد (على سبيل المثالNS ) يحصل على زيادة NS والمتغير الآخر لا يتغير ، ثم تتم زيادة الوظيفة:

وهو ما يسمى الزيادة الجزئية للدالة فيما يتعلق بالوسيطةNS .

إذا تم زيادة جميع المتغيرات ، فستتم زيادة الوظيفة بالكامل:

على سبيل المثال ، للوظيفة
سوف نحصل على:

حد دالة من عدة متغيرات.

تعريف ... سنقول أن سلسلة من النقاط
يتقارب في
الى حد، الى درجة
إذا كان في.

في هذه الحالة ، النقطة
وتسمىحد التسلسل المحدد واكتب:
في
.

من السهل إظهار ذلك إذا وفقط في وقت واحد
,
(أي أن تقارب سلسلة من النقاط في الفضاء يعادلتقارب منسق ).

تعريف . الرقم يسمى حد المهام
في
إذا ل

مثل ذلك
، بمجرد.

في هذه الحالة اكتب
أو
في
.

على الرغم من التشابه الكامل على ما يبدو لمفاهيم حد وظائف متغير واحد ومتغيرين ، إلا أن هناك فرقًا عميقًا بينهما. في حالة دالة ذات متغير واحد ، لوجود حد عند نقطة ما ، من الضروري والكافي أن يتساوى رقمان فقط - حدود في اتجاهين: إلى يمين ويسار نقطة النهاية ... لدالة من متغيرين ، الطموح إلى نقطة التحديد
على مستوى يمكن أن يحدث على طول عدد لا حصر له من الاتجاهات (وليس بالضرورة على طول خط مستقيم) ، وبالتالي فإن مطلب وجود حد لدالة من متغيرين (أو أكثر) هو "أكثر صرامة" مقارنة بالدالة من متغير واحد.

مثال ... تجد
.

دع السعي وراء النقطة النهائية
تسير في خط مستقيم
... ثم
.

من الواضح أن الحد غير موجود منذ العدد
يعتمد على .

خصائص حدود FNP:

إذا كان هناك و
، من ثم:، المشتق الجزئي فيما يتعلق ويتم تقديم تسمياته.

من السهل أن نرى أن المشتق الجزئي هو مشتق دالة لمتغير واحد عندما تكون قيمة متغير آخر ثابتة. لذلك ، يتم حساب المشتقات الجزئية وفقًا لنفس قواعد حساب مشتقات وظائف متغير واحد.

مثال ... أوجد المشتقات الجزئية للدالة
.

نملك:
,
.