فيما يلي الخصائص التي يتم استخدامها بشكل شائع لحساب المحددات في دورة الرياضيات القياسية العليا. هذا موضوع فرعي سوف نشير إليه من بقية الأقسام حسب الحاجة.

لذلك ، دع مصفوفة مربعة معينة $ A_ (n \ times n) = \ left (\ start (array) (cccc) a_ (11) & a_ (12) & \ ldots & a_ (1n) \\ a_ (21) & a_ (22) & \ ldots & a_ (2n) \\ \ ldots & \ ldots & \ ldots & \ ldots \\ a_ (n1) & a_ (n2) & \ ldots & a_ (nn) \\ \ end ( صفيف) حق) $. كل مصفوفة مربعة لها خاصية تسمى المحدد (أو المحدد). لن أخوض في جوهر هذا المفهوم هنا. إذا تطلب الأمر توضيحًا ، فأطلب منك إلغاء الاشتراك في المنتدى ، وسأتطرق إلى هذه المشكلة بمزيد من التفصيل.

يُرمز إلى محدد المصفوفة $ A $ على أنه $ \ Delta A $ أو $ | A | $ أو $ \ det A $. أمر حاسميساوي عدد الصفوف (الأعمدة) فيه.

1. لن تتغير قيمة المحدد إذا تم استبدال صفوفه بالأعمدة المقابلة ، أي $ \ Delta A = \ Delta A ^ T $.

   اظهر المخفي

   دعنا نستبدل الصفوف الموجودة فيه بأعمدة وفقًا للمبدأ: "كان هناك الصف الأول - أصبح العمود الأول" ، "كان هناك الصف الثاني - أصبح العمود الثاني":

   دعونا نحسب المحدد الناتج: $ \ left | \ start (array) (cc) 2 & 9 \\ 5 & 4 \ end (array) \ right | = 2 \ cdot 4-9 \ cdot 5 = -37 $. كما ترى ، لم تتغير قيمة المحدد من الاستبدال.

2. إذا قمت بتبديل صفين (عمودين) من المحدد ، فستتغير علامة المحدد إلى العكس.

   مثال على استخدام هذه الخاصية: إظهار \ إخفاء

   ضع في اعتبارك المحدد $ \ left | \ start (array) (cc) 2 & 5 \\ 9 & 4 \ end (array) \ right | $. لنجد قيمتها باستخدام الصيغة رقم 1 من موضوع حساب محددات الرتب الثانية والثالثة:

   $$ \ اليسار | \ start (array) (cc) 2 & 5 \\ 9 & 4 \ end (array) \ right | = 2 \ cdot 4-5 \ cdot 9 = -37. $$

   لنقم الآن بتبديل الخطين الأول والثاني. نحصل على المحدد $ \ left | \ start (array) (cc) 9 & 4 \\ 2 & 5 \ end (array) \ right | $. دعونا نحسب المحدد الناتج: $ \ left | \ start (array) (cc) 9 & 4 \\ 2 & 5 \ end (array) \ right | = 9 \ cdot 5-4 \ cdot 2 = 37 $. إذن ، قيمة المحدد الأصلي كانت (-37) ، والمحدد بترتيب الصفوف المتغير له القيمة $ - (- 37) = 37 دولارًا. تم تغيير علامة المعرف إلى عكس ذلك.

3. المحدد الذي تساوي فيه جميع عناصر الصف (العمود) صفرًا يساوي صفرًا.

   مثال على استخدام هذه الخاصية: إظهار \ إخفاء

   منذ في المحدد $ \ left | \ start (array) (ccc) -7 & 10 & 0 \\ -9 & 21 & 0 \\ 2 & -3 & 0 \ end (array) \ right | $ جميع عناصر العمود الثالث تساوي صفرًا ، ثم المحدد يساوي الصفر ، أي $ \ اليسار | \ start (مجموعة) (ccc) -7 & 10 & 0 \\ -9 & 21 & 0 \\ 2 & -3 & 0 \ end (array) \ right | = 0 $.

4. المحدد الذي تكون فيه جميع عناصر صف معين (عمود) مساوية للعناصر المقابلة لصف آخر (عمود) يساوي صفرًا.

   مثال على استخدام هذه الخاصية: إظهار \ إخفاء

   منذ في المحدد $ \ left | \ start (array) (ccc) -7 & 10 & 0 \\ -7 & 10 & 0 \\ 2 & -3 & 18 \ end (array) \ right | $ جميع عناصر السطر الأول تساوي المقابل عناصر السطر الثاني ، ثم المحدد هو صفر ، أي $ \ اليسار | \ start (مجموعة) (ccc) -7 & 10 & 0 \\ -7 & 10 & 0 \\ 2 & -3 & 18 \ end (array) \ right | = 0 $.

5. إذا كانت جميع عناصر صف واحد (عمود) في المحدد متناسبة مع العناصر المقابلة لصف آخر (عمود) ، فإن هذا المحدد يساوي صفرًا.

   مثال على استخدام هذه الخاصية: إظهار \ إخفاء

   منذ في المحدد $ \ left | \ start (array) (ccc) -7 & 10 & 28 \\ 5 & -3 & 0 \\ -15 & 9 & 0 \ end (array) \ right | $ السطران الثاني والثالث متناسبان ، أي $ r_3 = -3 \ cdot (r_2) $ ، ثم المحدد هو صفر ، أي $ \ اليسار | \ start (مجموعة) (ccc) -7 & 10 & 28 \\ 5 & -3 & 0 \\ -15 & 9 & 0 \ end (array) \ right | = 0 $.

6. إذا كان لجميع عناصر الصف (العمود) عامل مشترك ، فيمكن إخراج هذا العامل من علامة المحدد.

   مثال على استخدام هذه الخاصية: إظهار \ إخفاء

   ضع في اعتبارك المحدد $ \ left | \ start (array) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \ end (array) \ right | $. لاحظ أن كل عناصر السطر الثاني قابلة للقسمة على 3:

   $$ \ اليسار | \ start (array) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \ end (array) \ right | = \ left | \ start (مجموعة) (cc) -7 & 10 \\ 3 \ cdot (-3) & 3 \ cdot 7 \ end (array) \ right | $$

   الرقم 3 هو العامل المشترك لجميع العناصر في الصف الثاني. لنخرج الثلاثة لعلامة المحدد:

   $$ \ اليسار | \ start (array) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \ end (array) \ right | = \ left | \ start (array) (cc) -7 & 10 \\ 3 \ cdot (-3) & 3 \ cdot 7 \ end (array) \ right | = 3 \ cdot \ left | \ start (array) (cc) -7 & 10 \\ -3 & 7 \ end (array) \ right | $$

7. لن يتغير المحدد إذا قمنا بإضافة العناصر المقابلة لصف آخر (عمود) ، مضروبًا في رقم تعسفي ، إلى جميع عناصر صف معين (عمود).

