סוג אלגוריתם הקבלה האופטימלי, כמו גם מחווני האיכות של מערכת העברת ההודעות הדיסקרטיות, תלויים באופן משמעותי במאפיינים

אשר נכנה את פונקציית הקורלציה הצולבת של המיקום של אות הייחוס המורכב ושל השדה המתקבל המורכב התואם למיקום שבו הסטת הזמן ביניהם נובעת מחוסר עקביות בזמן.

הפונקציה היא מדד ל"הבדל" (או "הקרבה") של אותות עם מדדים אם כל המימושים של הפרעות בערוץ נכללים במכלול האותות, אזי פונקציה זו תקבע גם את מידת ה"הבדל" (. "קרבה") בין האות להפרעה, כמו גם בין יישומים בודדים של הפרעה. מאפיין זה של הבחנה של אות ורעש שימש במספר עבודות, למשל.

בעת גזירת הנוסחאות האחרונות, נלקחו בחשבון היחסים הבאים מהשוויון של Parseval:

הפונקציות יקראו, בהתאמה, פונקציית המתאם הצולבים של אותות שהתקבלו ופונקציית המתאם הצולבת של אותות מצומדים במיקום המקבל. הראשון שבהם קובע את המאפיינים של קליטה קוהרנטית אופטימלית, בעוד כדי לאפיין קליטה אופטימלית עם שלב אות לא ודאי (קליטה לא קוהרנטית) נדרש רק ידע על המודולוס (המעטפת) של פונקציית המתאם המורכבת

אות התייחסות מורכב המשמש בסכימות קליטה קוהרנטיות אופטימליות (ראה להלן)

איפה הפונקציה שהיא הפתרון למשוואה האינטגרלית

איפה פונקציית המתאם של רעש נוסף. מכיוון שניתן להרחיב את פונקציית המתאם לסדרה בילינארית מבחינת הפונקציות שלה

איפה הערכים העצמיים, אז ניתן לכתוב את הפתרון למשוואת האינטגרל (1.52) בצורה

במקרה שבו ההפרעה היא סכום של שני חלקים - מרוכז ותנודה, ללא מתאם זה עם זה, הרחבת פונקציית המתאם של החלק המרוכז של ההפרעה לסדרות (1.53), נקבל

היכן הם הערכים העצמיים והתפקודים העצמיים התואמים לכיוון שפונקציית המתאם של רעש לבן עם הצפיפות הספקטרלית עבור כל בסיס אורתונורמלי יכולה להיות מיוצגת כ

(כל הערכים העצמיים זהים ושווים ל-N), אם כן

אם ניקח בחשבון (1.51), נקרא גם לפונקציה משוקללת [עם משקל המתאם המורכב

פונקציה של שני מימושים של אותות מורכבים במיקום הקבלה ניתן לכתוב בצורה

נניח שפונקציית המשקל היא הומוגנית, כלומר, ניתן להראות שהם קשורים זה לזה על ידי זוג טרנספורמציות הילברט. אנסמבלים של אותות עבור אשר

נכנה אותם אורתוגונליים במיקום המקבל עבור משמרות זמן שרירותיות אם התנאי מתקיים, אז נדבר על מערכת אורתוגונלית של אותות במיקום המקבל.

אם ב-(1-47) אז נקרא לזה פונקציית המתאם של האותות המורכבים שהתקבלו. למעשה, אנו יכולים לדבר רק על התגשמות משוערת של תנאי (1.59), שכן מילויו הקפדני אפשרי רק כאשר משתמשים באותות שהספקטרום שלהם אינו חופף בשום מקום, דבר שאינו בר ביצוע. בפועל, התנאים (1.59) מתקיימים לרוב עבור כל ערך בלבד

במקרה זה, נגיד שאם המדדים אינם חופפים, מתקיים תנאי הצמצום של פונקציית המתאם, ואם המדדים חופפים, מתקיים תנאי הצמצום של פונקציות המתאם.

הבה נציג פונקציות מתאם מנורמלות ב

יחס האנרגיה (אות/הפרעה) לאות במיקום המקבל. ניתן להראות שכתוצאה מכך, פונקציית המתאם המנורמלת (1.61) עומדת בתנאי באופן דומה, ניתן להראות שגם פונקציית המתאם המנורמלת של אותות מצומדים עומדת באותו תנאי.

