يُرمز إلى كل صف من المصفوفة A بالرمز e i = (a i 1 a i 2 ... ، a in) (على سبيل المثال ،
ه 1 = (أ 11 أ 12 ... ، أ 1 ن) ، ه 2 = (أ 21 أ 22 ... ، أ 2 ن) ، إلخ.). كل منها عبارة عن مصفوفة صف يمكن ضربها برقم أو إضافتها إلى صف آخر وفقًا للقواعد العامة للتعامل مع المصفوفات.

تركيبة خطيةالسلاسل e l، e 2، ... e k استدعاء مجموع منتجات هذه السلاسل بأرقام حقيقية عشوائية:
e = l l e l + l 2 e 2 + ... + l k e k ، حيث l l ، l 2 ، ... ، l k هي أرقام عشوائية (معاملات توليفة خطية).

يتم استدعاء صفوف المصفوفة e l ، e 2 ، ... e m تعتمد خطيا، إذا كانت هناك أرقام l l ، l 2 ، ... ، l m لا تساوي الصفر في نفس الوقت ، بحيث تكون التركيبة الخطية لصفوف المصفوفة مساوية لصف الصفر:
l l e l + l 2 e 2 + ... + l m e m = 0 ، حيث 0 = (0 0 ... 0).

يعني الاعتماد الخطي لصفوف المصفوفة أن صفًا واحدًا على الأقل من المصفوفة عبارة عن مجموعة خطية من الصفوف الأخرى. في الواقع ، دعنا ، من أجل التحديد ، المعامل الأخير l م ¹ 0. ثم ، بتقسيم جانبي المساواة على lm ، نحصل على تعبير للصف الأخير كمجموعة خطية من الصفوف المتبقية:
ه م = (لتر / لتر م) ه ل + (لتر 2 / لتر م) ه 2 + ... + (لتر م -1 / لتر م) ه م -1.

إذا كانت مجموعة السلاسل الخطية تساوي صفرًا إذا وفقط إذا كانت جميع المعاملات صفرًا ، أي l l e l + l 2 e 2 + ... + l m e m = 0 Û l k = 0 "k ، ثم يتم استدعاء الخطوط مستقل خطيا.

نظرية رتبة المصفوفة... إن رتبة المصفوفة تساوي الحد الأقصى لعدد صفوفها أو أعمدتها المستقلة خطيًا والتي من خلالها يمكن التعبير عن جميع صفوفها أو أعمدتها الأخرى خطيًا.

دعونا نثبت هذه النظرية. دع مصفوفة m × n A لها رتبة r (r (A) £ min (m ؛ n)). لذلك ، هناك ترتيب ثانوي غير صفري. سوف ندعو أي قاصر من هذا القبيل أساسي... فليكن قاصرًا من أجل الوضوح.

سيتم أيضًا استدعاء خطوط هذا القاصر أساسي.

دعونا نثبت أن صفوف المصفوفة e l ، e 2 ، ... e r مستقلة خطيًا. افترض العكس ، أي. أحد هذه السلاسل ، على سبيل المثال rth ، هو مزيج خطي من الآخرين: e r = l l e l + l 2 e 2 + ... + l r-1 e r-1 = 0. ثم ، إذا طرحت من عناصر الرثسلاسل عناصر الصف الأول مضروبة في l l ، وعناصر الصف الثاني مضروبة في l 2 ، وما إلى ذلك ، وأخيراً ، عناصر الصف (r-1) مضروبة في l r-1 ، ثم الخط صسيصبح صفرا. في هذه الحالة ، وفقًا لخصائص المحدد ، يجب ألا يتغير المحدد أعلاه ، وفي نفس الوقت يجب أن يكون مساوياً للصفر. يتم الحصول على تناقض ، ويتم إثبات الاستقلال الخطي للصفوف.

الآن دعنا نثبت أن أي صفوف (r + 1) من المصفوفة تعتمد خطيًا ، أي يمكن التعبير عن أي سلسلة من حيث الأساسي.

دعنا نكمل الصف الثانوي الذي تم اعتباره سابقًا بصف واحد (i) وعمود آخر (j-th). نتيجة لذلك ، نحصل على قاصر من الرتبة (r + 1) ، والتي تساوي الصفر حسب تعريف الرتبة.

اسمحوا ان

أعمدة مصفوفة الأبعاد. تركيبة خطية من أعمدة المصفوفةيسمى عمود المصفوفة ، بينما تسمى بعض الأرقام الحقيقية أو المركبة معاملات التركيبة الخطية... إذا أخذنا جميع المعاملات في تركيبة خطية تساوي صفرًا ، فإن التركيبة الخطية تساوي مصفوفة العمود الصفرية.

تسمى أعمدة المصفوفة مستقل خطيا إذا كانت مجموعتهم الخطية تساوي صفرًا فقط عندما تكون جميع معاملات المجموعة الخطية مساوية للصفر. تسمى أعمدة المصفوفة تعتمد خطيا ، إذا كانت هناك مجموعة من الأرقام ، من بينها واحد على الأقل غير صفري ، والمجموعة الخطية من الأعمدة التي تحتوي على هذه المعاملات تساوي الصفر

وبالمثل ، يمكن إعطاء تعريفات الاعتماد الخطي والاستقلال الخطي لصفوف المصفوفة. فيما يلي ، تمت صياغة جميع النظريات لأعمدة المصفوفة.

نظرية 5

إذا كان هناك صفر بين أعمدة المصفوفة ، فإن أعمدة المصفوفة تعتمد خطيًا.

