לפני הצגת המושג לוגריתם טבעי, הבה נבחן את המושג של מספר קבוע $e$.

מספר $e$

הגדרה 1

מספר $e$הוא קבוע מתמטי שהוא מספר טרנסצנדנטלי ושווה ל-$e\approx 2.718281828459045\ldots$.

הגדרה 2

טרנסצנדנטיהוא מספר שאינו השורש של פולינום בעל מקדמים שלמים.

הערה 1

הנוסחה האחרונה מתארת גבול נפלא שני.

המספר e נקרא גם מספרי אוילר, ולפעמים מספרי Napier.

פתק 2

כדי לזכור את הספרות הראשונות של המספר $e$ נעשה שימוש לעתים קרובות בביטוי הבא: "$2$, $7$, פעמיים ליאו טולסטוי". כמובן, כדי להיות מסוגל להשתמש בו, יש צורך לזכור שליאו טולסטוי נולד ב-$1828$. המספרים האלה חוזרים על עצמם פעמיים בערך של המספר $e$ אחרי החלק השלם $2$ ו. החלק העשרוני $7$.

התחלנו להתייחס למושג המספר $e$ כאשר לומדים את הלוגריתם הטבעי בדיוק בגלל שהוא נמצא בבסיס הלוגריתם $\log_(e)⁡a$, שנקרא בדרך כלל טִבעִיוכתוב אותו בצורה $\ln ⁡a$.

לוגריתם טבעי

לעתים קרובות, בחישובים, משתמשים בלוגריתמים, שבסיסם הוא המספר $е$.

הגדרה 4

לוגריתם עם בסיס $e$ נקרא טִבעִי.

הָהֵן. ניתן לסמן את הלוגריתם הטבעי כ$\log_(e)⁡a$, אך במתמטיקה מקובל להשתמש בסימון $\ln ⁡a$.

תכונות הלוגריתם הטבעי

כי הלוגריתם לכל בסיס של אחדות שווה ל$0$, ואז הלוגריתם הטבעי של האחדות שווה ל$0$:

הלוגריתם הטבעי של המספר $е$ שווה לאחד:

הלוגריתם הטבעי של המכפלה של שני מספרים שווה לסכום הלוגריתמים הטבעיים של המספרים הללו:

$\ln ⁡(ab)=\ln ⁡a+\ln ⁡b$.

הלוגריתם הטבעי של המנה של שני מספרים שווה להפרש הלוגריתמים הטבעיים של המספרים הללו:

$\ln⁡\frac(a)(b)=\ln ⁡a-\ln⁡ b$.

הלוגריתם הטבעי של חזקת מספר יכול להיות מיוצג כמכפלת המעריך והלוגריתם הטבעי של המספר התת-לוגאריתמי:

$\ln⁡ a^s=s \cdot \ln⁡ a$.

דוגמה 1

פשט את הביטוי $\frac(2 \ln ⁡4e-\ln ⁡16)(\ln ⁡5e-\frac(1)(2) \ln ⁡25)$.

פִּתָרוֹן.

הבה נחיל את המאפיין של לוגריתם המכפלה על הלוגריתם הראשון במונה ובמכנה, ואת המאפיין של לוגריתם החזקה על הלוגריתם השני של המונה והמכנה:

$\frac(2 \ln ⁡4e-\ln⁡16)(\ln ⁡5e-\frac(1)(2) \ln ⁡25)=\frac(2(\ln ⁡4+\ln ⁡e) -\ln⁡ 4^2)(\ln⁡5+\ln ⁡e-\frac(1)(2) \ln⁡ 5^2)=$

בואו נפתח את הסוגריים ונציג מונחים דומים, ונחיל גם את המאפיין $\ln ⁡e=1$:

$=\frac(2 \ln ⁡4+2-2 \ln ⁡4)(\ln ⁡5+1-\frac(1)(2) \cdot 2 \ln ⁡5)=\frac(2)( \ln ⁡5+1-\ln ⁡5)=2$.

תשובה: $\frac(2 \ln ⁡4e-\ln ⁡16)(\ln ⁡5e-\frac(1)(2) \ln ⁡25)=2$.

דוגמה 2

מצא את הערך של הביטוי $\ln⁡ 2e^2+\ln \frac(1)(2e)$.

פִּתָרוֹן.

בוא ניישם את הנוסחה לסכום הלוגריתמים:

$\ln 2e^2+\ln \frac(1)(2e)=\ln 2e^2 \cdot \frac(1)(2e)=\ln ⁡e=1$.

תשובה: $\ln 2e^2+\ln \frac(1)(2e)=1$.

דוגמה 3

חשב את הערך של הביטוי הלוגריתמי $2 \lg ⁡0.1+3 \ln⁡ e^5$.

פִּתָרוֹן.

בוא ניישם את המאפיין של הלוגריתם של חזקה:

$2 \lg ⁡0.1+3 \ln e^5=2 \lg 10^(-1)+3 \cdot 5 \ln ⁡e=-2 \lg ⁡10+15 \ln ⁡e=-2+ 15= $13.

תשובה: $2 \lg ⁡0.1+3 \ln e^5=13$.

דוגמה 4

פשט את הביטוי הלוגריתמי $\ln \frac(1)(8)-3 \ln ⁡4$.

$3 \ln \frac(9)(e^2)-2 \ln ⁡27=3 \ln (\frac(3)(e))^2-2 \ln 3^3=3 \cdot 2 \ln \ frac(3)(e)-2 \cdot 3 \ln ⁡3=6 \ln \frac(3)(e)-6 \ln ⁡3=$

אנו מיישמים על הלוגריתם הראשון את המאפיין של הלוגריתם של המנה:

$=6(\ln ⁡3-\ln ⁡e)-6 \ln⁡ 3=$

בואו נפתח את הסוגריים ונציג מונחים דומים:

$=6 \ln ⁡3-6 \ln ⁡e-6 \ln ⁡3=-6$.

תשובה: $3 \ln \frac(9)(e^2)-2 \ln ⁡27=-6$.

הַגדָרָה

מספרהוא קבוע מתמטי לא רציונלי וטרנסנדנטלי הנקרא מספר אוילראוֹ מספר Napier, שהוא הבסיס של הלוגריתם הטבעי.

מאחורי הקלעים קבוע קיים בעבודה "Description of the Amazing Table of Logarithms" מאת המתמטיקאי הסקוטי ג'ון נפייר (1550-1617) (ליתר דיוק, בנספח לתרגום יצירה זו, שיצא לאור ב-1618). האזכור הראשון של הקבוע הזה הוא במכתביו של הפילוסוף, הלוגיקן, המתמטיקאי, המכונאי, הפיזיקאי, עורך הדין, ההיסטוריון, הדיפלומט, הממציא והבלשן הסקסוני, גוטפריד וילהלם לייבניץ (1646-1716) אל המכונאי, הפיזיקאי, המתמטיקאי, האסטרונום ההולנדי. והממציא כריסטיאן הוינגנס ואן זויליכם (1629-1695) בשנים 1690-91. שם זה סומן על ידי המכתב. ייעוד מסורתי ב-1727 החל המתמטיקאי והמכונאי השוויצרי, הגרמני, הרוסי לאונרד אוילר (1707-1783) להשתמש בו; הוא השתמש בו לראשונה במכתבו למתמטיקאי הגרמני כריסטיאן גולדבך (1690-1764) בשנת 1731. הפרסום הראשון עם מכתב זה היה עבודתו של ל. אוילר "מכניקה, או מדע התנועה, מוסברת אנליטית" (1736). הקבוע עצמו חושב לראשונה על ידי המתמטיקאי השוויצרי יעקב ברנולי (1655-1705) תוך פתרון בעיית הערך המגביל של הכנסות הריבית:

למספר יש תפקיד חשוב בענפים שונים של המתמטיקה, ובמיוחד בחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי. ההתעלות של המספר של אוילר הוכחה על ידי המתמטיקאי הצרפתי שארל הרמיט (1822-1901) רק ב-1873.

מספר e משימות

1) דרך הגבול:

y (x) = e x, שהנגזרת שלה שווה לפונקציה עצמה.

המעריך מסומן כ , או .

מספר ה

הבסיס לתואר המעריך הוא מספר ה. זהו מספר לא רציונלי. זה בערך שווה
ה ≈ 2,718281828459045...

המספר e נקבע דרך הגבול של הרצף. זה מה שנקרא גבול נפלא שני:
.

המספר e יכול להיות מיוצג גם כסדרה:
.

גרף אקספוננציאלי

גרף אקספוננציאלי, y = e x .

הגרף מציג את האקספוננציאלי הבמידה איקס.
y (x) = e x
הגרף מראה שהמעריך גדל באופן מונוטוני.

נוסחאות

הנוסחאות הבסיסיות זהות לאלו של פונקציה מעריכיתעם בסיס כוח ה.

;
;
;

ביטוי של פונקציה אקספוננציאלית עם בסיס שרירותי של תואר a עד מעריכי:
.

ערכים פרטיים

תן לך (x) = e x. לאחר מכן
.

מאפייני מעריך

למעריך תכונות של פונקציה מעריכית עם בסיס כוח ה > 1 .

דומיין, קבוצת ערכים

אקספוננט y (x) = e xמוגדר עבור כל x.
תחום ההגדרה שלו:
- ∞ < x + ∞ .
המשמעויות הרבות שלו:
0 < y < + ∞ .

קיצוניות, מתגברות, יורדות

האקספוננציאלי הוא פונקציה הגדלה מונוטונית, ולכן אין לה קיצון. המאפיינים העיקריים שלו מוצגים בטבלה.

פונקציה הפוכה

ההיפוך של המעריך הוא הלוגריתם הטבעי.
;
.

נגזרת של המעריך

נגזר הבמידה איקסשווה ל הבמידה איקס :
.
נגזרת מסדר n:
.
גזירת נוסחאות > > >

בלתי נפרד

מספרים מסובכים

פעולות עם מספרים מרוכבים מבוצעות באמצעות הנוסחאות של אוילר:
,
איפה היחידה הדמיונית:
.

ביטויים באמצעות פונקציות היפרבוליות

; ;
.

ביטויים באמצעות פונקציות טריגונומטריות

; ;
;
.

הרחבת סדרת הכוח

הפניות:
I.N. ברונשטיין, ק.א. Semendyaev, מדריך למתמטיקה למהנדסים וסטודנטים, "לאן", 2009.

תיאור e כ"קבוע שווה בקירוב ל-2.71828..." זה כמו לקרוא ל-pi "מספר אי-רציונלי שווה בקירוב ל-3.1415...". זה ללא ספק נכון, אבל הנקודה עדיין חומקת מאיתנו.

פאי הוא היחס בין ההיקף לקוטר, זהה לכל המעגלים. זהו פרופורציה בסיסית המשותפת לכל המעגלים ומכאן שהיא מעורבת בחישוב היקף, שטח, נפח ושטח פני מעגלים, כדורים, גלילים וכו'. פי מראה שכל המעגלים קשורים, שלא לדבר על הפונקציות הטריגונומטריות הנגזרות מעיגולים (סינוס, קוסינוס, טנגנס).

המספר e הוא יחס הצמיחה הבסיסי עבור כל התהליכים הגדלים ברציפות.המספר e מאפשר לך לקחת קצב גדילה פשוט (כאשר ההבדל נראה רק בסוף השנה) ולחשב את המרכיבים של המדד הזה, צמיחה נורמלית, שבה עם כל ננו-שנייה (או אפילו מהר יותר) הכל גדל קצת יותר.

המספר e מעורב הן במערכות צמיחה אקספוננציאליות והן במערכות צמיחה קבועות: אוכלוסיה, דעיכה רדיואקטיבית, חישוב אחוזים ועוד רבים, רבים אחרים. אפילו מערכות צעדים שאינן גדלות באופן אחיד ניתנות לקירוב באמצעות המספר e.

בדיוק כפי שניתן לחשוב על כל מספר כגרסה "בקנה מידה" של 1 (יחידת הבסיס), ניתן לחשוב על כל מעגל כגרסה "מגודלת" של מעגל היחידה (עם רדיוס 1). וכל גורם גדילה יכול להיחשב כגרסה "מוקטנת" של e (גורם הגדילה "היחידה").

אז המספר e אינו מספר אקראי שנלקח באקראי. המספר e מגלם את הרעיון שכל המערכות הצומחות ללא הרף הן גרסאות מוקטנות של אותו מדד.

מושג של צמיחה אקספוננציאלית

נתחיל בסקירה מערכת בסיסית, איזה כפוללפרק זמן מסוים. לדוגמה:

• החיידקים מתחלקים ו"מכפילים" את מספרם כל 24 שעות
• נקבל פי שניים יותר אטריות אם נשבור אותן לשניים
• הכסף שלך מוכפל מדי שנה אם אתה מרוויח 100% (מזל!)

וזה נראה בערך כך:

חלוקה בשניים או הכפלה היא התקדמות פשוטה מאוד. כמובן, אנחנו יכולים לשלש או לארבעה, אבל הכפלה נוחה יותר להסבר.

מבחינה מתמטית, אם יש לנו x חלוקות, בסופו של דבר נקבל פי 2x יותר טוב ממה שהתחלנו איתם. אם נוצרת רק מחיצה אחת, נקבל פי 2^1 יותר. אם יש 4 מחיצות, נקבל 2^4=16 חלקים. הנוסחה הכללית נראית כך:

גוֹבַה= 2 x

במילים אחרות, הכפלה היא עלייה של 100%. נוכל לשכתב את הנוסחה הזו כך:

גוֹבַה= (1+100%) x

זה אותו שוויון, רק חילקנו את "2" לחלקים המרכיבים שלו, שבעצם הוא המספר הזה: הערך ההתחלתי (1) פלוס 100%. חכם, נכון?

כמובן, אנחנו יכולים להחליף כל מספר אחר (50%, 25%, 200%) במקום 100% ולקבל את נוסחת הצמיחה של המקדם החדש הזה. הנוסחה הכללית עבור x תקופות מסדרת הזמן תהיה:

גוֹבַה = (1+צְמִיחָה)איקס

זה פשוט אומר שאנחנו משתמשים בשיעור ההחזר, (1 + רווח), "x" פעמים ברציפות.

בואו נסתכל מקרוב

הנוסחה שלנו מניחה שהצמיחה מתרחשת בשלבים נפרדים. החיידקים שלנו מחכים ומחכים, ואז באם!, וברגע האחרון הם מכפילים את מספרם. הרווח שלנו על הריבית על הפיקדון מופיע באופן קסום בדיוק לאחר שנה. בהתבסס על הנוסחה שנכתבה למעלה, הרווחים גדלים בצעדים. נקודות ירוקות מופיעות פתאום.

אבל העולם לא תמיד ככה. אם נתקרב, נוכל לראות שהחברים החיידקיים שלנו מתחלקים כל הזמן:

הבחור הירוק לא מתעורר יש מאין: הוא צומח לאט מההורה הכחול. לאחר פרק זמן אחד (24 שעות במקרה שלנו), החבר הירוק כבר בשל לחלוטין. לאחר שהתבגר, הוא הופך לחבר כחול מן המניין בעדר ויכול ליצור בעצמו תאים ירוקים חדשים.

האם המידע הזה ישנה את המשוואה שלנו בדרך כלשהי?

לא. במקרה של חיידקים, תאים ירוקים שנוצרו למחצה עדיין לא יכולים לעשות דבר עד שהם גדלים ונפרדים לחלוטין מהוריהם הכחולים. אז המשוואה נכונה.

ה- קבוע מתמטי, בסיס הלוגריתם הטבעי, מספר אי-רציונלי וטרנסצנדנטלי. ה= 2.718281828459045... לפעמים המספר השקוראים לו מספר אוילראוֹ מספר לא נוצה. ממלא תפקיד חשוב בחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי.

שיטות קביעה

ניתן להגדיר את המספר e בכמה דרכים.

נכסים

כַּתָבָה

מספר זה נקרא לפעמים ללא נוצותלכבודו של המדען הסקוטי ג'ון נאפייר, מחבר העבודה "תיאור הטבלה המדהימה של לוגריתמים" (1614). עם זאת, שם זה אינו נכון לחלוטין, מכיוון שיש לו לוגריתם של המספר איקסהיה שווה .

בפעם הראשונה, הקבוע קיים באופן לא רשמי בנספח לתרגום לאנגלית של היצירה הנ"ל של נאפייר, שפורסם ב-1618. באופן לא רשמי, מכיוון שהוא מכיל רק טבלה של לוגריתמים טבעיים, הקבוע עצמו אינו מוגדר. ההנחה היא שמחבר הטבלה היה המתמטיקאי האנגלי ויליאם אוטרד. הקבוע עצמו נגזר לראשונה על ידי המתמטיקאי השוויצרי יעקב ברנולי כאשר ניסה לחשב את ערכו של הגבול הבא:

השימוש הראשון הידוע בקבוע הזה, שבו הוא סומן באות ב, נמצא במכתבים של גוטפריד לייבניץ לכריסטיאן הויגנס, 1690 ו-1691. מִכְתָב הלאונרד אוילר החל להשתמש בו בשנת 1727, והפרסום הראשון עם מכתב זה היה עבודתו "מכניקה, או מדע התנועה, מוסבר אנליטית" בשנת 1736. בהתאם, הלפעמים נקרא מספר אוילר. למרות שכמה מדענים השתמשו לאחר מכן במכתב ג, מכתב ההיה בשימוש לעתים קרובות יותר וכיום הוא הייעוד הסטנדרטי.

מדוע נבחרה האות? ה, לא ידוע בדיוק. אולי זה נובע מהעובדה שהמילה מתחילה בזה אקספוננציאלי("אינדיקטיבי", "מעריכי"). הנחה נוספת היא שהאותיות א, ב, גו דכבר נעשה שימוש נרחב למדי למטרות אחרות, ו ההיה המכתב הראשון "בחינם". אין זה סביר להניח שאולר בחר הבתור האות הראשונה של שם המשפחה שלך (גרמנית. אוילר), כי הוא היה אדם צנוע מאוד ותמיד ניסה להדגיש את חשיבות עבודתם של אחרים.

שיטות שינון

מספר הניתן לזכור באמצעות הכלל המנמוני הבא: שתיים ושבע, ואז פעמיים שנת לידתו של ליאו טולסטוי (1828), ואז הזוויות של משולש ישר זווית שווה שוקיים ( 45 , 90 ו 45 מעלות).

בגרסה אחרת של הכללים הקשור לנשיא ארה"ב אנדרו ג'קסון: 2 - כל כך הרבה פעמים נבחר, 7 - הוא היה נשיא ארה"ב השביעי, 1828 - שנת בחירתו, חוזרת על עצמה פעמיים מאז שג'קסון נבחר פעמיים. ואז - שוב משולש ישר זווית שווה שוקיים.

שיטה מעניינת נוספת מציעה לזכור את המספר המדויק לשלושה מקומות עשרוניים דרך "מספר השטן": עליך לחלק את 666 במספר המורכב מהמספרים 6 - 4, 6 - 2, 6 - 1 (שלוש שישיות, שמהן מוסרות שלוש החזקות הראשונות של שתיים בסדר הפוך): .

השיטה הרביעית מציעה לזכור האֵיך .

קירוב מחוספס (מדויק עד 0.001) אך טוב מציע השווה קירוב גס מאוד (בדיוק של 0.01) ניתן על ידי הביטוי .

"כלל בואינג": נותן דיוק טוב של 0.0005.

"פסוק": פרפרנו וזרחנו, אבל נתקענו במעבר; הם לא זיהו את העצרת הגנובה שלנו.

E = 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 95749 66967 62772 40766 30353 54754 45713 82178 52579181818 8 41675 09244 76146 06680 82264 80016 84774 11853 74234 54424 37107 53907 77449 ​​92069 55170 27618 38606 261333333345 83000 75204 49338 26 560 29760 67371 13200 70932 87091 27443 74704 72306 96977 20931 01416 92836 81902 55151 08657 4633727277777777 9967 94686 44549 05987 93163 68892 30098 79312 77361 78215 42499 922295 76351 48220 82698 95193 66803 31825 28869 3949 6461010101010 0581 0511010131313 93923 98294 88793 32036 094 43117 30123 81970 68416 14039 70198 37679 32068 32823 76464 80429 53118 02328 78250 98194 5515 677666666 159 30416 90351 59888 85193 45807 27386 67385 89422 87922 84998 92086 80582 57492 79610 48419 84443 63463 24496 84875 6023 72417192782 7242 7242 7242 7242 7242 7242 7242 7242 7242 7242 7242 7242 7242 7242 7242 724277773 78623 20900 21609 90235 30 436 99418 49146 31409 34317 38143 64054 62531 52096 18369 08887 07016 76839 64243 78140 5927 453161616 704 17189 86106 87396 96552 12671 54688 95703 50354 02123 40784 98193 34321 06817 01210 05627 88023 51920