הוראות

כדי להשתמש במערכת המספרים הבינארית, כל ספרה חייבת להיות מיוצגת כטטראדה של ספרות בינאריות. לדוגמה, המספר ההקסדצימלי 967 מפורק לטטרדים באופן הבא: 9 = 1001, 6 = 0110, 7 = 0111. המספר הבינארי המתקבל הוא 100101100111.

כדי להמיר מספר עשרוני למערכת המספרים הבינארית, עליך לחלק אותו ברצף בשניים, בכל פעם לכתוב את התוצאה כמספר שלם ושארית. יש להמשיך בחלוקה עד שנשאר מספר השווה לאחד. המספר הסופי מתקבל על ידי רישום רציף של התוצאה של החלוקה האחרונה ושאריות כל החלוקים בסדר הפוך. כדוגמה, האיור מציג את ההליך להמרת המספר העשרוני 25 למערכת המספרים הבינארית. חלוקה רצופת לשניים נותנת את רצף השאריות הבא: 10011. אם הופכים אותו, נקבל את המספר הנדרש.

הערה

לכן, לאחר שקיבלנו, כתוצאה מסדרת הכפלות ב-2, רק אפסים מימין לאנך, אנו משלימים את תהליך המרת השבר העשרוני הקטן מאחד למערכת המספרים הבינארית וכותבים את התשובה: ברור. שהרבה יותר פעמים נפגוש שבר עשרוני ראשוני שכזה כשמכפילים ב-2 מספרים, עמידה מימין לאנך לא תוביל להופעת אפסים בלבד שם.

עצה מועילה

אנחנו כבר יודעים להמיר מספרים למערכות מספרים שונות. בואו נראה איך זה קורה עם מערכת המספרים הבינארית. בואו נמיר את המספר ממערכת המספרים הבינארית למערכת המספרים העשרונית. לכן, הומצאו מערכות המספרים האוקטליים וההקסדצימליים. הם נוחים, כמו מספרים עשרוניים, בכך שנדרשים פחות ספרות כדי לייצג את המספר. ובהשוואה למספרים עשרוניים, המרה לבינארי היא פשוטה מאוד.

מקורות:

• תרגום מערכת המספרים הבינארית

לרכיבים של מכונות אלקטרוניות, הכוללות מחשבים, יש רק שני מצבים מובחנים: יש זרם ואין זרם. הם מסומנים "1" ו- "0" בהתאמה. מכיוון שיש רק שני מצבים כאלה, ניתן לתאר תהליכים ופעולות רבות באלקטרוניקה באמצעות מספרים בינאריים.

הוראות

חלקו את המספר העשרוני בשניים עד שתקבלו שארית שאינה ניתנת לחלוקה בשניים. בשלב נקבל את השארית 1 (אם המספר שהוא דיבידנד היה אי זוגי) או 0 (אם הדיבידנד מתחלק בשתיים ללא שארית). יש לקחת בחשבון את כל היתרות הללו. המנה האחרונה שתתקבל כתוצאה מחלוקה כזו שלב אחר שלב תהיה תמיד אחת.
נכתוב את היחידה האחרונה בספרה המשמעותית ביותר של המספר הבינארי הרצוי, ונכתוב את השאריות המתקבלות בתהליך אחרי יחידה זו בסדר הפוך. כאן צריך להיזהר ולא לדלג על אפסים.
לפיכך, המספר 235 בקוד הבינארי יתאים למספר 11101011.

כעת נמיר את החלק השברי של המספר העשרוני למערכת המספרים הבינארית. לשם כך, נכפיל ברצף את החלק השברי של המספר ב-2 ונקבע את החלקים השלמים של המספרים המתקבלים. נוסיף חלקים שלמים אלה למספר שהתקבל בשלב הקודם אחרי הנקודה הבינארית בסדר ישיר.
אז השבר העשרוני 235.62 מתאים לשבר הבינארי 11101011.100111.

סרטון על הנושא

הערה

החלק השבר הבינארי של מספר יהיה סופי רק אם החלק השברי של המספר המקורי הוא סופי ומסתיים ב-5. המקרה הפשוט ביותר: 0.5 x 2 = 1, לכן 0.5 בשיטה העשרונית הוא 0.1 בשיטה הבינארית.

מקורות:

• המרת מספרים עשרוניים למערכת מספרים בינארית

ישנן מספר מערכות מספרים. אז, מספר עשרוני מוכר יכול להיות מיוצג, למשל, כספירה של תווים בינאריים - זה יהיה קידוד בינארי של המספר. במערכת האוקטלית עם בסיס 8, מספר נכתב כקבוצה של מספרים מ-0 עד 7. אבל מערכת המספרים ההקסדצימלית, או המערכת עם בסיס 16, היא הנפוצה ביותר. כדי לכתוב מספר, מספרים מ-0 עד 9 ו כאן נלקחות אותיות לטיניות מ-A עד F. המר מספר עשרוני לצורתו ההקסדצימלית באמצעות טבלת חיפוש. ומספר גדול מ-15 מתורגם על ידי הרחבה פשוטה לחזקות, חוזר על פעולת החלוקה לפי בסיס 16.