دليل. ضع في اعتبارك تركيبة خطية تكون فيها جميع المعاملات صفرًا لجميع الأعمدة غير الصفرية وواحدة للأعمدة الصفرية. إنه يساوي صفرًا ، ومن بين معاملات التركيبة الخطية هناك واحد غير صفري. وبالتالي ، فإن أعمدة المصفوفة تعتمد خطيًا.

نظرية 6

لو مصفوفة الأعمدة خطيًا ، فهذا كل شيء تعتمد أعمدة المصفوفة خطيًا.

دليل. من أجل التحديد ، نفترض أن الأعمدة الأولى من المصفوفة تعتمد خطيا. بعد ذلك ، من خلال تعريف التبعية الخطية ، هناك مجموعة من الأرقام ، من بينها واحد على الأقل غير صفري ، والمجموعة الخطية للأعمدة التي تحتوي على هذه المعاملات هي صفر

لنقم بتكوين مجموعة خطية من جميع أعمدة المصفوفة ، بما في ذلك الأعمدة المتبقية ذات المعاملات الصفرية

لكن . لذلك ، فإن جميع أعمدة المصفوفة تعتمد خطيًا.

عاقبة... من بين الأعمدة المستقلة خطيًا للمصفوفة ، أي مستقلة خطيًا. (يمكن إثبات هذا البيان بسهولة من خلال التناقض).

نظرية 7

لكي تكون أعمدة المصفوفة تابعة خطيًا ، من الضروري والكافي أن يكون عمود واحد على الأقل من المصفوفة مزيجًا خطيًا من الأعمدة الأخرى.

دليل.

يحتاج.اجعل أعمدة المصفوفة مرتبطة خطيًا ، أي أن هناك مجموعة من الأرقام ، من بينها واحد على الأقل غير صفري ، والمجموعة الخطية من الأعمدة التي تحتوي على هذه المعاملات تساوي صفرًا

من أجل التحديد ، افترض ذلك. إذن ، العمود الأول عبارة عن مجموعة خطية من الباقي.

قدرة... اجعل عمودًا واحدًا على الأقل من المصفوفة مزيجًا خطيًا من الأعمدة الأخرى ، على سبيل المثال ، أين توجد بعض الأرقام.

بعد ذلك ، تكون التركيبة الخطية للأعمدة هي صفر ، ومن بين أرقام المجموعة الخطية ، يكون رقم واحد (at) على الأقل غير صفري.

دع رتبة المصفوفة تكون. يتم استدعاء أي ترتيب ثانوي غير صفري أساسي ... يتم استدعاء الصفوف والأعمدة ، التي يوجد عند تقاطعها قاعدة ثانوية أساسي .

المصفوفة العكسية ، خوارزمية لحساب معكوس المصفوفة.

نظام المعادلات الجبرية الخطية ، الخصائص الأساسية للتسلخ ، التجانس وعدم التجانس ، التوافق وعدم التناسق ، تعريف السلو ، شكل مصفوفة لتدوين السلو وحلوله

أنظمة مربعة ، طريقة كرامر

التحولات الأولية للتسلخ. طريقة جاوس للبحث المتسلق.

معيار التوافق السلو ، نظرية كرونيكر كابيلي ، تفسير هندسي على مثال معادلتين مع 2 مجهولين.

سلاجس متجانسة. خاصية الحل ، fsr ، نظرية الحل العام لنظام متجانس. معيار لوجود حل غير بديهي.

قشور غير متجانسة. نظرية حول بنية الحل لسلخ غير متجانس. خوارزمية لحل الكسل غير المتجانس.

تعريف الفضاء الخطي (المتجه). أمثلة على lp.

أنظمة المتجهات المعتمدة خطيًا والمستقلة خطيًا. معيار الاعتماد الخطي.

شروط كافية للاعتماد الخطي والاستقلال الخطي لأنظمة المتجهات лп. أمثلة على الأنظمة المستقلة خطيًا في فراغات الصفوف ومتعددة الحدود والمصفوفات.

تشابه الشكل лп. معيار لتماثل ln.

الفضاء الجزئي лп والأجسام الخطية لأنظمة النواقل. أبعاد قذيفة خطية.

نظرية استكمال الأساس

التقاطع ومجموع المسافات الفرعية ، المجموع المباشر للمسافات الجزئية. نظرية أبعاد مجموع المسافات الجزئية.

فضاء فرعي من حلول سلسة متجانسة وأبعادها وأساسها. التعبير عن الحل العام لسلسلة متجانسة من حيث fsr.

مصفوفة الانتقال من أساس إلى آخر وخصائصها. تحويل إحداثيات المتجه عند المرور إلى أساس آخر.

تعريف وأمثلة العوامل الخطية والتعيينات الخطية والتحولات الخطية

مصفوفة عامل خطي ، إيجاد إحداثيات الصورة المتجهة

العمليات مع المشغلين الخطيين. الفضاء الخطي الصغرى

نظرية حول تماثل مجموعة التحولات الخطية لمجموعة المصفوفات المربعة

مصفوفة حاصل ضرب التحولات الخطية. أمثلة على إيجاد مصفوفات العوامل.

تعريف وخصائص عامل التشغيل العكسي ، مصفوفته.

معيار لعكس عامل تشغيل خطي. أمثلة على العوامل القابلة للعكس والتي لا رجوع فيها.

تحويل مصفوفة عامل خطي عند الانتقال إلى أساس آخر.

كثير الحدود المحدد والمميز لمشغل خطي ، ثباتها فيما يتعلق بتحولات الأساس.

نواة وصورة عامل تشغيل خطي. نظرية مجموع أبعاد النواة والصورة. إيجاد النواة ومدى العامل الخطي في أساس ثابت. رتبة وعيوب عامل خطي.

نظرية حول ثبات النواة وصورة a فيما يتعلق بحلقة تبدل معها

التعددية الجبرية والهندسية لقيم eigenvalues ​​وعلاقتها.

معيار لقابلية المصفوفة لمشغل خطي ، شروط كافية لقابلية عامل خطي.

نظرية هاملتون كايلي

الجبر الخطي

نظرية سلو

1. المصفوفات ، العمليات مع المصفوفات ، المصفوفة العكسية. معادلات المصفوفة وحلولها.

مصفوفة- جدول مستطيل من الأرقام العشوائية ، مرتبة في ترتيب معين ، الحجم م * ن (صفوف حسب الأعمدة). يتم الإشارة إلى عناصر المصفوفة ، حيث يمثل i رقم الصف و j رقم العمود.

إضافة (الطرح)يتم تعريف المصفوفات فقط للمصفوفات أحادية البعد. مجموع (فرق) المصفوفات - مصفوفة تكون عناصرها على التوالي مجموع (فرق) عناصر المصفوفات الأصلية.

الضرب (القسمة)من خلال الرقم- الضرب (القسمة) لكل عنصر من عناصر المصفوفة بهذا الرقم.

يتم تعريف ضرب المصفوفة فقط للمصفوفات ، وعدد أعمدة أولها يساوي عدد صفوف الثانية.

ضرب المصفوفة- مصفوفة ، يتم تحديد عناصرها بواسطة الصيغ:

تبديل المصفوفة- مثل المصفوفة B ، الصفوف (الأعمدة) التي تمثل الأعمدة (الصفوف) في المصفوفة الأصلية A. يعني

مصفوفة معكوسة

معادلات المصفوفة- معادلات النموذج A * X = B هي حاصل ضرب المصفوفات ، والإجابة على هذه المعادلة هي المصفوفة X ، والتي توجد باستخدام القواعد:

1. التبعية الخطية واستقلالية أعمدة (صفوف) المصفوفة. معيار الاعتماد الخطي ، شروط كافية للاعتماد الخطي لأعمدة (صفوف) المصفوفة.

يسمى نظام الصفوف (الأعمدة) مستقل خطيا، إذا كانت التركيبة الخطية تافهة (تنطبق المساواة فقط على a1 ... n = 0) ، حيث A1 ... n هي أعمدة (صفوف) ، و a1 ... n هي معاملات التوسع.

معيار: لكي يعتمد نظام النواقل خطيًا ، من الضروري والكافي أن يتم التعبير خطيًا عن واحد على الأقل من متجهات النظام من حيث المتجهات الأخرى للنظام.

شرط كاف:

1. محددات المصفوفة وخصائصها

محدد مصفوفة (محدد)- هذا الرقم الذي يمكن حسابه لمصفوفة مربعة A من عناصر المصفوفة بالصيغة:

، أين هو العنصر الفرعي الإضافي للعنصر

الخصائص:

1. المصفوفة العكسية ، خوارزمية لحساب معكوس المصفوفة.

مصفوفة معكوسة- مثل هذه المصفوفة المربعة X ، والتي ، جنبًا إلى جنب مع المصفوفة المربعة A من نفس الترتيب ، تفي بالشرط: ، حيث E هي مصفوفة الهوية من نفس الترتيب مثل A. أي مصفوفة مربعة ذات محدد لا يساوي صفر لها معكوس واحد. وجد باستخدام طريقة التحولات الأولية وباستخدام الصيغة:

مفهوم رتبة المصفوفة. النظرية الصغرى الأساسية. معيار المساواة إلى الصفر لمحدد المصفوفة. تحولات المصفوفة الأولية. حساب الرتبة بطريقة التحولات الأولية. حساب معكوس المصفوفة بطريقة التحويلات الأولية.

رتبة المصفوفةأمر ثانوي أساسي (rg A)

ثانوي أساسي -الصغرى من الرتبة r لا تساوي الصفر ، بحيث يكون كل الأطفال الصغار من الرتبة r + 1 وما فوقها يساوي صفرًا أو غير موجودين.

النظرية الأساسية الصغرى -في المصفوفة التعسفية A ، يكون كل عمود (صف) عبارة عن مجموعة خطية من الأعمدة (الصفوف) التي يوجد بها القاعدة الثانوية.

دليل:لنفترض أنه في مصفوفة A بحجم m * n ، يوجد قاعدي ثانوي في الصفوف الأولى والأعمدة r الأولى. ضع في اعتبارك المحدد ، الذي تم الحصول عليه من خلال تخصيص العناصر المقابلة للصف الأول والعمود ك ، للقاصر الأساسي للمصفوفة أ.

لاحظ أنه لأي محدد وهذا المحدد هو صفر. إذا كان أو ، فإن المحدد D يحتوي على صفين متطابقين أو عمودين متطابقين. إذا و ، فإن المحدد D يساوي صفرًا ، لأنه ثانوي من الترتيب (r + λ) -ro. بتوسيع المحدد على طول السطر الأخير ، نحصل على: ، أين المكملات الجبرية لعناصر السطر الأخير. لاحظ أنه نظرًا لأن هذا يعد قاعدة ثانوية. لذلك ، أين كتابة آخر مساواة لـ ، نحصل عليها ، بمعنى آخر. العمود kth(لأي) هو مزيج خطي من أعمدة الأساسية الثانوية ، كما هو مطلوب.