עם שלב אות לא ודאי, במקרים מסוימים מאפייני המקלט מאופיינים על ידי המעטפת (1.50) ובהתאם לכך, המעטפת המנורמלת

הבה נקרא למערכת האותות שהתקבלו עבורה

אורתוגונלי במובן חזק לשינויי זמן שרירותיים

לעתים קרובות מאוד אנו עוסקים במערכת של אותות הממלאים תנאי אשר, באמצעות המינוח, נקרא אורתוגונלי במובן המוגבר (במקום המקבל).

בפועל, תנאים (1.64) מתקיימים בדרך כלל רק בגבולות (1.60).

בדומה למאפיינים שהוזנו של אותות שהתקבלו, אתה יכול להזין מאפייני מתאם משוקלל וקורלציה צולבת של אותות משודרים:

מצב זה מבטיח גם את האורתוגונליות של האותות המתקבלים במובן משופר עבור שינויי זמן שרירותיים.

עם שלב מסוים בערוץ, עבור האורתוגונליות הרגילה של האותות המתקבלים, די האורתוגונליות של האותות המשודרים (באותו משקל).

עבור ערוץ קרן יחיד, אורתוגונליות ואורתוגונליות במובן המשופר של האותות המתקבלים בכל שינויי זמן שקולות, בהתאמה, לאורתוגונליות ואורתוגונליות במובן המשופר בכל שינויי זמן של האותות המשודרים עם משקל.

עבור אותות צר-פס משודרים ומתקבלים, אורתוגונליות במובן המשופר בהזזות שרירותיות שאינן אפס שווה ערך לאורתוגונליות רגילה בכל תזוזה. עם זאת, עבור אותות כאלה, אורתוגונליות במובן המוגבר (at ) אינה שווה ערך לאורתוגונליות רגילה.

מנקודת מבט פיזית, פונקציית המתאם מאפיינת את הקשר או התלות ההדדית של שני ערכים מיידיים של אות אחד או שניים שונים לפעמים ו. במקרה הראשון, פונקציית המתאם נקראת לעתים קרובות אוטוקורלציה, ובשני - מתאם צולב. פונקציות המתאם של תהליכים דטרמיניסטיים תלויות רק ב.

אם ניתנים אותות ו, אזי פונקציות המתאם נקבעות על ידי הביטויים הבאים:

- פונקציית קורלציה צולבת; (2.66)

- פונקציית קורלציה אוטומטית. (2.67)

אם והם שני אותות מחזוריים עם אותה תקופה ט, אז ברור שפונקציית המתאם שלהם היא גם תקופתית עם נקודה טולכן ניתן להרחיב אותו בסדרת פורייה.

ואכן, אם נרחיב את האות בביטוי (2.66) לסדרת פורייה, נקבל

(2.68)

איפה והן אמפליטודות מורכבות נההרמוניה של האותות, ובהתאם, הוא מקדם מורכב המצומד עם. ניתן למצוא את מקדמי ההתפשטות של פונקציית המתאם הצול כמקדמים של סדרת פורייה

. (2.69)

ניתן להשיג בקלות את הרחבת התדר של פונקציית הקורלציה האוטומטית מנוסחאות (2.68) ו-(2.69), הצבת , לאחר מכן

. (2.70)

ומאז ולכן

, (2.71)

אז פונקציית הקורלציה האוטומטית היא זוגית ולכן

. (2.72)

הזוגיות של פונקציית הקורלציה האוטומטית מאפשרת להרחיב אותה לסדרת פורייה טריגונומטרית בקוסינוסים

במקרה המיוחד, עבור , נקבל:

.

לפיכך, פונקציית הקורלציה האוטומטית ב מייצגת את ההספק הממוצע הכולל של האות המחזורי, שווה לסכום הכוחות הממוצעים של כל ההרמוניות.

ייצוג תדר של אותות פולסים

בדיון הקודם ההנחה היא שהאותות הם רציפים, אך בעיבוד מידע אוטומטי משתמשים לעיתים קרובות באותות פולסים וכן בהמרה של אותות רציפים לאותות מפולסים. זה דורש התייחסות לסוגיות של ייצוג תדר של אותות פולסים.

הבה נשקול את המודל של המרת אות רציף לצורה מפולסת, המוצג באיור 2.6א.

תן לאות רציף להגיע לכניסה של מאפנן הדופק (איור 2.6b). אפנן הפולסים יוצר רצף של פולסים בודדים (איור 2.6c) עם נקודה טומשך הדופק ט, ו . ניתן לתאר את המודל המתמטי של רצף כזה של פולסים כפונקציה:

(2.74)

איפה ק- מספר דופק ברצף.

אות המוצא של מאפנן הדופק (איור 2.6ד) יכול להיות מיוצג כ:

.

בפועל, רצוי שיהיה ייצוג תדר של רכבת הדופק. לשם כך, ניתן לייצג את הפונקציה, כמחזורית, כסדרת פורייה:

, (2.75)

- מקדמי התפשטות ספקטרליים לסדרת פורייה; (2.76)

קצב החזרה על הדופק;

נ- מספר הרמוני.

החלפת יחס (2.74) לביטוי (2.76), אנו מוצאים:

.

החלפה של (2.76) לתוך (2.74), נקבל:

(2.78)

אז בואו נשנה את הפרש הסינוסים

. (2.79)

הבה נציג את ייעוד השלב נהרמוניות

. (2.81)

לפיכך, רצף של פולסים בודדים מכיל, יחד עם רכיב קבוע, מספר אינסופי של הרמוניות עם משרעת פוחתת. אמפליטודה קההרמונית נקבעת מהביטוי:

עיבוד אותות דיגיטלי כולל דגימת זמן (קוונטיזציה), כלומר המרה של אות רציף לרצף של פולסים קצרים. כפי שמוצג לעיל, לכל רכבת פולסים יש ספקטרום מורכב למדי, ולכן עולה שאלה טבעית כיצד תהליך דגימת הזמן משפיע על ספקטרום התדרים של האות הרציף המקורי.

כדי ללמוד סוגיה זו, שקול את המודל המתמטי של תהליך דגימת הזמן המוצג באיור 2.7א.

מאפנן דופק (PM) מיוצג כמאפנן עם נשא בצורה של רצף אידיאלי של פולסים קצרים מאוד (רצף ד-פונקציות), תקופת החזרה שלהן שווה ל ט(איור 2.7ב).

אות רציף מתקבל בכניסה של מאפנן הדופק (איור 2.7c), ואות פולס נוצר במוצא (איור 2.7ד).

ואז מודל הרצף האידיאלי דניתן לתאר פונקציות על ידי הביטוי הבא

יחד עם הגישה הספקטרלית לתיאור אותות, לעתים קרובות יש צורך בפועל במאפיין שייתן מושג על כמה מאפיינים של האות, במיוחד קצב השינוי לאורך זמן, כמו גם משך האות מבלי לפרק אותו למרכיבים הרמוניים.

הוא נמצא בשימוש נרחב כמאפיין זמן כזה מתאםפונקציית אות.

לאות דטרמיניסטי ס(ט) עם משך סופי, פונקציית המתאם נקבעת על ידי הביטוי הבא:

כאשר τ הוא הסטת הזמן של האות.

פרק זה עוסק באותות שהם פונקציות אמיתיות של זמן, וניתן להשמיט את ייעוד הצימוד המורכב:

. (1.78)

מביטוי (1.78) ברור ש ב ס (ט) מאפיין את מידת החיבור (מתאם) של האות ס ( ט ) כשהעותק שלו מוזז בכמות t לאורך ציר הזמן. ברור שהפונקציה ב ס ( ט ) מגיע למקסימום ב-τ = 0, מכיוון שכל אות נמצא בקורלציה מלאה עם עצמו. איפה

, (1.79)

כלומר, הערך המרבי של פונקציית המתאם שווה לאנרגיית האות.

עם הגדלת τ הפונקציה IN 8 (τ) יורדת (לאו דווקא מונוטונית) גם בשינוי יחסי של אותות ס(ט) ו ס(ט+ τ) למשך זמן העולה על משך האות, הופך לאפס.

מההגדרה הכללית של פונקציית המתאם ברור שאין הבדל אם להזיז את האות בכמות τ ימינה או שמאלה ביחס להעתקה שלו. לכן, ניתן להכליל את הביטוי (1.78) באופן הבא:

. (1.78)

זה שווה ערך להגיד את זה ב ס (τ) הוא פונקציה אפילוτ.

עבור אות מחזורי שהאנרגיה שלו גדולה לאין ערוך, הגדרת פונקציית המתאם באמצעות ביטויים (1.129) או (1.129") אינה מקובלת. במקרה זה, נעשה שימוש בהגדרה הבאה:

עם הגדרה זו, פונקציית המתאם רוכשת את מימד הכוח, ו ב Sne p (0) שווה להספק הממוצע של האות המחזורי. בשל המחזוריות של האותות ( ט ) ממוצע מוצר
אוֹ
על קטע גדול לאין שיעור ט חייב להתאים לממוצע על פני תקופה T 1 . לכן, ניתן להחליף את הביטוי (1.79) בביטוי

האינטגרלים הכלולים בביטוי זה אינם אלא פונקציית המתאם של האות על המרווח ט 1 . מציין את זה ב ב sTl (τ ), אנו מגיעים ליחס

ברור גם שהאות המחזורי s( ט ) מתאים לפונקציית המתאם המחזורית ב ס נתיב (τ). תקופת תפקיד ב ס נתיב (τ) חופף לתקופה ט 1 אות מקורי ( ט ). לדוגמה, עבור הרטט הפשוט ביותר (הרמוני).
פונקציית מתאם

ב-τ=0
הוא ההספק הממוצע של תנודה הרמונית עם משרעת א 0 . חשוב לציין שפונקציית המתאם
אינו תלוי בשלב הראשוני של התנודה .

להעריך את מידת הצימוד בין שני אותות שונים s 1 ( ט ) הוא 2 ( ט ) נעשה שימוש בפונקציית קורלציה צולבת, המוגדרת על ידי הביטוי הכללי

עבור פונקציות אמיתיות s 1 (t) ו-s 2 (t)

פונקציית המתאם שנדונה לעיל IN ס (τ) הוא מקרה מיוחד של הפונקציה
, מתי 1 ( ט ) = s 2 ( ט ).

בניגוד
פונקציית המתאם הצולבת אינה בהכרח אפילו ביחס ל-τ. יתר על כן, פונקציית המתאם ההצולב לֹאבהכרחמגיע למקסימום ב τ = 0.

פונקציית מתאם אותהוא מאפיין זמני

מתן מושג על קצב השינוי של האות לאורך זמן, כמו גם את משך האות מבלי לפרק אותו לרכיבים הרמוניים.

ישנן פונקציות אוטוקורלציה וקורלציה צולבת. עבור אות דטרמיניסטי f(t), פונקציית המתאם האוטומטי ניתנת על ידי

היכן גודל שינוי הזמן של האות.

מאפיין את מידת החיבור (מתאם) של האות f (t) עם שלו

עותק המוזז בכמות לאורך ציר הזמן. בואו נבנה פונקציית קורלציה אוטומטית (ACF) עבור פולס מלבני f (t). האות מוסט לעבר הצד המוביל, כפי שמוצג באיור. 6.25.

בגרף, לכל ערך יש מכפלה ושטח משלו מתחת לגרף של הפונקציה. מִספָּרִי

הערכים של אזורים כאלה עבור τ המקביל נותנים את האורדינאטות של הפונקציה

ככל ש-τ עולה, הוא יורד (לאו דווקא מונוטוני) ועם

כלומר, גדול יותר משך האות הוא אפס.

		הוא אות מחזורי, אז ACF K f (t) =				f (t) × f t(+ t) dt and

היא גם פונקציה מחזורית עם תקופה T.

הבה נבחן את המאפיינים העיקריים של פונקציית המתאם האוטומטי:

1. ACF היא פונקציה זוגית, כלומר, הפונקציה יורדת ככל שהיא עולה.

2. ACF מגיע למקסימום ב , מכיוון שכל אות נמצא בקורלציה מלאה עם עצמו. במקרה זה, הערך המרבי של ה-ACF שווה לאנרגיה

אות, כלומר.	E = K f (0) = ò f 2 (t) dt. לאות תקופתי
כוח אות ממוצע.
	והריבוע של מודול הצפיפות הספקטרלית
בינם לבין עצמם על ידי טרנספורמציה פורייה ישירה והפוכה.

ככל שספקטרום האותות רחב יותר, מרווח המתאם קטן יותר, כלומר. גודל השינוי שבתוכו פונקציית המתאם שונה מאפס. בהתאם לכך, ככל שמרווח המתאם האות גדול יותר, הספקטרום שלו צר יותר.

ניתן להשתמש בפונקציית המתאם גם כדי להעריך את מידת החיבור בין שני אותות שונים f 1 (t) ו- f 2 (t) המוזזים לפי זמן

במקרה זה, היא נקראת פונקציית מתאם צולב (MCF) והיא מוגדרת על ידי הביטוי:

פונקציית המתאם הצולבת אינה בהכרח אפילו ביחס ל-τ ואינה מגיעה בהכרח למקסימום ב. בניית ה-CCF עבור שני אותות משולשים f 1 (t) ו- f 2 (t) מוצגת באיור. 6.26. בעת העברה

אות f 2 (t) לשמאל (t > 0, איור 6.26, א) פונקציית המתאם של האות תחילה עולה, ואז יורדת לאפס ב. כאשר האות f 2 (t) עובר ימינה (t< 0, рис. 6.26, б) корреляционная функция сразу убывает. В результате получается нессиметричная относительно оси ординат ВКФ , показанная на рис. 6.26, в.

f1(t)

f2(t)

0 ט ט

0 t -T T

f 1 (t) × f 2 (t + t)

f1(t)

f2(t)

0 T

T T + t

f 1 (t) × f 2 (t - t)

6.9. הרעיון של אותות מאופננים. אפנון משרעת

אותות בתדר גבוה משמשים להעברת מידע למרחקים. המידע המועבר חייב להיות מוטמע בצורה כזו או אחרת בתנודה בתדר גבוה, הנקרא גל נושא. בחירה של צ'-

הערך ω של אות הנושא תלוי בגורמים רבים, אך בכל מקרה ω

חייב להיות גדול בהרבה מהתדר הגבוה ביותר של הספקטרום של ההודעה המשודרת, כלומר.

בהתאם לאופי הספק, מבחינים בין שני סוגי אפנון:

– רציף - עם נושא הרמוני רציף בזמן;

– דופק - כאשר הנשא הוא בצורה של רצף תקופתי של פולסים.

ניתן לייצג מידע נושא אות בטופס

אם והם ערכים קבועים, אז זו תנודה הרמונית פשוטה שאינה נושאת מידע. אם הם נתונים לשינוי מאולץ כדי להעביר הודעה, אז התנודה הופכת להיות מאופנת.

אם A (t) משתנה, אז זה אפנון משרעת, אם הזווית היא זוויתית. אפנון זוויתי מתחלק לשני סוגים: תדר (FM) ופאזה (PM).

מאז , אז ו לאט לאט משתנות פונקציות של זמן. אז אנחנו יכולים להניח שלכל סוג של אפנון הפרמטרים של האות

(1) (משרעת, פאזה ותדר) משתנים כל כך לאט שבתוך תקופה אחת תנודה בתדר גבוה יכולה להיחשב הרמונית. הנחת יסוד זו עומדת בבסיס תכונות האותות והספקטרום שלהם.

אפנון משרעת (AM). עם AM, מעטפת המשרעת של אות הנושא משתנה בהתאם לחוק החופף לחוק השינויים בהודעה המשודרת, בתדרלא משתנה, והשלב הראשוניעשוי להשתנות בהתאם לרגע תחילת האפנון. ניתן להחליף את הביטוי הכללי (6.22) ב

ייצוג גרפי של האות המאופנן משרעת מוצג ב. 6.27. כאן S (t) הוא המסר הרציף המשודר, המשרעת של האות ההרמוני של הנשא בתדר גבוה. המעטפה א' (ט) משתנה בהתאם לחוק המשחזר את המסר

רחוב).

הגדול ביותר, ו. – תדירות הפונקציה המווסתת, – השלב הראשוני של המעטפת. אפנון זה נקרא הוא טונאלי (6.28). חוזר על חוק השינוי באות המקורי (איור 6.28, ב).

3 ניתוח מתאם של אותות

הנקודה של ניתוח ספקטרלי של אותות היא ללמוד כיצד ניתן לייצג אות כסכום (או אינטגרל) של תנודות הרמוניות פשוטות וכיצד צורת האות קובעת את מבנה התפלגות התדרים של האמפליטודות והשלבים של תנודות אלו. לעומת זאת, המשימה של ניתוח מתאם אותות היא לקבוע את מידת הדמיון וההבדל בין אותות או עותקים המוזזים בזמן של אותו אות. הכנסת מידה פותחת את הדרך למדידות כמותיות של מידת הדמיון של האותות. יוצג כי קיים קשר מסוים בין המאפיינים הספקטרליים והמתאם של האותות.

3.1 פונקציית קורלציה אוטומטית (ACF)

פונקציית הקורלציה האוטומטית של אות עם אנרגיה סופית היא הערך של האינטגרל של המכפלה של שני עותקים של אות זה, המוזזים זה ביחס לזה בזמן τ, הנחשב כפונקציה של הסטת זמן זו τ:

אם אות מוגדר על פני מרווח זמן סופי, אזי ה-ACF שלו נמצא כ:

,

היכן מרווח החפיפה של עותקים מוזזים של האות.

מאמינים שככל שהערך של פונקציית המתאם האוטומטי גדול יותר עבור ערך נתון, כך שני עותקים דומים יותר של האות, המוזזים בפרק זמן מסוים, יהיו זה לזה. לכן, פונקציית המתאם היא מדד לדמיון עבור עותקים מוזזים של האות.

למדד הדמיון המובא בדרך זו לאותות בעלי צורה של תנודות אקראיות סביב ערך אפס יש את התכונות האופייניות הבאות.

אם עותקים מוזזים של האות מתנודדים בערך בזמן זה עם זה, אז זה סימן לדמיון שלהם וה-ACF מקבל ערכים חיוביים גדולים (מתאם חיובי גדול). אם העותקים מתנודדים כמעט באנטי-פאזה, ה-ACF מקבל ערכים שליליים גדולים (אנטי דמיון של עותקי אותות, מתאם שלילי גדול).

ה-ACF המקסימלי מושג כאשר העותקים חופפים, כלומר בהעדר תזוזה. ערכי ACF אפס מושגים בתזוזות שבהן לא ניכרים דמיון או אנטי-דמיון של עותקי האות (אפס מתאם,

אין קורלציה).

איור 3.1 מציג קטע של יישום של אות מסוים על פני מרווח זמן בין 0 ל-1 שניות. האות מתנודד באקראי סביב האפס. מכיוון שמרווח הקיום של האות הוא סופי, האנרגיה שלו גם היא סופית. ניתן לחשב את ה-ACF שלו לפי המשוואה:

.

פונקציית הקורלציה האוטומטית של האות, המחושבת ב- MathCad בהתאם למשוואה זו, מוצגת באיור. 3.2. פונקציית המתאם מראה לא רק שהאות דומה לעצמו (shift τ = 0), אלא גם שלעותקים של האות המוזזים זה לזה בכ-0.063 s (מקסימום רוחבי של פונקציית המתאם האוטומטי) יש גם דמיון מסוים. לעומת זאת, עותקים של האות המוזז ב-0.032 שניות צריכים להיות אנטי דומים זה לזה, כלומר במובן מסוים מנוגדים זה לזה.

איור 33 מציג זוגות של שני עותקים אלה. מהאיור ניתן לראות מה הכוונה בדמיון ואנטי-דמיון של עותקי אותות.

לפונקציית המתאם יש את המאפיינים הבאים:

1. ב-τ = 0, פונקציית הקורלציה האוטומטית מקבלת את הערך הגדול ביותר השווה לאנרגיית האות

2. פונקציית הקורלציה האוטומטית היא פונקציה זוגית של משמרת הזמן .

3. ככל ש-τ עולה, פונקציית הקורלציה האוטומטית יורדת לאפס

4. אם האות אינו מכיל אי-רציפות מסוג δ - פונקציות, אזי מדובר בפונקציה רציפה.

5. אם האות הוא מתח חשמלי, אז לפונקציית המתאם יש ממד .

עבור אותות מחזוריים בהגדרת פונקציית הקורלציה האוטומטית, אותו אינטגרל מחולק עוד יותר בתקופת חזרת האות:

.

לפונקציית המתאם שהוצגה יש את המאפיינים הבאים:

הערך של פונקציית המתאם באפס שווה להספק האות,

המימד של פונקציית המתאם שווה לריבוע של ממד האות, למשל.

לדוגמה, בואו נחשב את פונקציית המתאם של תנודה הרמונית:

באמצעות סדרה של טרנספורמציות טריגונומטריות, אנו מקבלים לבסוף:

לפיכך, פונקציית הקורלציה האוטומטית של תנודה הרמונית היא גל קוסינוס עם אותה תקופת שינוי כמו האות עצמו. עם תזוזות שהן כפולות של תקופת התנודה, ההרמונית מומרת לתוך עצמה וה-ACF מקבל את הערכים הגדולים ביותר, השווים למחצית הריבוע של המשרעת. הזזות זמן שהן כפולות של מחצית מתקופת התנודה שוות ערך להזזת פאזה בזווית, במקרה זה סימן התנודות משתנה, וה-ACF מקבל ערך מינימלי, שלילי ושווה למחצית הריבוע של המשרעת. משמרות שהן כפולות של רבע תקופה הופכות, למשל, תנודה סינוסואידית לתנודת קוסינוס ולהיפך. במקרה זה, ה-ACF הולך לאפס. אותות כאלה, שהם בניצב ביחס זה לזה, מנקודת המבט של פונקציית הקורלציה האוטומטית מתגלים כשונים לחלוטין זה מזה.

חשוב שהביטוי לפונקציית המתאם של האות לא יכלול את השלב הראשוני שלו. מידע השלב אובד. המשמעות היא שלא ניתן לשחזר את האות עצמו מפונקציית המתאם של האות. מיפוי מול מיפוי אינו אחד לאחד.

אם לפי מנגנון יצירת האותות נבין דמיורג' מסוים שיוצר אות לפי פונקציית המתאם שבחרה, אז הוא יכול ליצור סט שלם של אותות (אנסמבל של אותות) שלמעשה יש להם את אותה פונקציית מתאם, אך שונים זה מזה. ביחסי פאזה.

מעשה האות המבטא את רצונו החופשי, ללא תלות ברצון היוצר (הופעת יישומים בודדים של תהליך אקראי כלשהו),

תוצאה של אלימות חיצונית נגד האות (הכנסת לאות של מידע מדידה המתקבל במהלך מדידות של כל כמות פיזית).

המצב דומה בכל אות תקופתי. אם לאות מחזורי עם תקופה ראשית T יש ספקטרום משרעת וספקטרום פאזה, אז פונקציית המתאם של האות לובשת את הצורה הבאה:

.

כבר בדוגמאות הללו יש קשר מסוים בין פונקציית המתאם לתכונות הספקטרליות של האות. יחסים אלה יידונו ביתר פירוט בהמשך.

3.2 פונקציית קורלציה צולבת (CCF).

בניגוד לפונקציית הקורלציה האוטומטית, פונקציית המתאם הצולבת קובעת את מידת הדמיון של עותקים של שני אותות שונים x(t) ו-y(t), המוזזים לפי זמן τ זה לזה:

לפונקציית מתאם צולב יש את המאפיינים הבאים:

1. ב-τ = 0, פונקציית המתאם הצולבת מקבלת ערך השווה ל אנרגיה הדדיתאותות, כלומר, האנרגיה של האינטראקציה שלהם

.

2. עבור כל τ מתקיים היחס הבא:

,

איפה אנרגיית האות.

3. שינוי הסימן של משמרת הזמן שווה ערך לסידור מחדש הדדי של האותות:

.

4. ככל ש-τ עולה, פונקציית המתאם הצולבת, אם כי לא מונוטונית, יורדת לאפס

5. הערך של פונקציית המתאם המוצלב באפס אינו בולט בין שאר הערכים.

עבור אותות תקופתיים, המושג של פונקציית מתאם צולב אינו בשימוש, ככלל.

מכשירים למדידת הערכים של פונקציות אוטוקורלציה וקורלציה צולבת נקראים קורלמומטרים או מתאמים. משתמשים בקורלומטרים, למשל, כדי לפתור את משימות המידע והמדידה הבאות:

ניתוח סטטיסטי של אלקטרואנצפלוגרמות ותוצאות אחרות של רישום ביופוטנציאלים,

קביעת הקואורדינטות המרחביות של מקור האות לפי גודל משמרת הזמן שבה מושג ה-CCF המקסימלי,

בידוד של אות חלש על רקע של הפרעה סטטית חזקה שאינה קשורה,

זיהוי ולוקליזציה של ערוצי דליפת מידע על ידי קביעת המתאם בין אותות רדיו בפנים ובחוץ,

זיהוי, זיהוי וחיפוש אוטומטי של שדה קרוב להפעלת התקני האזנה פולטי רדיו, כולל טלפונים ניידים המשמשים כמכשירי האזנה,

לוקליזציה של דליפות בצנרת על סמך קביעת ה-VKF של שני אותות רעש אקוסטיים הנגרמים מדליפה בשתי נקודות מדידה בהן ממוקמים חיישנים על הצינור.

3.3 קשרים בין מתאם ופונקציות ספקטרליות.

גם מתאם וגם פונקציות ספקטרליות מתארות את המבנה הפנימי של האותות, את המבנה הפנימי שלהם. לכן, אנו יכולים לצפות שקיימת תלות הדדית מסוימת בין שתי הדרכים הללו לתיאור אותות. כבר ראית את נוכחותו של חיבור כזה בדוגמה של אותות תקופתיים.

פונקציית המתאם הצולבת, כמו כל פונקציה אחרת של זמן, יכולה להיות נתונה להתמרת פורייה:

בואו נשנה את סדר האינטגרציה:

אפשר לחשוב על הביטוי בסוגריים מרובעים כעל טרנספורמציה פורייה של האות y(t), אבל אין סימן מינוס במעריך. זה מצביע על כך שהאינטגרל הפנימי נותן לנו ביטוי שהוא מורכב מצומד לפונקציה הספקטרלית.

אבל הביטוי אינו תלוי בזמן, ולכן ניתן להוציא אותו מהסימן האינטגרלי החיצוני. ואז האינטגרל החיצוני פשוט ייתן לנו את ההגדרה של הפונקציה הספקטרלית של האות x(t). לבסוף יש לנו:

המשמעות היא שהטרנספורמציה של פורייה עבור פונקציית המתאם הצולבת של שני אותות שווה למכפלת הפונקציות הספקטרליות שלהם, שאחת מהן נתונה לצימוד מורכב. מוצר זה נקרא הספקטרום ההדדי של האותות:

מסקנה חשובה נובעת מהביטוי המתקבל: אם הספקטרום של האותות x(t) ו-y(t) אינם חופפים זה לזה, כלומר, הם ממוקמים בטווחי תדרים שונים, אזי האותות הללו אינם מתואמים ובלתי תלויים בכל אחד מהם. אַחֵר.

אם נכניס את הנוסחאות הנתונות: x(t) = y(t), נקבל ביטוי להתמרת פורייה של פונקציית המתאם האוטומטי.

משמעות הדבר היא שפונקציית הקורלציה האוטומטית של אות ומודול הריבוע של הפונקציה הספקטרלית שלו קשורים זה לזה באמצעות טרנספורמציה של פורייה.

הפונקציה נקראת ספקטרום האנרגיהאוֹת ספקטרום האנרגיה מראה כיצד האנרגיה הכוללת של האות מתחלקת בין התדרים של הרכיבים ההרמוניים הבודדים שלו.

3.4 מאפייני אנרגיה של אותות מתחום התדר

פונקציית המתאם הצולבת של שני אותות קשורה על ידי טרנספורמציה פורייה לספקטרום ההדדי של האותות, כך שניתן לבטא אותה כהתמרת פורייה הפוכה של הספקטרום הצולב:

.

עכשיו בואו נחליף את הערך של שינוי הזמן בשרשרת השוויון הזו. כתוצאה מכך, אנו מקבלים יחס שקובע את המשמעות שוויון ריילי:

,

כלומר, האינטגרל של המכפלה של שני אותות שווה לאינטגרל של המכפלה של הספקטרום של האותות הללו, שאחד מהם נתון לפעולה של צימוד מורכב.

.

יחס זה נקרא השוויון של פרסוואל.

לאותות מחזוריים יש אנרגיה אינסופית אך כוח סופי. כאשר בוחנים אותם, כבר נתקלנו באפשרות לחשב את ההספק של אות מחזורי באמצעות סכום ריבועי המודולים של המקדמים של הספקטרום המורכב שלו:

.

יחס זה הוא אנלוגי לחלוטין לשוויון של פארסוואל.