הוראות

רשום את המספר העשרוני המקורי. אם המספר קטן או שווה ל-15, השתמש בטבלת המרה כדי לכתוב אותו בצורה הקסדצימלית. מספרים מעל 9 מוחלפים בייעוד אות, כך ש-10 מוחלפת באות A עם בסיס של 16, ו-15 באות F.

בדוק את המנה המתקבלת כדי לראות אם היא קטנה מ-16. אם המנה גדולה או שווה ל-16, חלק את המנה גם ב-16. מצא את יתרת החלוקה. חלקו את התוצאות שהתקבלו ב-16 פעמים רבות ככל הדרוש עבור המנה הנמוכה מ-16. אם מתברר שהמנה קטנה מ-16, בחרו אותה גם כשארית.

רשום את היתרות המתקבלות, החל מהמספר האחרון. החלף את השאר במספר גדול מ-9 באמצעות טבלת ההתאמה באות של המערכת ההקסדצימלית. הסימון המתקבל הוא ייצוג הקסדצימלי של המספר העשרוני המקורי.

עצה מועילה

באופן דומה, באמצעות חלוקה בבסיס 8 או 2, אתה יכול לכתוב כל מספר בסימון עשרוני בסימון אוקטלי ובינארי.

מערכת המספרים הבינארית הומצאה לפני תקופתנו. עם זאת, כיום, הודות לנוכחותם של מחשבים ותוכנות קוד בינארי, מערכת זו זכתה לתחייה שנייה. תלמידי בית ספר לומדים את הייצוג הבינארי של מספרים תוך שימוש בשתי ספרות בלבד 0 ו-1 בשיעורי מדעי המחשב. זהו הייצוג הבינארי של מספר שכל המחשבים "מבינים". המרה לבינארי מכל מערכת אחרת מתוארת בפירוט בשיטות שונות. השיטה הפשוטה ביותר נחשבת להרחבת סמכויות לבסיס 2.

הוראות

אם המספר המקורי מיוצג על ידי , כדי להמיר אותו, השתמש בשיטה של ​​חלוקה בבסיס 2. לשם כך, חלק את המספר ב-2 ורשום את השארית שנוצרה. אם מתברר שהחלוקה המתקבלת היא יותר משניים, חלקו אותה שוב ב-2 ושמרו גם את השארית שנוצרה.

המשך איטרציות החלוקה עד שהמנה קטנה מ-2. לאחר מכן, רשום את סדרת הספרות שהתקבלה בשאריות ואת המנה הסופית, החל מהאיטרציה האחרונה. ערך זה של 0 ו-1 יהיה הייצוג הבינארי של המספר המקורי.

אם המספר הנתון מיוצג בהקסדצימלי, השתמש בטבלת ההמרה כדי להמיר אותו לבינארי. בו, כל מספר מ-0 עד F במערכת ההקסדצימלית מנוגד למערכת ארבע ספרות של מספרים בקוד בינארי.

אז, אם יש לך תיעוד של הטופס: 4BE2, אז כדי לתרגם אותו עליך להחליף כל תו בקבוצת המספרים המתאימה מטבלת המעבר. סדר כתיבת המספרים נשמר בקפדנות. לפיכך, המספר 4 מהמערכת ההקסדצימלית יוחלף ב-0100, B - 1011, E - 1110 ו-2 - 0010. והמספר המקורי 4BE2 בסימון בינארי ייראה כך: 0100101111100010.

סרטון על הנושא

מקורות:

• כיצד להמיר את המספר 1000 במערכת השלישית לבינארי

המרת מספר באופן ידני מעשרוני לבינארי דורשת כישורי חלוקה ארוכים. ההמרה ההפוכה - מהשיטה הבינארית לשיטה העשרונית - דורשת רק שימוש בכפל וחיבור, ולאחר מכן במחשבון.

הוראות

ליד הספרה הפחות משמעותית של המספר הבינארי, כתוב את המספר העשרוני 1, וליד המקום המשמעותי הבא, כתוב את המספר העשרוני 2.

לחץ שוב על מקש סימן השוויון במחשבון - אתה מקבל 4. כתוב את המספר הזה ליד הספרה השלישית הכי משמעותית. לחץ שוב על מקש סימן השוויון כדי לקבל 8. כתוב שמונה לצד הספרה הרביעית המשמעותית ביותר של המספר הבינארי. חזור על הפעולה עד שכל הספרות הבינאריות ייכתבו זו לצד זו.

נסו לזכור את המספרים הללו לפחות עד 131072. תאמינו לי, שינון החזקות של 2 בכרך זה הרבה יותר קל מאשר, למשל, לוח הכפל. במקרה זה, בעת תרגום מערכת של מספרים קטנים, אתה יכול להסתדר בלי מחשבון בשלב זה.

אבל בשלב הבא עדיין תצטרך מחשבון. עם זאת, אם רוצים (או אם המורה למדעי המחשב דורש זאת), ניתן לבצע חישוב זה בטור. הוסף רק את המספרים העשרוניים הכתובים לצד הספרות של המספר הבינארי שערכו הוא . התוצאה של תוספת זו תהיה המספר העשרוני הרצוי.