المعيار دإتا = 0- المحدد يساوي صفرًا إذا وفقط إذا كانت صفوفه (أعمدته) مرتبطة خطيًا.

التحولات الأولية:

1) ضرب سلسلة بعدد غير صفري ؛

2) إضافة عناصر من سطر آخر إلى عناصر صف واحد ؛

3) تبديل الخطوط.

4) حذف أحد نفس الأسطر (الأعمدة) ؛

5) تبديل.

حساب الرتبة -ويترتب على النظرية الثانوية الأساسية أن رتبة المصفوفة A تساوي الحد الأقصى لعدد الصفوف المستقلة خطيًا (الأعمدة في المصفوفة) ، ومن ثم تكمن مشكلة التحويلات الأولية في إيجاد كل الصفوف المستقلة خطيًا (الأعمدة).

حساب معكوس المصفوفة- يمكن تنفيذ التحولات بضرب بعض المصفوفة T في المصفوفة A ، وهي حاصل ضرب المصفوفات الأولية المقابلة: TA = E.

تعني هذه المعادلة أن مصفوفة التحويل T هي معكوس المصفوفة. ثم ، وبالتالي ،

أين توجد بعض الأرقام (قد تكون بعض هذه الأرقام أو حتى كلها صفراً). هذا يعني أن التكافؤات التالية موجودة بين عناصر الأعمدة:

أو ، .

ويترتب على ذلك (3.3.1) أن

(3.3.2)

أين خط الصفر.

تعريف. صفوف المصفوفة أ تعتمد خطيًا إذا كانت هناك أرقام لا تساوي كلها صفرًا في نفس الوقت

(3.3.3)

إذا كانت المساواة (3.3.3) صحيحة إذا وفقط إذا كانت الصفوف تسمى مستقلة خطيًا. توضح العلاقة (3.3.2) أنه إذا تم التعبير عن أحد الصفوف خطيًا من حيث الصفوف الأخرى ، فإن الصفوف تعتمد خطيًا.

من السهل رؤية العكس: إذا كانت الخطوط مرتبطة خطيًا ، فهناك خط سيكون مزيجًا خطيًا لبقية الخطوط.

دعنا ، على سبيل المثال ، في (3.3.3) ، إذن .

تعريف. دع قاصرًا معينًا يتم تمييزه في المصفوفة أص -الترتيب ودع القاصر (ص +1) الترتيب من نفس المصفوفة يحتوي بالكامل على قاصر. سنقول في هذه الحالة أن القاصر يحد القاصر (أو الحدود لـ).

نحن الآن نثبت وجود ليما مهمة.

ليماحول تجاور القاصرين. إذا كان الأمر قاصراص من المصفوفة A = غير صفرية ، وكل العناصر الثانوية المجاورة لها تساوي صفرًا ، ثم أي صف (عمود) من المصفوفة A هو تركيبة خطية من صفوفها (الأعمدة) التي تتكون منها.

دليل. دون أن نفقد عمومية التفكير ، سنفترض أنه قاصر غير صفريص - الترتيب في الزاوية اليسرى العليا من المصفوفة A =:

.

لأول ك لصفوف المصفوفة A ، فإن بيان lemma واضح: يكفي تضمين نفس الصف بمعامل يساوي واحدًا في تركيبة خطية ، والباقي - مع معاملات تساوي الصفر.

دعنا الآن نثبت أن الصفوف المتبقية من المصفوفة A معبر عنها خطيًا بدلالة الأولىك خطوط. للقيام بذلك ، قم ببناء قاصر (ص +1) الترتيب بالإضافة إلى القاصرخط ك () و لالعمود الخامس ():

.

القاصر الناتج هو صفر للجميعك ول ... إذا كانت تساوي صفرًا لأنها تحتوي على عمودين متطابقين. إذا ، فإن القاصر الناتج هو قاصر حدودي لـ ، وبالتالي ، يساوي صفرًا بفرضية اللمة.

دعونا نوسع القاصر من حيث عناصر هذا الأخيرلالعمود الخامس:

(3.3.4)

أين المكملات الجبرية للعناصر. وبالتالي ، فإن المكمل الجبري هو جزء ثانوي من المصفوفة A. قسّم (3.3.4) على وعبّر عنه من حيث:

(3.3.5)

أين ، .

بافتراض أننا حصلنا على:

(3.3.6)

التعبير (3.3.6) يعني ذلكك يُعبَّر عن الصف الأول من المصفوفة A خطيًا بدلالة الصف الأولخطوط ص.

بما أنه عندما يتم تبديل المصفوفة ، فإن قيم صغرها لا تتغير (بسبب خصائص المحددات) ، فإن كل ما تم إثباته ينطبق أيضًا على الأعمدة. تم إثبات النظرية.

نتيجة طبيعية ... أي صف (عمود) من المصفوفة هو تركيبة خطية من صفوفها الأساسية (الأعمدة). في الواقع ، القاعدة الصغرى للمصفوفة لا تساوي صفرًا ، وجميع القاصرين المحيطين بها يساوي صفرًا.

