تعريف. صعدتسنسمي مصفوفة لها الخصائص التالية:

1) إذا الخط الأوليساوي صفرًا، فالصف (I + 1) يساوي صفرًا أيضًا،

2) إذا كانت الأوائل غير صفر العناصر الأولىوتقع الصفوف (I + 1) في أعمدة مرقمة k و R على التوالي، ثم k< R.

الشرط 2) يتطلب زيادة إلزامية في الأصفار على اليسار عند الانتقال من الخط الأولإلى السطر (I + 1). على سبيل المثال، المصفوفات

أ 1 = , أ 2 =
، أ3 =

هو متدرج، والمصفوفات

ب1= , الخامس 2 = , ب3 =

لا صعدت.

نظرية 5.1.يمكن اختزال أي مصفوفة إلى مصفوفة مرتبة باستخدام التحويلات الأولية لصفوف المصفوفة.

دعونا نوضح هذه النظرية بمثال.

أ=

المصفوفة الناتجة متدرجة.

تعريف. رتبة المصفوفةسنسمي عدد الصفوف غير الصفرية بالصورة التدريجية لهذه المصفوفة.

على سبيل المثال، رتبة المصفوفة A في المثال السابق هي 3.

المحاضرة 6.

المحددات، خصائصها. المصفوفة العكسية وحسابها.

محددات الدرجة الثانية.

النظر في مصفوفة مربعة من الدرجة الثانية

أ =

تعريف. محدد الدرجة الثانيةالمطابق للمصفوفة A هو الرقم المحسوب بواسطة الصيغة

│A│= = .

تسمى العناصر a ij عناصر المحدد│A│، العنصران 11 و22 قطري الرئيسي، والعناصر أ 12، أ 21 ─ جانب

مثال. = -28 + 6 = -22

محددات الدرجة الثالثة.

النظر في مصفوفة مربعة من الدرجة الثالثة

أ =

تعريف. محدد الدرجة الثالثةالمطابق للمصفوفة A هو الرقم المحسوب بواسطة الصيغة

│A│= =

لتتذكر أي المنتجات الموجودة على الجانب الأيمن من المساواة يجب أن تؤخذ بعلامة زائد وأيها بعلامة ناقص، من المفيد أن تتذكر قاعدة تسمى حكم المثلث .

= ─

أمثلة:

1) = - 4 + 0 + 4 – 0 + 2 +6 = 8

2) = 1، أي │E 3 │= 1.

لنفكر في طريقة أخرى لحساب المحدد من الدرجة الثالثة.

تعريف. عنصر ثانوي i للمحدد هو محدد يتم الحصول عليه من محدد معين عن طريق حذف الصف i والعمود j. تكملة جبرية Aj لعنصر aj للمحدد يسمى Mij الصغير، مأخوذ بالعلامة (-1) i+ j .

مثال.لنحسب الصغرى M 23 والمكمل الجبري A 23 للعنصر a 23 في المصفوفة

أ =

دعونا نحسب القاصر M 23:

م23= = = - 6 + 4 = -2

أ 23 = (-1) 2+3 م 23 = 2

النظرية 1.المحدد من الدرجة الثالثة يساوي مجموع منتجات عناصر أي صف (عمود) ومكملاتها الجبرية.

وثيقة. حسب التعريف

= (1)

لنختار، على سبيل المثال، الصف الثاني ونجد المكمل الجبري أ 21، أ 22، أ 23:

أ 21 = (-1) 2+1 = -() =

أ 22 = (-1) 2+2 =

أ 23 = (-1) 2+3 = - () =

دعونا الآن نحول الصيغة (1)

│A│= ( ) + () + () = أ 21 + أ 22 + أ 23

│A│= أ 21 + أ 22 + أ 23

مُسَمًّى توسيع المحدد│A│ بعناصر السطر الثاني. وبالمثل، يمكن الحصول على التحلل من عناصر الصفوف الأخرى وأي عمود.

مثال.

= (حسب عناصر العمود الثاني) = 1× (-1) 1+2 + 2 × (-1) 2+2 +

+ (-1)(-1) 3+2 = - (0 + 15) + 2(-2 +20) + (-6 +0) = -15 +36 – 6 = 15.

6.3. محدد الترتيب n (n О N).

تعريف. محدد الترتيب ن ،المقابلة لمصفوفة الترتيب ن

أ =

يسمى الرقم يساوي مجموع منتجات عناصر أي صف (عمود) من خلال مكملاتها الجبرية، أي.