כדי לחזק את המיומנויות של המרת מספרים ידנית מבינארי לעשרוני, שחקו במשחק הדידקטי המוצע. לשם כך תצטרכו מחשבון מדעי שניתן להעביר לבינארי. מחשבון וירטואלי, הזמין גם בלינוקס וגם ב-Windows, מתאים גם אם תעבירו אותו למצב הנדסה. בקש מהשחקן אחד לנחש ולהקליד מספר עשרוני במחשבון, רשום אותו ולאחר מכן העבר את המחשבון למצב בינארי. השחקן השני, המשתמש רק במחשבון רגיל (לא הנדסי), או בדרך כלל סופר רק עם עמודה, חייב להמיר את המספר הזה לשיטה העשרונית. אם הוא תרגם נכון, השחקנים מחליפים תפקידים. אם הוא עשה טעות, אז תן לו לנסות שוב.

סרטון על הנושא

במערכת הספירה בה אנו משתמשים מדי יום, יש עשר ספרות - מאפס עד תשע. לכן זה נקרא עשרוני. עם זאת, בחישובים טכניים, במיוחד אלו הקשורים למחשבים, נעשה שימוש גם במערכות אחרות, בעיקר בינאריות והקסדצימליות. לכן, אתה צריך להיות מסוגל להמיר מספרים ממערכת מספרים אחת לאחרת.

אתה תצטרך

• - חתיכת נייר;
• - עיפרון או עט;
• - מחשבון.

הוראות

המערכת הבינארית היא הפשוטה ביותר. יש לו רק שתי ספרות - אפס ואחת. כל ספרה של מספר בינארי, החל מהסוף, מייצגת חזקה של שתיים. שניים בשווים לאחד, בראשון - שניים, בשני - ארבע, בשלישי - שמונה וכן הלאה.

נניח שניתן לך את המספר הבינארי 1010110. היחידות בו נמצאות במקומות השני, השלישי, החמישי והשביעי. לכן, בשיטה העשרונית מספר זה הוא 2^1 + 2^2 + 2^4 + 2^6 = 2 + 4 + 16 + 64 = 86.

בעיה הפוכה - מערכת מספרים עשרוניים. נניח שיש לך את המספר 57. כדי לקבל אותו, עליך לחלק את המספר ברצף ב-2 ולכתוב את השאר. המספר הבינארי ייבנה מהסוף להתחלה.
הצעד הראשון ייתן לך את הספרה האחרונה: 57/2 = 28 (שארית 1).
ואז אתה מקבל את השני מהסוף: 28/2 = 14 (השאר 0).
שלבים נוספים: 14/2 = 7 (השאר 0);
7/2 = 3 (שארית 1);
3/2 = 1 (שארית 1);
1/2 = 0 (השאר 1).
זהו השלב האחרון כי תוצאת החלוקה היא אפס. כתוצאה מכך, קיבלת את המספר הבינארי 111001.
בדוק את התשובה שלך: 111001 = 2^0 + 2^3 + 2^4 + 2^5 = 1 + 8 + 16 + 32 = 57.

השני, המשמש בענייני מחשב, הוא הקסדצימלי. אין לו עשר, אלא שש עשרה ספרות. כדי לא ליצור מוסכמות חדשות, עשר הספרות הראשונות של המערכת ההקסדצימלית מסומנות במספרים רגילים, ושש הנותרות - באותיות לטיניות: A, B, C, D, E, F. בסימון עשרוני הן תואמות ל- מספרים מ-10 עד 15. כדי למנוע בלבול לפני המספר , הכתוב בהקסדצימלי, השתמש בסימן # או בסמל 0x.

הבה נזכיר את החומר על מערכות מספרים. הוא קבע כי מערכת המספרים הנוחה ביותר למערכות מחשב היא המערכת הבינארית. בוא נגדיר את המערכת הזו:

מערכת המספרים הבינארית היא מערכת מספרים מיקומית שבה הבסיס הוא המספר 2.

כדי לכתוב כל מספר במערכת המספרים הבינארית, משתמשים רק ב-2 ספרות: 0 ו-1.

צורה כללית של כתיבת מספרים בינאריים

עבור מספרים שלמים בינאריים נוכל לכתוב:

a n−1 a n−2 ...a 1 a 0 =a n−1 ⋅2 n−1 +a n−2 ⋅2 n−2 +...+a 0 ⋅2 0

צורה זו של כתיבת מספר "מציעה" את הכלל להמרת מספרים בינאריים טבעיים למערכת המספרים העשרונית: אתה צריך לחשב את סכום החזקות של שתיים המתאימות ליחידות בצורה הממוטטת של כתיבת מספר בינארי.

כללים להוספת מספרים בינאריים

כללים בסיסיים להוספת מספרים של סיביות בודדות

0+0=0
0+1=1
1+0=1
1+1=10

מכאן ברור שכמו במערכת המספרים העשרונית, מספרים המיוצגים במערכת המספרים הבינארית מתווספים בשיטת סיביות. אם ספרה עולה על גדותיה, ה-1 מועבר לספרה הבאה.

דוגמה להוספת מספרים בינאריים

כללים להפחתת מספרים בינאריים

0-0=0
1-0=0
10-1=1

אבל מה לגבי 0-1=? הפחתת מספרים בינאריים שונה במקצת מהפחתת מספרים עשרוניים. לשם כך נעשה שימוש במספר שיטות.

חיסור בהשאלה

כתוב את המספרים הבינאריים אחד מתחת לשני - המספר הקטן מתחת לגדול. אם למספר הקטן יותר יש פחות ספרות, יישר אותו לימין (באותו אופן שאתה כותב עשרוניות כאשר מחסירים אותם).
חלק מהבעיות הכרוכות בהפחתת מספרים בינאריים אינן שונות מהפחתת מספרים עשרוניים. כתוב את המספרים זה מתחת לזה, והתחל מימין, מצא את התוצאה של חיסור כל זוג מספרים.

הנה כמה דוגמאות פשוטות:

1 - 0 = 1
11 - 10 = 1
1011 - 10 = 1001

בואו ניקח בחשבון בעיה מורכבת יותר. אתה צריך לזכור רק כלל אחד כדי לפתור בעיות חיסור בינאריות. כלל זה מתאר שאילת הספרה משמאל כך שתוכל להחסיר 1 מ-0 (0 - 1).

110 - 101 = ?

בעמודה הראשונה מימין אתה מקבל את ההבדל 0 - 1 . כדי לחשב אותו, אתה צריך לשאול את המספר בצד שמאל (ממקום העשרות).

ראשית, חצו את ה-1 והחליפו אותו ב-0 כדי לקבל בעיה כזו: 1010 - 101 = ?
הפחתת ("השאלה") 10 מהמספר הראשון, כך שתוכל לכתוב את המספר הזה במקום המספר מימין (במקום האחדות). 101100 - 101 = ?
הורידו את המספרים בעמודה הימנית. בדוגמה שלנו:
101100 - 101 = ?
עמודה ימנית: 10 - 1 = 1 .
102 = (1 x 2) + (0 x 1) = 210(ספרות קטנות מציינות את מערכת המספרים שבה כתובים המספרים).
12 = (1x1) = 110.

לפיכך, בשיטה העשרונית הבדל זה נכתב כך: 2 - 1 = 1.

הורידו את המספרים בעמודות הנותרות. עכשיו זה קל לעשות (עבודה עם העמודות, נע מימין לשמאל):

101100 - 101 = __1 = _01 = 001 = 1.

חיסור בחיבור

כתוב את המספרים הבינאריים אחד מתחת לשני באותו אופן שבו אתה כותב מספרים עשרוניים בעת חיסורם. שיטה זו משמשת מחשבים להפחתת מספרים בינאריים מכיוון שהיא מבוססת על אלגוריתם יעיל יותר.

בואו נסתכל על דוגמה: 101100 2 - 11101 2 = ?

אם הערכים של המספרים שונים, הוסף את המספר המקביל של 0 למספר עם הערך הנמוך משמאל.

101100 2 - 011101 2 = ?

במספר שאתה מפחית, שנה את הספרות: שנה כל 1 ל-0, וכל 0 ל-1.

011101 2 → 100010 2 .

מה שאנחנו באמת עושים זה "לקחת את המשלים של אחד", כלומר, להחסיר כל ספרה מ-1. זה עובד במערכת הבינארית כי ל"החלפה" הזו יכולות להיות רק שתי תוצאות אפשריות: 1 - 0 = 1 ו-1 - 1 = 0.

הוסף אחד ל-subtrahend שנוצר.

100010 2 + 1 2 = 100011 2

כעת, במקום לגרוע, הוסף שני מספרים בינאריים.

101100 2 +100011 2 = ?

בדוק את התשובה. דרך מהירה היא לפתוח מחשבון בינארי מקוון ולהזין את הבעיה שלך לתוכו. שתי השיטות האחרות כוללות בדיקה ידנית של התגובה.

1) בואו נמיר את המספרים למערכת המספרים הבינארית:
נניח שמהמספר 101101 צריך להחסיר 2 11011 2

2) נסמן את המספר 101101 2 כ-A ואת המספר 11011 2 כ-B.

3) כתוב את המספרים A ו-B בטור, אחד מתחת לשני, החל מהספרות הפחות משמעותיות (מספור הספרות מתחיל מאפס).

4) הורידו ספרה אחר ספרה מספר A ומספר B, כתיבת התוצאה ב-C החל מהספרות הפחות משמעותיות. הכללים לחיסור סיביות עבור מערכת המספרים הבינארית מוצגים בטבלה שלהלן.

לְהַלווֹת מהקטגוריה הנוכחית Oi-1				לְהַלווֹת מהקטגוריה הבאה O i+1

כל התהליך של הוספת המספרים שלנו נראה כך:

(הלוואות מהקטגוריה המקבילה מוצגות באדום)

קרה 101101 2 - 11011 2 = 10010 2
או במערכת המספרים העשרונית: 45 10 - 27 10 = 18 10

כללים להכפלת מספרים בינאריים.

באופן כללי, הכללים האלה מאוד פשוטים וברורים.

