, עמוד 6

11 פונקציות בסיסיות של משתנה מורכב

הבה נזכיר את ההגדרה של מעריך מורכב - . לאחר מכן

הרחבת סדרת מקלאורין. רדיוס ההתכנסות של סדרה זו הוא +∞, מה שאומר שהמעריך המורכב הוא אנליטי על כל המישור המורכב

(exp z)"=exp z; exp 0=1. (2)

השוויון הראשון כאן נובע, למשל, מהמשפט על בידול מונח אחר מונח של סדרת חזקות.

11.1 פונקציות טריגונומטריות והיפרבוליות

סינוס של משתנה מורכבשנקראת פונקציה

קוסינוס של משתנה מורכביש פונקציה

סינוס היפרבולי של משתנה מורכבמוגדר כך:

קוסינוס היפרבולי של משתנה מורכב-- זוהי פונקציה

הבה נציין כמה מאפיינים של הפונקציות החדשות שהוצגו.

א.אם x∈ ℝ, אז cos x, sin x, cosh x, sh x∈ ℝ.

ב.הקשר הבא קיים בין פונקציות טריגונומטריות והיפרבוליות:

cos iz=ch z; sin iz=ish z, ch iz=cos z; sh iz=isin z.

ב.זהויות טריגונומטריות והיפרבוליות בסיסיות:

cos 2 z+sin 2 z=1; ch 2 z-sh 2 z=1.

הוכחה לזהות ההיפרבולית העיקרית.

הזהות הטריגונומטרית העיקרית נובעת מהזהות ההיפרבולית העיקרית כאשר לוקחים בחשבון את הקשר בין פונקציות טריגונומטריות והיפרבוליות (ראה תכונה ב')

G נוסחאות תוספת:

באופן מיוחד,

ד.כדי לחשב את הנגזרות של פונקציות טריגונומטריות והיפרבוליות, יש ליישם את המשפט על בידול מונח אחר מונח של סדרת חזקות. אנחנו מקבלים:

(cos z)"=-sin z; (sin z)"=cos z; (ch z)"=sh z; (sh z)"=ch z.

ה.הפונקציות cos z, ch z הן זוגיות, והפונקציות sin z, sin z הן אי-זוגיות.

J. (תדירות)הפונקציה e z היא מחזורית עם תקופה 2π i. הפונקציות cos z, sin z הן מחזוריות עם תקופה של 2π, והפונקציות ch z, sin z הן מחזוריות עם תקופה של 2πi. יתר על כך,

יישום נוסחאות הסכום, נקבל

ז. הרחבה לחלקים אמיתיים ודמיוניים:

אם פונקציה אנליטית בעלת ערך יחיד f(z) ממפה תחום D על גבי תחום G, אז D נקרא תחום חד ערכי.

ו.אזור D k =( x+iy | 2π k≤ y<2π (k+1)} для любого целого k является областью однолистности функции e z , которая отображает ее на область ℂ* .

