دعونا نفكر في نظام الزمن المستمر الذي يتم وصف ديناميكياته بواسطة بعض المعادلات التفاضلية. من أجل التحديد، دع هذا يكون نظامًا مستقلاً بمساحة طور ثلاثية الأبعاد. دعونا نحدد موقع منطقة ثنائية الأبعاد S في مساحة الطور ونحدد نظام إحداثيات معين (X، Y) عليها. يعد اختيار السطح القاطع تعسفيًا للغاية، ولكن يجب وضعه بحيث تتقاطع مسارات الطور التي تهمنا عدة مرات ويتم استبعاد الاتصال. لنأخذ نقطة ما (س، ص)على السطح القاطع، نحرر منه مسار الطور ونتبع هذا المسار حتى يحدث تقاطعه التالي مع منصتنا S عند نقطة ما (X، Y") مع مرور في نفس الاتجاه. إذا قمت بتغيير نقطة البداية، فستحصل على نقطة صورة مختلفة. ونتيجة لذلك، ينشأ تعيين معين للسطح القاطع في حد ذاته:

هذا كل شيء عرض التسلسل، أو خريطة بوانكاريه.

يمكننا الآن الابتعاد عن المعادلات التفاضلية الأصلية والتركيز على تحليل الديناميكيات الناتجة عن خريطة بوانكاريه. ولا يصاحب هذا الاستبدال لموضوع الدراسة أي تقديرات تقريبية؛ ويظل التحليل دقيقًا. الثمن الذي يجب دفعه هو فقدان المعلومات حول طبيعة الديناميكيات في الفواصل الزمنية بين التقاطعات المتعاقبة للسطح القاطع، ولا سيما حول مدة الفترات الزمنية بين هذه التقاطعات وحول الخصائص الطوبولوجية للسطح القاطع. مسارات المرحلة. ومع ذلك، يبقى من الممكن تحليل العديد من الأسئلة الأساسية، على سبيل المثال، ما إذا كان النظام نظاميًا أم فوضويًا.

من النادر جدًا العثور على خريطة بوانكاريه لأنظمة غير خطية محددة بشكل واضح، في تلك الحالات الاستثنائية عندما تسمح المعادلات التفاضلية بحل تحليلي. ومع ذلك، فمن الممكن إنشاء خريطة بوانكاريه كخوارزمية رقمية.

لنفترض أن النظام الديناميكي موصوف بالمعادلات التفاضلية

ويتم إعطاء سطح القطع بالمعادلة

لنفترض كذلك أن لدينا إجراء لحل نظام المعادلات (6.2) يتم تنفيذه في شكل برنامج كمبيوتر، على سبيل المثال، باستخدام طريقة Runge-Kutta. لنضع نقطة معينة على سطح القطع كشرط أولي ونبني الحل خطوة بخطوة باستخدام طريقة الفرق، متتبعين إشارة الدالة S(x, y, z). اللحظة التي يتقاطع فيها المسار مع السطح القاطع هي اللحظة التي تتغير فيها إشارة S، يمكننا بسهولة تحديد الخطوات المرقمة لطريقة الفرق التي سيحدث فيها ذلك. لنفترض أن هذا حدث بين ن-م و ( ن+ 1)- الخطوات الـ، إذن S n =S(x(nΔt)، y(nΔt)، z(nΔt))و S n+1 =S(x((n+1)Δt), y((n+1)Δt), z((n+1)Δt))لديك علامة معاكسة. دعونا نتوقف ونسأل كيف يمكننا الآن توضيح لحظة التقاطع. ما نحتاجه في الواقع ليس حتى إجابة دقيقة (بعد كل شيء، قمنا بتقريب المعادلات التفاضلية باستخدام مخطط الفروق على أي حال)، ولكن النتيجة التي ستكون متسقة في الدقة مع التقريب المستخدم. وهناك طريقة أنيقة لحل هذه المشكلة أشار إليها ميشيل هاينولت وهي كما يلي. دعونا نكمل نظام المعادلات (6.3) بعلاقة أخرى وهي:

الآن دعونا نعيد كتابة المعادلات، مع اعتبار S كمتغير مستقل، وذلك من خلال إدخال الترميز

لنأخذ القيم x وy وz وt وS التي تم الحصول عليها على (n + 1 ) -الخطوة الرابعة، واتخاذ خطوة واحدة على طول S، وقيمتها هي (- S n +1) (يمكن أن تكون موجبة أو سالبة). بعد ذلك، سوف يذهب S إلى الصفر، وسيعطي x و y و z و t الناتج ما هو مطلوب بالضبط - قيم المتغيرات الديناميكية والوقت في اللحظة التي يتقاطع فيها المسار مع السطح S.

من السهل برمجة خوارزمية إنشاء خريطة بوانكاريه باستخدام طريقة هينولت فورًا كحل عددي للمعادلات (6.6). في هذه الحالة، يتم تعيين الدالة H(x, y, z) على 1 طالما تم تنفيذ خطوات زمنية "قياسية"، ويتم إعادة تعريفها وفقًا لـ (6.5) عندما يصبح من الضروري إجراء "غير قياسي" "خطوة في S. نظرًا لأنه في كلتا الحالتين، يتم استخدام نفس طريقة الاختلاف، ويتم تحقيق الاتفاق المطلوب في الدقة. على الرغم من أن حجم الحسابات يزيد قليلا بسبب حقيقة أن عدد المعادلات قد زاد بمقدار واحد، إلا أن هذا يعوض بالمزايا الواضحة لهذه الطريقة.

تتطلب فئة الأنظمة المحددة بواسطة المعادلات التفاضلية غير المستقلة ذات المعاملات الدورية، وهو أمر مهم للديناميكيات غير الخطية، مناقشة منفصلة. من وجهة نظر فيزيائية، هذه أنظمة ذات تأثيرات خارجية دورية، بغض النظر عما إذا كانت قوية أو حدودية. بالنسبة لمثل هذه الأنظمة، فإن إجراء إنشاء قسم بوانكاريه بسيط للغاية.

لنفترض، في حالة عدم وجود إجراء دوري، أن يكون للنظام فضاء طور ثنائي الأبعاد (x، y) ويتم وصفه بمعادلات بالشكل، . يتم التعبير عن وجود تأثير دوري خارجي في الحالة العامة في حقيقة أن الوظيفتين f 1 و f 2 يجب اعتبارهما معتمدتين بشكل دوري على الوقت، أي و و الكتابة

دعونا نقدم متغيرًا جديدًا z يحقق المعادلة. من الواضح أن النظام مستقل بمساحة طور ثلاثية الأبعاد

يعادل (6.7). لإنشاء خريطة بوانكاريه، من المناسب أخذ المستوى z = const كسطح قاطع (الشكل 6.1 ب). كالإحداثيات على مستوى القطع، يمكنك ذلك

استخدم المتغيرات الديناميكية الطبيعية x و y. نظرًا لأن مساحة الطور z لها بنية دورية، فلا يمكننا التمييز بين النقاط التي يفصلها عن بعضها البعض عدد صحيح من الفترات T. وبعبارة أخرى، عندما تتقاطع النقطة الممثلة مع المستوى العلوي في الشكل. 6.1b، فإنه يقفز على الفور إلى المستوى الأدنى، مع الحفاظ على نفس قيم إحداثيات x و y. يمكنك نسيان المتغير المساعد z، لأنه لا يختلف عن الزمن t، والحديث عن مساحة الطور (x، y، t).

خريطة بوانكاريه x" =F 1 (x, y), y" = F2(س، y) له معنى بسيط - فهو يصف التغير في المتغيرات الديناميكية خلال فترة واحدة التأثير الخارجي. ويشار إليه أحيانًا باسم التصوير بالمنظار الحاد. تخيل أن ديناميكيات النظام تحدث معظم الوقت في الظلام ولا يمكن مراقبتها. ومع ذلك، مرة واحدة خلال فترة التأثير الخارجي، يومض ضوء ساطع للحظة قصيرة، حتى نتمكن من تتبع تسلسل منفصل من الحالات المقابلة للحظات الومضات. على عكس حالة الأنظمة المستقلة، لا يسبب البناء العددي لخريطة بوانكاريه الاصطرابية أي مشاكل - ما عليك سوى اختيار خطوة التكامل دائمًا بحيث تحتوي فترة التأثير على عدد صحيح من الخطوات.

من الواضح أن التحليل بأكمله الذي تم إجراؤه معمم بالنسبة لمساحة الطور ذات البعد الأعلى، فقط بدلاً من منطقة ثنائية الأبعاد نحتاج إلى التحدث عن قسم نمساحة الطور ذات الأبعاد مع سطح فائق البعد N-1. إن حقيقة أنه عند استخدام خريطة بوانكاريه، فإن بُعد متجهات الحالة التي يتعين عليك العمل بها يتناقص بمقدار واحد، وهو أمر مفيد جدًا في بعض الأحيان. تبين أن خريطة بوانكاريه بشكل عام عبارة عن بناء نظري مثمر للغاية. من خلال تنفيذ الاستدلال من حيث خريطة بوانكاريه، يمكن للمرء الحصول على استنتاجات ذات طبيعة عامة جدًا، تنطبق على الأنظمة الموصوفة بواسطة المعادلات التفاضلية، المستقلة وغير المستقلة على حد سواء، وعلى التعيينات المتكررة - الأنظمة الديناميكية ذات الوقت المنفصل. من الجدير بالملاحظة أن إجراء إنشاء خريطة بوانكاريه لم يعد حكرًا على المنظرين وغالبًا ما يستخدم كأحد الأدوات في الدراسة التجريبية لديناميات الأنظمة غير الخطية.

(منحنيات الطور) للنظام.

بمزيد من التفصيل، يتم تعريف خريطة بوانكاريه على النحو التالي. دعونا نفكر في مساحة معينة من السطح في مساحة الطور ( قسم بوانكاريه) ، عرضية إلى المجال المتجه للنظام (أي عدم لمس المجال؛ غالبًا ما يقال ببساطة مستعرض). من نقطة على المستعرض نحرر مسار النظام. لنفترض أنه في مرحلة ما يعبر المسار الخط المستعرض مرة أخرى للمرة الأولى؛ دعنا نشير إلى نقطة التقاطع بـ . تربط خريطة بوانكاريه النقطة بنقطة العودة الأولى. إذا كان المسار الذي تم إطلاقه لا يعود مطلقًا إلى الخط المستعرض، فإن خريطة بوانكاريه عند تلك النقطة تكون غير محددة.

وبالمثل، يمكن للمرء تحديد خريطة بوانكاريه (خريطة الخلافة) ليس فقط من مستعرض إلى نفسه، ولكن أيضًا من مستعرض إلى آخر.

تشكل تكرارات رسم بوانكاريه من مستعرض معين إلى نفسه نظامًا ديناميكيًا مع وقت منفصل في مساحة طور ذات بعد أقل. ترتبط خصائص هذا النظام ارتباطًا وثيقًا بخصائص نظام الزمن المستمر الأصلي (على سبيل المثال، تتوافق النقاط الثابتة والدورية لخريطة بوانكاريه مع المسارات المغلقة للنظام). وبالتالي، يتم إنشاء اتصال بين الحقول المتجهة وتدفقاتها، من ناحية، وتكرارات التعيينات، من ناحية أخرى. تعد خريطة بوانكاريه أداة مهمة لدراسة الأنظمة الديناميكية ذات الزمن المستمر.

أنظر أيضا

وظيفة عاكسة

روابط

• إيه بي كاتوك، بي هاسيلبلاتمقدمة للنظرية الحديثة للأنظمة الديناميكية مع مراجعة للإنجازات الحديثة / ترانس. من اللغة الإنجليزية تم تحريره بواسطة إيه إس جوروديتسكي. - م: متسنمو، 2005. - 464 ص. - ردمك 5-94057-063-1

مؤسسة ويكيميديا.

تعرف على "خريطة بوانكاريه" في القواميس الأخرى:

هنري بوانكاريه هنري بوانكاريه تاريخ الميلاد: 29 أبريل 1854 (29 04 1854) مكان الميلاد: نانسي ... ويكيبيديا

واحدة من الأشياء الرئيسية حول العودة. النظريات التي تميز سلوك النظام الديناميكي بقياس ثابت. مثال على هذا النظام هو النظام الهاملتوني، الذي تم وصف تطوره من خلال حلول هاملتون للمعادلات القانونية. الإحداثيات و... ... الموسوعة الفيزيائية

لتكن K حلقة على المستوى، محاطة بدوائر نصف قطرها r=a وr=b، ومعطاة لها خريطة في حد ذاتها (q هي زاوية قطبية) مستوفية الشروط: 1) تحافظ الخريطة على المساحة، 2) كل دائرة حدودية تدخل في نفسها، 3) نقاط مع ... الموسوعة الرياضية

1) P. p. للبعد الرسمي والفضاء الطوبولوجي X، حيث يتم إعطاء عنصر بحيث يكون تماثل الشكل هو تماثل لأي k (هنا عملية ويتني للضرب والاستئصال). وفي نفس الوقت دعا التماثل ... الموسوعة الرياضية

قسم النظرية النوعية للمعادلات التفاضلية والنظرية الديناميكية. الأنظمة المتعلقة بالسلوك الحدي (عند) لمسارات الأنظمة المستقلة لمعادلتين تفاضليتين من الدرجة الأولى: (*) (شروط تضمن وجود و... ... الموسوعة الرياضية

بالنسبة للتدفق السلس أو المستمر على الأقل (St) والسطح الفائق V المستعرض له، فإن رسم الخرائط T يربط بالنقطة نقطة التقاطع الأولى مع V لشبه المسار الموجب للتدفق المنبثق من v (والمحدد لـ تلك الخامس،... ... الموسوعة الرياضية

نظرية بوانكاريه الأخيرة هي بيان هندسي نشره هنري بوانكاريه (بدون دليل) قبل وقت قصير من وفاته (1912). تم تقديم الدليل الكامل بعد ستة أشهر من قبل جورج ديفيد بيركوف. المحتويات 1 الصياغة 2 الاختلافات ... ويكيبيديا

التحويل المطابق (رياضي)، وهو تعيين شكل (مساحة) لآخر، حيث يتم تحويل أي منحنيين يتقاطعان بزاوية معينة عند النقطة الداخلية للشكل الأول إلى منحنيات للشكل الثاني، ... ... الموسوعة السوفيتية الكبرى

يُطلق على التعيين الفردي للمجال D على المجال D* (الفضاء الإقليدي أو المشعب الريماني) اسم التوافقي (المطابقة اللاتينية المشابهة) إذا كان تفاضل هذا التحويل في جوار أي نقطة D هو... .. ويكيبيديا

هذا المصطلح له معاني أخرى، انظر نظرية بوانكاريه. في نظرية الأنظمة الديناميكية، تصف نظرية بوانكاريه حول تصنيف الأشكال المتجانسة للدائرة الأنواع المحتملة من الديناميكيات العكسية على الدائرة، اعتمادًا على العدد ... ... ويكيبيديا

الهدف من العمل هو إتقان قسم بوانكاريه كأحد الأدوات الملائمة لتحليل الديناميكيات غير الخطية للأنظمة.

الوصف النظري

يمكن دراسة ميزات الديناميكيات الفوضوية والمنتظمة للأنظمة من خلال مسارات الطور الخاصة بها في مساحة الحالة M. ومع ذلك، بدءًا من البعد n = 3، فإن التحليل البصري للمسارات والجاذبات وصورة الطور بأكملها كحقل متجه أمر صعب. إن إسقاطات الجاذب على المستويات الإحداثية في M لا تساعد كثيرًا. تبين أن قسم Poincaré هو أداة فعالة.

ومن المعروف أنه يمكن الحصول على الأنظمة الديناميكية المنفصلة من الأنظمة المستمرة عن طريق تثبيت القيم في لحظات معزولة من الزمن. علاوة على ذلك، فإن الفترات الفاصلة بين هذه اللحظات ليست بالضرورة هي نفسها. في نظرية الأنظمة الديناميكية، يتم الانتقال من الأنظمة المستمرة إلى الأنظمة المنفصلة باستخدام أقسام بوانكاريه. في هذه الحالة، يبدو أننا نترك في مساحة الطور نقاط المسار التي يتقاطع عندها سطح معين. وبالتالي، فمن الممكن تقليل حجم النظام، لأن سطح في الفضاء ذو ​​البعد n له البعد n-1، مما يبسط تحليل الديناميكيات، لأن تعتبر أنظمة المعادلات التفاضلية أسهل في الدراسة من المعادلات التفاضلية. لقد ثبت أنه خلال هذا التحول يتم الحفاظ على جميع الخصائص الأساسية للنظام المستمر. ولذلك، فإن تحليل الخرائط المنفصلة يعد أمرًا عمليًا في دراسة الأنظمة الديناميكية.

من خلال تطبيق هذه الطريقة، يبدو أننا نضع سطحًا معينًا S (عادةً مستوى) في M بحيث تتقاطع مسارات الطور معه بزاوية غير صفرية. تسمى مجموعة نقاط التقاطع Pi لسطح ما في اتجاه واحد بقسم Poincaré. يتم تحديد السمات الهندسية للقسم من خلال تكوين الجاذب، ومع الاختيار الناجح لمستويات القطع، من الممكن "النظر" في طوبولوجيته بالكامل. نحن نوعا ما نقطعها إلى طبقات.

الشكل 4.1. مثال على قسم بوانكاريه بالمستوى x3=h.

يمتلك القسم وخريطة بوانكاريه نفس الخصائص الطوبولوجية مثل التدفق الذي ولدهما. على سبيل المثال، إذا كان التدفق متبددًا وكانت الأحجام في مساحة الطور مضغوطة، فإن التعيين يقلل المناطق على المستوى S. وبالمثل، إذا كان التدفق يحتوي على جاذب، فيمكن العثور على خصائصه الهيكلية في قسم بوانكاريه. إذا كان الجاذب عبارة عن دورة حدية، فسنرى في القسم المحدد بشكل صحيح نقطة واحدة تمت زيارتها بشكل دوري أو عدة نقاط إذا كان هذا المسار المغلق (دورة الحد) ملتويًا للغاية. من خلال تحريك القاطع S، يمكننا دراسة هذا المسار.

ستظهر الحركة شبه الدورية على الحيد، والتي ليس من السهل أخذها في الاعتبار في حلول المعادلات التفاضلية وفي فضاء الطور، في قسم بوانكاريه على شكل سلاسل كثيفة مغلقة من النقاط. سوف تعطينا عوامل الجذب الغريبة المقابلة لنظام فوضوي مجموعة كانتور من النقاط في المقطع العرضي، أي مجموعة كثيفة لا مكان لها مع بنية فركتلية متشابهة ذاتيًا. لقد رأينا مجموعة مماثلة في العمل رقم 2 - وهذا هو جاذب هينو. ومع ذلك، مع التبديد القوي، من الصعب رؤية الكسورية، ولتأكيد "غرابة" الجاذب، من الضروري حساب البعد الكسري أو الارتباطي للمقطع العرضي.

من الواضح أنه عند دراسة نظام ديناميكي من الدرجة الرابعة، سيعطينا قسم بوانكاريه مجموعة ثلاثية الأبعاد من النقاط، ومن الصعب أن نتمكن من تصورها ولن يكون التحليل سهلاً، لكنه لا يزال ممكنًا.

كما كان من قبل، نعتقد أن مسارات الطور التي تتقلص إلى جاذب يتم إنتاجها بواسطة نظام ديناميكي مستقل متبدد من الشكل

العلاقة بين النقاط المتجاورة زمنيا في قسم بوانكاريه، أي. التعيين المستمر للمستوى S على نفسه

بي+1=Ф(باي)، أنا=1،2،… (4.2)

(x1i, x2i,…,xn-1,i) = xi يتم تحديدها بواسطة نظام معادلات الفرق

x1,i+1=j1(x1i,x2i,…,xn-1,i)

x2,i+1=j2(x1i,x2i,…,xn-1,i)

xn-1,i+1=jn-1(x1i,x2i,…,xn-1,i)

يُطلق على النظام (4.2) وشكله العددي (4.3) خريطة بوانكاريه. يرجى ملاحظة أن الفواصل الزمنية بين ظهور نقاط Pi في القسم ليست هي نفسها. في بعض الأحيان يتم استخدام أقسام بوانكاريه خاصة، والتي توفر فاصل زمني ثابت بين ظهور نقاط القسم (القوية). في هذه الحالة، عادة ما يكون الفاصل الزمني مساويًا لفترة بعض التأثير الخارجي في الأنظمة غير المستقلة. يمكننا أن نفترض أن جميع التقديرات التقريبية للأنظمة الديناميكية المستمرة هي بعض خرائط بوانكاريه.

المعادلة السطحية في مساحة الطور تحدد شروط اتصال المتغيرات، ونصلح فقط نقاط المسار التي تستوفي هذه الشروط. قد تكون الشروط القصوى لأي من الحالات ذات أهمية خاصة، وبعض الشروط التكنولوجية، ومعادلات التوازن التي لها معنى فيزيائي محدد، وما إلى ذلك.

على سبيل المثال، شرط الحد الأقصى للحالة x2 في النظام (3.3) هو كما يلي

x2 +20x3 –x1 x3 = 0.

من أجل توليد سطح القطع هذا باستخدام برنامج ODE، قمنا بإدخال متغير إضافي z = x1 x3 وتشكيل معادلة إضافية

من خلال حل جميع المعادلات الأربع معًا في وضع قسم بوانكاريه، نحصل على النقاط القصوى التي نحتاجها (فقط الحد الأقصى أو الحد الأدنى فقط، اعتمادًا على الشروط الأولية). قاطع بوانكاريه هو x2 +20x3 – z = 0. يوضح الشكل 4.2 عرضًا للوحة ODE لنمذجة القسم المقابل لجاذب النظام (3.3).

أرز. 4.2. لوحة تحكم برنامج ODE

بالإضافة إلى التحليل البصري للأقسام، وهو أمر صعب في حالة الأسطح القاطعة غير الخطية، يتيح لك برنامج ODE رؤية العلاقة بين الإحداثيات الحالية لنقاط القسم والأخرى السابقة. في الوضع "n/(n+k)"، يمكنك عرض اعتماد الحد الأقصى اللاحق على الحد السابق، على سبيل المثال،

يمكن أن يسمح لنا شكل هذا الاعتماد بتحديد الحتمية في فوضى التقلبات x2(t). في الشكل. ويبين الشكل 4.3 نتائج هذا التحليل.

تعمل طريقة قسم بوانكاريه على تبسيط دراسة التدفقات المستمرة لثلاثة أسباب. أولاً، ننتقل من التدفق في R3 إلى العرض على المستوى، وبالتالي تقليل عدد الإحداثيات بمقدار واحد. ثانياً، يتم تقسيم الزمن واستبدال المعادلات التفاضلية بمعادلات فرقية لخرائط بوانكاريه (4.3). أخيرا، ثالثا، يتم تقليل عدد البيانات التي سيتم معالجتها بشكل حاد، حيث يمكن إهمال جميع النقاط الموجودة على المسار تقريبا.

الشكل 4.3. خريطة بوانكاريه (أعلى) للنقاط القصوى للحل x2(t) (أسفل) للنظام (3.3).

إجراءات إجراء العمل المختبري.

تمكين برنامج ODE.

باستخدام وضع قسم Poincaré، ابحث عن أقسام مختلفة لجاذب على شكل طارة في مساحة ثلاثية الأبعاد (ملف TOR3.ode) (اضبط معادلة مستوى القطع في شكل Hessian).

ابحث عن أقسام وخرائط Poincaré لجاذبات Rössler وLorentz المقابلة للنقاط القصوى للإحداثيات الأولى لهذه الأنظمة.

إجراء سلسلة من المقاطع المتوازية لجاذب كيسلوف-ديميترييف لدراسة طوبولوجيته. التحقق من تأثير معلمات النظام على شكل الجاذب. حاول الكشف عن البنية الكسورية للجاذب من خلال تكبير جزء صغير من قسم بوانكاريه بعدد كبير من النقاط في حل نظام المعادلات.

كرر الخطوة 4 للنظام المحدد من قبل المعلم.

أسئلة أمنية

كيفية إنشاء قسم وخريطة بوانكاريه باستخدام برنامج ODE؟

كيفية إنشاء قسم وخريطة بوانكاريه لتحديد النقاط القصوى والدنيا لأحد حلول النظام؟

كيفية استخدام برنامج ODE لتكبير جزء القسم المطلوب؟

كيفية إجراء التدوير المطلوب للمحاور لعرض قسم على مستويات الإحداثيات؟

عندما لا يكون لدى المجرب ساعة طبيعية للنظام، مشابهة للإثارة الدورية، للحصول على خريطة بوانكاريه فمن الضروري استخدام المزيد أساليب معقدة(انظر أيضا).

دع الحركة يتم تمثيلها بمسار في مساحة ثلاثية الأبعاد بإحداثيات (x،y،z). لإنشاء خريطة بوانكاريه، نقوم بتقاطع المسار مع المستوى الذي تكون معادلته بالشكل

كما هو مبين في الشكل. 4.11. تتكون خريطة بوانكاريه من نقاط هذا المستوى التي يمر بها المسار من جانب معين (أي، إذا حددنا الجانبين الأمامي والخلفي للمستوى (4.6.3)، فيجب علينا إصلاح نقاط المستوى هذه فقط المسار الذي يمر به من الوجهين إلى الجانب المقابل أو العكس ولكن ليس في الاتجاهين).

وفي التجربة، يمكن القيام بذلك باستخدام مؤشر مستوى ميكانيكي أو إلكتروني. نناقش أدناه أمثلة على خرائط بوانكاريه التي تم إنشاؤها حسب الموقع.

في حالة مذبذب التصادم الموضح في الشكل. في الشكل 4.12، هناك ثلاثة متغيرات مناسبة تصف حالتها: الإحداثي x، والسرعة v، ومرحلة الإشارة المثيرة. إذا تم إجراء القياسات في موضع تصطدم فيه الكتلة بمحدد مرن، فإن خريطة بوانكاريه تتكون من مجموعة من القيم، حيث السرعة قبل الاصطدام أو بعده، وهي اللحظة الزمنية للاصطدام.

أرز. 4.11. قسم الوضع العام بوانكاريه لحركة النظام الديناميكي من الدرجة الثالثة.

أرز. 4.12. تمثيل تخطيطي للإعداد التجريبي لبناء تدفق بوانكاريه حسب الموضع.

في هذه الحالة، يمكن رسم نقاط التعيين في مساحة أسطوانية باستخدام .

في الشكل. يوضح الشكل 4.12 مثالاً لإعداد تجريبي للحصول على خريطة بوانكاريه لـ . عندما تصل الكتلة إلى نقطة توقف الحركة، تنتج خلية الحمل أو مقياس التسارع إشارة حادة. يمكن استخدام هذه الإشارة لتشغيل جهاز تخزين البيانات (مثل جهاز تخزين أو راسم الذبذبات الرقمي) الذي يخزن قيمة سرعة الجسم. (في الحالة الموضحة في الشكل 4.12، يتم استخدام محول تفاضلي خطي لقياس الموضع، ويتم تمييز إشارته جهاز الكترونيللحصول على السرعة.)

أرز. 4.13. خريطة بوانكاريه مبنية من موضع كتلة متأرجحة ذات محددات حركة مرنة (انظر الشكل 4.12).

لتحديد الطور الذي يتراوح بين 0 وقمنا بإنشاء إشارة مسننة دورية في الطور مع إشارة الإثارة، مع الحد الأدنى لقيمة الصفر المقابلة والحد الأقصى للجهد. تُستخدم نبضة الجهد الحادة الناتجة عن الاصطدام لتشغيل جهاز ذاكرة يسجل قيمة جهد سن المنشار، بالإضافة إلى حجم السرعة قبل الاصطدام أو بعده. تظهر في الشكل خريطة بوانكاريه لكتلة ترتد من جدارين مرنين، والتي تم الحصول عليها باستخدام هذه التقنية. 4.13.

يظهر في الشكل مثال آخر لإعداد من نفس النوع لإنشاء خريطة بوانكاريه لاهتزازات المحرك الفوضوية. 4.14.

أرز. 4.14. مخطط الإعداد التجريبي للحصول على خرائط بوانكاريه حسب الموضع للدوار المثار بشكل دوري مع وجود علاقة غير خطية بين عزم الدوران وزاوية الدوران.

في هذا المثال، يتميز المحرك بعلاقة غير خطية بين زاوية عزم الدوران، والتي تنشأ عن تيار مباشر في أحد أقطاب الجزء الثابت، ويدور الجزء المتحرك ذو المغناطيس الدائم بسبب عزم الدوران الجيبي الذي يتم إنشاؤه التيار المترددفي الملف التالي. يتم وصف هذا الجهاز بالمعادلة

للحصول على خريطة بوانكاريه، اخترنا مستوى في الفضاء ثلاثي الأبعاد (الشكل 4.14). ويتم ذلك بشكل تجريبي باستخدام شق في قرص رفيع مثبت على محور الدوار ومصباح LED مع كاشف، والذي يولد نبضة جهد في كل مرة يعبر فيها الجزء الدوار المستوى (انظر الشكل 4.14). ثم يتم استخدام هذا النبض لتسجيل السرعة وتسجيل الوقت. يمكن إخراج البيانات التي تم الحصول عليها مباشرة إلى راسم ذبذبات التخزين، أو باستخدام جهاز كمبيوتر يمكن تحويلها إلى إحداثيات قطبية، كما هو موضح في الشكل. 4.15.

أرز. 4. 15. خريطة بوانكاريه تم إنشاؤها حسب الموقع للوضع الفوضوي للدوار غير الخطي (انظر الشكل 4.14).