النتيجة الطبيعية الثاني. محدد -الترتيب إذا وفقط إذا كان يساوي صفرًا عندما يحتوي على صفوف (أعمدة) تابعة خطيًا. تم إثبات كفاية الاعتماد الخطي للصفوف (الأعمدة) لمساواة المحدد إلى الصفر سابقًا كخاصية للمحددات.

دعونا نثبت الضرورة. دعونا نعطي مصفوفة مربعةن من الدرجة الثانية ، والقاصر الوحيد منها هو صفر. ومن ثم يترتب على ذلك أن رتبة هذه المصفوفة أقل منن ، بمعنى آخر. يوجد صف واحد على الأقل عبارة عن مجموعة خطية من الصفوف الأساسية لهذه المصفوفة.

دعونا نثبت نظرية أخرى في رتبة مصفوفة.

نظرية.الحد الأقصى لعدد الصفوف المستقلة خطيًا للمصفوفة يساوي الحد الأقصى لعدد أعمدتها المستقلة خطيًا ويساوي مرتبة هذه المصفوفة.

دليل. دع رتبة المصفوفة А = beص. ثم أي ك السلاسل الأساسية مستقلة خطيًا ، وإلا فسيكون الصغر الأساسي صفرًا. من ناحية أخرى ، أيص +1 خطوط أو أكثر تعتمد خطيًا. بافتراض عكس ذلك ، يمكننا العثور على ترتيب ثانوي أكثر منص تختلف عن الصفر نتيجة طبيعية 2 من اللمة السابقة. هذا الأخير يتعارض مع حقيقة أن الحد الأقصى لترتيب القاصرين غير صفري هوص ... كل ما أثبتناه بالنسبة للصفوف ينطبق أيضًا على الأعمدة.

في الختام ، نقدم طريقة أخرى لإيجاد رتبة مصفوفة. يمكن تحديد رتبة المصفوفة من خلال إيجاد مرتبة ثانوية غير صفرية من الحد الأقصى للترتيب.

للوهلة الأولى ، يتطلب هذا حساب ، وإن كان عددًا محدودًا ، ولكن من المحتمل أن يكون عددًا كبيرًا جدًا من القاصرين في هذه المصفوفة.

ومع ذلك ، فإن النظرية التالية تجعل من الممكن إجراء تبسيط كبير في هذا.

نظرية.إذا كان الصغرى في المصفوفة A غير صفري ، وجميع القاصرين المحيطين بها يساوي صفرًا ، فإن رتبة المصفوفة تكونص.

دليل. يكفي إظهار أن أي نظام فرعي من صفوف المصفوفة لـ S> ص سيعتمد خطيًا وفقًا لشروط النظرية (وهذا يعني أن r هو الحد الأقصى لعدد الصفوف المستقلة خطيًا للمصفوفة أو أي من الصفوف الثانوية لها أكبر منك تساوي الصفر).

افترض العكس. دع الصفوف تكون مستقلة خطيًا. من خلال اللمة على القاصرين المتاخمين ، سيتم التعبير عن كل منهم خطيًا من حيث السطور التي يوجد فيها قاصر والتي ، نظرًا لأنها تختلف عن الصفر ، تكون مستقلة خطيًا:

(3.3.7)

ضع في اعتبارك المصفوفة K لمعاملات التعبيرات الخطية (3.3.7):

.

سيتم الإشارة إلى صفوف هذه المصفوفة بواسطة ... ستكون مرتبطة خطيًا ، نظرًا لأن رتبة المصفوفة K ، أي لا يتجاوز الحد الأقصى لعدد خطوطها المستقلة خطيًاص< S ... لذلك ، هناك مثل هذه الأرقام ، ليست كلها تساوي الصفر ، هذا

دعونا ننتقل إلى المساواة بين المكونات

(3.3.8)

الآن ضع في اعتبارك المجموعة الخطية التالية:

أو

يتم تعريف مفاهيم الاعتماد الخطي والاستقلال الخطي للصفوف والأعمدة بنفس الطريقة. لذلك ، فإن الخصائص المرتبطة بهذه المفاهيم ، المصاغة للأعمدة ، صالحة بالطبع أيضًا للصفوف.

1. إذا كان نظام العمود يتضمن عمودًا صفريًا ، فإنه يعتمد خطيًا.

2. إذا كان نظام العمود يحتوي على عمودين متساويين ، فإنه يعتمد خطيًا.

3. إذا كان نظام العمود يحتوي على عمودين متناسبين ، فإنه يعتمد خطيًا.

4. يعتمد نظام الأعمدة خطيًا إذا وفقط إذا كان أحد الأعمدة على الأقل عبارة عن مجموعة خطية من الأعمدة الأخرى.

5. تشكل أي أعمدة مدرجة في نظام مستقل خطيًا نظامًا فرعيًا مستقلًا خطيًا.

6. نظام العمود الذي يحتوي على نظام فرعي تابع خطيًا يعتمد خطيًا.

7. إذا كان نظام الأعمدة مستقلاً خطيًا ، وبعد ربط عمود به ، اتضح أنه يعتمد بشكل خطي ، فيمكن أن يتحلل العمود إلى أعمدة ، وعلاوة على ذلك ، بطريقة فريدة ، أي. تم العثور على معاملات التمدد بشكل فريد.