הוכחה. מהיחס (5) עולה שהמיפוי exp:D k → ℂ הוא זריקי. תן w להיות כל מספר מרוכב שאינו אפס. לאחר מכן, פותרים את המשוואות e x =|w| ו-e iy =w/|w| עם משתנים ממשיים x ו-y (y נבחר מתוך חצי מרווח עבור n > 1 שונה מאפס בכל הנקודות מלבד z = 0. כתיבת w ו-z בצורה מעריכית בנוסחה (4), נקבל את זה מתוך נוסחה ( 5) ברור שמספרים מרוכבים Z\ ו-z2 כך שבהם k הוא מספר שלם, הולכים לנקודה אחת w זה אומר שעבור n > 1 המיפוי (4) אינו חד ערכי במישור z תחום שבו המיפוי φ = zn הוא סקטור אחד שבו a הוא כל מספר ממשי בתחום (7), המיפוי (4) הוא רב ערכים, שכן עבור כל מספר מרוכב z = ε1в Ф 0 ניתן לציין n שונה. מספרים מרוכבים כך שהחזקה ה-n שלהם שווה ל-z: שים לב שפולינום בדרגה n של משתנה מרוכב z הוא פונקציה שבה נתון מספרים מרוכבים, ובין השאר Φ 0. פולינום בכל מידה הוא פונקציה אנליטית על הכלל. מישור מורכב 2.3 פונקציה שברית-רציונלית פונקציה שברית-רציונלית היא פונקציה של הצורה שבה) - פולינומים של המשתנה המורכב z. הפונקציה הרציונלית השברית היא אנליטית בכל המישור, למעט אותן נקודות שבהן המכנה Q(z) נעלם. דוגמה 3. הפונקציה ז'וקובסקי__ היא אנליטית בכל המישור z, למעט הנקודה z = 0. הבה נברר את התנאים לאזור של המישור המורכב שבו פונקציית ז'וקובסקי הנחשבת באזור זה תהיה חד ערכית. M ניתן להעביר את הנקודות Z) ו-zj על ידי פונקציה (8) לנקודה אחת. אז בשעה נקבל את זה אז, כדי שהפונקציה ז'וקובסקי תהיה חד ערכית, יש צורך ומספיק כדי לעמוד בתנאי. דוגמה לאזור המקיים את תנאי החד-ערכיות (9) היא החוץ של המעגל |z| > 1. היות והנגזרת של פונקציית ז'וקובסקי פונקציות יסודיות של משתנה מורכב פונקציות שבריות-רציונליות פונקציית כוח פונקצית מעריכי פונקציה לוגריתמית פונקציות טריגונומטריות והיפרבוליות אינן אפס בכל מקום מלבד בנקודות, המיפוי של התחום שתבוצע על ידי פונקציה זו יהיה קונפורמי (איור 13). שימו לב שהחלק הפנימי של דיסק היחידה |I הוא גם תחום החד-ערך של פונקציית ז'וקובסקי. אורז. 13 2.4. פונקציה מעריכית אנו מגדירים את הפונקציה המעריכית ez עבור כל מספר מרוכב z = x + y על ידי היחס הבא: עבור x = 0 נקבל את הנוסחה של אוילר: הבה נתאר את המאפיינים העיקריים של הפונקציה המעריכית: 1. עבור z אמיתי, הגדרה זו עולה בקנה אחד עם הרגיל. ניתן לאמת זאת ישירות על ידי הגדרת y = 0 בנוסחה (10). הפונקציה ez היא אנליטית בכל המישור המורכב, ועבורה נשמרת נוסחת ההבחנה הרגילה 3. עבור הפונקציה ez נשמרת משפט החיבור . נניח 4. הפונקציה ez היא מחזורית עם תקופה עיקרית דמיונית 2xi. למעשה, עבור כל מספר שלם k מצד שני, אם אז מההגדרה (10) נובע שממנו נובע כי, או כאשר n הוא מספר שלם. הרצועה אינה מכילה זוג נקודות בודד המחוברות בקשר (12), לפיכך, מהמחקר שנערך עולה כי המיפוי w = e" הוא יחיד ברצועה (איור 14). מאחר ומדובר בנגזרת, מיפוי זה הוא קונפורמי פונקציה g.g היא חד ערכית בכל פונקציה לוגריתמית מהמשוואה שבה נתון הבלתי ידוע. פונקציה מרובת ערכים נקראת לוגריתמית ומסומנת כדלקמן הערך arg z נקרא הערך העיקרי של הלוגריתם ומסומן על ידי ואז עבור Ln z נקבל נוסחה 2.6 פונקציות טריגונומטריות והיפרבוליות מהנוסחה של אוילר (11) עבור y we האמיתי להשיג מהמקום בו אנו מגדירים את הפונקציות הטריגונומטריות sin z ו- cos z עבור כל מספר מרוכב z באמצעות הנוסחאות הבאות: לסינוס ולקוסינוס של ארגומנט מורכב תכונות מעניינות הבה נרשום את העיקריות שבהן: הפונקציות sinz ו-cos z: 1) עבור z -x אמיתי חופף עם סינוסים וקוסינוסים רגילים; 2) אנליטי על כל המישור המורכב; 3) לציית לנוסחאות ההבחנה הרגילות: 4) הן תקופתיות עם תקופה של 2π; 5) sin z היא פונקציה אי זוגית, ו-cos z היא פונקציה זוגית; 6) היחסים הטריגונומטריים הרגילים נשמרים. את כל המאפיינים המפורטים ניתן להשיג בקלות מנוסחאות (15). הפונקציות tgz ו-ctgz בתחום המורכב נקבעות ע"י הנוסחאות, ופונקציות היפרבוליות - ע"י הנוסחאות "פונקציות היפרבוליות קשורות קשר הדוק לפונקציות טריגונומטריות. קשר זה מתבטא בשוויון הבא: הסינוס והקוסינוס של ארגומנט מורכב יש עוד תכונה חשובה: במישור המורכב |\ ניקח ערכים חיוביים גדולים באופן שרירותי. בעזרת מאפיינים 6 ונוסחאות (18), אנו משיגים את הפונקציות היסודיות של משתנה מורכב פונקציות רציונליות שבר פונקציית כוח פונקציה מעריכית פונקציה טריגונומטרית והיפרבולית. פונקציות מאיפה בהנחה, יש לנו דוגמה 4. קל לאמת ש-4 למעשה ,

פונקציות של משתנה מורכב.
בידול של פונקציות של משתנה מורכב.

מאמר זה פותח סדרה של שיעורים בהם אשקול בעיות אופייניות הקשורות לתיאוריית הפונקציות של משתנה מורכב. כדי לשלוט בהצלחה בדוגמאות, עליך להיות בעל ידע בסיסי במספרים מרוכבים. על מנת לאחד ולחזור על החומר, פשוט בקר בעמוד. תצטרך גם את הכישורים כדי למצוא נגזרות חלקיות מסדר שני. הנה הם, הנגזרות החלקיות האלה... אפילו עכשיו הופתעתי קצת באיזו תדירות הם מתרחשים...

הנושא שאנו מתחילים לבחון אינו מציג קשיים מיוחדים, ובפונקציות של משתנה מורכב, באופן עקרוני, הכל ברור ונגיש. העיקר הוא להקפיד על הכלל הבסיסי, אותו הסקתי בניסוי. תמשיך לקרוא!

מושג של פונקציה של משתנה מורכב

ראשית, בואו נרענן את הידע שלנו על הפונקציה הבית ספרית של משתנה אחד:

פונקציה של משתנה אחדהוא כלל לפיו כל ערך של המשתנה הבלתי תלוי (מתחום ההגדרה) מתאים לערך אחד ויחיד של הפונקציה. באופן טבעי, "x" ו-"y" הם מספרים ממשיים.

במקרה המורכב, התלות התפקודית מצוינת באופן דומה:

פונקציה חד ערכית של משתנה מורכב- זה הכלל לפיו כולם מַקִיףהערך של המשתנה הבלתי תלוי (מתחום ההגדרה) מתאים לאחד ויחיד מַקִיףערך פונקציה. התיאוריה מתייחסת גם לפונקציות מרובות ערכים ועוד כמה סוגים אחרים של פונקציות, אך לשם הפשטות אתמקד בהגדרה אחת.

מה ההבדל בין פונקציה של משתנה מורכב?

ההבדל העיקרי: מספרים מרוכבים. אני לא אירוני. שאלות כאלה משאירות אנשים בטירוף בסוף המאמר אספר לכם סיפור מצחיק. בשיעור מספרים מורכבים עבור בובותשקלנו מספר מרוכב בצורה . מאז הפכה האות "z". מִשְׁתַנֶה, אז נסמן את זה באופן הבא: , בעוד "x" ו-"y" יכולים לקחת שונה תָקֵףמשמעויות. באופן גס, הפונקציה של משתנה מורכב תלויה במשתנים ו-, שמקבלים ערכים "רגילים". הנקודה הבאה נובעת באופן הגיוני מעובדה זו:

ניתן לכתוב את הפונקציה של משתנה מורכב כך:
, איפה והן שתי פונקציות של שתיים תָקֵףמשתנים.

הפונקציה נקראת חלק אמיתיפונקציות
הפונקציה נקראת חלק דמיוניפונקציות

כלומר, הפונקציה של משתנה מורכב תלויה בשתי פונקציות אמיתיות ו. כדי לבסוף להבהיר הכל, בואו נסתכל על דוגמאות מעשיות:

דוגמה 1

פִּתָרוֹן:המשתנה הבלתי תלוי "zet", כזכור, כתוב בצורה , ולכן:

(1) החלפנו .

(2) עבור האיבר הראשון נעשה שימוש בנוסחת הכפל המקוצר. במונח נפתחו הסוגריים.

(3) בריבוע בזהירות, בלי לשכוח את זה

(4) סידור מחדש של מונחים: ראשית נכתוב מחדש את המונחים , שאין בה יחידה דמיונית(קבוצה ראשונה), ואז המונחים שבהם יש (קבוצה שנייה). יש לציין כי אין צורך בעירבוב התנאים, וניתן לדלג על שלב זה (בעצם ביצועו בעל פה).

(5) עבור הקבוצה השנייה אנו מוציאים אותו מסוגריים.

כתוצאה מכך, התברר שהפונקציה שלנו מיוצגת בטופס

תשובה:
- חלק אמיתי מהפונקציה.
– חלק דמיוני של הפונקציה.

איזה סוג של פונקציות התבררו? הפונקציות הרגילות ביותר של שני משתנים שמהם אתה יכול למצוא פופולרי כזה נגזרות חלקיות. בלי רחמים, נמצא את זה. אבל קצת אחר כך.

בקצרה, ניתן לכתוב את האלגוריתם לבעיה שנפתרה באופן הבא: אנו מחליפים, לפונקציה המקורית, מבצעים הפשטות ומחלקים את כל האיברים לשתי קבוצות - ללא יחידה דמיונית (חלק אמיתי) ועם יחידה דמיונית (חלק דמיוני) .

דוגמה 2

מצא את החלק האמיתי והדמיוני של הפונקציה

זו דוגמה שתוכל לפתור בעצמך. לפני שאתם ממהרים לקרב על המטוס המורכב עם הדמקה שלופה, הרשו לי לתת לכם את העצה החשובה ביותר בנושא:

הזהר!אתה צריך להיות זהיר, כמובן, בכל מקום, אבל במספרים מרוכבים אתה צריך להיות זהיר יותר מתמיד! זכור כי, פתח בזהירות את הסוגריים, אל תאבד דבר. לפי התצפיות שלי, הטעות הנפוצה ביותר היא אובדן שלט. אל תמהר!

פתרון מלא ותשובה בסוף השיעור.

עכשיו הקובייה. בעזרת נוסחת הכפל המקוצר, נגזר:
.

הנוסחאות נוחות מאוד לשימוש בפועל, שכן הן מאיצות משמעותית את תהליך הפתרון.

בידול של פונקציות של משתנה מורכב.

יש לי שתי חדשות: טובות ורעות. אני אתחיל עם הטוב. עבור פונקציה של משתנה מורכב, חוקי הדיפרנציאציה וטבלת הנגזרות של פונקציות אלמנטריות תקפים. לפיכך, הנגזרת נלקחת בדיוק באותו אופן כמו במקרה של פונקציה של משתנה ממשי.

החדשות הרעות הן שלהרבה פונקציות משתנים מורכבות אין נגזרת בכלל, ואתה צריך להבין האם ניתן להבדילפונקציה כזו או אחרת. ו"להבין" איך הלב שלך מרגיש קשור לבעיות נוספות.

הבה נבחן את הפונקציה של משתנה מורכב. כדי שפונקציה זו תהיה ניתנת להבדלה יש צורך ומספיק:

1) כך שקיימים נגזרות חלקיות מסדר ראשון. תשכח מהסימונים האלה מיד, שכן בתורת הפונקציות של משתנה מורכב נעשה שימוש מסורתי בסימון אחר: .

2) כדי לבצע את מה שנקרא תנאי קוצ'י-רימן:

רק במקרה זה הנגזרת תתקיים!

דוגמה 3

פִּתָרוֹןמחולק לשלושה שלבים עוקבים:

1) בואו נמצא את החלקים האמיתיים והדמיוניים של הפונקציה. משימה זו נדונה בדוגמאות קודמות, אז אני ארשום אותה ללא הערה:

מאז:

לכן:

– חלק דמיוני של הפונקציה.

הרשו לי לגעת בנקודה טכנית נוספת: באיזה סדרלכתוב את המונחים בחלק האמיתי והדמיוני? כן, באופן עקרוני, זה לא משנה. לדוגמה, ניתן לכתוב את החלק האמיתי כך: , והדמיוני – כך:.

2) הבה נבדוק את התקיימות תנאי קאוצ'י-רימן. יש שניים מהם.

נתחיל בבדיקת המצב. אנחנו מוצאים נגזרות חלקיות:

לפיכך, התנאי מתקיים.

כמובן, החדשות הטובות הן שנגזרות חלקיות הן כמעט תמיד פשוטות מאוד.

אנו בודקים את מילוי התנאי השני:

התוצאה זהה, אבל בסימנים הפוכים, כלומר, גם התנאי מתקיים.

התנאים של קאוצ'י-רימן מתקיימים, ולכן הפונקציה ניתנת להבדלה.

3) בוא נמצא את הנגזרת של הפונקציה. גם הנגזרת פשוטה מאוד ונמצאת לפי הכללים הרגילים:

היחידה הדמיונית נחשבת קבועה במהלך ההתמיינות.

תשובה: - חלק אמיתי, – חלק דמיוני.
תנאי קאוצ'י-רימן מתקיימים, .

ישנן שתי דרכים נוספות למצוא את הנגזרת, הן משמשות, כמובן, בתדירות נמוכה יותר, אבל המידע יהיה שימושי להבנת השיעור השני - איך למצוא פונקציה של משתנה מורכב?

ניתן למצוא את הנגזרת באמצעות הנוסחה:

במקרה הזה:

לכן

עלינו לפתור את הבעיה ההפוכה - בביטוי המתקבל עלינו לבודד. על מנת לעשות זאת, יש צורך בתנאים ומחוץ לסוגריים:

הפעולה ההפוכה, כפי שרבים שמו לב, קצת יותר קשה לבדיקה, תמיד עדיף לקחת את ההבעה בטיוטה או לפתוח את הסוגריים בחזרה, ולוודא שהתוצאה תהיה בדיוק;

נוסחת מראה למציאת הנגזרת:

במקרה הזה: , בגלל זה:

דוגמה 4

קבע את החלק האמיתי והדמיוני של פונקציה . בדוק את מילוי התנאים של קאוצ'י-רימן. אם מתקיימים תנאי קאוצ'י-רימן, מצא את הנגזרת של הפונקציה.

פתרון קצר ודוגמה משוערת של העיצוב הסופי בסוף השיעור.

האם תנאי קאוצ'י-רימן תמיד מרוצים? תיאורטית, הם אינם מתמלאים לעתים קרובות יותר מאשר הם מתגשמים. אבל בדוגמאות מעשיות, אני לא זוכר מקרה שבו הם לא התגשמו =) לפיכך, אם הנגזרות החלקיות שלך "לא מתכנסות", אז בסבירות גבוהה מאוד אתה יכול לומר שטעית איפשהו.

בואו נסבך את הפונקציות שלנו:

דוגמה 5

קבע את החלק האמיתי והדמיוני של פונקציה . בדוק את מילוי התנאים של קאוצ'י-רימן. לחשב

פִּתָרוֹן:אלגוריתם הפתרון נשמר לחלוטין, אך בסופו תתווסף נקודה חדשה: מציאת הנגזרת בנקודה. עבור הקובייה, הנוסחה הנדרשת כבר נגזרה:

בואו נגדיר את החלקים האמיתיים והדמיוניים של פונקציה זו:

תשומת לב ושוב תשומת לב!

מאז:


לכן:
- חלק אמיתי מהפונקציה;
– חלק דמיוני של הפונקציה.

בדיקת התנאי השני:

התוצאה זהה, אבל בסימנים הפוכים, כלומר, גם התנאי מתקיים.

התנאים של קאוצ'י-רימן מתקיימים, ולכן הפונקציה ניתנת להבדלה:

בואו נחשב את ערך הנגזרת בנקודה הנדרשת:

תשובה:, , מתקיימים תנאי קאוצ'י-רימן,

פונקציות עם קוביות נפוצות, אז הנה דוגמה לחיזוק:

דוגמה 6

קבע את החלק האמיתי והדמיוני של פונקציה . בדוק את מילוי התנאים של קאוצ'י-רימן. לחשב.

פתרון ודוגמא לסיום בסוף השיעור.

תורת הניתוח המורכב מגדירה גם פונקציות אחרות של ארגומנט מורכב: אקספוננט, סינוס, קוסינוס וכו'. לפונקציות האלה יש מאפיינים יוצאי דופן ואפילו מוזרים - וזה באמת מעניין! אני באמת רוצה להגיד לך, אבל כאן, כפי שזה קורה, זה לא ספר עיון או ספר לימוד, אלא ספר פתרונות, אז אני אשקול את אותה בעיה עם כמה פונקציות נפוצות.

ראשית על מה שנקרא הנוסחאות של אוילר:

לכל אחד תָקֵףמספרים, הנוסחאות הבאות תקפות:

אתה יכול גם להעתיק אותו למחברת שלך כחומר עזר.

למהדרין, יש רק נוסחה אחת, אבל בדרך כלל מטעמי נוחות כותבים גם מקרה מיוחד עם מינוס במעריך. הפרמטר לא חייב להיות אות בודדת הוא יכול להיות ביטוי מורכב או פונקציה, חשוב רק שהם יקבלו תקף בלבדמשמעויות. למעשה, נראה את זה עכשיו:

דוגמה 7

מצא את הנגזרת.

פִּתָרוֹן:הקו הכללי של המפלגה נותר בלתי מעורער - יש צורך להבחין בין החלקים האמיתיים והדמיונים של הפונקציה. אתן פתרון מפורט ואעיר על כל שלב להלן:

מאז:

(1) במקום "z" תחליף.

(2) לאחר ההחלפה, עליך לבחור את החלקים האמיתיים והדמיוניים ראשון במחווןמציגים. כדי לעשות זאת, פתח את הסוגריים.

(3) אנו מקבצים את החלק הדמיוני של המחוון, וממקמים את היחידה הדמיונית מתוך סוגריים.

(4) אנו משתמשים בפעולת בית הספר עם תארים.

(5) עבור המכפיל אנו משתמשים בנוסחה של אוילר, ו.

(6) פתח את הסוגריים, וכתוצאה מכך:

- חלק אמיתי מהפונקציה;
– חלק דמיוני של הפונקציה.

פעולות נוספות הן סטנדרטיות, בואו נבדוק את מילוי התנאים של Cauchy-Riemann:

דוגמה 9

קבע את החלק האמיתי והדמיוני של פונקציה . בדוק את מילוי התנאים של קאוצ'י-רימן. כך או כך, לא נמצא את הנגזרת.

פִּתָרוֹן:אלגוריתם הפתרון דומה מאוד לשתי הדוגמאות הקודמות, אך ישנן נקודות חשובות מאוד, לכן אעיר שוב על השלב הראשוני צעד אחר צעד:

מאז:

1) במקום "z" החלף.

(2) ראשית, אנו בוחרים את החלקים האמיתיים והדמיוניים בתוך הסינוס. למטרות אלו, אנו פותחים את הסוגריים.

(3) אנו משתמשים בנוסחה, ו .

(4) אנו משתמשים זוגיות של קוסינוס היפרבולי: ו מוזרות של סינוס היפרבולי: . היפרבוליות, למרות שאינן מהעולם הזה, מזכירות במובנים רבים פונקציות טריגונומטריות דומות.

בסופו של דבר:
- חלק אמיתי מהפונקציה;
– חלק דמיוני של הפונקציה.

תשומת הלב!סימן המינוס מתייחס לחלק הדמיוני, ובשום פנים ואופן אסור לאבד אותו! להמחשה ברורה, ניתן לשכתב את התוצאה שהתקבלה לעיל באופן הבא:

בואו נבדוק את מילוי התנאים של קאוצ'י-רימן:

תנאי קאוצ'י-רימן מתקיימים.

תשובה:, , מתקיימים תנאי קאוצ'י-רימן.

גבירותיי ורבותיי, בואו נבין לבד:

דוגמה 10

קבע את החלק האמיתי והדמיוני של הפונקציה. בדוק את מילוי התנאים של קאוצ'י-רימן.

בחרתי בכוונה דוגמאות קשות יותר, כי נראה שכולם מסוגלים להתמודד עם משהו, כמו בוטנים קלופים. במקביל, תאמן את תשומת הלב שלך! פיצח אגוזים בסוף השיעור.

ובכן, לסיכום, אסתכל על דוגמה מעניינת נוספת כאשר טיעון מורכב נמצא במכנה. זה קרה כמה פעמים בפועל, בואו נסתכל על משהו פשוט. אה, אני מזדקן...

דוגמה 11

קבע את החלק האמיתי והדמיוני של הפונקציה. בדוק את מילוי התנאים של קאוצ'י-רימן.

פִּתָרוֹן:שוב יש צורך להבחין בין החלקים האמיתיים והדמיונים של הפונקציה.
אם, אז

נשאלת השאלה, מה לעשות כאשר "Z" נמצא במכנה?

הכל פשוט - הסטנדרטי יעזור שיטה להכפלת המונה והמכנה בביטוי המצומד, כבר נעשה בו שימוש בדוגמאות של השיעור מספרים מורכבים עבור בובות. בואו נזכור את נוסחת בית הספר. כבר יש לנו במכנה, כלומר הביטוי המצומד יהיה . לפיכך, עליך להכפיל את המונה והמכנה ב: