دعونا نحصل على جدول (يسمى مصفوفة) يتكون من أربعة أرقام:

تحتوي المصفوفة على صفين وعمودين. ويشار إلى الأرقام التي تشكل هذه المصفوفة بحرف ذو مؤشرين. يشير الفهرس الأول إلى رقم الصف، ويشير الثاني إلى رقم العمود الذي يظهر فيه الرقم المحدد. على سبيل المثال، يعني الرقم الموجود في الصف الأول والعمود الثاني؛ الرقم الموجود في الصف الثاني والعمود الأول. سوف نسمي الأعداد عناصر المصفوفة

المحدد (أو المحدد) للترتيب الثاني المقابل لمصفوفة معينة هو الرقم الذي تم الحصول عليه على النحو التالي:

يتم الإشارة إلى المحدد بالرمز

هكذا،

تسمى الأرقام عناصر المحدد.

دعونا نقدم خصائص المحدد من الدرجة الثانية.

الخاصية 1. لا يتغير المحدد إذا تم تبديل صفوفه مع الأعمدة المقابلة، أي.

الملكية 2.

عند إعادة ترتيب صفين (أو عمودين)، فإن المحدد سيغير إشارته إلى العكس، مع الحفاظ على القيمة المطلقة، أي.

الخاصية 3. المحدد ذو الصفين (أو الأعمدة) المتطابقين يساوي الصفر.

الخاصية 4. مجموع المضاعفيمكن إخراج جميع عناصر الصف (أو العمود) من علامة المحدد:

الخاصية 5. إذا كانت جميع عناصر الصف (أو العمود) تساوي الصفر، فإن المحدد يساوي الصفر.

الخاصية 6. إذا أضفنا إلى أي صف (أو عمود) من المحدد العناصر المقابلة لصف (أو عمود) آخر، مضروبة في نفس الرقم y، فلن يغير المحدد قيمته، أي.

لضرب مصفوفة في رقم، عليك ضرب كل عنصر من عناصر المصفوفة في هذا الرقم.

عاقبة. يمكن أخذ العامل المشترك لجميع عناصر المصفوفة من علامة المصفوفة.

على سبيل المثال، .

كما ترون، فإن إجراءات إضافة المصفوفات وطرحها وضرب المصفوفة في رقم تشبه الإجراءات على الأرقام. ضرب المصفوفة هو عملية محددة.

منتج من مصفوفتين.

لا يمكن ضرب جميع المصفوفات. منتج من مصفوفتين أو فيبالترتيب المذكور أ.بممكن فقط عندما يكون عدد أعمدة العامل الأول أيساوي عدد صفوف العامل الثاني في.

على سبيل المثال، .

حجم المصفوفة أ 33، حجم المصفوفة في 23. العمل أ.بمستحيل يا عمل فرجينياربما.

منتج المصفوفتين A و B هو المصفوفة الثالثة C، العنصر C j منها يساوي مجموع المنتجات الزوجية لعناصر الصف i من العامل الأول والعمود j من الثاني عامل.

وقد تبين ذلك في في هذه الحالةمنتج المصفوفات ممكن فرجينيا

من قاعدة وجود منتج مصفوفتين يترتب على ذلك أن منتج مصفوفتين في الحالة العامة لا يخضع للقانون التبادلي، أي. أب؟ فرجينيا. إذا كان في حالة معينة اتضح ذلك أب = بكالوريوس،ثم تسمى هذه المصفوفات قابلة للتغيير أو تبادلية.

في الجبر المصفوفي، يمكن أن يكون حاصل ضرب مصفوفتين مصفوفة صفرية حتى عندما لا تكون أي من المصفوفات العواملية صفرًا، على عكس الجبر العادي.

على سبيل المثال، دعونا نجد منتج المصفوفات أ.ب، لو

يمكنك ضرب مصفوفات متعددة. إذا كنت تستطيع ضرب المصفوفات أ, فيويمكن ضرب ناتج هذه المصفوفات في المصفوفة مع، فمن الممكن تكوين المنتج ( أ.ب) معو أ(شمس). في هذه الحالة، يتم تطبيق قانون الجمع فيما يتعلق بالضرب ( أ.ب) مع = أ(شمس).

يتم وصف معظم النماذج الرياضية في الاقتصاد باستخدام المصفوفات وحساب التفاضل والتكامل.