دعونا نثبت ، على سبيل المثال ، الممتلكات الأخيرة. نظرًا لأن نظام الأعمدة يعتمد خطيًا ، فلا توجد كل الأرقام التي تساوي 0 ، والتي

في هذه المساواة. في الواقع ، إذا ، إذن

ومن ثم ، فإن تركيبة خطية غير بديهية من الأعمدة تساوي العمود صفر ، وهو ما يتعارض مع الاستقلال الخطي للنظام. لذلك ، حتى ذلك الحين ، أي. العمود عبارة عن مجموعة خطية من الأعمدة. يبقى إظهار تفرد مثل هذا التمثيل. افترض العكس. يجب أن يكون هناك توسعتان ، علاوة على ذلك ، ليست كل معاملات التوسعات متساوية على التوالي مع بعضها البعض (على سبيل المثال ،). ثم من المساواة

نحصل على (\ alpha_1- \ beta_1) A_1 + \ ldots + (\ alpha_k- \ beta_k) A_k = o

بالتتابع ، فإن التركيبة الخطية للأعمدة تساوي العمود صفر. نظرًا لأن جميع معاملاتها لا تساوي الصفر (على الأقل) ، فإن هذا المزيج غير بديهي ، مما يتعارض مع حالة الاستقلال الخطي للأعمدة. يؤكد التناقض الناتج تفرد التوسع.

مثال 3.2.إثبات وجود عمودين غير صفريين وأنهما يعتمدان خطيًا إذا وفقط إذا كانا متناسبين ، أي ...

حل.في الواقع ، إذا كانت الأعمدة تعتمد خطيًا ، فهناك أرقام لا تساوي الصفر في نفس الوقت. وفي هذه المساواة. في الواقع ، بافتراض ذلك ، نحصل على تناقض ، لأن العمود أيضًا غير صفري. وسائل، . لذلك ، هناك عدد من هذا القبيل. تم إثبات الضرورة.

على العكس من ذلك ، إذا ، إذن. حصلنا على مجموعة خطية غير بديهية من الأعمدة تساوي العمود صفر. وبالتالي ، فإن الأعمدة تعتمد خطيًا.

مثال 3.3.ضع في اعتبارك جميع أنواع الأنظمة العمودية

افحص كل نظام للاعتماد الخطي.
حل. ضع في اعتبارك خمسة أنظمة مع عمود واحد لكل منها. وفقًا للفقرة 1 من الملاحظات 3.1: الأنظمة مستقلة خطيًا ، والنظام الذي يتكون من عمود صفري واحد يعتمد خطيًا.

ضع في اعتبارك الأنظمة التي تحتوي على عمودين:

- يعتمد كل نظام من الأنظمة الأربعة خطيًا ، لأنه يحتوي على عمود صفري (الخاصية 1) ؛

- النظام يعتمد خطيًا ، لأن الأعمدة متناسبة (الخاصية 3) :؛

- كل من الأنظمة الخمسة مستقل خطيًا ، لأن الأعمدة غير متناسبة (انظر بيان المثال 3.2).

ضع في اعتبارك الأنظمة التي تحتوي على ثلاثة أعمدة:

- يعتمد كل نظام من الأنظمة الستة خطيًا ، لأنه يحتوي على عمود صفري (الخاصية 1) ؛

- الأنظمة تعتمد خطيًا ، لأنها تحتوي على نظام فرعي تابع خطيًا (الخاصية 6) ؛

- أنظمة وتعتمد خطيًا ، حيث يتم التعبير عن العمود الأخير خطيًا من خلال الباقي (الخاصية 4): و ، على التوالي.

أخيرًا ، تعتمد الأنظمة المكونة من أربعة أو خمسة أعمدة خطيًا (حسب الخاصية 6).

رتبة المصفوفة

في هذا القسم ، سننظر في خاصية عددية مهمة أخرى للمصفوفة ، تتعلق بمدى اعتماد صفوفها (أعمدتها) على بعضها البعض.

التعريف 14.10يجب إعطاء مصفوفة بأحجام وعدد لا يتجاوز أصغر الأرقام و: ... دعنا نحدد بشكل تعسفي صفوف المصفوفة والأعمدة (قد تختلف أرقام الصفوف عن أرقام الأعمدة). يُطلق على محدد المصفوفة المكونة من عناصر عند تقاطع الصفوف والأعمدة المختارة اسم المصفوفة الثانوية لترتيب المصفوفة.

مثال 14.9اسمحوا ان .

الدرجة الأولى الثانوية هي أي عنصر من عناصر المصفوفة. إذن 2 ،، - القصر من الدرجة الأولى.

القاصرون من الدرجة الثانية:

1. نأخذ الصفوف 1 ، 2 ، الأعمدة 1 ، 2 ، نحصل على ثانوي ;

2. خذ الصفوف 1 ، 3 ، الأعمدة 2 ، 4 ، نحصل على قاصر ;

3. خذ الصفوف 2 ، 3 ، الأعمدة 1 ، 4 ، نحصل على ثانوي

القاصرون من الرتبة الثالثة:

يمكن تحديد الخطوط هنا بطريقة واحدة فقط ،

1. خذ الأعمدة 1 ، 3 ، 4 ، احصل على ثانوية ;

2. خذ الأعمدة 1 ، 2 ، 3 ، احصل على ثانوية .

الاقتراح 14.23 إذا كانت جميع العناصر الثانوية في المصفوفة تساوي صفرًا ، فإن جميع الرتب الثانوية ، إن وجدت ، تساوي صفرًا أيضًا.

دليل... لنأخذ الأمر البسيط التعسفي. هذا هو محدد مصفوفة الترتيب. دعنا نوسعها على طول السطر الأول. بعد ذلك ، في كل مصطلح من فترات التوسع ، سيكون أحد العوامل ثانويًا في ترتيب المصفوفة الأصلية. من خلال الفرضية ، فإن الترتيب الأصغر يساوي صفرًا. لذلك ، سيكون الترتيب الأصغر مساويًا للصفر.

التعريف 14.11رتبة المصفوفة هي أكبر ترتيب غير صفري لأطفال المصفوفة. يُفترض أن تكون رتبة المصفوفة الصفرية صفراً.

لا يوجد تعيين معياري واحد لرتبة مصفوفة. بعد البرنامج التعليمي ، سوف نشير إليه.

مثال 14.10المصفوفة في المثال 14.9 لها المرتبة 3 ، نظرًا لوجود قاصر من الدرجة الثالثة ليس صفريًا ، ولا يوجد قاصر من الدرجة الرابعة.

رتبة المصفوفة يساوي 1 ، نظرًا لوجود عنصر ثانوي من الدرجة الأولى ليس صفريًا (عنصر مصفوفة) ، وكل العناصر الثانوية من الدرجة الثانية تساوي صفرًا.

رتبة مصفوفة مربعة غير متولدة متساوية ، لأن محددها ثانوي من الترتيب والمصفوفة غير المولدة ليست صفرية.

الاقتراح 14.24 عندما يتم تبديل المصفوفة ، لا يتغير ترتيبها ، أي ، .

دليل... سيكون الصغرى المنقولة للمصفوفة الأصلية هي الصغرى للمصفوفة المنقولة ، والعكس بالعكس ، أي قاصر هو المحول الصغير للمصفوفة الأصلية. عند التحويل ، لا يتغير المحدد (الثانوي) (الاقتراح 14.6). لذلك ، إذا كان كل الصغار من الترتيب في المصفوفة الأصلية يساوي صفرًا ، فإن جميع الصغار من نفس الترتيب يساوي صفرًا أيضًا. إذا كان الترتيب الثانوي في المصفوفة الأصلية غير صفري ، فيكون هناك عنصر ثانوي من نفس الترتيب ، غير صفري. بالتالي، .

التعريف 14.12دع رتبة المصفوفة تكون. ثم يسمى أي أمر ثانوي غير صفري باسم ثانوي أساسي.

مثال 14.11اسمحوا ان ... محدد المصفوفة يساوي صفرًا ، لأن الصف الثالث يساوي مجموع أول اثنين. الدرجة الثانية الثانوية الموجودة في الصفين الأولين والأولين هي ... وبالتالي ، فإن رتبة المصفوفة تساوي اثنين ، والمُعتبَر ثانويًا أساسي.

القاصر الأساسي هو أيضًا ثانوي يقع ، على سبيل المثال ، في الصفين الأول والثالث ، العمودين الأول والثالث: ... ستكون القاعدة هي الصغرى في الصفين الثاني والثالث ، العمودين الأول والثالث: .

الصغرى في الصفين الأول والثاني ، العمودين الثاني والثالث هو صفر وبالتالي لن يكونا أساسيين. يمكن للقارئ أن يتحقق بشكل مستقل من القاصرين الآخرين من الدرجة الثانية الذين سيكونون أساسيين وأيهم لن يكون كذلك.

نظرًا لأنه يمكن إضافة أعمدة (صفوف) مصفوفة ، وضربها بأرقام ، ويمكن تكوين مجموعات خطية ، فمن الممكن تقديم تعريفات للاعتماد الخطي والاستقلال الخطي لنظام الأعمدة (صفوف) المصفوفة. تشبه هذه التعريفات نفس التعريفات 10.14 و 10.15 للمتجهات.

التعريف 14.13يُطلق على نظام الأعمدة (الصفوف) اسم يعتمد خطيًا إذا كانت هناك مجموعة من المعاملات ، يكون أحدها على الأقل غير صفري ، بحيث يكون الجمع الخطي من الأعمدة (الصفوف) مع هذه المعاملات يساوي صفرًا.

التعريف 14.14يكون نظام الأعمدة (الصفوف) مستقلاً خطيًا إذا كان من المساواة إلى الصفر في التركيبة الخطية لهذه الأعمدة (الصفوف) يتبع ذلك أن جميع معاملات هذه المجموعة الخطية تساوي الصفر.

الاقتراح التالي ، الذي يشبه الاقتراح 10.6 ، صحيح أيضًا.

العرض 14.25 يعتمد نظام الأعمدة (الصفوف) خطيًا إذا وفقط إذا كان أحد الأعمدة (أحد الصفوف) عبارة عن مجموعة خطية من الأعمدة (الصفوف) الأخرى لهذا النظام.

دعونا نصيغ نظرية تسمى النظرية البسيطة الأساسية.

نظرية 14.2 أي عمود من المصفوفة هو مجموعة خطية من الأعمدة التي تمر عبر القاعدة الثانوية.

يمكن العثور على الدليل في الكتب المدرسية حول الجبر الخطي ، على سبيل المثال ، في ،.

الاقتراح 14.26 رتبة المصفوفة تساوي الحد الأقصى لعدد أعمدتها التي تشكل نظامًا مستقلًا خطيًا.

دليل... دع رتبة المصفوفة تكون. خذ الأعمدة التي تمر عبر القاعدة الصغرى. افترض أن هذه الأعمدة تشكل نظامًا تابعًا خطيًا. ثم أحد الأعمدة عبارة عن مجموعة خطية من الأعمدة الأخرى. لذلك ، في عمود ثانوي أساسي ، سيكون أحد الأعمدة مزيجًا خطيًا من الأعمدة الأخرى. وفقًا للاقتراحين 14.15 و 14.18 ، يجب أن يكون هذا القاصر الأساسي صفرًا ، وهو ما يتعارض مع تعريف القاصر الأساسي. لذلك ، فإن الافتراض بأن الأعمدة التي تمر عبر القاعدة الثانوية تعتمد خطيًا ليس صحيحًا. لذلك ، فإن الحد الأقصى لعدد الأعمدة التي تشكل نظامًا مستقلًا خطيًا أكبر من أو يساوي.

افترض أن الأعمدة تشكل نظامًا مستقلًا خطيًا. دعونا نصنع منها مصفوفة. جميع قاصرو المصفوفة هم قاصرون في المصفوفة. لذلك ، فإن الصغرى الأساسية للمصفوفة مرتبة على الأكثر. وفقًا للنظرية الأساسية الثانوية ، فإن العمود الذي لا يمر عبر الصغرى الأساسية للمصفوفة هو مزيج خطي من الأعمدة التي تمر عبر الأساسي الثانوي ، أي أن أعمدة المصفوفة تشكل نظامًا تابعًا خطيًا. هذا يتعارض مع اختيار الأعمدة التي تشكل المصفوفة. لذلك ، لا يمكن أن يكون الحد الأقصى لعدد الأعمدة التي تشكل نظامًا مستقلاً خطيًا أكثر. أي أنه يساوي ما قيل.

الاقتراح 14.27 رتبة المصفوفة تساوي الحد الأقصى لعدد صفوفها التي تشكل نظامًا مستقلًا خطيًا.

دليل... حسب الاقتراح 14.24 ، لا تتغير رتبة المصفوفة عند التبديل. تصبح صفوف المصفوفة أعمدتها. الحد الأقصى لعدد الأعمدة الجديدة للمصفوفة المنقولة (الصفوف السابقة من الأصل) التي تشكل نظامًا مستقلًا خطيًا يساوي رتبة المصفوفة.

الاقتراح 14.28 إذا كان محدد المصفوفة هو صفر ، فإن أحد أعمدتها (أحد الصفوف) هو مزيج خطي من الأعمدة المتبقية (الصفوف).

دليل... دع ترتيب المصفوفة يكون. المحدد هو الصغرى الوحيد لمصفوفة مربعة مرتبة. بما أنها صفر إذن. لذلك ، يعتمد نظام الأعمدة (الصفوف) خطيًا ، أي أن أحد الأعمدة (أحد الصفوف) عبارة عن مجموعة خطية من الأعمدة الأخرى.

نتائج الاقتراحات 14.15 و 14.18 و 14.28 تعطي النظرية التالية.

نظرية 14.3 محدد المصفوفة يساوي صفرًا فقط إذا كان أحد أعمدتها (أحد الصفوف) عبارة عن تركيبة خطية من الأعمدة المتبقية (الصفوف).

يتطلب العثور على مرتبة المصفوفة عن طريق حساب جميع العناصر الثانوية فيها الكثير من العمل الحسابي. (يمكن للقارئ التحقق من وجود 36 قاصرًا من الدرجة الثانية في مصفوفة مربعة من الدرجة الرابعة.) لذلك ، يتم استخدام خوارزمية مختلفة للعثور على الرتبة. مطلوب عدد من المعلومات الإضافية لوصفها.

التعريف 14.15دعنا نسمي الإجراءات التالية على المصفوفات تحولات أولية للمصفوفات:

1) تبديل الصفوف أو الأعمدة ؛
2) ضرب صف أو عمود في رقم آخر غير الصفر ؛
3) إضافة إلى أحد الصفوف صف آخر مضروبًا في رقم أو إضافة إلى أحد أعمدة عمود آخر مضروبًا في رقم.

الاقتراح 14.29 في التحولات الأوليةرتبة المصفوفة لا تتغير.

دليل... دع رتبة المصفوفة تساوي ، - المصفوفة التي تم الحصول عليها نتيجة إجراء تحويل أولي.

ضع في اعتبارك تبديل الصفوف. لنكن صغرى في المصفوفة ، إذًا هناك قاصر في المصفوفة ، والذي إما أن يتطابق معه أو يختلف عنه بتبديل الصفوف. والعكس صحيح ، يمكن ربط أي عنصر ثانوي من المصفوفة بقاصر من المصفوفة ، والذي يتطابق معه أو يختلف عنه في ترتيب الصفوف. لذلك ، انطلاقا من حقيقة أن جميع الصغار في المصفوفة تساوي صفرًا ، فإن ذلك يترتب على ذلك في المصفوفة أيضًا ، كل الصغار من هذا الترتيب يساوي صفرًا. ونظرًا لأن المصفوفة بها ترتيب ثانوي غير صفري ، فإن المصفوفة بها أيضًا ترتيب ثانوي غير صفري ، أي.

ضع في اعتبارك ضرب سلسلة في عدد غير صفري. يقابل القاصر من المصفوفة قاصرًا من المصفوفة ، والذي يتطابق معه أو يختلف عنه بصف واحد فقط ، والذي يتم الحصول عليه من الصف الثانوي بضربه في رقم آخر غير الصفر. في الحالة الأخيرة. في جميع الحالات ، إما أن تكون مساوية للصفر وفي نفس الوقت ، أو تكون غير صفرية في نفس الوقت. بالتالي، .