   مثال على استخدام هذه الخاصية: إظهار \ إخفاء

   ضع في اعتبارك المحدد $ \ left | \ start (مجموعة) (ccc) -7 & 10 & 0 \\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \ end (array) \ right | $. دعنا نضيف إلى عناصر السطر الثاني العناصر المقابلة للسطر الثالث ، مضروبة في 5. هذا الإجراء مكتوب على النحو التالي: $ r_2 + 5 \ cdot (r_3) $. سيتم تغيير السطر الثاني ، وستبقى بقية الأسطر دون تغيير.

   $$ \ اليسار | \ start (مجموعة) (ccc) -7 & 10 & 0 \\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \ end (array) \ right | \ start (array) (l) \ phantom (0) \\ r_2 + 5 \ cdot (r_3) \\ \ phantom (0) \ end (array) = \ left | \ start (مجموعة) (ccc) -7 & 10 & 0 \\ -9 + 5 \ cdot 2 & 21 + 5 \ cdot (-3) & 4 + 5 \ cdot 1 \\ 2 & -3 & 1 \ end (مجموعة) \ يمين | = \ يسار | \ start (مجموعة) (ccc) -7 & 10 & 0 \\ 1 & 6 & 9 \\ 2 & -3 & 1 \ end (array) \ right |. $$

8. إذا كان صف (عمود) معين في المحدد يحتوي على مجموعة خطية من الصفوف (الأعمدة) الأخرى ، فإن المحدد يساوي صفرًا.

   مثال على استخدام هذه الخاصية: إظهار \ إخفاء

   اسمحوا لي أن أشرح على الفور ما تعنيه عبارة "المجموعة الخطية". لنفترض أن لدينا صفوفًا (أو أعمدة): $ A_1 $ ، $ A_2 $ ، ... ، $ A_s $. تعبير

   $$ k_1 \ cdot A_1 + k_2 \ cdot A_2 + \ ldots + k_s \ cdot A_s، $$

   حيث يُطلق على $ k_i \ in R $ مجموعة خطية من الصفوف (الأعمدة) $ A_1 $ ، $ A_2 $ ، ... ، $ A_s $.

   على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك المحددات التالية:

   $$ \ اليسار | \ start (مجموعة) (cccc) -1 & 2 & 3 & 0 \\ -2 & -4 & -5 & 1 \\ 5 & 0 & 7 & 10 \\ -13 & -8 & -16 & -7 \ نهاية (مجموعة) \ يمين | $$

   في هذا المؤهل ، يمكن التعبير عن السطر الرابع كمجموعة خطية من الأسطر الثلاثة الأولى:

   $$ r_4 = 2 \ cdot (r_1) +3 \ cdot (r_2) -r_3 $$

   لذلك ، فإن المحدد قيد النظر يساوي صفرًا.

9. إذا كان كل عنصر من صف معين من الصف k (العمود k-th) للمُحدد يساوي مجموع فترتين ، فإن هذا المحدد يساوي مجموع المحددات ، وأولها في خط kth(العمود k) يحتوي على المصطلحات الأولى ، والمحدد الثاني في الصف k (العمود k) له المصطلحات الثانية. العناصر الأخرى في هذه التصفيات هي نفسها.

   مثال على استخدام هذه الخاصية: إظهار \ إخفاء

   ضع في اعتبارك المحدد $ \ left | \ start (مجموعة) (ccc) -7 & 10 & 0 \\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \ end (array) \ right | $. لنكتب عناصر العمود الثاني على النحو التالي: $ \ left | \ start (مجموعة) (ccc) -7 & 3 + 7 & 0 \\ -9 & 21 + 0 & 4 \\ 2 & 5 + (- 8) & 1 \ end (array) \ right | $. ثم هذا المحدد يساوي مجموع اثنين من المحددات:

   $$ \ اليسار | \ start (array) (ccc) -7 & 10 & 0 \\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \ end (array) \ right | = \ left | \ start (مجموعة) (ccc) -7 & 3 + 7 & 0 \\ -9 & 21 + 0 & 4 \\ 2 & 5 + (- 8) & 1 \ end (array) \ right | = \ left | \ start (مجموعة) (ccc) -7 & 3 & 0 \\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & 5 & 1 \ end (array) \ right | + \ left | \ start (مجموعة) (ccc) -7 & 7 & 0 \\ -9 & 0 & 4 \\ 2 & -8 & 1 \ end (array) \ right | $$

10. محدد حاصل ضرب مصفوفتين مربعتين من نفس الترتيب يساوي حاصل ضرب محددات هذه المصفوفات ، أي $ \ det (A \ cdot B) = \ det A \ cdot \ det B $. من هذه القاعدة ، يمكنك الحصول على الصيغة التالية: $ \ det \ left (A ^ n \ right) = \ left (\ det A \ right) ^ n $.
11. إذا كانت المصفوفة $ A $ غير متدرجة (أي أن محددها ليس صفراً) ، فإن $ \ det \ left (A ^ (- 1) \ right) = \ frac (1) (\ det A) $.

صيغ لحساب المحددات

بالنسبة لمحددات الطلبين الثاني والثالث ، فإن الصيغ التالية صالحة:

\ start (المعادلة) \ Delta A = \ left | \ start (array) (cc) a_ (11) & a_ (12) \\ a_ (21) & a_ (22) \ end (array) \ right | = a_ (11) \ cdot a_ (22) -a_ ( 12) \ cdot a_ (21) \ نهاية (معادلة) \ ابدأ (معادلة) \ ابدأ (محاذاة) & \ دلتا أ = \ يسار | \ start (مجموعة) (ccc) a_ (11) & a_ (12) & a_ (13) \\ a_ (21) & a_ (22) & a_ (23) \\ a_ (31) & a_ (32) & a_ (33) \ end (array) \ right | = a_ (11) \ cdot a_ (22) \ cdot a_ (33) + a_ (12) \ cdot a_ (23) \ cdot a_ (31) + a_ (21 ) \ cdot a_ (32) \ cdot a_ (13) - \\ & -a_ (13) \ cdot a_ (22) \ cdot a_ (31) -a_ (12) \ cdot a_ (21) \ cdot a_ (33 ) -a_ (23) \ cdot a_ (32) \ cdot a_ (11) \ end (محاذاة) \ نهاية (معادلة)

أمثلة على استخدام الصيغتين (1) و (2) في موضوع "صيغ لحساب محددات الرتب الثانية والثالثة. أمثلة على حساب المحددات".

يمكن توسيع محدد المصفوفة $ A_ (n \ times n) $ من حيث أنا خطباستخدام الصيغة التالية:

\ start (المعادلة) \ Delta A = \ sum \ limits_ (j = 1) ^ (n) a_ (ij) A_ (ij) = a_ (i1) A_ (i1) + a_ (i2) A_ (i2) + \ ldots + a_ (in) A_ (in) \ end (معادلة)

يوجد أيضًا تناظرية لهذه الصيغة للأعمدة. صيغة توسيع المحدد في العمود j هي كما يلي:

\ start (المعادلة) \ Delta A = \ sum \ limits_ (i = 1) ^ (n) a_ (ij) A_ (ij) = a_ (1j) A_ (1j) + a_ (2j) A_ (2j) + \ ldots + a_ (nj) A_ (nj) \ end (معادلة)

يتم توضيح القواعد التي يتم التعبير عنها بواسطة الصيغتين (3) و (4) بالتفصيل مع أمثلة وموضحة في موضوع تقليل ترتيب المحددات. تحلل المحدد بالصف (العمود).