│A│= أ i1 + أ i2 + … + أ في = أ 1ي + أ 2ي + … + أ نج

من السهل أن نرى أنه بالنسبة لـ n = 2 نحصل على صيغة لحساب المحدد من الدرجة الثانية.

مثال. = (حسب عناصر الصف الرابع) = 3×(-1) 4+2 +

2×(-1) 4+4 = 3(-6 + 20 – 2 – 32) +2(-6 +16 +60 +2)=3(-20) +2×72 = -60 +144 = 84.

لاحظ أنه إذا كانت جميع عناصر الصف (العمود) في المحدد، باستثناء عنصر واحد، تساوي الصفر، فعند حساب المحدد يكون من المناسب توسيعه ليشمل عناصر هذا الصف (العمود).

مثال.

│E ن │= = 1 × │E ن -1 │ = … = │E 3 │= 1

خصائص المحددات.

تعريف.عرض المصفوفة

أو

سوف نتصل مصفوفة ثلاثية.

الخاصية 1.محدد المصفوفة المثلثية يساوي حاصل ضرب عناصر القطر الرئيسي، أي

= =

الملكية 2.محدد المصفوفة التي تحتوي على صف صفر أو عمود صفر هو صفر.

الملكية 3. .عند نقل مصفوفة، لا يتغير المحدد، أي.

│А│= │Аر │.

الخاصية 4.إذا تم الحصول على المصفوفة B من المصفوفة A بضرب كل عنصر في صف معين بالرقم k، إذن

│B│= ك│A│

العقار 5.

= =

العقار 6.إذا تم الحصول على المصفوفة B من المصفوفة A عن طريق إعادة ترتيب صفين، فإن │B│= −│A│.

العقار 7.محدد المصفوفة ذات الصفوف المتناسبة يساوي صفرًا، وعلى وجه الخصوص، محدد المصفوفة التي تحتوي على صفين متطابقين يساوي صفرًا.

العقار 8.لا يتغير محدد المصفوفة إذا أضيفت عناصر صف آخر من المصفوفة إلى عناصر صف واحد مضروبة في عدد معين.

تعليق.نظرًا لأن محدد المصفوفة، من خلال الخاصية 3، لا يتغير أثناء التبديل، فإن جميع الخصائص المتعلقة بصفوف المصفوفة تكون صحيحة أيضًا بالنسبة للأعمدة.

العقار 9.إذا كانت A وB مصفوفتان مربعتان من الرتبة n، فإن │AB│=│A││B│.

مصفوفة معكوسة.

تعريف.تسمى مصفوفة مربعة A من الرتبة n يعكس،إذا كانت هناك مصفوفة B بحيث AB = BA = E n. في هذه الحالة، تسمى المصفوفة B معكوس المصفوفة A وتم تعيينه A -1.

النظرية 2.العبارات التالية صحيحة:

1) إذا كانت المصفوفة A قابلة للعكس، فهناك واحدة بالضبط مصفوفة معكوسة;

2) المصفوفة العكسية لها محدد غير صفري؛

3) إذا كانت A وB مصفوفتان معكوستان من الرتبة n، فإن المصفوفة AB قابلة للعكس، و(AB) -1 =

الخامس -1 × أ -1 .

دليل.

1) اجعل B وC مصفوفتين معكوستين للمصفوفة A، أي. AB = BA = E n وAC = CA = E n. ثم B = BE n = B(AC) = (BA)C = E n C = C.

2) دع المصفوفة A تكون قابلة للعكس. ثم هناك المصفوفة A -1، معكوسها، و

حسب الخاصية 9 من المحدد │АА -1 │=│А││А -1 │. ثم │A││A -1 │=│E n │، من أين

│А││А -1 │= 1.

ولذلك، │A│¹ 0.

3) في الواقع،

(AB)(B -1 A -1) = (A(BB -1))A -1 = (AE n)A -1 = AA -1 = E n.

(ب -1 أ -1)(AB) = (ب -1 (أ -1 أ))ب = (ب -1 ه ن)ب = ب -1 ب = ه ن.

لذلك، AB هي مصفوفة قابلة للعكس، و (AB) -1 = B -1 A -1 .

تعطي النظرية التالية معيارًا لوجود مصفوفة معكوسة وطريقة لحسابها.

النظرية 3.تكون المصفوفة المربعة A قابلة للعكس إذا وفقط إذا كان محددها غير صفر. إذا │А│¹ 0، إذن

أ -1 = =

مثال.أوجد المصفوفة العكسية للمصفوفة A =

حل.│A│= = 6 + 1 = 7.

منذ │А│¹ 0، هناك مصفوفة معكوسة

أ -1 = =

نحسب أ 11 = 3، أ 12 = 1، أ 21 = -1، أ 22 = 2.

أ -1 = .

المحاضرة 7.

الأنظمة المعادلات الخطية. معيار التوافق لنظام المعادلات الخطية. طريقة غاوس لحل أنظمة المعادلات الخطية. قاعدة كرامر وطريقة المصفوفة لحل أنظمة المعادلات الخطية.

أنظمة المعادلات الخطية.

مجموعة من المعادلات من النموذج

(1)

مُسَمًّى نظام المعادلات الخطية م مع المجهول ن× 1، × 2، ...، × ن. يتم استدعاء الأرقام a ij معاملات النظام،والأرقام ب ط ─ أعضاء أحرار.

حل النظام (1)عبارة عن مجموعة من الأرقام c 1, c 2,..., c n، عند استبدالها في النظام (1) بدلاً من x 1, x 2,..., x n نحصل على المساواة العددية الصحيحة.

حل النظام─ تعني إيجاد جميع حلولها أو إثبات عدم وجودها. يسمى النظام مشترك، إذا كان لديه حل واحد على الأقل، و غير مشترك، إذا لم تكن هناك حلول.

مصفوفة مكونة من معاملات النظام

أ =

ويسمى مصفوفة النظام (1). إذا أضفنا عمودًا من المصطلحات الحرة إلى مصفوفة النظام، فسنحصل على المصفوفة

ب =
,

الذي يسمى مصفوفة موسعة للنظام (1).

إذا دلنا

X = , C = , فيمكن كتابة النظام (1) على شكل معادلة مصفوفية AX=C.

العناصر الرئيسية موجودة في السطر الأول - في السطر الثاني - ، في السطر الرابع . لاحظ أن العنصر الرئيسي في السطر لا يجب أن يكون العنصر الوحيد (انظر السطر الثاني).

نظرية. يمكن اختزال أي مصفوفة إلى الصورة المختزلة بعدد محدود من تحويلات الصفوف الأولية.

دليل.

دع المصفوفة لديها النموذج

.

دعونا نستخدم تعريف المصفوفة المخفضة.

إذا كان السطر الأول صفراً انتقل إلى الثاني وهكذا حتى نجد خطاً غير الصفر. في صف غير صفري (ليكن الصف الرابع)، حدد عنصرًا غير صفري (ليكون العنصر ).

دعونا نجري التحويلات الأولية التالية على المصفوفة:

... ... .

ومن الواضح أنه بعد ذلك ستصبح جميع عناصر العمود العاشر، باستثناء العنصر، صفرًا. ثم نختار الصف التالي غير الصفري، الذي يحتوي على عنصر غير الصفر ونقوم بإجراء تحويلات مماثلة مع صفوف المصفوفة. في عدد محدود من الخطوات، نمر عبر جميع الصفوف غير الصفرية، وبعد ذلك نحصل على مصفوفة، والتي سيتم تقليلها بحكم التعريف.

مثال 14. دع . دعونا نختصر المصفوفة إلى الشكل المصغر.

حل.

لنأخذ العنصر البادئ كعنصر بادئ (سيتم تمييز العناصر البادئة بين قوسين) ونجري التحويلات التالية:

في الخطوة التالية، سنأخذ العنصر باعتباره العنصر الرئيسي، ونجري التحويلات المحددة ونحصل عليه في النهاية.

في هذا الموضوع سوف نتناول مفهوم المصفوفة، وكذلك أنواع المصفوفات. نظرًا لوجود الكثير من المصطلحات في هذا الموضوع، سأضيف ملخصًا مختصرًا لتسهيل التنقل في المادة.

تعريف المصفوفة وعنصرها. التدوين.

مصفوفةعبارة عن جدول يتكون من صفوف $m$ وأعمدة $n$. يمكن أن تكون عناصر المصفوفة كائنات ذات طبيعة مختلفة تمامًا: أرقام أو متغيرات أو مصفوفات أخرى على سبيل المثال. على سبيل المثال، تحتوي المصفوفة $\left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$ على 3 صفوف وعمودين؛ عناصرها هي الأعداد الصحيحة. المصفوفة $\left(\begin(array) (cccc) a & a^9+2 & 9 & \sin x \\ -9 & 3t^2-4 & u-t & 8\end(array) \right)$ يحتوي على صفين و4 أعمدة.

طرق مختلفة لكتابة المصفوفات: إظهار\إخفاء

يمكن كتابة المصفوفة ليس فقط في شكل دائري، ولكن أيضًا بين قوسين مربعين أو مزدوجين مستقيمين. يوجد أدناه نفس المصفوفة في أشكال مختلفةالإدخالات:

$$ \left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right);\;\; \left[ \begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right]; \;\; \left \Vert \begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right \Vert $$

يتم استدعاء المنتج $m\times n$ حجم المصفوفة. على سبيل المثال، إذا كانت المصفوفة تحتوي على 5 صفوف و3 أعمدة، فإننا نتحدث عن مصفوفة حجمها $5\×3$. المصفوفة $\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & ​​​​0\end(array)\right)$ لها حجم $3 \times 2$.

عادة، يتم الإشارة إلى المصفوفات بأحرف كبيرة من الأبجدية اللاتينية: $A$، $B$، $C$، وهكذا. على سبيل المثال، $B=\left(\begin(array) (ccc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$. يبدأ ترقيم الأسطر من أعلى إلى أسفل؛ الأعمدة - من اليسار إلى اليمين. على سبيل المثال، يحتوي الصف الأول من المصفوفة $B$ على العناصر 5 و3، ويحتوي العمود الثاني على العناصر 3، -87، 0.

عادة ما يتم الإشارة إلى عناصر المصفوفات بأحرف صغيرة. على سبيل المثال، يتم الإشارة إلى عناصر المصفوفة $A$ بالرمز $a_(ij)$. يحتوي الفهرس المزدوج $ij$ على معلومات حول موضع العنصر في المصفوفة. الرقم $i$ هو رقم الصف، والرقم $j$ هو رقم العمود، عند تقاطعه يوجد العنصر $a_(ij)$. على سبيل المثال، عند تقاطع الصف الثاني والعمود الخامس من المصفوفة $A=\left(\begin(array) (cccccc) 51 & 37 & -9 & 0 & 9 & 97 \\ 1 & 2 & 3 & 41 & 59 & 6 \\ -17 & -15 & -13 & -11 & -8 & -5 \\ 52 & 31 & -4 & -1 & 17 & 90 \end(array) \right)$ العنصر $a_(25)= 59 دولارًا:

وبنفس الطريقة، عند تقاطع الصف الأول والعمود الأول لدينا العنصر $a_(11)=51$; عند تقاطع الصف الثالث والعمود الثاني - العنصر $a_(32)=-15$ وهكذا. لاحظ أن الإدخال $a_(32)$ يقرأ "a ثلاثة اثنان"، ولكن ليس "a اثنان وثلاثون".

لاختصار المصفوفة $A$، التي يكون حجمها $m\times n$، يتم استخدام الترميز $A_(m\times n)$. غالبًا ما يتم استخدام الترميز التالي:

$$ A_(m\times(n))=(a_(ij)) $$

هنا $(a_(ij))$ يشير إلى تعيين عناصر المصفوفة $A$، أي. يقول أن عناصر المصفوفة $A$ يُشار إليها بالرمز $a_(ij)$. في النموذج الموسع، يمكن كتابة المصفوفة $A_(m\times n)=(a_(ij))$ كما يلي:

$$ A_(m\times n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(m1) & a_(m2) & \ldots & a_(mn) \end(array) \right) $$

دعونا نقدم مصطلح آخر - مصفوفات متساوية.

يتم استدعاء مصفوفتين من نفس الحجم $A_(m\times n)=(a_(ij))$ و $B_(m\times n)=(b_(ij))$ متساوي، إذا كانت العناصر المتناظرة متساوية، أي. $a_(ij)=b_(ij)$ للجميع $i=\overline(1,m)$ و$j=\overline(1,n)$.

شرح للمدخل $i=\overline(1,m)$: show\hide

الترميز "$i=\overline(1,m)$" يعني أن المعلمة $i$ تختلف من 1 إلى m. على سبيل المثال، يشير الإدخال $i=\overline(1,5)$ إلى أن المعلمة $i$ تأخذ القيم 1، 2، 3، 4، 5.

لذا، لكي تكون المصفوفات متساوية، يجب توافر شرطين: تطابق الأحجام، وتساوي العناصر المتناظرة. على سبيل المثال، المصفوفة $A=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & ​​​​0\end(array)\right)$ لا تساوي المصفوفة $B=\left(\ begin(array)(cc) 8 & -9\\0 & -87 \end(array)\right)$ لأن المصفوفة $A$ لها حجم $3\times 2$ والمصفوفة $B$ حجمه $2\times $2. كما أن المصفوفة $A$ لا تساوي المصفوفة $C=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\98 & -87\\8 & ​​​​0\end(array)\right)$ ، منذ $a_( 21)\neq c_(21)$ (أي $0\neq 98$). لكن بالنسبة للمصفوفة $F=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & ​​​​0\end(array)\right)$ يمكننا أن نكتب بأمان $A= F$ لأن كلا من الأحجام والعناصر المقابلة للمصفوفات $A$ و$F$ متطابقة.

المثال رقم 1

تحديد حجم المصفوفة $A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \\ -6 & 8 & 23 \\ 11 & -12 & -5 \ \4 & 0 & -10 \\ \end(array) \right)$. وضح ما تساويه العناصر $a_(12)$، $a_(33)$، $a_(43)$.

تحتوي هذه المصفوفة على 5 صفوف و3 أعمدة، لذا فإن حجمها هو $5\×3$. يمكنك أيضًا استخدام الرمز $A_(5\times 3)$ لهذه المصفوفة.

العنصر $a_(12)$ يقع عند تقاطع الصف الأول والعمود الثاني، لذا $a_(12)=-2$. العنصر $a_(33)$ يقع عند تقاطع الصف الثالث والعمود الثالث، لذا فإن $a_(33)=23$. العنصر $a_(43)$ يقع عند تقاطع الصف الرابع والعمود الثالث، لذا فإن $a_(43)=-5$.

إجابة: $a_(12)=-2$، $a_(33)=23$، $a_(43)=-5$.

أنواع المصفوفات حسب حجمها. الأقطار الرئيسية والثانوية. تتبع المصفوفة.

دع مصفوفة معينة $A_(m\times n)$ تعطى. إذا كان $m=1$ (تتكون المصفوفة من صف واحد)، فسيتم استدعاء المصفوفة المحددة صف المصفوفة. إذا كان $n=1$ (تتكون المصفوفة من عمود واحد)، فسيتم استدعاء هذه المصفوفة عمود المصفوفة. على سبيل المثال، $\left(\begin(array) (ccccc) -1 & -2 & 0 & -9 & 8 \end(array) \right)$ عبارة عن مصفوفة صف، و $\left(\begin(array ) (c) -1 \\ 5 \\ 6 \end(array) \right)$ هي مصفوفة أعمدة.

إذا كانت المصفوفة $A_(m\times n)$ تحقق الشرط $m\neq n$ (أي أن عدد الصفوف لا يساوي عدد الأعمدة)، فغالبًا ما يقال أن $A$ عبارة عن مصفوفة مستطيلة مصفوفة. على سبيل المثال، المصفوفة $\left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 0 & 9 \\ 5 & 9 & 5 & 1 \end(array) \right)$ لها حجم $2\times 4 $، هؤلاء. يحتوي على صفين و4 أعمدة. وبما أن عدد الصفوف لا يساوي عدد الأعمدة، فإن هذه المصفوفة مستطيلة الشكل.

إذا كانت المصفوفة $A_(m\times n)$ تستوفي الشرط $m=n$ (أي أن عدد الصفوف يساوي عدد الأعمدة)، فيقال إن $A$ عبارة عن مصفوفة مربعة من الرتبة $ ن $. على سبيل المثال، $\left(\begin(array) (cc) -1 & -2 \\ 5 & 9 \end(array) \right)$ هي مصفوفة مربعة من الدرجة الثانية؛ $\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 9 \\ 5 & 9 & 8 \\ 1 & 0 & 4 \end(array) \right)$ هي مصفوفة مربعة من الدرجة الثالثة. بشكل عام، يمكن كتابة المصفوفة المربعة $A_(n\times n)$ كما يلي:

$$ A_(n\times n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(n1) & a_(n2) & \ldots & a_(nn) \end(array) \right) $$

يقال أن العناصر $a_(11)$، $a_(22)$، $\ldots$، $a_(nn)$ موجودة قطري الرئيسيالمصفوفات $A_(n\times n)$. تسمى هذه العناصر العناصر القطرية الرئيسية(أو مجرد عناصر قطرية). العناصر $a_(1n)$، $a_(2 \; n-1)$، $\ldots$، $a_(n1)$ موجودة الجانب (الصغرى) قطري; يطلق عليهم عناصر قطرية جانبية. على سبيل المثال، بالنسبة للمصفوفة $C=\left(\begin(array)(cccc)2&-2&9&1\\5&9&8& 0\\1& 0 & 4 & -7 \\ -4 & -9 & 5 & 6\end( array) \right)$ لدينا:

العناصر $c_(11)=2$، $c_(22)=9$، $c_(33)=4$، $c_(44)=6$ هي العناصر القطرية الرئيسية؛ العناصر $c_(14)=1$، $c_(23)=8$، $c_(32)=0$، $c_(41)=-4$ هي عناصر قطرية جانبية.

يسمى مجموع العناصر القطرية الرئيسية تليها المصفوفةويشار إليه بـ $\Tr A$ (أو $\Sp A$):

$$ \Tr A=a_(11)+a_(22)+\ldots+a_(nn) $$

على سبيل المثال، بالنسبة للمصفوفة $C=\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1\\5 & 9 & 8 & 0\\1 & 0 & 4 & -7\\- 4 & -9 & 5 & 6 \end(array)\right)$ لدينا:

$$ \Tr C=2+9+4+6=21. $$

يُستخدم مفهوم العناصر القطرية أيضًا في المصفوفات غير المربعة. على سبيل المثال، بالنسبة للمصفوفة $B=\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 & 7 \\ 5 & -9 & 8 & 0 & -6 \\ 1 & 0 & 4 & - 7 & -6 \end(array) \right)$ ستكون العناصر القطرية الرئيسية هي $b_(11)=2$، $b_(22)=-9$، $b_(33)=4$.

أنواع المصفوفات حسب قيم عناصرها.

إذا كانت جميع عناصر المصفوفة $A_(m\times n)$ تساوي الصفر، فإن هذه المصفوفة تسمى باطلوعادةً ما يُشار إليه بالحرف $O$. على سبيل المثال، $\left(\begin(array) (cc) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end(array) \right)$, $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ - صفر مصفوفات.

لنفكر في بعض الصفوف غير الصفرية للمصفوفة $A$، على سبيل المثال. سلسلة تحتوي على عنصر واحد على الأقل غير الصفر. العنصر الرائدمن سلسلة غير صفرية نسميها العنصر غير الصفري الأول (العد من اليسار إلى اليمين). على سبيل المثال، النظر في المصفوفة التالية:

$$W=\left(\begin(array)(cccc) 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 12\\ 0 & -9 & 5 & 9 \end(array)\right)$ $

في السطر الثاني، سيكون العنصر الرئيسي هو العنصر الرابع، أي. $w_(24)=12$، وفي السطر الثالث سيكون العنصر السابق هو العنصر الثاني، أي. $w_(32)=-9$.

يتم استدعاء المصفوفة $A_(m\times n)=\left(a_(ij)\right)$ صعدت، إذا توفر فيه شرطان:

1. توجد الصفوف الخالية، إذا كانت موجودة، أسفل كافة الصفوف غير الخالية.
2. تشكل أعداد العناصر الرائدة في الصفوف غير الصفرية تسلسلًا متزايدًا بشكل صارم، أي. إذا كان $a_(1k_1)$، $a_(2k_2)$، ...، $a_(rk_r)$ هي العناصر الرئيسية للصفوف غير الصفرية للمصفوفة $A$، فإن $k_1\lt(k_2)\ لتر\ldots\lt(k_r)$.

أمثلة على المصفوفات الخطوة:

$$ \left(\begin(array)(cccccc) 0 & 0 & 2 & 0 & -4 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -9 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end(array)\right);\; \left(\begin(array)(cccc) 5 & -2 & 2 & -8\\ 0 & 4 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -10 \end(array)\right). $$

للمقارنة: المصفوفة $Q=\left(\begin(array)(ccccc) 2 & -2 & 0 & 1 & 9\\0 & 0 & 0 & 7 & 9\\0 & -5 & 0 & 10 & 6\end(array)\right)$ ليست مصفوفة خطوة، نظرًا لانتهاك الشرط الثاني في تعريف مصفوفة الخطوة. العناصر الرائدة في الصفين الثاني والثالث $q_(24)=7$ و$q_(32)=10$ لها أرقام $k_2=4$ و$k_3=2$. بالنسبة لمصفوفة الخطوة، يجب استيفاء الشرط $k_2\lt(k_3)$، وهو ما في هذه الحالةانتهكت. اسمحوا لي أن أشير إلى أنه إذا قمنا بتبديل الصفين الثاني والثالث، فسنحصل على مصفوفة متدرجة: $\left(\begin(array)(ccccc) 2 & -2 & 0 & 1 & 9\\0 & -5 & 0 & 10 & 6 \\0 & 0 & 0 & 7 & 9\end(array)\right)$.

تسمى مصفوفة الخطوة شبه منحرفأو شبه منحرف، إذا كانت العناصر الرئيسية $a_(1k_1)$, $a_(2k_2)$, ..., $a_(rk_r)$ تستوفي الشروط $k_1=1$, $k_2=2$,..., $k_r = ص $، أي العناصر الرائدة هي العناصر القطرية. بشكل عام، يمكن كتابة المصفوفة شبه المنحرفة على النحو التالي:

$$ A_(m\times(n)) =\left(\begin(array) (cccccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1r) & \ldots & a_(1n)\\ 0 & a_(22) & \ldots & a_(2r) & \ldots & a_(2n)\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ 0 & \ldots & a_(rr) & \ldots & a_(rn)\\ 0 & \ldots & 0 & \ldots & 0\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ 0 & 0 & \ldots & 0 & \ldots & 0 \end(صفيف)\يمين) $$

أمثلة على المصفوفات شبه المنحرفة:

$$ \left(\begin(array)(cccccc) 4 & 0 & 2 & 0 & -4 & 1\\ 0 & -2 & 0 & 0 & -9 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end(array)\right);\; \left(\begin(array)(cccc) 5 & -2 & 2 & -8\\ 0 & 4 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -3 & -10 \end(array)\right). $$

دعونا نعطي بعض التعريفات الإضافية للمصفوفات المربعة. إذا كانت جميع عناصر المصفوفة المربعة الموجودة تحت القطر الرئيسي تساوي الصفر، فسيتم استدعاء هذه المصفوفة المصفوفة الثلاثية العليا. على سبيل المثال، $\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end(array) \right)$ هي مصفوفة مثلثية عليا. لاحظ أن تعريف المصفوفة المثلثية العليا لا يذكر شيئًا عن قيم العناصر الموجودة فوق القطر الرئيسي أو على القطر الرئيسي. يمكن أن تكون صفرًا أم لا - لا يهم. على سبيل المثال، $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 9 \\ 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ هي أيضًا مصفوفة مثلثية عليا.

إذا كانت جميع عناصر المصفوفة المربعة الموجودة فوق القطر الرئيسي تساوي الصفر، فسيتم استدعاء هذه المصفوفة مصفوفة مثلثية سفلية. على سبيل المثال، $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 1 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 6 \ end(array) \right)$ - المصفوفة المثلثية السفلية. لاحظ أن تعريف المصفوفة المثلثية السفلية لا يذكر شيئًا عن قيم العناصر الموجودة أسفل أو على القطر الرئيسي. قد تكون صفرًا أم لا - لا يهم. على سبيل المثال، $\left(\begin(array) (ccc) -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0\\ 0 & 0 & 9 \end(array) \right)$ و $\left(\ begin (array) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ هي أيضًا مصفوفات مثلثية أقل.

تسمى المصفوفة المربعة قطريإذا كانت جميع عناصر هذه المصفوفة التي لا تقع على القطر الرئيسي تساوي صفرًا. مثال: $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \ النهاية(صفيف)\يمين)$. يمكن أن تكون العناصر الموجودة على القطر الرئيسي أي شيء (يساوي صفرًا أم لا) - لا يهم.

تسمى المصفوفة القطرية أعزب، إذا كانت جميع عناصر هذه المصفوفة الموجودة على القطر الرئيسي تساوي 1. على سبيل المثال، $\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(array)\right)$ - مصفوفة هوية من الدرجة الرابعة؛ $\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array)\right)$ هي مصفوفة هوية من الدرجة الثانية.

تعريف

تسمى المصفوفة المربعة قطريإذا كانت جميع عناصره الواقعة خارج القطر الرئيسي تساوي صفراً.

تعليق.يمكن أيضًا أن تكون العناصر القطرية للمصفوفة (أي العناصر الموجودة على القطر الرئيسي) صفرًا.

مثال

تعريف

العدديةتسمى مصفوفة قطرية تكون فيها جميع العناصر القطرية متساوية مع بعضها البعض.

تعليق.إذا كانت المصفوفة الخالية مربعة، فهي أيضًا عددية.

مثال

تعريف

مصفوفة الهويةهي مصفوفة عددية من الرتبة التي تساوي عناصرها القطرية 1.

تعليق.لتقصير التدوين، يمكن حذف ترتيب مصفوفة الهوية؛ ثم يتم الإشارة إلى مصفوفة الهوية ببساطة بـ .

مثال

هي مصفوفة هوية من الدرجة الثانية.