مصفوفة هو جدول مستطيل يحتوي على أرقام أو دوال أو معادلات أو كائنات رياضية أخرى مرتبة في صفوف وأعمدة.

تسمى الكائنات التي تشكل المصفوفة عناصر . يتم الإشارة إلى المصفوفات بأحرف لاتينية كبيرة

وعناصرها صغيرة.

رمز
يعني أن المصفوفة لديه
خطوط و أعمدة, العنصر عند التقاطع - السطر و - العمود
.

.

يقولون أن المصفوفة أيساوي المصفوفة في : أ = ب، إذا كانت لها نفس البنية (أي نفس عدد الصفوف والأعمدة) وكانت العناصر المقابلة لها متساوية بشكل مماثل
للجميع
.

أنواع معينة من المصفوفات

من الناحية العملية، غالبًا ما يتم العثور على مصفوفات من نوع خاص. تتضمن بعض الطرق أيضًا تحويلات المصفوفات من نوع إلى آخر. الأنواع الأكثر شيوعًا من المصفوفات موضحة أدناه.

	مصفوفة مربعة، عدد الصفوف نيساوي عدد الأعمدة ن
	عمود المصفوفة
	صف المصفوفة
	مصفوفة مثلثية سفلية
	المصفوفة الثلاثية العليا
	مصفوفة صفر
	مصفوفة قطرية
ه =	مصفوفة الهوية ه(مربع)
	مصفوفة وحدوية
	مصفوفة الخطوة
	مصفوفة فارغة

عناصر المصفوفة ذات أرقام الصفوف والأعمدة المتساوية، أي أ ثانياتشكل القطر الرئيسي للمصفوفة.

العمليات على المصفوفات.

.

خصائص العمليات على المصفوفات

خصائص محددة للعمليات

إذا كان منتج المصفوفات
- موجود، ثم العمل
قد لا تكون موجودة. بشكل عام،
. أي أن ضرب المصفوفات ليس تبادلياً. لو
، الذي - التي و تسمى تبادلية. على سبيل المثال، المصفوفات القطرية ذات الترتيب نفسه تكون تبادلية.

لو
، ثم اختياري
أو
. أي أن حاصل ضرب المصفوفات غير الصفرية يمكن أن يعطي مصفوفة صفرية. على سبيل المثال

عملية الأس محددة فقط للمصفوفات المربعة. لو
، الذي - التي

.

بحكم التعريف يعتقدون
، ومن السهل إظهار ذلك
,
. لاحظ أنه من
لا يتبع ذلك
.

الأسي العنصر الحكيم أ. م =
.

عملية تبديل المصفوفة تتكون من استبدال صفوف المصفوفة بأعمدتها:

,

على سبيل المثال

,
.

تبديل الخصائص:

المحددات وخصائصها.

بالنسبة للمصفوفات المربعة غالبا ما يستخدم هذا المفهوم المحدد - رقم يتم حسابه من عناصر المصفوفة باستخدام قواعد محددة بدقة. يعد هذا الرقم من الخصائص المهمة للمصفوفة ويُشار إليه بالرموز

.

محدد المصفوفة
هو عنصرها .

محدد المصفوفة
تحسب وفقا للقاعدة:

أي أنه يتم طرح حاصل ضرب عناصر القطر الإضافي من حاصل ضرب عناصر القطر الرئيسي.

لحساب محددات الترتيب الأعلى (
) من الضروري إدخال مفاهيم المكمل الصغير والجبري للعنصر.

صغير
عنصر هو المحدد الذي يتم الحصول عليه من المصفوفة ، شطب السطر و العمود العاشر.

النظر في المصفوفة مقاس
:

,

ثم، على سبيل المثال،

تكملة جبرية عنصر يسمونه قاصر مضروبا
.

,

نظرية لابلاس: محدد المصفوفة المربعة يساوي مجموع منتجات عناصر أي صف (عمود) بمكملاتها الجبرية.

على سبيل المثال، تتحلل
وبالاعتماد على عناصر السطر الأول نحصل على:

توفر النظرية الأخيرة طريقة عالمية لحساب محددات أي ترتيب، بدءًا من الثاني. يتم دائمًا اختيار الصف (العمود) ليكون هو الذي يحتوي على أكبر عدد من الأصفار. على سبيل المثال، تحتاج إلى حساب محدد الدرجة الرابعة

في هذه الحالة، يمكنك توسيع المحدد على طول العمود الأول:

أو السطر الأخير:

يوضح هذا المثال أيضًا أن محدد المصفوفة المثلثية العليا يساوي حاصل ضرب عناصرها القطرية. ومن السهل إثبات أن هذا الاستنتاج صالح لأي مصفوفات مثلثية وقطرية.