0*0=0
0*1=0
1*0=0
1*1=1

הכפלה של מספרים בינאריים מרובי סיביות מתרחשת באותו אופן כמו מספרים רגילים. נכפיל כל ספרה משמעותית במספר העליון לפי הכללים הנתונים, תוך התבוננות במיקומים. הכפלה היא פשוטה – שכן הכפלה באחד נותנת את אותו מספר.

כמובן, זה חל לא רק על מעבדים, אלא גם על רכיבים אחרים של המחשב, למשל, או. וכאשר אנו מדברים, למשל, על רוחב אפיק הנתונים, אנו מתכוונים למספר הפינים באפיק הנתונים שדרכו מועברים נתונים, כלומר, למספר הספרות הבינאריות במספר שניתן להעביר לאורך אפיק הנתונים ב- פעם אחת. אבל על העומק קצת מאוחר יותר.

אז, המעבד (והמחשב בכללותו) משתמש במערכת בינארית הפועלת עם שתי ספרות בלבד: 0 ו-1. ולכן בסיס של מערכת בינאריתהוא 2. כמו כן, מערכת הבסיס 10 היא 10 כי היא משתמשת ב-10 ספרות.

כל ספרה במספר בינארי נקראת קצת(אוֹ פְּרִיקָה). ארבעה ביטים זה לכרסם(אוֹ טטרד), 8 ביטים - בייט, 16 ביטים - מִלָה, 32 סיביות - מילה כפולה. זכור את המונחים הללו מכיוון שהם משמשים לעתים קרובות מאוד בתכנות. אולי כבר שמעתם ביטויים כמו מילת נתוניםאוֹ בייט של נתונים. עכשיו אני מקווה שאתה מבין מה זה.

ספירת הביטים במספר מתחילה מאפס וימינה. כלומר, במספר בינארי הכי הרבה המעט משמעותי(אפס ביט) הוא זה שבקצה הימני. בצד שמאל נמצא החלק המשמעותי ביותר. לדוגמה, במילה הביט המשמעותי ביותר הוא הסיביות ה-15, ובבית הוא הסיביות ה-7. נהוג להוסיף אות בסוף מספר בינארי ב. כך אתה (והאסמבלר) תדעו שמדובר במספר בינארי. לדוגמה,

101 הוא מספר עשרוני 101b הוא מספר בינארי השקול למספר העשרוני 5. כעת ננסה להבין כיצד הוא נוצר מספר בינארי.

אפס, זה אפס גם באפריקה. אין כאן שאלות. אבל מה הלאה? ואז הסיביות של המספר הבינארי מתמלאות ככל שמספר זה גדל. לדוגמה, שקול טטרד. לטטרד (או נישנוש) יש 4 ביטים.

בינארי	נקודה	הסברים
0000	0	-
0001	1
0010	2	הביט הבא (סיביות 1) מוגדר ל-1, הסיביות הקודמת (סיביות 0) נמחקים.
0011	3	הביט הפחות משמעותי מוגדר ל-1.
0100	4	הביט הבא (סיביות 2) מוגדר ל-1, הסיביות הפחות משמעותיות (סיביות 0 ו-1) מתנקות.
0101	5	הביט הפחות משמעותי מוגדר ל-1.
0110	6	בואו נמשיך באותה רוח...
0111	7	...
1000	8	...
1001	9	...
1010	10	...
1011	11	...
1100	12	...
1101	13	...
1110	14	...
1111	15	...

אז, אנו רואים שכאשר יוצרים מספרים בינאריים, הסיביות של המספר מלאות באפסים ואחדים ברצף מסוים:

אם הקטנה היא אפס, נכתוב שם אחד. אם הביט הפחות משמעותי הוא אחד, אז נעביר אותו לסיבית המשמעותית ביותר, וננקה את הסיבית הפחות משמעותית. אותו עיקרון חל בשיטה העשרונית:

0...9 10 – אנו מנקים את הספרה מסדר נמוך ומוסיפים 1 לסדר גבוה. בסך הכל קיבלנו 16 שילובים למחברת. כלומר, אפשר לכתוב במחברת 16 מספרים מ-0 עד 15. בייט הוא כבר 256 צירופים ומספרים מ-0 עד 255. וכן הלאה. באיור. איור 2.2 מציג ייצוג חזותי של מספר בינארי (מילה כפולה).

אורז. 2.2. מספר בינארי.

בקורסי מדעי המחשב, ללא קשר לבית ספר או אוניברסיטה, ניתן מקום מיוחד למושג כמו מערכות מספרים. ככלל, מוקצים עבורו מספר שיעורים או תרגילים מעשיים. המטרה העיקרית היא לא רק לשלוט במושגים הבסיסיים של הנושא, ללמוד את סוגי מערכות המספרים, אלא גם להכיר את אריתמטיקה בינארית, אוקטלית והקסדצימלית.

מה זה אומר?

נתחיל בהגדרת המושג הבסיסי. כפי שמציין ספר הלימוד "אינפורמטיקה", מערכת מספרים היא רשומה של מספרים המשתמשת באלפבית מיוחד או קבוצה מסוימת של מספרים.

תלוי אם ערכה של ספרה משתנה בהתאם למיקומה במספר, ישנן שתיים: מערכות מספרים מיקוםיות ולא מיקומיות.

במערכות מיקום, המשמעות של ספרה משתנה עם מיקומה במספר. אז אם ניקח את המספר 234, אז המספר 4 בו אומר יחידות, אבל אם ניקח בחשבון את המספר 243, אז זה כבר אומר עשרות, לא יחידות.

במערכות לא-מיקום, המשמעות של ספרה היא סטטית, ללא קשר למיקומה במספר. הדוגמה הבולטת ביותר היא מערכת המקל, שבה כל יחידה מסומנת באמצעות מקף. זה לא משנה היכן אתה מניח את המקל, הערך של המספר ישתנה רק באחד.

מערכות לא פוזיציוניות

מערכות מספרים לא-מיקוםיות כוללות:

1. מערכת יחידה הנחשבת לאחת הראשונות. הוא השתמש במקלות במקום במספרים. ככל שהיו יותר, כך גדל הערך של המספר. אפשר למצוא דוגמה למספרים שנכתבו כך בסרטים שבהם מדברים על אנשים אבודים בים, אסירים שמציינים כל יום בעזרת חריצים על אבן או עץ.
2. רומית, שבה נעשה שימוש באותיות לטיניות במקום מספרים. באמצעותם, אתה יכול לכתוב כל מספר. יתרה מכך, ערכו נקבע באמצעות הסכום וההפרש של הספרות שהרכיבו את המספר. אם היה מספר קטן יותר משמאל לספרה, אז הספרה השמאלית הופחתה מימין, ואם הספרה מימין הייתה קטנה או שווה לספרה משמאל, אז הערכים שלהם סוכמו. לדוגמה, המספר 11 נכתב כ-XI, ו-9 - IX.
3. אלפביתי, שבו נקבעו מספרים באמצעות האלפבית של שפה מסוימת. אחת מהן נחשבת למערכת הסלאבית, שבה למספר אותיות הייתה לא רק משמעות פונטית, אלא גם מספרית.
4. שבהם רק שני סימונים שימשו לכתיבה - טריזים וחצים.
5. מצרים השתמשה גם בסמלים מיוחדים כדי לייצג מספרים. בעת כתיבת מספר, ניתן היה להשתמש בכל סמל לא יותר מתשע פעמים.

מערכות מיקום

תשומת לב רבה מוקדשת במדעי המחשב למערכות מספרי מיקום. אלה כוללים את הדברים הבאים:

• בינארי;
• אוקטלי;
• נקודה;
• הקסדצימלי;
• sexagesimal, משמש בעת ספירת זמן (לדוגמה, יש 60 שניות בדקה, 60 דקות בשעה).

לכל אחד מהם יש אלפבית משלו לכתיבה, כללים לתרגום וביצוע פעולות חשבון.

מערכת עשרונית

המערכת הזו היא המוכרת לנו ביותר. הוא משתמש במספרים 0 עד 9 כדי לכתוב מספרים. הם נקראים גם ערבית. בהתאם למיקום הספרה במספר, היא יכולה לייצג ספרות שונות - יחידות, עשרות, מאות, אלפים או מיליונים. אנו משתמשים בו בכל מקום, אנו מכירים את הכללים הבסיסיים שלפיהם מתבצעות פעולות אריתמטיות במספרים.

מערכת בינארית

אחת ממערכות המספרים העיקריות במדעי המחשב היא בינארית. הפשטות שלו מאפשרת למחשב לבצע חישובים מסורבלים פי כמה מהר יותר מאשר במערכת העשרונית.

כדי לכתוב מספרים, משתמשים רק בשתי ספרות - 0 ו-1. יתרה מכך, בהתאם למיקום של 0 או 1 במספר, ערכו ישתנה.

בתחילה, זה היה בעזרת מחשבים שהם קיבלו את כל המידע הדרוש. במקרה זה, אחד התכוון לנוכחות של אות המועבר באמצעות מתח, ואפס התכוון להיעדרו.

מערכת אוקטלית

עוד מערכת מספרי מחשב ידועה, המשתמשת במספרים מ-0 עד 7. נעשה בה שימוש בעיקר באותם תחומי ידע הקשורים למכשירים דיגיטליים. אבל לאחרונה נעשה בו שימוש הרבה פחות, מכיוון שהוא הוחלף על ידי מערכת המספרים ההקסדצימליים.

מערכת עשרונית בינארית

ייצוג מספרים גדולים בבינארי הוא תהליך מסובך למדי עבור בני אדם. כדי לפשט אותו, הוא פותח. הוא משמש בדרך כלל בשעונים ומחשבונים אלקטרוניים. במערכת זו לא מומר את כל המספר מהשיטה העשרונית לבינארי, אלא כל ספרה מומרת לקבוצת אפסים ואחדות המקבילה לה במערכת הבינארית. ההמרה מבינארי לעשרוני מתרחשת באופן דומה. כל ספרה, המיוצגת כקבוצה בת ארבע ספרות של אפסים ואחדות, מומרת לספרה של מערכת מספרים עשרוניים. עקרונית, אין שום דבר מסובך.

כדי לעבוד עם מספרים במקרה זה, תועיל טבלה של מערכות מספרים, שתציין את ההתאמה בין המספרים לקוד הבינארי שלהם.

מערכת הקסדצימלית

לאחרונה, מערכת המספרים ההקסדצימליים הפכה לפופולרית יותר ויותר בתכנות ובמדעי המחשב. הוא משתמש לא רק במספרים מ-0 עד 9, אלא גם במספר אותיות לטיניות - A, B, C, D, E, F.

יחד עם זאת, לכל אחת מהאותיות יש משמעות משלה, ולכן A=10, B=11, C=12 וכן הלאה. כל מספר מיוצג כקבוצה של ארבעה תווים: 001F.

המרת מספרים: מעשרוני לבינארי

תרגום במערכות מספרים מתרחש על פי כללים מסוימים. ההמרה הנפוצה ביותר היא ממערכת בינארית למערכת עשרונית ולהיפך.

כדי להמיר מספר מהמערכת העשרונית למערכת הבינארית, יש צורך לחלק אותו ברצף בבסיס מערכת המספרים, כלומר, המספר שתיים. במקרה זה, יש לרשום את יתרת כל חלוקה. זה יקרה עד ששאר החלוקה תהיה קטנה או שווה לאחד. עדיף לבצע חישובים בעמודה. שאריות החלוקה המתקבלות נכתבות לאחר מכן אל השורה בסדר הפוך.

לדוגמה, בואו נמיר את המספר 9 לבינארי:

נחלק 9, מכיוון שהמספר אינו מתחלק בשלם, אז ניקח את המספר 8, השאר יהיה 9 - 1 = 1.

לאחר חלוקה של 8 ב-2 נקבל 4. נחלק אותו שוב, מכיוון שהמספר מתחלק במספר שלם - נקבל שארית של 4 - 4 = 0.

אנו מבצעים את אותה פעולה עם 2. השאר הוא 0.

כתוצאה מחלוקה נקבל 1.

ללא קשר למערכת המספרים הסופית, המרה של מספרים מעשרוני לכל אחר תתרחש על פי עקרון חלוקת המספר בבסיס המערכת המיקוםית.

המרת מספרים: מבינארי לעשרוני

די קל להמיר מספרים למערכת המספרים העשרונית מבינארי. לשם כך, מספיק להכיר את הכללים להעלאת מספרים לכוחות. במקרה זה, בחזקת שתיים.

אלגוריתם התרגום הוא כדלקמן: יש להכפיל כל ספרה מהקוד של מספר בינארי בשניים, והשניים הראשונים יהיו בחזקת m-1, השני - m-2 וכן הלאה, כאשר m הוא ה- מספר הספרות בקוד. לאחר מכן הוסף את תוצאות התוספת כדי לקבל מספר שלם.

עבור תלמידי בית ספר, ניתן להסביר את האלגוריתם הזה בצורה פשוטה יותר:

מלכתחילה, אנו לוקחים ורושמים כל ספרה כפול שתיים, ואז שמים את החזקה של שתיים מהסוף, החל מאפס. לאחר מכן נחבר את המספר המתקבל.

כדוגמה, ננתח את המספר 1001 שהתקבל קודם לכן, נמיר אותו לשיטה העשרונית, ובמקביל נבדוק את נכונות החישובים שלנו.

זה ייראה כך:

1*2 3 + 0*2 2 +0*2 1 +1*2 0 = 8+0+0+1 =9.

כאשר לומדים נושא זה, נוח להשתמש בטבלה בעלת חזקה של שתיים. זה יקטין משמעותית את משך הזמן הנדרש לביצוע חישובים.

אפשרויות תרגום אחרות

במקרים מסוימים, ניתן לבצע תרגום בין מערכות מספרים בינאריות ואוקטליות, בינארית והקסדצימלית. במקרה זה, אתה יכול להשתמש בטבלאות מיוחדות או להפעיל יישום מחשבון במחשב שלך על ידי בחירה באפשרות "מתכנת" בלשונית תצוגה.

פעולות אריתמטיות

ללא קשר לצורה בה מוצג המספר, ניתן להשתמש בו לביצוע חישובים המוכרים לנו. זה יכול להיות חילוק וכפל, חיסור וחיבור במערכת המספרים שבחרתם. כמובן שלכל אחד מהם חוקים משלו.

אז עבור המערכת הבינארית פותחו טבלאות משלה עבור כל אחת מהפעולות. אותן טבלאות משמשות במערכות מיקום אחרות.

אין צורך לשנן אותם - רק להדפיס אותם ולהחזיק אותם בהישג יד. אתה יכול גם להשתמש במחשבון במחשב האישי שלך.

אחד הנושאים החשובים ביותר במדעי המחשב הוא מערכת המספרים. הכרת נושא זה, הבנה באלגוריתמים להמרת מספרים ממערכת אחת לאחרת היא המפתח לכך שתוכלו להבין נושאים מורכבים יותר, כמו אלגוריתמים ותכנות, ותוכלו לכתוב את התוכנית הראשונה שלכם בעצמכם.