2.10. تقليل المصفوفة إلى شكل قطري

مصفوفة عادية (خاصة متماثلة). أيمكن إحضارها إلى شكل قطري عن طريق تحويل التشابه -

أ = TΛT −1

هنا Λ = دياج(π 1 ,..., π ن) هي مصفوفة قطرية عناصرها هي القيم الذاتية للمصفوفة أ، أ تعبارة عن مصفوفة مكونة من المتجهات الذاتية المقابلة للمصفوفة أ، أي. ت = (ضد 1 ,...,ضد ن).

على سبيل المثال،

أرز. 23 التخفيض إلى شكل قطري

مصفوفة الخطوة

تعريف

صعدتهي مصفوفة تحقق الشروط التالية:

تعريف

صعدتتسمى مصفوفة تحتوي على صفوف وتكون عناصر القطر الأول فيها غير صفر، والعناصر الواقعة أسفل القطر الرئيسي وعناصر الصفوف الأخيرة تساوي صفراً، أي أنها مصفوفة من الشكل:

تعريف

العنصر الرئيسيمن صف من المصفوفة يسمى العنصر الأول غير الصفري.

مثال

يمارس.أوجد العناصر الرئيسية لكل صف من المصفوفة

حل.العنصر الرئيسي في الصف الأول هو العنصر الأول غير الصفري في ذلك الصف، وبالتالي العنصر الرئيسي في الصف رقم 1؛ بالمثل - العنصر الرئيسي في السطر الثاني.

تعريف آخر لمصفوفة الخطوة.

تعريف

تسمى المصفوفة صعدت، لو:

وجميع خطوطها الصفرية تأتي بعد الخطوط غير الصفرية؛

في كل سطر غير الصفر، بدءًا من الثاني، يقع عنصره الرئيسي على يمين (في العمود ذو الرقم الأعلى) العنصر الرئيسي في السطر السابق.

بحكم التعريف، تتضمن المصفوفات الخطوة مصفوفة صفرية، بالإضافة إلى مصفوفة تحتوي على صف واحد.

مثال

أمثلة على المصفوفات الخطوة:

, , , ,

أمثلة على المصفوفات التي ليست في المستوى:

, ,

مثال

يمارس.اكتشف ما إذا كانت المصفوفة موجودة صعدت.

حل.نتحقق من استيفاء الشروط من التعريف:

إذن، المصفوفة المعطاة متدرجة.

عند حل ودراسة نظام المعادلات الخطية، تلعب مصفوفات الخطوة المختزلة دورًا مهمًا.

تعريف. تسمى مصفوفة المستوى مخفضة إذا كانت المصفوفة المكونة من جميع أعمدتها الرئيسية هي مصفوفة الهوية.

لا تحتوي مصفوفة المستوى المنخفض على صفوف صفرية، وجميع العناصر الرئيسية في صفوفها تساوي واحدًا.

النظرية 3.4. أي مصفوفة غير صفرية تعادل مصفوفة ذات مستوى منخفض.

دليل. Letbe مصفوفة غير صفرية من الرتبة. وفقًا للنظريات 3.2 و3.3، فهي تعادل مصفوفة الصف، على سبيل المثال المصفوفة B، التي تتكون من صفوف غير صفرية. دعونا نقسم كل صف من المصفوفة B على العنصر الرئيسي الخاص بها.

ونتيجة لذلك، نحصل على مصفوفة الخطوة C، حيث تكون جميع العناصر الرائدة في الصفوف تساوي واحدًا. بعد ذلك، باستخدام سلسلة من التحولات الأولية للمصفوفة C، ننتقل إلى الصفر لجميع العناصر غير الصفرية الموجودة فوق العناصر الرائدة. ونتيجة لذلك، نحصل على المصفوفة D، التي تشكل أعمدتها الرئيسية مصفوفة الهوية. وبالتالي، D هي مصفوفة المستوى المنخفض المطلوبة، أي ما يعادل المصفوفة الأصلية A.

النظرية 3.5. كل مصفوفة مربعة ذات صفوف مستقلة خطيًا تعادل مصفوفة الهوية E.

دليل. دع A تكون مصفوفة ذات صفوف مستقلة خطيًا. باستخدام سلسلة من تحويلات الصف الأولية غير المفردة، يمكن اختزالها إلى مصفوفة خطوة معينة لتكن العناصر الرائدة للمصفوفة C. ثم

من المتباينات (2) يترتب على ذلك أن المصفوفة C لها الشكل

أي أنها مصفوفة مثلثية عليا بها عناصر غير صفرية على القطر الرئيسي. دعونا نضرب الصف الأول من المصفوفة في الصف الثاني - في، وما إلى ذلك. ونتيجة لذلك، نحصل على مصفوفة مكافئة للصف