دعونا نشير إلى صيغة أخرى لحساب محددات المثلث العلوي والمصفوفات المثلثية السفلى (لشرح هذه المصطلحات ، انظر موضوع "المصفوفات. أنواع المصفوفات. المصطلحات الأساسية"). محدد مثل هذه المصفوفة يساوي حاصل ضرب العناصر على القطر الرئيسي. أمثلة:

\ تبدأ (محاذاة) & \ يسار | \ start (مجموعة) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & -6 \ end (مجموعة) \ يمين | = 2 \ cdot 9 \ cdot 4 \ cdot (-6) = - 432. \ & \ يسار | \ start (مجموعة) (cccc) -3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 0 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 10 \ end (مجموعة) \ صحيح | = -3 \ cdot 0 \ cdot 1 \ cdot 10 = 0. نهاية (محاذاة)

المصفوفات والمحددات

محاضرة 1. المصفوفات

1. مفهوم المصفوفة. أنواع المصفوفة

2. مصفوفة الجبر

المحاضرة 2. المحددات

1. محددات المصفوفة المربعة وخصائصها

2. نظريات لابلاس والإبطال

المحاضرة 3. معكوس المصفوفة

1. مفهوم معكوس المصفوفة. تفرد معكوس المصفوفة

2. خوارزمية لبناء معكوس المصفوفة. خصائص المصفوفة العكسية

4. المهام والتمارين

4.1 المصفوفات والإجراءات عليها

4.2 المحددات

4.3 مصفوفة معكوسة

5. المهام الفردية

المؤلفات

المحاضرة 1. مصفوفة

يخطط

1. مفهوم المصفوفة. أنواع المصفوفات.

2. جبر المصفوفات.

المفاهيم الرئيسية

مصفوفة قطرية.

مصفوفة الوحدة.

مصفوفة صفرية.

مصفوفة متماثلة.

اتساق المصفوفة.

تبديل موضع.

مصفوفة مثلثة.

1. مفهوم المصفوفة. أنواع المصفوفات

طاولة مستطيلة

تتكون من m من الصفوف و n من الأعمدة ، عناصرها أرقام حقيقية ، حيث أنا- رقم السطر، ي- رقم العمود عند التقاطع الذي يقف عليه هذا العنصر ، سنسمي الرقم مصفوفةمن أجل m´n والدلالة.

لنفكر في الأنواع الرئيسية للمصفوفات:

1. دع م = ن ، ثم المصفوفة А - مربع المصفوفة ذات الترتيب n:

أ = .

العناصر تشكل القطر الرئيسي ، العناصر تشكيل قطري جانبي.

قطري إذا كانت جميع عناصره ، باستثناء ، ربما ، عناصر القطر الرئيسي ، تساوي صفرًا:

أ = = دياج ( ).

تسمى المصفوفة القطرية ، وبالتالي المربعة غير مرتبطة إذا كانت جميع عناصر القطر الرئيسي تساوي 1:

E = = دياج (1 ، 1 ، 1 ، ... ، 1).

لاحظ أن مصفوفة الهوية هي مصفوفة تماثلية للوحدة في مجموعة الأعداد الحقيقية ، وتؤكد أيضًا أن مصفوفة الهوية محددة فقط للمصفوفات المربعة.

فيما يلي بعض الأمثلة لمصفوفات الوحدات:

المصفوفات المربعة

أ = ، ب =

تسمى المثلث العلوي والسفلي ، على التوالي.

2 ... لنفترض أن م = 1 ، فإن المصفوفة أ هي مصفوفة صف ، لها الشكل:

3 ... لنفترض أن n = 1 ، فإن المصفوفة A هي عمود مصفوفة ، لها الشكل:

4 .المصفوفة الصفرية هي مصفوفة مرتبة m´n ، وجميع عناصرها تساوي 0:

لاحظ أن المصفوفة الفارغة يمكن أن تكون مربعًا أو صفًا أو عمودًا. المصفوفة الصفرية هي نظير المصفوفة للصفر في مجموعة الأعداد الحقيقية.

5 ... تسمى المصفوفة منقول إلى مصفوفة ويتم الإشارة إليها إذا كانت أعمدتها متطابقة مع صفوف المصفوفة.

مثال . اسمحوا = ، ثم =.

لاحظ أنه إذا كانت المصفوفة A بالترتيب m´n ، فإن المصفوفة المنقولة تكون بالرتبة n´m.

6 ... يسمى المصفوفة أ متماثل إذا كان A = A ، و انحراف متماثل إذا كانت A = –A.

مثال . تحقق من تماثل المصفوفة A و B.

إذن = ، إذن ، المصفوفة A متناظرة ، بما أن A = A.

B = ، إذن = ، إذن ، المصفوفة B متناظرة منحرفة ، لأن B = - B.

لاحظ أن المصفوفات المتماثلة والمتماثلة المنحرفة تكون دائمًا مربعة. يمكن لأي عنصر أن يقف على القطر الرئيسي لمصفوفة متماثلة ، ويجب أن تقف العناصر المتطابقة بشكل متماثل فيما يتعلق بالقطر الرئيسي ، أي =. يوجد دائمًا أصفار على القطر الرئيسي لمصفوفة ذات انحراف متماثل ، وبشكل متماثل بالنسبة للقطر الرئيسي = -.

2. الجبر من المواد

دعنا نفكر في العمليات على المصفوفات ، لكن أولاً نقدم بعض المفاهيم الجديدة.

تسمى مصفوفتان A و B مصفوفتان من نفس الترتيب إذا كان لهما نفس عدد الصفوف ونفس عدد الأعمدة.

مثال. وهي مصفوفات من نفس الترتيب 2´3 ؛

وهي مصفوفات من رتب مختلفة ، منذ 2´3 ≠ 3´2.

أكبر من وأقل من غير معرّفة للمصفوفات.

تسمى المصفوفتان A و B بالتساوي إذا كانت من نفس الترتيب m´n ، و = ، حيث 1 ، 2 ، 3 ، ... ، m ، و j = 1 ، 2 ، 3 ، ... ، n.

ضرب مصفوفة بعدد.

يؤدي ضرب المصفوفة A في الرقم λ إلى ضرب كل عنصر من عناصر المصفوفة بالرقم λ:

λА = ، λR.

من عند هذا التعريفويترتب على ذلك أنه يمكن إخراج العامل المشترك لجميع عناصر المصفوفة من علامة المصفوفة.

مثال.

دع المصفوفة أ = ، ثم 5 أ = =.

دع المصفوفة ب = = = 5.

خصائص ضرب مصفوفة في رقم :

2) (μ) А = (μА) = μ (А) ، حيث λ ، μ R ؛

3) (А) = А ؛

مجموع (فرق) المصفوفات .

يتم تحديد مجموع (الفرق) فقط لمصفوفات من نفس الترتيب m´n.

يسمى مجموع (فرق) المصفوفتين A و B بالترتيب m´n بالمصفوفة C من نفس الترتيب ، حيث = ± (1 ، 2 ، 3 ، ... ، م ,

ي= 1، 2، 3، ...، ن.).

بمعنى آخر ، تتكون المصفوفة C من عناصر مساوية لمجموع (فرق) العناصر المقابلة للمصفوفتين A و B.

مثال . أوجد مجموع وفرق المصفوفتين أ و ب.

ثم = + = =,

=–==.

إذا = ، = ، إذن А ± В غير موجود ، لأن المصفوفات مختلفة الترتيب.

من التعاريف المذكورة أعلاه يتبع الخصائصمجاميع المصفوفة:

1) التبديل أ + ب = ب + أ ؛

2) الترابطية (أ + ب) + ج = أ + (ب + ج) ؛

3) التوزيع على الضرب بالعدد λR: λ (А + В) = А + λВ ؛

4) 0 + A = A ، حيث 0 عبارة عن مصفوفة صفرية ؛

5) А + (- А) = 0 ، حيث (–А) هي المصفوفة المقابلة للمصفوفة А ؛

6) (أ + ب) = أ + ب.

ناتج المصفوفات.

لم يتم تحديد عملية المنتج لجميع المصفوفات ، ولكن فقط للمصفوفات المتوافقة.

تسمى المصفوفات A و B متفق عليه ، إذا كان عدد أعمدة المصفوفة A يساوي عدد صفوف المصفوفة B. لذلك ، إذا ، m ≠ k ، فإن المصفوفتين A و B متسقتان ، حيث أن n = n ، وفي المصفوفات بالترتيب العكسي B و A غير متسقة ، لأن م ≠ ك. تكون المصفوفات المربعة متسقة عندما يكون لها نفس الترتيب n ، ويكون كل من A و B و B و A متسقين. إذا ، a ، فإن المصفوفات A و B ، بالإضافة إلى المصفوفتين B و A ، ستكون متسقة ، حيث أن n = n ، م = م.

حاصل ضرب مصفوفتين متطابقتين و

أ = ، ب =

تسمى المصفوفة C للأمر m´k:

= ∙ ، يتم حساب عناصرها بالصيغة:

(1 ، 2 ، 3 ، ... ، م ، ي = 1 ، 2 ، 3 ، ... ، ك) ،

أي أن عنصر الصف الأول والعمود ي من المصفوفة C يساوي مجموع حاصل ضرب جميع عناصر الصف الأول من المصفوفة A بالعناصر المقابلة للعمود j –th من مصفوفة ب.

مثال . أوجد حاصل ضرب المصفوفتين أ وب.

∙===.

حاصل ضرب المصفوفات B ∙ A غير موجود ، لأن المصفوفتين B و A غير متسقتين: المصفوفة B لها الترتيب 2´2 ، والمصفوفة A لها الترتيب 3´2.

انصح الخصائصمنتجات ماتريكس:

1 ) عدم التبديل: AB ≠ BA ، حتى لو كانت A و B و B و A متسقة. إذا كان AB = BA ، فإن المصفوفتين A و B تسمى التنقل (المصفوفتان A و B في هذه الحالة ستكونان بالضرورة مربعتين).

مثال 1 . = , = ;

==;

==.

من الواضح ، ≠.

مثال 2 . = , = ;

= = =;

= = = .

انتاج: ≠ ، على الرغم من أن المصفوفات من نفس الترتيب.

2 ) لأي مصفوفة مربعة ، مصفوفة الوحدة E تنتقل إلى أي مصفوفة A من نفس الترتيب ، ونتيجة لذلك نحصل على نفس المصفوفة A ، أي AE = EA = A.

مثال .

===;

===.

3 ) أ 0 = 0 أ = 0.

4 ) يمكن أن يكون حاصل ضرب مصفوفتين صفراً ، بينما يمكن أن يكون حاصل ضرب المصفوفتين A و B غير صفري.

مثال .

= ==.

5 ) الارتباط ABC = A (BC) = (AB) C:

· (·

مثال .

لدينا مصفوفات , ;

ثم A ּ (B ּ C) = (

(أ ، ب) ، ج =

===

==.

وهكذا، لقد أظهرنا التي كتبها مثال A ּ (B ּ C) = (A ּ B) ּ C.

6 ) التوزيع فيما يتعلق بالإضافة:

(A + B) ∙ C = AC + BC ، A ∙ (B + C) = AB + AC.

7) (أ ∙ ب) = ب ∙ أ.

مثال.

, =.

ثم AB =∙==

=(أ ∙ ب)= =

الخامس ∙أ =∙ = ==.

هكذا، ( أ ∙ ب)= الخامس أ .

8 ) λ (А ּ В) = (λА) ּ В = А ּ (λВ)، λ، R.

ضع في اعتبارك الأمثلة النموذجية لتنفيذ الإجراءات على المصفوفات ، أي أنك تحتاج إلى إيجاد المجموع والفرق والمنتج (إن وجد) لمصفوفتين أ و ب.

مثال 1 .

, .

حل.

1) + = = =;

2) – ===;

3) المنتج غير موجود ، لأن المصفوفتين A و B غير متسقتين ، ومع ذلك ، فإن المنتج غير موجود للسبب نفسه.

مثال 2 .

حل.

1) مجموع المصفوفات ، بالإضافة إلى الاختلاف بينهما ، غير موجود ، لأن المصفوفات الأولية لها ترتيب مختلف: المصفوفة A لها الترتيب 2´3 ، والمصفوفة B لها الترتيب 3´1 ؛

2) بما أن المصفوفتين A و B متسقتان ، فإن منتج المصفوفتين A و B موجود:

·=·= =,

المنتج المصفوفات В ּ А غير موجود، لأن المصفوفات وغير متناسقة.

مثال 3.

حل.

1) مجموع المصفوفات ، بالإضافة إلى الاختلاف بينهما ، غير موجود ، لأن المصفوفات الأولية ذات ترتيب مختلف: المصفوفة A لها الترتيب 3´2 ، والمصفوفة B لها الترتيب 2´3 ؛

2) المنتج من كلا مصفوفات A ּ B و B ּ A موجود، لأن المصفوفات متسقة، ولكن نتيجة لهذه المنتجات أن تكون مصفوفات أوامر مختلفة: · =، = ·.

= = ;

·=·= =

في هذه الحالة ، AB ≠ VA.

مثال 4 .

حل.

1) +===,

2) –= ==;

3) المنتج كمصفوفات أ ּ الخامسو الخامس ּ أ، موجود لأن المصفوفات متسقة:

·==·= =;

·==·= =

= ≠ ، أي أن المصفوفتين A و B غير قابلة للتفاوض.

مثال 5 .

حل.

1) +===,

2) –===;

3) المنتج من كلا مصفوفات A ּ B و B ּ A موجود، لأن المصفوفات تتماشى:

·==·= =;

·==·= =

A ּ B = B ּ A، وهذا هو، هذه المصفوفات والمسافرين من.

المحاضرة 2. المحددات

يخطط

1. محددات المصفوفة المربعة وخصائصها.

2. نظريات لابلاس والإبطال.

المفاهيم الرئيسية

المكمل الجبري لعنصر محدد.

عنصر ثانوي محدد.

محدد الرتبة الثانية.

محدد الرتبة الثالثة.

محدد الأمر التعسفي.

نظرية لابلاس.

نظرية الإبطال.

1. محددات المصفوفة المربعة وخصائصها

لنفترض أن A يكون مصفوفة مربعة من أجل n:

أ = .

