قبل تقديم مفهوم اللوغاريتم الطبيعي، دعونا نفكر في مفهوم الرقم الثابت $e$.

الرقم $e$

التعريف 1

الرقم $e$هو ثابت رياضي وهو رقم متسام ويساوي $e\approx 2.718281828459045\ldots$.

التعريف 2

متعالهو رقم ليس جذر كثيرة الحدود ذات معاملات صحيحة.

ملاحظة 1

تصف الصيغة الأخيرة الحد الثاني الرائع.

ويسمى الرقم e أيضًا أرقام أويلر، وأحيانا أرقام نابير.

الملاحظة 2

لتذكر الأرقام الأولى من الرقم $е$ غالبا ما يستخدم التعبير التالي: "$2$، 7$، مرتين ليو تولستوي". بالطبع، لكي تتمكن من استخدامه، من الضروري أن تتذكر أن ليو تولستوي ولد عام 1828$، وهذه الأرقام هي التي تتكرر مرتين في قيمة الرقم $e$ بعد الجزء الصحيح $2$ و الجزء العشري 7$.

بدأنا نأخذ في الاعتبار مفهوم الرقم $e$ عند دراسة اللوغاريتم الطبيعي على وجه التحديد لأنه يقع في قاعدة اللوغاريتم $\log_(e)⁡a$ والذي يسمى عادة طبيعيواكتبها بالصيغة $\ln ⁡a$.

اللوغاريتم الطبيعي

في كثير من الأحيان، في الحسابات، يتم استخدام اللوغاريتمات، وقاعدتها هي الرقم $е$.

التعريف 4

يسمى اللوغاريتم ذو الأساس $e$ طبيعي.

أولئك. يمكن الإشارة إلى اللوغاريتم الطبيعي بالرمز $\log_(e)⁡a$، ولكن من الشائع في الرياضيات استخدام الرمز $\ln ⁡a$.

خصائص اللوغاريتم الطبيعي

لأن لوغاريتم أي أساس للوحدة يساوي $0$، فإن اللوغاريتم الطبيعي للوحدة يساوي $0$:

اللوغاريتم الطبيعي للرقم $е$ يساوي واحدًا:

اللوغاريتم الطبيعي لمنتج رقمين يساوي مجموع اللوغاريتمات الطبيعية لهذه الأرقام:

$\ln ⁡(ab)=\ln ⁡a+\ln ⁡b$.

اللوغاريتم الطبيعي لحاصل رقمين يساوي الفرق بين اللوغاريتمات الطبيعية لهذه الأرقام:

$\ln⁡\frac(a)(b)=\ln ⁡a-\ln⁡ b$.

يمكن تمثيل اللوغاريتم الطبيعي لقوة الرقم كمنتج للأس واللوغاريتم الطبيعي للرقم الفرعي:

$\ln⁡ a^s=s \cdot \ln⁡ a$.

مثال 1

بسّط التعبير $\frac(2 \ln ⁡4e-\ln ⁡16)(\ln ⁡5e-\frac(1)(2) \ln ⁡25)$.

حل.

دعونا نطبق خاصية لوغاريتم حاصل الضرب على اللوغاريتم الأول في البسط والمقام، وخاصية لوغاريتم القوة على اللوغاريتم الثاني في البسط والمقام:

$\frac(2 \ln ⁡4e-\ln⁡16)(\ln ⁡5e-\frac(1)(2) \ln ⁡25)=\frac(2(\ln ⁡4+\ln ⁡e) -\ln⁡ 4^2)(\ln ⁡5+\ln ⁡e-\frac(1)(2) \ln⁡ 5^2)=$

دعونا نفتح الأقواس ونقدم مصطلحات مشابهة، ونطبق أيضًا الخاصية $\ln ⁡e=1$:

$=\frac(2 \ln ⁡4+2-2 \ln ⁡4)(\ln ⁡5+1-\frac(1)(2) \cdot 2 \ln ⁡5)=\frac(2)( \ln ⁡5+1-\ln ⁡5)=2$.

إجابة: $\frac(2 \ln ⁡4e-\ln ⁡16)(\ln ⁡5e-\frac(1)(2) \ln ⁡25)=2$.

مثال 2

أوجد قيمة التعبير $\ln⁡ 2e^2+\ln \frac(1)(2e)$.

حل.

دعونا نطبق صيغة مجموع اللوغاريتمات:

$\ln 2e^2+\ln \frac(1)(2e)=\ln 2e^2 \cdot \frac(1)(2e)=\ln ⁡e=1$.

إجابة: $\ln 2e^2+\ln \frac(1)(2e)=1$.

مثال 3

احسب قيمة التعبير اللوغاريتمي $2 \lg ⁡0.1+3 \ln⁡ e^5$.

حل.

دعونا نطبق خاصية لوغاريتم القوة:

$2 \lg ⁡0.1+3 \ln e^5=2 \lg 10^(-1)+3 \cdot 5 \ln ⁡e=-2 \lg ⁡10+15 \ln ⁡e=-2+ 15= 13 دولارًا.

إجابة: $2 \lg ⁡0.1+3 \ln e^5=13$.

مثال 4

بسّط التعبير اللوغاريتمي $\ln \frac(1)(8)-3 \ln ⁡4$.

$3 \ln \frac(9)(e^2)-2 \ln ⁡27=3 \ln (\frac(3)(e))^2-2 \ln 3^3=3 \cdot 2 \ln \ frac(3)(e)-2 \cdot 3 \ln ⁡3=6 \ln \frac(3)(e)-6 \ln ⁡3=$

نطبق على اللوغاريتم الأول خاصية لوغاريتم الحاصل:

$=6(\ln ⁡3-\ln ⁡e)-6 \ln⁡ 3=$

دعونا نفتح الأقواس ونقدم مصطلحات مماثلة:

$=6 \ln ⁡3-6 \ln ⁡e-6 \ln ⁡3=-6$.

إجابة: $3 \ln \frac(9)(e^2)-2 \ln ⁡27=-6$.

تعريف

رقمهو ثابت رياضي غير عقلاني ومتعالي يسمى رقم أويلرأو رقم نابير، وهو أساس اللوغاريتم الطبيعي.

خلف الكواليس ثابت موجود في عمل "وصف جدول اللوغاريتمات المذهل" لعالم الرياضيات الاسكتلندي جون نابير (1550-1617) (بتعبير أدق في ملحق ترجمة هذا العمل الذي نُشر عام 1618). أول ذكر لهذا الثابت كان في رسائل الفيلسوف الساكسوني، عالم المنطق، عالم الرياضيات، الميكانيكي، الفيزيائي، المحامي، المؤرخ، الدبلوماسي، المخترع واللغوي جوتفريد فيلهلم لايبنتز (1646-1716) إلى الميكانيكي، الفيزيائي، عالم الرياضيات، الفلكي الهولندي. والمخترع كريستيان هوينجنز فان زويليشيم (1629-1695) في 1690-1691. هناك تم تحديده بالحرف . التسمية التقليدية وفي عام 1727، بدأ عالم الرياضيات والميكانيكي السويسري والألماني والروسي ليونارد أويلر (1707-1783) في استخدامه؛ استخدمها لأول مرة في رسالته إلى عالم الرياضيات الألماني كريستيان جولدباخ (1690-1764) في عام 1731. وكان أول منشور بهذه الرسالة هو عمل ل. أويلر "شرح الميكانيكا أو علم الحركة تحليليًا" (1736). تم حساب الثابت نفسه لأول مرة من قبل عالم الرياضيات السويسري جاكوب برنولي (1655-1705) أثناء حل مشكلة القيمة المحددة لدخل الفوائد:

يلعب العدد دورًا مهمًا في مختلف فروع الرياضيات، وخاصة في حساب التفاضل والتكامل. تم إثبات تجاوز رقم أويلر من قبل عالم الرياضيات الفرنسي تشارلز هيرميت (1822-1901) فقط في عام 1873.

عدد المهام ه

1) من خلال الحد:

ذ (خ) = ه س، ومشتقتها تساوي الدالة نفسها.

يتم الإشارة إلى الأس كـ ، أو .

رقم ه

أساس درجة الأس هو رقم ه. هذا رقم غير عقلاني. وهي متساوية تقريبًا
ه ≈ 2,718281828459045...

يتم تحديد الرقم e من خلال حد التسلسل. هذا هو ما يسمى الحد الثاني الرائع:
.

يمكن أيضًا تمثيل الرقم e كسلسلة:
.

الرسم البياني الأسي

الرسم البياني الأسي، y = e x .

يظهر الرسم البياني الأسي هإلى حد ما X.
ذ (خ) = ه س
يوضح الرسم البياني أن الأس يزداد بشكل رتيب.

الصيغ

الصيغ الأساسية هي نفسها كما في وظيفة الأسيةمع قاعدة الطاقة ه.

;
;
;

التعبير عن دالة أسية ذات قاعدة عشوائية من الدرجة أ من خلال الأسي:
.

القيم الخاصة

دع ذ (خ) = ه س.
.

ثم

خصائص الأس ه > 1 .

الأس له خصائص الدالة الأسية ذات قاعدة القوة

المجال، مجموعة من القيم (خ) = ه سالأس ذ
محددة لجميع x.
- ∞ < x + ∞ .
مجال تعريفه:
0 < y < + ∞ .

ومعانيها كثيرة:

النهايات، المتزايدة، المتناقصة

الأسية هي دالة متزايدة بشكل رتيب، لذلك ليس لها نقاط نهاية. يتم عرض خصائصه الرئيسية في الجدول.

دالة عكسية
;
.

معكوس الأس هو اللوغاريتم الطبيعي.

مشتق من الأس هإلى حد ما Xالمشتق هإلى حد ما X :
.
يساوي
.
مشتق من الترتيب ن:

اشتقاق الصيغ > > >

أساسي

أرقام معقدة يتم تنفيذ العمليات على الأعداد المركبة باستخدام:
,
صيغ أويلر
.

أين هي الوحدة التخيلية :

; ;
.

التعبيرات من خلال الوظائف الزائدية

; ;
;
.

التعبيرات باستخدام الدوال المثلثية

توسيع سلسلة الطاقة
الأدب المستخدم:

في. برونشتاين، ك.أ. سيمنديايف، دليل الرياضيات للمهندسين وطلاب الجامعات، "لان"، 2009.

وصف e بأنه "ثابت يساوي تقريبًا 2.71828..." يشبه تسمية pi "رقم غير منطقي يساوي تقريبًا 3.1415...". وهذا صحيح بلا شك، لكن النقطة لا تزال بعيدة عنا.. إنها نسبة أساسية مشتركة بين جميع الدوائر، وبالتالي فهي تدخل في حساب المحيط والمساحة والحجم ومساحة السطح للدوائر والمجالات والأسطوانات وما إلى ذلك. يوضح Pi أن جميع الدوائر مترابطة، ناهيك عن الدوال المثلثية المشتقة من الدوائر (جيب التمام، وجيب التمام، والظل).

الرقم e هو نسبة النمو الأساسية لجميع العمليات المتنامية باستمرار.يتيح لك الرقم e أخذ معدل نمو بسيط (حيث يكون الفرق مرئيًا فقط في نهاية العام) وحساب مكونات هذا المؤشر، النمو الطبيعي، حيث ينمو كل شيء قليلاً مع كل نانو ثانية (أو حتى أسرع) أكثر.

ويشارك الرقم e في كل من أنظمة النمو الأسي والثابت: السكان، والانحلال الإشعاعي، وحساب النسبة المئوية، وغيرها الكثير. حتى أنظمة الخطوات التي لا تنمو بشكل موحد يمكن تقريبها باستخدام الرقم e.

تمامًا كما يمكن اعتبار أي رقم بمثابة نسخة "مقاسة" من 1 (الوحدة الأساسية)، يمكن اعتبار أي دائرة بمثابة نسخة "مقاسة" من دائرة الوحدة (بنصف قطر 1). ويمكن اعتبار أي عامل نمو بمثابة نسخة "مدرجة" من e (عامل النمو "الوحدة").

لذا فإن الرقم e ليس رقمًا عشوائيًا تم أخذه عشوائيًا. يجسد الرقم e فكرة أن جميع الأنظمة المتنامية باستمرار هي نسخ متدرجة من نفس المقياس.

مفهوم النمو الأسي

لنبدأ بالمراجعة النظام الأساسي، أيّ الزوجيلفترة معينة من الزمن. على سبيل المثال:

• تنقسم البكتيريا ويتضاعف عددها كل 24 ساعة
• نحصل على ضعف عدد المعكرونة إذا قسمناها إلى نصفين
• تتضاعف أموالك كل عام إذا حققت ربحًا بنسبة 100% (محظوظ!)

ويبدو شيء من هذا القبيل:

القسمة على اثنين أو المضاعفة هي عملية بسيطة للغاية. بالطبع، يمكننا أن نضاعف ثلاثة أو أربعة أضعاف، لكن المضاعفة أكثر ملاءمة للتفسير.

رياضيًا، إذا كان لدينا قسمة x، فسننتهي بـ 2^x أفضل مما بدأنا به. إذا تم إنشاء قسم واحد فقط، فإننا نحصل على 2^1 مرة أكثر. إذا كان هناك 4 أقسام، نحصل على 2^4=16 جزءًا. تبدو الصيغة العامة كما يلي:

ارتفاع= 2 س

بمعنى آخر، المضاعفة هي زيادة بنسبة 100%. يمكننا إعادة كتابة هذه الصيغة على النحو التالي:

ارتفاع= (1+100%) س

هذه هي نفس المساواة، لقد قسمنا "2" إلى الأجزاء المكونة لها، والتي في جوهرها هو هذا الرقم: القيمة الأولية (1) زائد 100٪. ذكي، أليس كذلك؟

بالطبع يمكننا التعويض بأي رقم آخر (50%، 25%، 200%) بدلاً من 100% ونحصل على معادلة النمو لهذا المعامل الجديد. الصيغة العامة لفترات x من السلسلة الزمنية ستكون:

ارتفاع = (1+يزيد)x

هذا يعني ببساطة أننا نستخدم معدل العائد (1 + الربح)، "x" مرات متتالية.

دعونا نلقي نظرة فاحصة

تفترض صيغتنا أن النمو يحدث في خطوات منفصلة. تنتظر البكتيريا لدينا وتنتظر ثم بام! وفي اللحظة الأخيرة يتضاعف عددها. تظهر أرباحنا على الفائدة على الوديعة بطريقة سحرية خلال عام واحد بالضبط. بناءً على الصيغة المكتوبة أعلاه، تنمو الأرباح على مراحل. تظهر النقاط الخضراء فجأة.

لكن العالم ليس هكذا دائما. إذا قمنا بتكبير الصورة، يمكننا أن نرى أن أصدقاءنا من البكتيريا ينقسمون باستمرار:

فالإنسان الأخضر لا ينشأ من لا شيء: إنه ينمو ببطء من الوالد الأزرق. بعد فترة زمنية واحدة (24 ساعة في حالتنا)، تصبح الصديقة الخضراء ناضجة تمامًا. بعد أن نضج، يصبح عضوا أزرق كاملا في القطيع ويمكنه إنشاء خلايا خضراء جديدة بنفسه.

هل ستغير هذه المعلومات معادلتنا بأي شكل من الأشكال؟

لا. وفي حالة البكتيريا، تظل الخلايا الخضراء نصف المتكونة غير قادرة على فعل أي شيء حتى تكبر وتنفصل تمامًا عن والديها الأزرق. إذن المعادلة صحيحة

ه- ثابت رياضي، أساس اللوغاريتم الطبيعي، عدد غير عقلاني ومتسامي. ه= 2.718281828459045... أحياناً الرقم همُسَمًّى رقم أويلرأو رقم غير الريشة. يلعب دورا هاما في حساب التفاضل والتكامل.

طرق التحديد

يمكن تعريف الرقم e بعدة طرق.

ملكيات

قصة

يُطلق على هذا الرقم أحيانًا غير الريشتكريما للعالم الاسكتلندي جون نابير، مؤلف كتاب "وصف جدول اللوغاريتمات المذهل" (1614). ومع ذلك، فإن هذا الاسم ليس صحيحا تماما، لأنه يحتوي على لوغاريتم الرقم سكان متساويا .

لأول مرة، يظهر الثابت بشكل غير رسمي في ملحق الترجمة الإنجليزية لعمل نابير المذكور أعلاه، والذي نُشر عام 1618. بشكل غير رسمي، لأنه يحتوي فقط على جدول اللوغاريتمات الطبيعية، لم يتم تعريف الثابت نفسه. ومن المفترض أن مؤلف الجدول هو عالم الرياضيات الإنجليزي ويليام أوغتريد. تم اشتقاق الثابت نفسه لأول مرة من قبل عالم الرياضيات السويسري جاكوب برنولي عندما حاول حساب قيمة النهاية التالية:

أول استخدام معروف لهذا الثابت، حيث تمت الإشارة إليه بالحرف ب، وجدت في رسائل من جوتفريد لايبنتز إلى كريستيان هويجنز، 1690 و1691. خطاب هبدأ ليونارد أويلر في استخدامه عام 1727، وكان أول منشور بهذه الرسالة هو عمله "شرح تحليلي للميكانيكا أو علم الحركة" عام 1736. وبناء على ذلك، هيسمى أحيانا رقم أويلر. على الرغم من أن بعض العلماء استخدموا الرسالة فيما بعد ج، خطاب هتم استخدامه في كثير من الأحيان وهو الآن التعيين القياسي.

لماذا تم اختيار هذه الرسالة؟ ه، غير معروف بالضبط. وربما يرجع ذلك إلى أن الكلمة تبدأ به الأسي("إرشادي"، "أسي"). افتراض آخر هو أن الحروف أ, ب, جو دتم استخدامها بالفعل على نطاق واسع لأغراض أخرى، و هكانت أول رسالة "مجانية". ومن غير المعقول أن نفترض أن أويلر اختار ذلك هكالحرف الأول من اسمك الأخير (الألمانية. أويلر)، لأنه كان شخصًا متواضعًا جدًا وحاول دائمًا التأكيد على أهمية عمل الآخرين.

طرق الحفظ

رقم هيمكن تذكرها باستخدام القاعدة التذكيرية التالية: اثنان وسبعة، ثم ضعف سنة ميلاد ليو تولستوي (1828)، ثم زوايا المثلث القائم متساوي الساقين ( 45 , 90 و 45 درجات).

في نسخة أخرى من القواعد هيرتبط بالرئيس الأمريكي أندرو جاكسون: 2 - تم انتخابه عدة مرات، 7 - كان الرئيس السابع للولايات المتحدة، 1828 - عام انتخابه، تكرر مرتين منذ انتخاب جاكسون مرتين. ثم - مرة أخرى مثلث قائم الزاوية متساوي الساقين.

طريقة أخرى مثيرة للاهتمام تشير إلى تذكر الرقم هدقيقة إلى ثلاث منازل عشرية من خلال "رقم الشيطان": تحتاج إلى قسمة 666 على رقم مكون من الأرقام 6 - 4، 6 - 2، 6 - 1 (ثلاثة ستات، تُحذف منها القوى الثلاث الأولى للعدد اثنين بترتيب عكسي): .

الطريقة الرابعة تقترح التذكر هكيف .

تقريبي (دقيق إلى 0.001) لكن التقريب الجيد يشير إلى ذلك همتساوي يتم إعطاء تقريب تقريبي للغاية (بدقة 0.01) بواسطة التعبير .

"قاعدة بوينغ": تعطي دقة جيدة تبلغ 0.0005.

"الآية": رفرفنا وتألقنا، لكننا كنا عالقين في الممر؛ لم يتعرفوا على تجمعنا المسروق.

ه = 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 95749 66967 62772 40766 30353 54759 45713 82178 52516 6427 15 738 34187 93070 21540 89149 93488 41675 09244 76146 06680 82264 80016 84774 11853 74234 54424 37107 53907 77449 ​​92069 55 170 27618 38606 26133 13845 83000 75204 49338 26 560 29760 67371 13200 70932 87091 27443 74704 72306 96977 20931 01416 92836 81902 55151 08657 9967 94686 44549 05987 93163 68892 30098 79312 77361 78215 42499 92295 76351 48220 82698 95193 66825 28869 39849 64651 05820 93923 98294 88793 32036 094 43117 30123 81970 68416 14039 70198 37679 32068 32823 76464 80429 531180 159 30416 90351 59888 85193 45807 27386 67385 89422 87922 84998 92086 80582 57492 79610 48419 84443 63463 24496 78623 20900 21609 90235 30 436 99418 49146 31409 34317 38143 64054 62531 52096 18369 08887 07016 76839 64243 78140 704 17189 86106 87396 96552 12671 54688 95703 50354 02123 40784 98193 34321 06817 01210 05627 88023 51920