تتيح نظرية لابلاس إمكانية تقليل حساب المحدد - الترتيب الذي سيتم حسابه المحددات
الترتيب، وفي نهاية المطاف، لحساب محددات الدرجة الثانية.

مصفوفة مربعة أطلب نيمكنك مقارنة عدد ديت أ(أو | أ|، أو )، اتصل بها المحدد ، على النحو التالي:

محدد المصفوفة أكما دعا لها المحدد . قاعدة لحساب المحدد لمصفوفة الترتيب نمن الصعب جدًا فهمه وتطبيقه. ومع ذلك، هناك طرق معروفة تجعل من الممكن تنفيذ حساب محددات الرتب العليا على أساس محددات الرتب الأدنى. تعتمد إحدى الطرق على خاصية توسيع المحدد إلى عناصر سلسلة معينة (الخاصية 7). وفي نفس الوقت نلاحظ أنه من المستحسن التمكن من حساب محددات الطلبات المنخفضة (1، 2، 3) حسب التعريف.

يتم توضيح حساب محدد الدرجة الثانية من خلال الرسم البياني:

مثال 4.1.العثور على محددات المصفوفات

عند حساب محدد الدرجة الثالثة، فهو مناسب للاستخدام حكم المثلث (أو ساروس)، والتي يمكن كتابتها رمزياً على النحو التالي:

مثال 4.2.احسب محدد المصفوفة

ديت أ = 5*1*(-3) + (-2)*(-4)*6 + 3*0*1 — 6*1*1 — 3*(-2)*(-3) — 0*(-4)*5 = -15+48-6-18 = 48-39 = 9.

دعونا نقوم بصياغة الخصائص الأساسية للمحددات المتأصلة في محددات جميع الرتب. وسنشرح بعض هذه الخصائص باستخدام محددات الدرجة الثالثة.

الخاصية 1 ("المساواة بين الصفوف والأعمدة"). لن يتغير المحدد إذا تم استبدال صفوفه بأعمدة، والعكس صحيح. بعبارة أخرى،

في ما يلي، سوف نقوم ببساطة باستدعاء الصفوف والأعمدة صفوف المحدد .

الملكية 2 . عند إعادة ترتيب سلسلتين متوازيتين، تظهر علامة التغييرات المحددة.

الملكية 3 . المحدد الذي له سلسلتين متطابقتين يساوي صفرًا.

الخاصية 4 . يمكن إخراج العامل المشترك لعناصر أي سلسلة من المحددات من إشارة المحدد.

من الخصائص 3 و 4 يتبع، أنه إذا كانت جميع عناصر سلسلة معينة متناسبة مع العناصر المقابلة لها في سلسلة متوازية، فإن هذا المحدد يساوي الصفر.

حقًا،

العقار 5 . إذا كانت عناصر أي سلسلة من المحددات عبارة عن مجموع حدين، فيمكن تحليل المحدد إلى مجموع محددين متقابلين.

على سبيل المثال،

العقار 6. ("التحولات الأولية للمحدد"). لن يتغير المحدد إذا أضيفت العناصر المقابلة من سلسلة متوازية إلى عناصر سلسلة واحدة مضروبة في أي رقم.

مثال 4.3. اثبات ذلك

الحل: في الواقع، باستخدام الخصائص 5 و 4 و 3 سوف نتعلم

ترتبط خصائص أخرى للمحددات بمفاهيم المكملة الصغرى والجبري.

صغيربعض العناصر аijالمحدد ن-ذ الترتيب يسمى المحدد ن- الترتيب الأول، يتم الحصول عليه من الأصل عن طريق شطب الصف والعمود عند التقاطع الذي يقع فيه العنصر المحدد. معين mij

تكملة جبريةعنصر aijيُسمى المحدد قاصرًا، ويُؤخذ بعلامة الجمع، إذا كان المجموع ط + يرقم زوجي، ومع علامة الطرح إذا كان هذا المبلغ فرديا. معين آيج:

العقار 7 ("تحليل المحدد إلى عناصر سلسلة معينة"). المحدد يساوي مجموع منتجات عناصر سلسلة معينة ومكملاتها الجبرية المقابلة.