يمكن ربط كل مصفوفة برقم حقيقي واحد ، يسمى المحدد (المحدد) للمصفوفة ويشار إليه

Det A = Δ = .

لاحظ أن المحدد موجود فقط من أجل مربعالمصفوفات.

ضع في اعتبارك قواعد حساب المحددات وخصائصها للمصفوفات المربعة من الرتبتين الثانية والثالثة ، والتي سوف ندعوها إلى الإيجاز لمحددات الرتبتين الثانية والثالثة ، على التوالي.

محدد الرتبة الثانيةالمصفوفة هي رقم تحدده القاعدة:

أي أن المحدد من الدرجة الثانية هو رقم يساوي منتج عناصر القطر الرئيسي مطروحًا منه منتج عناصر القطر الثانوي.

مثال .

ثم == 4 · 3 - (–1) · 2 = 12 + 2 = 14.

يجب أن نتذكر أنه لتسمية المصفوفات ، يتم استخدام الأقواس أو الأقواس المربعة ، وللمحدد - الخطوط العمودية. المصفوفة عبارة عن جدول أعداد والمحدد رقم.

تعريف المحدد من الدرجة الثانية يعني الخصائص :

1. لن يتغير المحدد عند استبدال جميع صفوفه بالأعمدة المقابلة:

2. تتغير علامة المحدد إلى العكس عند إعادة ترتيب صفوف (أعمدة) المحدد:

3. يمكن إخراج العامل المشترك لجميع عناصر الصف (العمود) للمحدد بعد علامة المحدد:

4. إذا كانت جميع عناصر الصف (العمود) للمحدد تساوي صفرًا ، فإن المحدد يساوي صفرًا.

5. المحدد يساوي صفرًا إذا كانت العناصر المقابلة لصفوفه (أعمدته) متناسبة:

6. إذا كانت عناصر صف واحد (عمود) للمحدد مساوية لمجموع فترتين ، فإن هذا المحدد يساوي مجموع اثنين من المحددات:

=+, =+.

7. لن تتغير قيمة المحدد إذا أضفنا (طرح) العناصر المقابلة لصف آخر (عمود) مضروبًا في نفس الرقم إلى عناصر صفه (العمود):

=+=,

منذ = 0 حسب الخاصية 5.

سيتم النظر في باقي خصائص المحددات أدناه.

دعونا نقدم مفهوم محدد الدرجة الثالثة: محدد الثالث ترتيبالمصفوفة المربعة هي الرقم

Δ == det A = =

=++– – – ,

أي أن كل مصطلح في الصيغة (2) هو منتج العناصر المحددة المأخوذة واحدًا وواحدًا فقط من كل صف وكل عمود. لتذكر المنتجات في الصيغة (2) التي يجب أخذها بعلامة الجمع وأي المنتجات بعلامة الطرح ، من المفيد معرفة قاعدة المثلثات (قاعدة Sarrus):

مثال . حساب المحدد

==

وتجدر الإشارة إلى أن خصائص المحدد من الدرجة الثانية ، المذكورة أعلاه ، يتم ترحيلها دون تغيير في حالة محددات أي ترتيب ، بما في ذلك الثالث.

2. نظرية لابليس والتركيب

لنفكر في خاصيتين أكثر أهمية للمحددات.

دعونا نقدم مفهومي المكمل الجزئي والصغير.

العنصر الثانوي للمحدِّديسمى المحدد الذي تم الحصول عليه من المحدد الأصلي عن طريق حذف هذا الصف وهذا العمود الذي ينتمي إليه العنصر المحدد. أنها تدل على عنصر ثانوي من خلال.

مثال . = .

ثم ، على سبيل المثال ، = ، =.

المكمل الجبري للعنصرالمحدد يسمى قاصره ، يؤخذ بعلامة. سيتم الإشارة إلى المكمل الجبري ، أي =.

على سبيل المثال:

= , === –,

دعنا نعود إلى الصيغة (2). من خلال تجميع العناصر واستخراج العامل المشترك ، نحصل على:

=(– ) +( – ) +(–)=

تم إثبات المساواة بالمثل:

1, 2, 3; (3)

الصيغ (3) تسمى صيغ التوسعمحدد بواسطة عناصر الصف الأول (العمود j) ، أو صيغ لابلاس لمحدد الترتيب الثالث.

لذلك نحصل ثامن خاصية المحدد :

نظرية لابلاس ... المحدد يساوي مجموع حاصل ضرب عناصر أي صف (عمود) بالمكملات الجبرية المقابلة لعناصر هذا الصف (العمود).

لاحظ أن خاصية المحدد هذه ليست أكثر من تعريف لمحدد أي ترتيب. في الممارسة العملية ، يتم استخدامه لحساب محدد لأي ترتيب. كقاعدة عامة ، قبل حساب المحدد ، باستخدام الخصائص من 1 إلى 7 ، يتحقق ، إن أمكن ، أن جميع العناصر في أي صف (عمود) باستثناء واحد تساوي صفرًا ، ثم يتم وضعها على عناصر الصف (عمودي).

مثال . حساب المحدد

== (اطرح الأول من السطر الثاني) =

== (اطرح الأول من السطر الثالث) =

== (نوسع المحدد بدلالة عناصر الثالث

الصفوف) = 1 = ּ (طرح العمود الأول من العمود الثاني) = = 1998 ּ 0-1 ּ 2 = -2.

مثال .

ضع في اعتبارك محدد من الدرجة الرابعة. لحسابها ، نستخدم نظرية لابلاس ، أي التوسع من حيث عناصر الصف (العمود).

== (منذ العمود الثاني يحتوي على ثلاثة عناصر الصفر، ونوسع المحدد من قبل عناصر العمود الثاني) = = 3 = ּ (من الصف الثاني طرحنا أول واحد ضرب 3، ومن الصف الثالث طرحنا أول واحد مضروب في 2) =

3 ، = (نوسع المحدد من حيث عناصر العمود الأول) = 3 ּ 1 ּ =

الملكية التاسعة المعرف يحمل الاسم نظرية الإبطال :

مجموع كل حاصل ضرب عناصر صف واحد (عمود) من المحدد بواسطة المكملات الجبرية المقابلة لعناصر صف آخر (عمود) يساوي صفرًا ، أي

++ = 0,

مثال .

= = (تتحلل بواسطة عناصر السطر الثالث) =

0 ּ +0 ּ + ּ = -2.

ولكن، لنفس المثال: 0 ּ +0 ּ +1 = ּ

0 ּ +0 ּ +1 = 0 ּ.

إذا كان محدد أي أمر له شكل مثلث

=، إذن فهو يساوي حاصل ضرب العناصر على القطر:

= ּּ ... ּ. (4)

مثال. احسب المحدد.

=

في بعض الأحيان ، عند حساب المحدد باستخدام التحويلات الأولية ، من الممكن تصغيره إلى شكل مثلث ، وبعد ذلك يتم تطبيق الصيغة (4).

أما بالنسبة لمحدد حاصل ضرب مصفوفتين مربعتين ، فهو يساوي حاصل ضرب محددات المصفوفات المربعة :.

المحاضرة 3. المصفوفة العكسية

يخطط

1. مفهوم معكوس المصفوفة. تفرد معكوس المصفوفة.

2. خوارزمية لبناء معكوس المصفوفة.

خصائص معكوس المصفوفة.

المفاهيم الرئيسية

مصفوفة معكوسة.

المصفوفة المرفقة.

1. مفهوم المصفوفة العكسية.

تفرد المصفوفة العكسية

في نظرية الأعداد ، جنبًا إلى جنب مع الرقم ، يُعرَّف الرقم المقابل لها () على هذا النحو ، ويكون الرقم معكوسًا على هذا النحو. على سبيل المثال ، بالنسبة للرقم 5 ، سيكون العكس هو الرقم

(- 5) ، والعكس هو رقم. وبالمثل ، في نظرية المصفوفات قدمنا ​​بالفعل مفهوم المصفوفة المقابلة ، تدوينها (- أ). مصفوفة معكوسة للمصفوفة المربعة A من الرتبة n تسمى مصفوفة إذا كانت المساواة

أين ههل مصفوفة الوحدة من الرتبة n.

لاحظ على الفور أن المصفوفة العكسية موجودة فقط لمصفوفات مربعة غير متولدة.

تسمى المصفوفة المربعة غير منحط (nonsingular) إذا كانت detA ≠ 0. إذا كانت detA = 0 ، فسيتم استدعاء المصفوفة A تتدهور (مميز).

لاحظ أن المصفوفة غير المولدة A لها قيمة فريدة مصفوفة معكوسة... دعونا نثبت هذا البيان.

دع المصفوفة أهناك نوعان من المصفوفات المعكوسة ، وهذا هو

ثم = = ּ ּ () =

Q.E.D.

لنجد محدد المصفوفة العكسية. نظرًا لأن محدد منتج مصفوفتين A و B من نفس الترتيب يساوي منتج محددات هذه المصفوفات ، أي ، بالتالي ، ناتج مصفوفتين غير متحللتين AB هو مصفوفة غير متحللة.

نستنتج أن محدد المصفوفة العكسية هو معكوس محدد المصفوفة الأصلية.

2. خوارزمية لإنشاء المصفوفة العكسية.

خصائص المصفوفة العكسية

دعونا نوضح أنه إذا كانت المصفوفة A غير متولدة ، فهناك مصفوفة معكوسة ، ونبنيها.

دعنا نؤلف مصفوفة من المكملات الجبرية لعناصر المصفوفة أ:

نقله ، نحصل على ما يسمى تعلق مصفوفة:

.

العثور على المنتج ּ. في ضوء نظرية لابلاس ونظرية الإبطال:

ּ = =

=.

نستنتج:

خوارزمية لبناء معكوس المصفوفة.

1) احسب محدد المصفوفة أ... إذا كان المحدد صفرًا ، فلا وجود للمصفوفة العكسية.

2) إذا كان محدد المصفوفة لا يساوي الصفر ، ثم من العناصر الجبرية المكملة للعناصر المقابلة للمصفوفة أمصفوفة.

3) اقلب المصفوفة للحصول على المصفوفة المرفقة.

4) باستخدام الصيغة (2) ، قم بتكوين معكوس المصفوفة.

5) تحقق من الحسابات باستخدام الصيغة (1).

مثال ... أوجد معكوس المصفوفة.

أ). دع أ =. بما أن المصفوفة A بها صفان متطابقان ، فإن محدد المصفوفة يساوي صفرًا. وبالتالي ، فإن المصفوفة متدهورة ، ولا يوجد لها مصفوفة معكوسة.

ب). اسمحوا ان أ =.

نحسب محدد المصفوفة

المصفوفة العكسية موجودة.

دعونا نؤلف مصفوفة من المكملات الجبرية

= = ;

بدور المصفوفة ، نحصل على المصفوفة المجاورة

بالصيغة (2) نجد معكوس المصفوفة

==.

دعنا نتحقق من صحة الحسابات

= = .

لذلك ، تم بناء معكوس المصفوفة بشكل صحيح.

خصائص المصفوفة العكسية

1. ;

2. ;

3. .

4. الأهداف والتمارين

4.1 المصفوفات والإجراءات عليها

1. أوجد المجموع والفرق وحاصل ضرب مصفوفتين أ و ب.

أ) , ;

ب) , ;

الخامس) , ;

ز) , ;

ه) , ;

ه) , ;

ز) , ;

ح) ، ;

و) , .

2. إثبات أن المصفوفتين "أ" و "ب" تنتقلان.

أ) ، ؛ ب) , .

3. معطى المصفوفات أ ب ، ج. أظهر أن (AB) · C = A · (BC).

أ) , , ;

ب) , , .

4. احسب (3A - 2B) · C إذا

, , .

5. البحث عما إذا كان

أ) ؛ ب) .

6. أوجد المصفوفة X إذا كانت 3A + 2X = B ، أين

, .

7. ابحث عن ABC إذا

أ) , , ;

ب) , , .

إجابات حول موضوع "المواد والإجراءات المذكورة أعلاه"

1.a) , ;

ب) المنتجات AB و BA غير موجودة ؛

الخامس) , ;

ز) , ;

هـ) عدم وجود مجاميع واختلافات ومنتجات مصفوفات VA ، ;

ه) ، ;

ز) منتجات المصفوفة غير موجودة ؛

ح) , ;

و) , .

2.a) ؛ ب) .

3.a) ؛ ب).

4. .

5.a) ؛ ب) .

6. .

7.a) ؛ ب) .

4.2 المحددات

1. حساب المحددات

أ) ؛ ب)؛ الخامس) ؛ ز) ؛ ه) ؛ ه) ؛

ز) ؛ ح) .

3- باستخدام قاعدة المثلث ، احسب المحددات

أ) ؛ ب)؛ الخامس) ؛ ز).

4. احسب محددات المثال 2 باستخدام نظرية لابلاس.

5. احسب المحددات ، مع تبسيطها أولاً:

أ) ؛ ب) ؛ الخامس) ;

ز) ؛ ه) ؛ ه) ;

ز) .

6. احسب المحدد عن طريق تصغيره إلى شكل مثلث

.

7. افترض أن المصفوفتين A و B. يثبتان ذلك :

, .

إجابات حول موضوع "المحددات"

1. أ) 10 ؛ ب) 1 ؛ ج) 25 ؛ د) 16 ؛ ه) 0 ؛ و) –3 ؛ ز) -6 ؛ ح) 1.

2. أ) -25 ؛ ب) 168 ؛ في 21 ؛ د) 12.

3. أ) -25 ؛ ب) 168 ؛ في 21 ؛ د) 12.

4. أ) 2 ؛ ب) 0 ؛ ج) 0 ؛ د) 70 ؛ هـ) 18 ؛ و) –66 ؛ ز) -36.

4.3 المصفوفة المعكوسة

1. أوجد معكوس المصفوفة:

أ) ؛ ب)؛ الخامس) ؛ ز) ؛

ه) ؛ ه) ؛ ز) ؛ ح) ;

و) ؛ إلى) ؛ ل) ;

م) ؛ ن) .

2. جد معكوس المصفوفة وتحقق من الحالة:

أ) ؛ ب) .

3. إثبات المساواة :

أ) ، ؛ ب) ,.

4. إثبات المساواة :

أ) ؛ ب) .

إجابات حول موضوع "المصفوفة الخلفية"

1.a) ؛ ب)؛ الخامس) ؛ ز) ;

ه) ؛ ه) ؛ ز) ؛

ح) ؛ و) ;

إلى) ؛ ل) ;

م) ؛ ن) .

2.a) ؛ ب) .

2.a) , , =;

ب) , ,

=.

5.a) , ,

, ;

ب) , ,

, .

5. المهام الفردية

1. احسب المحدد عن طريق التحلل

أ) على السطر الأول ؛

ب) في العمود ياء.

1.1. ; 1.2. ; 1.3. ;

أنا = 2 ، ي = 3. أنا = 4 ، ي = 1. أنا = 3 ، ي = 2.

1.4. ; 1.5. ; 1.6. ;

أنا = 3 ، ي = 3. أنا = 1 ، ي = 4. أنا = 2 ، ي = 2.

1.7. ; 1.8. ; 1.9. ;

أنا = 4 ، ي = 4. أنا = 2 ، ي = 2. أنا = 3 ، ي = 2.

1.10. ; 1.11. ; 1.12. ;

أنا = 2 ، ي = 1. أنا = 1 ، ي = 2. أنا = 3 ، ي = 2.

1.13. ; 1.14. ; 1.15. ;

أنا = 2 ، ي = 3. أنا = 1 ، ي = 3. أنا = 4 ، ي = 2.

1.16. ; 1.17. ; 1.18. ;

أنا = 2 ، ي = 3. أنا = 2 ، ي = 4. أنا = 1 ، ي = 3.

1.19. ; 1.20. ; 1.21. ;

أنا = 2 ، ي = 2. أنا = 1 ، ي = 4. أنا = 3 ، ي = 2.

1.22. ; 1.23. ; 1.24. ;

أنا = 1 ، ي = 3. أنا = 2 ، ي = 1. أنا = 3 ، ي = 4.

1.25. ; 1.26. ; 1.27. ;

أنا = 4 ، ي = 3. أنا = 3 ، ي = 3. أنا = 1 ، ي = 2.

1.28. ; 1.29. ; 1.30. .

أنا = 3 ، ي = 3. أنا = 2 ، ي = 1. أنا = 3 ، ي = 2.

المؤلفات

1. Zhevnyak R.M.، Karpuk A.A. الرياضيات العليا. - مينيسوتا: فيش. shk. ، 1992. - 384 ص.

2. Gusak A.A. كتاب مرجعي لحل المشكلات: الهندسة التحليلية والجبر الخطي. - مينسك: Tetrasystems ، 1998. - 288 ص.

3. Markov L.N. ، Razmyslovich G.P. الرياضيات العليا. الجزء 1. - مينسك: أمالفية ، 1999. - 208 ص.

4. Belko IV، Kuzmich K.K. الرياضيات العليا للاقتصاديين. أنا الفصل الدراسي. م: معرفة جديدة ، 2002. - 140 ص.

5. Kovalenko NS، Minchenkov Yu.V.، Ovseets M.I. الرياضيات العليا. كتاب مدرسي. مخصص. -Mn .: CHIUP، 2003. - 32 ص.

مصفوفة مربعة أترتيب نيمكن أن تتطابق مع عدد Det أ(أو | أ| ، أو) ، يطلق عليه محدد ، بالطريقة الآتية:

محدد مصفوفة أاتصل بها أيضا محدد ... قاعدة لحساب المحدد لمصفوفة الترتيب نيصعب فهمه واستخدامه. ومع ذلك ، هناك طرق معروفة تجعل من الممكن تنفيذ حساب محددات الطلبات الأعلى بناءً على محددات الطلبات الأقل. تعتمد إحدى الطرق على خاصية توسيع المحدد من حيث عناصر سلسلة معينة (الخاصية 7). في الوقت نفسه ، نلاحظ أنه من المستحسن أن تكون قادرًا على حساب محددات الطلبات المنخفضة (1 ، 2 ، 3) وفقًا للتعريف.

يوضح الرسم البياني حساب محدد الترتيب الثاني:

مثال 4.1.أوجد محددات المصفوفات

عند حساب محدد الترتيب الثالث ، يكون مناسبًا للاستخدام حكم المثلثات (أو Sarrus) ، والتي يمكن كتابتها بشكل رمزي مثل هذا:

مثال 4.2.احسب محدد مصفوفة

Det أ = 5*1*(-3) + (-2)*(-4)*6 + 3*0*1 — 6*1*1 — 3*(-2)*(-3) — 0*(-4)*5 = -15+48-6-18 = 48-39 = 9.

دعونا نصوغ الخصائص الأساسية للمحددات المتأصلة في محددات جميع الطلبات. دعونا نشرح بعض هذه الخصائص باستخدام محددات الترتيب الثالث.

خاصية 1 ("تساوي الصفوف والأعمدة"). لن يتغير المحدد إذا تم استبدال صفوفه بأعمدة ، والعكس صحيح. بعبارة أخرى،

في ما يلي ، سيتم ببساطة استدعاء الصفوف والأعمدة صفوف المحدد .

خاصية 2 ... عند تبديل صفين متوازيين ، علامة تغييرات المحدد.

الملكية 3 ... المحدد ذو الصفين المتماثلين يساوي صفرًا.

الملكية 4 ... يمكن إخراج العامل المشترك لعناصر أي صف من المحدد خارج علامة المحدد.

من الممتلكات 3 و 4 يتبع ذلك أنه إذا كانت جميع عناصر سلسلة معينة متناسبة مع العناصر المقابلة في السلسلة المتوازية ، فإن هذا المحدد يساوي صفرًا.

هل حقا،

الملكية 5 ... إذا كانت عناصر أي صف من المحددات عبارة عن مجموع فترتين ، فيمكن تحليل المحدد إلى مجموع محددين متطابقين.

على سبيل المثال،

الملكية 6. (« التحولات الأوليةالمحدد "). لن يتغير المحدد إذا أضفنا إلى عناصر الصف الواحد العناصر المقابلة للصف المتوازي ، مضروبة في أي رقم.

مثال 4.3... اثبت ذلك

الحل: في الواقع ، باستخدام الخصائص 5 و 4 و 3 سنعلم

المزيد من خصائص المحددات مرتبطة بمفاهيم المكمل الجزئي والصغير.

تحت السن القانونيبعض العناصر aijمحدد ن-ذ يسمى الأمر المحدد ن- الترتيب الأول ، الذي تم الحصول عليه من الترتيب الأولي عن طريق حذف الصف والعمود ، حيث يوجد العنصر المحدد عند تقاطعهما. يعني ميج

مكمل جبريعنصر aijالمحدد يسمى الصغرى ، ويؤخذ بعلامة الجمع ، إذا كان المجموع أنا + يعدد زوجي وعلامة سالب إذا كان هذا المبلغ فرديًا. يعني Aij:

الملكية 7 ("تحلل المحدد من حيث عناصر سلسلة معينة"). المحدد يساوي مجموع حاصل ضرب عناصر سلسلة معينة بالمكملات الجبرية المقابلة.

يتم وصف معظم النماذج الرياضية في علم الاقتصاد باستخدام المصفوفات وحساب التفاضل والتكامل.

مصفوفة هو جدول مستطيل يحتوي على أرقام أو وظائف أو معادلات أو كائنات رياضية أخرى مرتبة في صفوف وأعمدة.

الكائنات التي تتكون منها المصفوفة تسميها عناصر ... يتم الإشارة إلى المصفوفات بأحرف لاتينية كبيرة

وعناصرها صغيرة.

رمز
يعني أن المصفوفة لديها
خطوط و أعمدة عنصر التقاطع خط -Th و -العمود
.

.

يقولون أن المصفوفة أيساوي المصفوفة الخامس : أ = بإذا كان لديهم نفس البنية (أي نفس عدد الصفوف والأعمدة) والعناصر المقابلة لها متساوية
للجميع
.

أنواع المصفوفات الخاصة

في الممارسة العملية ، تعتبر المصفوفات من نوع خاص شائعة جدًا. تتضمن بعض الطرق أيضًا تحويل المصفوفات من نوع إلى آخر. يتم عرض أنواع المصفوفات الأكثر شيوعًا أدناه.

	مصفوفة مربعة ، عدد الصفوف نيساوي عدد الأعمدة ن
	مصفوفة العمود
	مصفوفة الصف
	مصفوفة مثلثة سفلية
	مصفوفة مثلثة عليا
	مصفوفة فارغة
	مصفوفة قطرية
ه =	مصفوفة الهوية ه(مربع)
	المصفوفة الوحدوية
	صعدت المصفوفة
	مصفوفة فارغة

عناصر المصفوفة بأرقام الصفوف والأعمدة المتساوية ، أي أ ثانياتشكل القطر الرئيسي للمصفوفة.

العمليات على المصفوفات.

.

خصائص العمليات على المصفوفات

خصائص محددة للخيارات

إذا كان ناتج المصفوفات
- موجود ثم العمل
قد لا تكون موجودة. بشكل عام،
... أي أن ضرب المصفوفة ليس تبادليًا. لو
، من ثم و تسمى تبادلي. على سبيل المثال ، المصفوفات القطرية من نفس الترتيب تبادلية.

لو
ثم اختياري
أو
... أي أن حاصل ضرب المصفوفات غير الصفرية يمكن أن يعطي مصفوفة صفرية. على سبيل المثال

عملية الأُس معرّفة فقط للمصفوفات المربعة. لو
، من ثم

.

بحكم التعريف ، من المفترض
، ومن السهل إظهار ذلك
,
... لاحظ أن من
لا يتبع ذلك
.

الأس العنصر الحكيم أ. م =
.

عملية التحويل تتكون المصفوفة من استبدال صفوف المصفوفة بأعمدتها:

,

على سبيل المثال

,
.

خصائص التحويل:

المحددات وخصائصها.

للمصفوفات المربعة ، غالبًا ما يستخدم هذا المفهوم محدد - رقم يتم حسابه بواسطة عناصر المصفوفة باستخدام قواعد محددة بدقة. هذا الرقم هو سمة مهمة للمصفوفة ويتم الإشارة إليه بالرموز

.

محدد المصفوفة
هو عنصرها .

محدد مصفوفة
محسوبة حسب القاعدة:

أي ، يتم طرح منتج عناصر القطر الإضافي من منتج عناصر القطر الرئيسي.

لحساب محددات رتبة أعلى (
) من الضروري تقديم مفهومي المكمل الجبري والصغير للعنصر.

تحت السن القانوني
عنصر هو المحدد الذي يتم الحصول عليه من المصفوفة بالشطب -الخط و العمود ال.

ضع في اعتبارك المصفوفة الحجم
:

,

ثم ، على سبيل المثال ،

مكمل جبري عنصر نسميها طفيفة مضروبة في
.

,

نظرية لابلاس: محدد المصفوفة المربعة يساوي مجموع حاصل ضرب عناصر أي صف (عمود) بمكملاتها الجبرية.

على سبيل المثال ، المتحللة
من خلال عناصر السطر الأول ، نحصل على:

توفر النظرية الأخيرة طريقة عالمية لحساب محددات أي ترتيب ، بدءًا من الثانية. يتم اختيار الصف (العمود) دائمًا على أنه الصف الذي يحتوي على أكبر عدد من الأصفار. على سبيل المثال ، مطلوب حساب محدد الترتيب الرابع

في هذه الحالة ، يمكنك توسيع المحدد بواسطة العمود الأول:

أو السطر الأخير:

يوضح هذا المثال أيضًا أن محدد المصفوفة المثلثية العليا يساوي حاصل ضرب عناصرها القطرية. من السهل إثبات أن هذا الاستنتاج صالح لأي مصفوفات مثلثة وقطرية.

تجعل نظرية لابلاس من الممكن تقليل حساب المحدد من أجل الحساب المحددات
من الدرجة الثانية ، وفي النهاية ، حساب المحددات من الدرجة الثانية.

لضرب مصفوفة في رقم ، عليك أن تضرب كل عنصر من عناصر المصفوفة في هذا الرقم.

عاقبة. يمكن إخراج العامل المشترك لجميع عناصر المصفوفة من علامة المصفوفة.

على سبيل المثال، .

كما ترى ، فإن عمليات الجمع وطرح المصفوفات وضرب المصفوفة برقم تشبه العمليات على الأرقام. عملية ضرب المصفوفة هي عملية محددة.

حاصل ضرب مصفوفتين.

لا يمكن ضرب كل المصفوفات. حاصل ضرب مصفوفتين أو الخامسبالترتيب المحدد ABممكن فقط إذا كان عدد أعمدة العامل الأول أيساوي عدد صفوف العامل الثاني الخامس.

على سبيل المثال، .

حجم المصفوفة أ 33 ، حجم المصفوفة الخامس 23. العمل الفني ABمستحيل ، العمل فيرجينيايمكن.

حاصل ضرب المصفوفتين A و B هو المصفوفة الثالثة C ، والعنصر C ij منها يساوي مجموع حاصل الضرب الزوجي لعناصر الصف الأول من العامل الأول والعمود j من العامل الثاني.

تبين أنه في هذه الحالة يكون حاصل ضرب المصفوفات ممكنًا فيرجينيا

من قاعدة وجود منتج من مصفوفتين ، يترتب على ذلك أن منتج مصفوفتين بشكل عام لا يخضع لقانون الإزاحة ، أي AB؟ فيرجينيا... إذا في حالة معينة اتضح ذلك AB = BA ،ثم تسمى هذه المصفوفات التقليب أو التبديل.

في جبر المصفوفة ، يمكن أن يكون حاصل ضرب مصفوفتين عبارة عن مصفوفة صفرية حتى عندما لا يكون أي من عوامل المصفوفة صفرًا ، على عكس الجبر العادي.

على سبيل المثال ، أوجد حاصل ضرب المصفوفات AB، لو

يمكن ضرب المصفوفات المتعددة. إذا كنت تستطيع ضرب المصفوفات أ, الخامسويمكن ضرب حاصل ضرب هذه المصفوفات في المصفوفة مع، إذن من الممكن تأليف عمل ( AB) معو أ(الشمس). في هذه الحالة ، يوجد قانون مركب يتعلق بالضرب ( AB) مع = أ(الشمس).