מערכת בינארית

מערכת מספרים בינאריתהיא מערכת מספרים מיקומית עם בסיס 2. במערכת המספרים הזו, מספרים טבעיים נכתבים באמצעות שני סימנים בלבד (בדרך כלל המספרים 0 ו-1).

המערכת הבינארית משמשת במכשירים דיגיטליים מכיוון שהיא הפשוטה ביותר ועונה על הדרישות:

• ככל שיש פחות ערכים במערכת, כך קל יותר לייצר אלמנטים בודדים הפועלים על ערכים אלו. בפרט, שתי ספרות של מערכת המספרים הבינאריות יכולות להיות מיוצגות בקלות על ידי תופעות פיזיקליות רבות: יש זרם - אין זרם, השראת השדה המגנטי גדולה מערך סף או לא וכו'.
• ככל שלאלמנט יש פחות מצבים, כך חסינות הרעש גבוהה יותר והוא יכול לפעול מהר יותר. לדוגמה, כדי לקודד שלושה מצבים באמצעות גודל השראת השדה המגנטי, תצטרך להזין שני ערכי סף, אשר לא יתרמו לחסינות רעשים ולאמינות של אחסון מידע.
• חשבון בינארי הוא די פשוט. פשוטות הן טבלאות החיבור והכפל - הפעולות הבסיסיות עם מספרים.
• אפשר להשתמש במנגנון של אלגברה לוגית כדי לבצע פעולות סיביות על מספרים.

קישורים

• מחשבון מקוון להמרת מספרים ממערכת מספרים אחת לאחרת

קרן ויקימדיה. 2010.

ראה מהי "מערכת בינארית" במילונים אחרים:

מערכת בינארית, במתמטיקה, מערכת מספרים בעלת בסיס 2 (למערכת העשרונית יש בסיס 10). הוא מתאים ביותר לעבודה עם מחשבים כי הוא פשוט ומתאים לשני מצבים (פתוח 0 וסגור... ... מילון אנציקלופדי מדעי וטכני

מערכת בינארית- - נושאי טלקומוניקציה, מושגי יסוד EN מערכת בינארית... מדריך למתרגם טכני

מערכת בינארית- dvejetainė sistema statusas T sritis automatika atitikmenys: engl. מערכת בינארית vok. Binärsystem, n rus. מערכת בינארית, f pranc. system binaire, m … terminų terminų žodynas אוטומטי

מערכת בינארית- dvejetainė sistema statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. מערכת בינארית; מערכת דיאדית vok. Binärsystem, נ; מערכת כפולה, n rus. מערכת בינארית, f pranc. système binaire, m … Fizikos terminų žodynas

Jarg. סוּס הַרבָּעָה. מתבדח. שיכרון חמור. PBS, 2002... מילון גדול של אמרות רוסיות

מערכת מספרי מיקום עם בסיס 2, שבה הספרות 0 ו- 1 משמשות לכתיבת מספרים. ראה גם: מערכות מספר מיקום פיננסי מילון פינם ... מילון פיננסי

מערכת מספרים בינארית, שיטה לכתיבת מספרים בה משתמשים בשתי ספרות 0 ו- 1. שתי יחידות מהספרה הראשונה (כלומר, המרחב התפוס במספר) יוצרות יחידה מהספרה השנייה, שתי יחידות מצורת הספרה השנייה. יחידה של הספרה השלישית וכו'... ... אנציקלופדיה מודרנית

מערכת מספרים בינארית- BINAR NUMERAL SYSTEM, שיטה לכתיבת מספרים בה משתמשים בשתי ספרות 0 ו- 1. שתי יחידות של הספרה ה-1 (כלומר, החלל התפוס במספר) יוצרות יחידה של הספרה ה-2, שתי יחידות מהספרה ה-2. יוצרים יחידה של הספרה השלישית וכו'... … מילון אנציקלופדי מאויר

מערכת מספרים בינארית- מערכת המשתמשת בקבוצות של שילובים של מספרים 1 ו-0 כדי לייצג סמלים אלפאנומריים ואחרים, הבסיס לקודים המשמשים במחשבים דיגיטליים... הוצאה לאור מילון-ספר עיון

מערכת ספרות בינארית- מערכת מספרים מיקומית עם בסיס 2, שבה יש שתי ספרות 0 ו-1, וכל המספרים הטבעיים נכתבים ברצף שלהם. לְמָשָׁל. המספר 2 כתוב כ-10, המספר 4 = 22 כ-100, המספר 900 כמספר בן 11 ספרות: 11 110 101 000 ... אנציקלופדיה פוליטכנית גדולה

ספרים

• ארכימדס קיץ, או ההיסטוריה של חבר העמים של מתמטיקאים צעירים. מערכת מספרים בינארית, בוברוב ס., מערכת מספרים בינארית, "מגדל האנוי", מהלך אביר, ריבועי קסם, משולש אריתמטי, מספרים דמויי, צירופים, מושג הסתברויות, רצועת מוביוס ובקבוק... קטגוריה: על כל דבר בעולםמוֹצִיא לָאוֹר: