解析手法はいわゆるフーリエ級数に基づいたものである。 このシリーズは、複雑な形状を単純な形に分解することから始まります。 フーリエは、複雑な波形が単純な波の合計として表現できることを示しました。 原則として、古典的なシステムを記述する方程式は、これらの単純な波のそれぞれについて簡単に解くことができます。 次に、フーリエは、これらの単純な解決策をどのように合計して、複雑な問題全体の解決策を与えることができるかを示しました。 (数学的に言えば、フーリエ級数は関数を調和関数 (サインとコサイン) の和として表す方法です。そのため、フーリエ解析は「調和解析」とも呼ばれます。)

フーリエ仮説によれば、三角級数に展開できない関数は存在しません。 この分解がどのように実行されるかを考えてみましょう。 区間 [–π, π] 上の次の正規直交関数系を考えてみましょう: (1, cos(t),
罪(t)、
cos(2t)、
sin(2t)、
cos(3t)、
sin(3t), …,
cos(nt)、
sin(nt),… )。

という事実に導かれて、 このシステム関数が正規直交である場合、区間 [π, –π] 上の関数 f(t) は次のように近似できます。

f(t) = α0 + α1
cos(t) + α2
cos(2t) +
α3 cos(3t) + …

... + β1
sin(t) + β2
sin(2t) + β3
sin(3t)+… (6)

係数 α n 、β n は、前述の式に従って関数と基底関数のスカラー積によって計算され、次のように表されます。

α 0 = , 1> =
,

α n = 、cos(nt) > =
,

β n = 、sin(nt) > =
.

式 (6) は次のように圧縮形式で記述できます。

f(t) = a 0 /2 + a 1 cos(t) + a 2 cos(2t) + a 3 cos(3t) + …

B 1 sin(t) + b 2 sin(2t) + b 3 sin(3t)+… (7)

a 0 = 2α 0 =
,

そしてn =
α n =
, (8)

bn=
β n=
. (9)

n = 0 cos(0) = 1 であるため、定数 a 0 /2 は、n = 0 における係数 a n の一般形式を表します。

係数ａ ｎ およびｂ ｎ はフーリエ係数と呼ばれ、式（７）による関数ｆ（ｔ）の表現はフーリエ級数展開と呼ばれる。 この形式で表されるフーリエ級数展開は実フーリエ級数展開と呼ばれることがあり、その係数は実フーリエ係数と呼ばれます。 「実数」という用語は、この分解を複雑な分解と区別するために導入されています。

式 (8) と (9) を分析してみましょう。 係数 0 は、セグメント [–π,π] 上の関数 f(t) の平均値、または信号 f(t) の定数成分を表します。 係数 sa n および b n (n> 0) は、角周波数が n の関数 (信号) f(t) のコサイン成分とサイン成分の振幅です。 言い換えれば、これらの係数は信号の周波数成分の大きさを指定します。 たとえば、低周波数のオーディオ信号 (ベースギターの音など) について話すとき、これは、n の値が小さいほど係数 a n と b n が大きくなり、高周波数ではその逆を意味します。周波数音の振動（たとえば、バイオリンの音）は、n の値が大きいほど大きくなります。

a 1 cos(t) と b 1 sin(t) の和で表される最長周期 (または最低周波数) の振動は、基本周波数の振動または第 1 高調波と呼ばれます。 基本周波数の周期の半分に等しい周期を持つ振動は第 2 高調波であり、基本周波数の 1/n に等しい周期を持つ振動は n 高調波です。 したがって、関数 f(t) をフーリエ級数に拡張すると、時間領域から周波数領域に移行できます。 この遷移は通常、時間領域では「目に見えない」信号の特徴を識別するために必要です。

式 (8) と (9) は、周期が 2π の周期信号に適用できることに注意してください。 一般に、周期 T の周期信号はフーリエ級数に拡張でき、その拡張ではセグメント [-T/2, T/2] が使用されます。 最初の高調波の周期は T に等しく、成分は cos(2πt/T) および sin(2πt/T) の形式をとり、n 次高調波の成分は cos(2πtn/T) および sin(2πtn/T) になります。 ）。

区間 [–T/2,T/2] 上の関数 f(t) は次のように近似できます。

f(t) = a 0 /2 + a 1 cos(2πt/T) + a 2 cos(4πt/T) + a 3 cos(6πt/T) + …

B 1 sin(2πt/T) + b 2 sin(4πt/T) + b 3 sin(6πt/T)+…, (10)

a n =
,

bn=
.

最初の高調波の角周波数を ω 0 = 2π/T と表すと、n 次高調波成分は cos(ω 0 nt)、sin(ω 0 nt)、および

f(t) = a 0 /2 + a 1 cos(ω 0 t) + a 2 cos(2ω 0 t) + a 3 cos(3ω 0 t) + …

B 1 sin(ω 0 t) + b 2 sin(2ω 0 t) + b 3 sin(3ω 0 t)+…=

=
, (11)

ここで、フーリエ係数は次の式を使用して計算されます。

a n =
,

b n =
.

1. フーリエ変換と信号スペクトル

多くの場合、信号のスペクトルを取得 (計算) するタスクは次のようになります。 サンプリング周波数 Fd で、時間 T の間に入力に到着する連続信号をデジタル サンプル (N 個) に変換する ADC があります。 次に、サンプルの配列が、N/2 個の数値を生成する特定のプログラムに入力されます (プログラマーは、 インターネットから盗んだプログラムを作成し、それがフーリエ変換を実行することを保証します)。

プログラムが正しく動作するかどうかを確認するには、2 つの正弦波の合計 sin(10*2*pi*x)+0.5*sin(5*2*pi*x) としてサンプルの配列を形成し、それをプログラムに組み込みます。 。 プログラムでは次のことが描かれました。

図1 信号時間関数のグラフ

図2 信号スペクトルグラフ

スペクトル グラフには、振幅 0.5 V の 5 Hz と振幅 1 V の 10 Hz の 2 本のスティック (高調波) があり、すべて元の信号の式と同じです。 すべて順調です、よくやったプログラマー! プログラムは正しく動作します。

これは、2 つの正弦波の混合からの実信号を ADC 入力に適用すると、2 つの高調波で構成される同様のスペクトルが得られることを意味します。

合計、私たちの 本物測定信号 5秒間続く、ADC によってデジタル化される、つまり、 離散カウントする、持っている 離散的非周期的スペクトラム。

数学的な観点から見ると、この語句には誤りが何個ありますか?

当局は 5 秒は長すぎると判断し、0.5 秒で信号を測定しましょうと決定しました。



図 3 測定期間 0.5 秒の関数 sin(10*2*pi*x)+0.5*sin(5*2*pi*x) のグラフ

図4 関数スペクトル

何かがおかしいようです! 10 Hz の高調波は正常に描画されますが、5 Hz スティックの代わりに、いくつかの奇妙な高調波が表示されます。 何が起こっているのかを知るためにインターネットを調べます...

そうです、サンプルの末尾にゼロを追加する必要があると、スペクトルは通常どおり描画されると言われています。

図5 5秒までのゼロを追加

図6 受信スペクトル

まだ5秒の時と同じではありません。 私たちはその理論に対処しなければなりません。 に行きましょう ウィキペディア- 知識の源。

2. 連続関数とそのフーリエ級数表現

数学的には、持続時間が T 秒の信号は、セグメント (0, T) (X の X) で定義された関数 f(x) です。 この場合- 時間）。 このような関数は常に、次の形式の調和関数 (サインまたはコサイン) の合計として表すことができます。

(1)、ここで:

K - 三角関数番号（高調波成分番号、高調波番号）
T - 関数が定義されているセグメント (信号持続時間)
Ak は k 次高調波成分の振幅、
?k - k次高調波成分の初期位相

「関数を級数の合計として表す」とはどういう意味ですか? これは、各点でフーリエ級数の高調波成分の値を加算することで、この点での関数の値が得られることを意味します。

(より厳密には、 標準偏差関数 f(x) の級数はゼロに近づく傾向がありますが、平均二乗収束にもかかわらず、一般的に関数のフーリエ級数は点ごとにそれに収束する必要はありません。 https://ru.wikipedia.org/wiki/Fourier_Series を参照してください。)

このシリーズは次のように書くこともできます。

(2),
どこ 、 k番目の複合体振幅。

係数(1)と係数(3)の関係は次の式で表されます。

フーリエ級数のこれら 3 つの表現はすべて完全に等価であることに注意してください。 フーリエ級数を扱う場合、サインとコサインの代わりに虚数引数の指数を使用する、つまり複素形式でフーリエ変換を使用する方が便利な場合があります。 ただし、フーリエ級数が対応する振幅と位相の余弦の合計として表される式 (1) を使用すると便利です。 いずれにせよ、実際の信号をフーリエ変換すると複素高調波振幅が生じるというのは誤りです。 Wiki に正しく記載されているように、「フーリエ変換 (?) は、実数変数の 1 つの関数を、同じく実数変数である別の関数に関連付ける演算です。」

合計：
信号のスペクトル分析の数学的基礎はフーリエ変換です。

フーリエ変換を使用すると、セグメント (0, T) 上で定義された連続関数 f(x) (信号) を無限数の合計 (無限級数) として表すことができます。 三角関数特定の振幅と位相を持つ (サインおよび/またはコサイン)、セグメント (0、T) についても考慮されます。 このような級数をフーリエ級数といいます。

さらにいくつかの点に注意してください。フーリエ変換を信号解析に正しく適用するには、その理解が必要です。 X 軸全体のフーリエ級数 (正弦波の合計) を考慮すると、セグメント (0, T) の外側では、フーリエ級数で表される関数が周期的に関数を繰り返すことがわかります。

たとえば、図 7 のグラフでは、元の関数はセグメント (-T\2, +T\2) で定義され、フーリエ級数は x 軸全体で定義された周期関数を表します。

これは、正弦波自体が周期関数であり、したがってそれらの合計が周期関数になるために発生します。

図7 フーリエ級数による非周期元関数の表現

したがって：

私たちの元の関数は連続的で非周期的であり、長さ T の特定のセグメントで定義されます。
この関数のスペクトルは離散的です。つまり、無限系列の調和成分、つまりフーリエ級数の形で表されます。
実際、フーリエ級数は、セグメント (0, T) 上の周期関数と一致する特定の周期関数を定義しますが、この周期性は私たちにとって重要ではありません。

高調波成分の周期は、元の関数 f(x) が定義されているセグメント (0, T) の値の倍数です。 言い換えれば、高調波周期は信号測定の継続時間の倍数です。 たとえば、フーリエ級数の第 1 高調波の周期は、関数 f(x) が定義される間隔 T に等しくなります。 フーリエ級数の第 2 高調波の周期は間隔 T/2 に等しくなります。 などです (図 8 を参照)。

図 8 フーリエ級数の高調波成分の周期 (周波数) (ここでは T = 2?)

したがって、高調波成分の周波数は１／Ｔの倍数となる。 つまり、高調波成分 Fk の周波数は Fk = k\T に等しくなります。ここで、k の範囲は 0 から 2 までです。たとえば、k = 0 F0 = 0。 k=1 F1=1\T; k=2 F2=2\T; k=3 F3=3\T;… Fk= k\T (ゼロ周波数 - 一定成分)。

元の関数を T=1 秒間に記録された信号とします。 この場合、最初の高調波の周期は信号の持続時間 T1=T=1 秒と等しく、高調波の周波数は 1 Hz になります。 2 次高調波の周期は信号持続時間を 2 で割った値 (T2=T/2=0.5 秒) になり、周波数は 2 Hz になります。 3 次高調波の場合、T3=T/3 秒、周波数は 3 Hz です。 等々。

この場合の高調波間のステップは 1 Hz です。

したがって、持続時間 1 秒の信号は、1 Hz の周波数分解能で高調波成分に分解できます (スペクトルが得られます)。
分解能を 2 倍の 0.5 Hz に高めるには、測定時間を 2 倍 (最大 2 秒) 増やす必要があります。 10 秒間続く信号は、0.1 Hz の周波数分解能で高調波成分に分解できます (スペクトルを取得するため)。 周波数分解能を上げる他の方法はありません。

サンプルの配列にゼロを追加することで、信号の継続時間を人為的に長くする方法があります。 ただし、実際の周波数分解能は向上しません。

3. 離散信号と離散フーリエ変換

デジタル技術の発展に伴い、測定データ（信号）の保存方法も変化してきました。 以前は信号をテープ レコーダーに録音し、アナログ形式でテープに保存できましたが、現在では信号はデジタル化され、一連の数値 (サンプル) としてコンピューター メモリ内のファイルに保存されます。

信号を測定してデジタル化するための通常のスキームは次のとおりです。

図9 測定チャンネルの図

測定トランスデューサからの信号は、時間 T の間に ADC に到着します。時間 T の間に取得された信号サンプル (サンプリング) はコンピュータに送信され、メモリに保存されます。

図 10 デジタル化された信号 - 期間 T 中に受信された N 個のサンプル

信号デジタル化パラメータの要件は何ですか? 入力を変換する装置 アナログ信号離散コードへ ( デジタル信号）はアナログデジタルコンバーター（ADC、英語ではアナログデジタルコンバーター、ADC）と呼ばれます（Wiki）。

ADC の主なパラメータの 1 つは、最大サンプリング周波数 (またはサンプリング レート、英語のサンプル レート)、つまり時間連続信号をサンプリングするときのサンプリング レートです。 ヘルツ単位で測定されます。 ((ウィキ))

コテルニコフの定理によれば、連続信号のスペクトルが周波数 Fmax によって制限されている場合、時間間隔で取得された離散サンプルから完全かつ一意に再構成できます。 、つまり 周波数はFd? 2*Fmax、Fd はサンプリング周波数です。 Fmax - 信号スペクトルの最大周波数。 言い換えれば、信号のデジタル化周波数 (ADC サンプリング周波数) は、測定する信号の最大周波数より少なくとも 2 倍高くなければなりません。

コテルニコフの定理で必要とされる周波数よりも低い周波数でサンプルを取得すると何が起こるでしょうか?

この場合、高周波信号がデジタル化後に実際には存在しない低周波信号に変化する「エイリアシング」効果 (ストロボ効果、モアレ効果としても知られています) が発生します。 図では、 5 赤い高周波正弦波は実際の信号です。 より低い周波数の青い正弦波は、サンプリング時間中に高周波信号の周期の半分以上が経過するために発生する架空の信号です。

米。 11. サンプリングレートが不十分な場合の偽の低周波信号の出現

エイリアシング効果を回避するために、特別なアンチエイリアシング フィルタが ADC の前に配置されます。ローパス フィルタ (LPF) は、ADC サンプリング周波数の半分以下の周波数を通過させ、それより高い周波数を遮断します。

離散サンプルから信号のスペクトルを計算するには、離散フーリエ変換 (DFT) が使用されます。 離散信号のスペクトルは「定義上」、サンプリング周波数 Fd の半分未満である周波数 Fmax によって制限されることにもう一度注意してください。 したがって、離散信号のスペクトルは、有限数の高調波の合計で表すことができます。これとは対照的に、連続信号のフーリエ級数のスペクトルは無制限です。 コテルニコフの定理によれば、高調波の最大周波数は少なくとも 2 つのサンプルを占めるようにする必要があるため、高調波の数は離散信号のサンプル数の半分に等しくなります。 つまり、サンプル内に N 個のサンプルがある場合、スペクトル内の高調波の数は N/2 になります。

ここで離散フーリエ変換 (DFT) について考えてみましょう。

フーリエ級数との比較

DFT の時間が本質的に離散的であり、高調波の数がサンプル数の半分である N/2 によって制限されることを除いて、それらは一致していることがわかります。

DFT 式は、無次元の整変数 k、s で記述されます。ここで、k は信号サンプルの数、s はスペクトル成分の数です。
値 s は、期間 T (信号測定期間) にわたる完全調和振動の数を示します。 離散フーリエ変換は、数値的手法を使用して高調波の振幅と位相を見つけるために使用されます。 「コンピューター上で」

最初に得られた結果に戻ります。 上で述べたように、非周期関数 (信号) をフーリエ級数に拡張すると、結果として得られるフーリエ級数は実際には周期 T の周期関数に対応します (図 12)。

図 12 周期関数 f(x)、周期 T0、測定周期 T>T0

図１２から分かるように、関数ｆ（ｘ）は周期Ｔ０で周期的である。 ただし、測定サンプルの継続時間 T が関数 T0 の周期と一致しないため、フーリエ級数として得られる関数には点 T で不連続性があります。その結果、この関数のスペクトルには次のものが含まれます。 多数の高周波高調波。 測定サンプル T の継続時間が関数 T0 の周期と一致する場合、関数 f(x) であるため、フーリエ変換後に得られるスペクトルには、第 1 高調波 (サンプリング継続時間に等しい周期を持つ正弦波) のみが含まれます。は正弦波です。

言い換えれば、DFT プログラムは、信号が「正弦波の一部」であることを「認識していません」が、一連の形式で周期関数を表現しようとします。これは、個々の信号の不一致により不連続性があります。正弦波。

その結果、スペクトルに高調波が現れ、この不連続部分を含む関数の形状が合計されます。

したがって、異なる周期を持ついくつかの正弦波の合計である信号の「正しい」スペクトルを取得するには、各正弦波の整数個の周期が信号測定周期に収まる必要があります。 実際には、この条件は十分に長い信号測定期間にわたって満たされます。

図 13 ギアボックスの運動学的誤差信号の関数とスペクトルの例

継続時間が短いと、画像の見た目が「悪く」なります。

図14 ローター振動信号の関数とスペクトルの例

実際には、どこが「実際のコンポーネント」で、どこがコンポーネントの非複数周期や信号サンプリングの継続時間、または信号形状の「ジャンプとブレーク」によって引き起こされる「アーティファクト」なのかを理解するのが難しい場合があります。 。 もちろん、「実際のコンポーネント」と「成果物」という言葉が引用符で囲まれているのには理由があります。 スペクトル グラフ上に多くの高調波が存在しても、信号が実際に高調波で「構成されている」ことを意味するわけではありません。 これは、数字 7 が数字 3 と数字 4 から「構成されている」と考えるのと同じです。数字 7 は、数字 3 と数字 4 の合計として表すことができます。これは正しいです。

したがって、私たちの信号...というか「私たちの信号」ではありませんが、私たちの信号（サンプリング）を繰り返すことによって構成される周期関数は、特定の振幅と位相を持つ高調波（正弦波）の合計として表すことができます。 しかし、実践にとって重要な多くの場合 (上の図を参照)、スペクトルで得られた高調波を、本質的に周期的で信号形状に大きく寄与する実際のプロセスと関連付けることは実際に可能です。

いくつかの結果

1. ADC によってデジタル化された T 秒の実際の測定信号、つまり離散サンプルのセット (N 個) で表される信号は、高調波のセット (N/個) で表される離散非周期スペクトルを持ちます。 2個）。

2. 信号は一連の実数値で表され、そのスペクトルは一連の実数値で表されます。 高調波周波数は正です。 数学者にとって、負の周波数を使用してスペクトルを複素形式で表現する方が便利であるという事実は、「これが正しい」「常にそうすべきである」ということを意味するものではありません。

3. 時間間隔 T にわたって測定された信号は、時間間隔 T にわたってのみ決定されます。信号の測定を開始する前に何が起こったのか、そしてその後何が起こるのかは科学では不明です。 そして私たちの場合、それは面白くありません。 時間制限された信号の DFT は、特定の条件下でその成分の振幅と周波数を計算できるという意味で、その「真の」スペクトルを提供します。

使用された材料とその他の有用な材料。

フーリエ変換と古典的なデジタル スペクトル解析。
メドベージェフ S.Yu.博士

導入

スペクトル分析は、測定信号の周波数構成を特徴付けることができる信号処理方法の 1 つです。 フーリエ変換は、時間または空間信号 (またはその信号の何らかのモデル) をその周波数領域表現に関連付ける数学的枠組みです。 一般に信号は伝播中または測定中にランダムまたはノイズが多いため、統計的手法はスペクトル解析において重要な役割を果たします。 信号の主な統計的特性が正確にわかっている場合、またはこの信号の有限間隔から決定できる場合は、スペクトル分析 「正確な科学」の一分野を表すでしょう。 ただし、実際には、信号セグメントからはスペクトルの推定値しか取得できません。 したがって、スペクトル分析の実践は、かなり主観的な性質を持つ一種の工芸 (または芸術?) です。同じ信号セグメントを異なる方法で処理した結果として得られるスペクトル推定値間の違いは、データに関して行われた仮定の違いによって説明できます。

さまざまな方法で
平均化など。 信号特性が事前に分からない場合、どの推定値がより優れているかを言うことは不可能です。 フーリエ変換 - スペクトル解析の数学的基礎簡単に話し合いましょう
さまざまな種類

, (1)

フーリエ変換 (詳細については、を参照してください)。
時間連続信号のフーリエ変換から始めましょう

. (2)

これは、任意の振動が分解された複素正弦波 (指数) の周波数と振幅を特定します。

. (3)

逆変換

. (4)

直接フーリエ変換と逆フーリエ変換 (連続時間フーリエ変換 - CTFT とさらに呼ぶ) の存在は、多くの条件によって決まります。 十分な - 絶対的な信号統合性

(5)

より制限の少ない十分条件は、信号エネルギーの有限性です。

(6)

フーリエ変換の多くの基本的な特性と以下で使用される関数を示します。長方形のウィンドウが次の式で定義されることに注意してください。

(7)

sinc 関数は次の式です。

時間領域のサンプリング関数は次の式で与えられます。

この機能は、定期継続機能とも呼ばれます。	表 1. NVPF の主なプロパティと機能	プロパティ、機能
関数	変換	直線性
ag(t) + bh(t)	h (t - t 0)	H(f)exp(-j2pf t 0)
周波数シフト（変調）	h (t)exp(j2pf0 t)	H(f - f 0)
スケーリング	(1 / |a|)h(t / a)	H(af)
時間領域の畳み込み定理	g(t)*h(t)	G(f)H(f)
周波数領域の畳み込み定理	g(t) h(t)	G(f)*H(f)
窓関数	ああ(t/T)	2ATsinc(2Tf)
シンク関数	2AFsinc(2フィート)	ああ(f/F)
パルス機能	広告
カウント機能	T(f)	FF(f)、F=1/T

もう 1 つの重要な特性は、2 つの関数 g(t) と h(t) のパーセヴァルの定理によって確立されます。

. (8)

g(t) = h(t) とすれば、パーセヴァルの定理はエネルギーの定理に帰着します。

. (9)

式 (9) は本質的に、2 つの領域 (時間と周波数) におけるエネルギー保存則を単に定式化したものです。 左側の (9) は総信号エネルギーです。したがって、関数は次のようになります。

(10)

のエネルギーの周波数分布を記述します。 確定的な信号 h(t) であるため、スペクトル エネルギー密度 (SED) と呼ばれます。 式の使用

(11)

信号 h(t) の振幅と位相のスペクトルを計算できます。

サンプリングと重み付けの操作

次のセクションでは、離散時間フーリエ級数 (DTSF) または離散フーリエ変換 (DFT) を次のように紹介します。 特別な場合 2 つの基本的な信号処理操作を使用した連続時間フーリエ変換 (CTFT) - サンプルの取得 ( サンプリング） そして 重さを量る窓を使って。 ここでは、これらの操作が信号とその変換に及ぼす影響を検討します。 表 2 に、重み付けとサンプリングを実行する関数を示します。

T 秒間隔の均一な読み取り値の場合、サンプリング周波数 F は 1/T Hz に等しくなります。 時間領域の重み関数とサンプリング関数はそれぞれ TW (時間ウィンドウ処理) と TS (時間サンプリング) で指定され、周波​​数領域では FW (周波数ウィンドウ処理) と FS (周波数サンプリング) と呼ばれることに注意してください。

表 2. 重み付けおよびサンプリング関数

手術	時間機能	プロパティ、機能
時間領域重み付け（ウィンドウ幅 NT 秒）	TW=w(2t / NT - 1)	F(TW)=NTsinc(NTf)exp(-jpNTf)
周波数領域の重み付け（ウィンドウ幅 1/T Hz）		FW=w(2Tf)
時間のカウント（間隔T秒）	TS=T T(t)
周波数サンプリング（1/NT Hz間隔）

制限されたスペクトルを持つ連続実信号 x(t) のサンプルが取得され、その上限周波数が F0 に等しいと仮定します。 実信号の NVFT は常に全幅 2F0 の対称関数です (図 1 を参照)。
信号 x(t) のサンプルは、この信号にサンプル関数を乗算することで取得できます。

(12)

図 1 - 限られたスペクトルを持つ実信号の時間領域におけるサンプリング定理の図:
a - 元の時間関数とそのフーリエ変換。
b - 時間内のサンプルの関数とそのフーリエ変換。
Fo の場合の元の関数とその定期的に継続されるフーリエ変換のインタイム サンプル<1/2T;
d - 周波数ウィンドウ (理想的なローパス フィルター) とそのフーリエ変換 (sinc 関数)。
d - sinc 関数による畳み込み演算によって復元された元の時間関数。

周波数領域の畳み込み定理によれば、信号 x(t) の FTFT は、単に信号 x(t) のスペクトルとタイム サンプル (TS) 関数のフーリエ変換の畳み込みです。

. (13)

標本関数 F (TS)=Y1/T(f) のフーリエ変換による X(f) の畳み込みは、単に 1/T Hz の周波数間隔で X(f) を周期的に継続します。 したがって、XS(f) は、X(f) の周期的に拡張されたスペクトルです。 一般に、1 つの領域 (時間など) 内のサンプルは、変換領域 (周波数など) で周期的に継続します。 サンプルレートが十分に低く選択されている場合 (F< 2Fo), то периодически продолженные спектры будут перекрываться с соседними. Это перекрытие носит название эффекта наложения в частотной области.
サンプルから元の時間信号を復元するには、つまり、 これらのサンプル間の特定の連続値を補間するには、サンプリングされたデータを方形周波数応答を持つ理想的なローパス フィルターに通すことができます (図 1d)。

. (14)

その結果 (図 1 d を参照)、元のフーリエ変換が復元されます。

. (15)

時間領域と周波数領域で畳み込み定理を使用すると、次のようになります。 式 (15) は数学的表記です時間領域のサンプリング定理 (Whitaker、Kotelnikov、Shannon の定理 - UKSH)、補間公式 (15) を使用すると、限られたスペクトルを持つ実際の信号を正確に復元できると述べています。無限の数によって 周波数 F = 2F0 で取得された既知の時間サンプル。 定理 (15) の双対は次の定理です。周波数領域のサンプル
期間が制限された信号の場合。

, (16)

(14) と同様に、時間領域での演算は次の式で記述されます。

対応する変換は式です

したがって、期間が制限された信号の NVPF X(f) は、選択された周波数サンプリング間隔が条件 F1/2T 0 Hz を満たす場合、そのような信号のスペクトルの等距離サンプルから明確に復元できます。ここで、T 0 は信号です。間隔。

N 点離散フーリエ変換 (DFT) の従来の定義に対する一対の変換 時系列 x[n] と対応する N 点 フーリエ変換シーケンス X[k]は次の式で与えられます。

, (18)
. (19)

対応するエネルギーまたは電力単位のデータ サンプルからスペクトル推定値を取得するために、離散時間フーリエ級数 (DTFS) を作成します。これは、以下に基づいて、連続時間フーリエ変換 (CTFT) の近似とみなすことができます。有限数のデータサンプルの使用:

DVRF への準拠の性質を示すため ( 離散時間領域と周波数領域の両方の関数) と CVDF (時間領域と周波数領域の連続関数) を使用するには、4 つの線形可換演算のシーケンスが必要です。時間領域と周波数領域の重み付けと、 サンプリングまたはサンプリング時間領域と周波数領域の両方で。 これらの領域の 1 つで重み付け演算が実行される場合、畳み込み定理によれば、それは sinc 関数を使用した別の領域でのフィルタリング (畳み込み) 演算に対応します。

同様に、ある領域で離散化が実行されると、別の領域で周期的継続操作が実行されます。 計量とサンプルの採取は線形で可換的な操作であるため、さまざまな方法でそれらを順序付けすることが可能であり、異なる中間結果でも同じ最終結果が得られます。 図 2 は、これら 4 つの操作を実行するための 2 つの可能なシーケンスを示しています。
米。 2. NVPF と DVRF を接続する、2 つの計量操作と 2 つのサンプリング操作の 2 つの可能なシーケンス: FW - 周波数領域でのウィンドウの適用。 TW - 時間領域でのウィンドウの適用。 FS - 周波数領域でサンプルを取得します。 TS - 時間領域でサンプルを取得します。
1 - 連続時間フーリエ変換、式 (1)。
4 - 離散時間フーリエ変換、式 (22)。
5 - 連続時間のフーリエ級数、方程式 (25)。

8 - 離散時間のフーリエ級数、方程式 (27) ノード 1、4、5、および 8 で重み付けおよびサンプリング操作を実行した結果、4 つの異なるタイプのフーリエ関係が発生します。 関数が存在するノード周波数領域は連続的です 、参照変換 フーリエ、および関数が周波数領域にあるノード離散 参照フーリエ級数
したがって、ノード 4 では、周波数領域での重み付けと時間領域でのサンプリングにより、 離散時間変換フーリエ変換 (FTFT)。1/T Hz の周期を持つ周波数領域の周期スペクトル関数によって特徴付けられます。

(22)

(23)

式 (22) は、-1/2T から 1/2T Hz の周波数範囲でのみノード 1 で指定された元の変換関数と一致する特定の周期関数を定義していることに注意してください。 式 (22) は、次の関係により離散シーケンス x[n] の Z 変換に関連付けられます。

(24)

したがって、DVFT は、単位円上で計算された Z 変換に T を乗算したものにすぎません。
図 2 の下部の分岐に沿ってノード 1 からノード 8 に移動すると、ノード 5 では、時間領域での重み付け (信号の持続時間を制限) と周波数領域でのサンプリングの操作により、連続時間フーリエ級数 (CFTS) が生成されます。 ）。 表 1 と 2 に示されている関数のプロパティと定義を使用すると、次の変換のペアが得られます。
(25)
(26)

式 (26) は、0 から NT までの時間間隔でのみ元の周期関数 (ノード 1 における) と一致する特定の周期関数を定義していることに注意してください。
4 つの操作の 2 つのシーケンスのどちらが選択されるかに関係なく、ノード 8 での最終結果は同じになります。 離散時間フーリエ級数これは、表 1 に示されているプロパティを使用して得られる次の変換のペアに対応します。

, (27)

ここで、k=-N/2、. 。 。 ,N/2-1

, (28)

ここで、n=0、. 。 。 、N-1、
この DVRF のエネルギー定理は次のとおりです。

, (29)

一連の N データ サンプルのエネルギーを特徴付けます。 シーケンス x[n] と X[k] は両方とも N を法とする周期的であるため、(28) は次の形式で書くことができます。

, (30)

ここで、0 n N。(27) と (28) が実際に積分領域での積分変換の近似となるように、(27) ～ (30) の係数 T が必要です。

.(31)

ゼロパディング

と呼ばれるプロセスを経て、 ゼロで埋め込む、離散時間フーリエ級数を変更して、元の変換の N 値の間を補間することができます。 利用可能なデータ サンプル x,...,x にゼロ値 x[N],...X を追加します。 このゼロが埋め込まれた 2N ドット データ シーケンスの DVRF は、次の式で与えられます。

(32)

ここで、右側の合計の上限は、null データの存在に対応するために変更されます。 k=2m とすると、

, (33)

ここで、m=0,1,...,N-1 は X[k] の偶数値を定義します。 これは、インデックス k の値が偶数の場合、2N 点の離散時間フーリエ級数が N 点の離散時間系列に縮小されることを示しています。 インデックス k の奇数の値は、元の N ポイント DVRF の値の間に位置する補間された DVRF 値に対応します。 元の N ドット シーケンスにゼロが追加されるにつれて、さらに多くの補間データを取得できます。 入力ゼロの数が無限であるという限定的なケースでは、DVRF は N 点データ シーケンスの離散時間フーリエ変換と考えることができます。

. (34)

変換 (34) は、図 2 のノード 6 に対応します。
ゼロ パディングによってデータ シーケンスの長さが増加するため、解像度が向上するという誤解があります。 ただし、図 3 から次のように、ゼロで埋められます。 改善しない与えられた有限データシーケンスから得られる変換の分解能。 ゼロパディングは単純に補間変換を可能にします より滑らかな形状。 さらに、元の DVRF の推定周波数に対応する N 点の間に周波数がある狭帯域信号成分の存在によって引き起こされる不確実性が排除されます。 ゼロをパディングすると、スペクトル ピークの周波数の推定精度も向上します。 スペクトル分解能という用語は、2 つの高調波信号のスペクトル応答を区別する能力を意味します。 一般に受け入れられている経験則は、スペクトル解析でよく使用され、区別される正弦波の周波数分離はこれより小さくなることはできないというものです。 同等のウィンドウ幅、これらの正弦波のセグメント (セクション) が観察されます。

図3.
ゼロパディングを使用した補間:
a - ゼロ埋めなしの 3 つの正弦波を含む 16 点データ記録用の DVRF モジュール (不確実性が目立ちます。信号内に正弦波が 2 つ、3 つ、または 4 つ含まれているのかを言うことは不可能です)。
b - 16 個のゼロの追加によりサンプル数を 2 倍にした後の同じシーケンスの DVRF モジュール (3 つの正弦波はすべて区別できるため、不確実性は解決されます。

c - ゼロの追加によりサンプル数が 4 倍に増加した後の同じシーケンスの DVRF モジュール。
ここで、W(f) は窓関数の離散時間フーリエ変換、たとえば長方形 (5) です。 同様に、次のように入力できます 同等のウィンドウ期間

ウィンドウ (またはその他の信号) の等価期間とその変換の等価帯域幅は相互に逆数であることがわかります: TeBe=1。

高速フーリエ変換

高速フーリエ変換 (FFT) は別のタイプのフーリエ変換ではなく、いくつかの効果的な変換の名前です。 アルゴリズム、離散時間フーリエ級数の高速計算用に設計されています。 DVRF を実際に実装する際に生じる主な問題は、N2 に比例する膨大な数の計算操作にあります。 コンピュータが出現するずっと前に、計算操作の数を大幅に削減できるいくつかの効率的な計算スキームが提案されましたが、本当の革命は、1965 年に高速 (操作数) を実現する実用的なアルゴリズムを備えた Cooly と Tukey による論文が出版されたことによって起こりました。 Nlog 2 N) DVRF の計算。 その後、基本的なアイデアに対する多くの変形、改良、追加が開発され、高速フーリエ変換として知られるアルゴリズムのクラスを構成しました。 FFT の基本的な考え方は、N ポイント DVRF を 2 つ以上の小さな DVRF に分割し、それぞれを個別に計算し、他の DVRF と線形的に合計して、元の N ポイント シーケンスの DVRF を取得することです。
離散フーリエ変換 (DFFT) を次の形式で表します。

, (35)

ここで、値 W N =exp(-j2 /N) を回転係数と呼びます (以下、このセクションではサンプリング周期を T=1 とします)。 シーケンス x[n] から偶数と奇数の要素を選択しましょう

. (36)

しかしそれ以来
。 したがって、(36) は次の形式で書くことができます。

, (37)

ここで、各項は長さ N/2 の変換です。

(38)

シーケンス (WN/2) nk は k 内で周期 N/2 で周期的であることに注意してください。 したがって、式(37)における数kは0からN-1までの値をとるが、それぞれの和は0からN/2-1までのkの値について計算される。 アルゴリズム (37) ～ (38) に従って、フーリエ変換を計算するために必要な複素乗算および加算演算の回数を推定することが可能です。 式（３８）による２つのＮ／２点フーリエ変換は、２（Ｎ／２） ２ 乗算とほぼ同数の加算を実行することを含む。 式 (37) を使用して 2 つの N/2 点変換を結合するには、さらに N 回の乗算と N 回の加算が必要です。 したがって、k の N 個の値すべてに対してフーリエ変換を計算するには、N+N 2 /2 の乗算と加算を実行する必要があります。 同時に、式 (35) を使用した直接計算には N 2 回の乗算と加算が必要です。 N>2 の場合、すでに不等式 N+N 2 /2 が満たされています。< N 2 , и, таким образом, вычисления по алгоритму (37)-(38) требуют меньшего числа математических операций по сравнению с прямым вычислением преобразования Фурье по формуле (35). Так как вычисление N-точечного преобразования Фурье через два N/2-точечных приводит к экономии вычислительных операций, то каждое из N/2-точечных ДПФ следует вычислять путем сведения их к N/4-точечным преобразованиям:

, (39)
(40)

この場合、周期 N/4 の k のシーケンス W nk N/4 の周期性により、合計 (40) は 0 から N/4-1 までの k の値についてのみ計算する必要があります。 したがって、式（３７）、（３９）、および（４０）を使用してシーケンスＸ［ｋ］を計算するには、計算が容易であるが、２Ｎ＋Ｎ ２ ／４の乗算および加算演算が必要となる。
この経路を辿ることにより、演算量X[k]をどんどん削減することができる。 m=log 2 N 展開後、次の形式の 2 点フーリエ変換に到達します。

(41)

ここで、「1 点変換」X 1 は単に信号 x[n] のサンプルです。

X 1 = x[q]/N、q=0,1,...,N-1。

(42) その結果、FFT アルゴリズムを作成することができます。これは明らかな理由から次のように呼ばれます。 :

時間間引きアルゴリズム

X 2 = (x[p] + W k 2 x) / N、

ここで、k=0.1、p=0.1、...、N/2 -1;

X 2N/M =X N/M + W k 2N/M X N/M 、

ここで、k=0.1,...,2N/M -1、p=0.1,...,M/2 -1;

X[k] = X N [k] =X N/2 + W k N X N/2 、(43)

ここで、k=0,1,...,N-1
私たちが検討した時間間引き FFT アルゴリズムは、入力シーケンス x[n] のサブシーケンスを形成することによるフーリエ変換の計算に基づいています。 ただし、フーリエ変換 X[k] のサブシーケンス分解を使用することも可能です。 この手順に基づく FFT アルゴリズムは c と呼ばれます。 周波数の間引き。高速フーリエ変換について詳しくは、たとえば、を参照してください。

ランダムプロセスとパワースペクトル密度

離散ランダム プロセス x は、実数または複素数の離散時間 (または空間) シーケンスの特定のセットまたはアンサンブルと考えることができ、それぞれのシーケンスは何らかの実験の結果として観察できます (n は時間インデックス、i は時間インデックスです)。観察番号）。 観測の 1 つの結果として得られるシーケンスは、x[n] で示されます。 アンサンブル全体の平均化操作 (つまり、 統計的平均化) は演算子によって示されます<>。 したがって、 - 時間 n におけるランダムプロセス x[n] の平均値。 自己相関 2 つの異なる時間 n1 および n2 でのランダム プロセスは、式 r xx = によって決定されます。 .

ランダムなプロセスは定常的と呼ばれます 広い意味で、平均値が一定（時間に依存しない）であり、自己相関が時間インデックス m=n1-n2 の差（サンプル間の時間シフトまたは遅延）にのみ依存する場合。 したがって、広く定常な離散ランダムプロセス x[n] は、一定の平均値によって特徴付けられます。 =そして 自己相関シーケンス(AKP)

r xx [m] =< xx*[n] >. (44)

オートマチック トランスミッションの次の特性に注目してください。

r xx |r xx [m]|

、r xx [-m] = r* xx [m]、(45)
これはすべての m に対して有効です。

. (46)

パワー スペクトル密度 (PSD) は、自己相関シーケンスの離散時間フーリエ変換 (DTFT) として定義されます。

(47)

PSD は、幅が ±1/2T Hz に制限されていると想定されており、1/T Hz の周期を持つ周波数の周期関数です。 PSD 関数は、ランダム プロセスのパワーの周波数分布を表します。 選択された名前を確認するには、逆 DVFT を検討してください。

(48)

m=0で計算 ゼロシフトでの自己相関の特徴ランダムなプロセス。 (48) によれば、曲線 P xx (f) の下の面積は平均パワーを特徴付けるため、P xx (f) はパワーの周波数分布を特徴付ける密度関数 (単位周波数あたりのパワー) になります。 変換 (46) と (47) のペアは、よく呼ばれます。ウィーナー・ヒンチンの定理

,

離散時間の場合。 r xx [-m]=r* xx [m] であるため、PSD は厳密に実数の正の関数でなければなりません。 ACP が厳密な実関数である場合、r xx [-m]=r xx [m] となり、PSD はフーリエ コサイン変換の形式で記述できます。
これは、P xx (f) = P xx (-f)、つまり、 SPM は偶関数です。 これまで、ランダム プロセスの平均値、相関​​関係、パワー スペクトル密度を決定する際には、アンサンブル全体にわたる統計的平均を使用していました。 ただし、実際には、これらの統計的特性を計算できる必要なプロセスの実装のアンサンブルを取得することは通常不可能です。 y を 1 つのサンプル実現 x(t) に置き換えて、すべての統計的特性を評価することをお勧めします。アンサンブル平均化 時間平均化

. (49)

。 このような置き換えを可能にする性質はエルゴード性と呼ばれます。 確率が 1 に等しい場合、そのすべての統計的特性が時間平均を使用したアンサンブルの 1 つの実装から予測できる場合、ランダム プロセスはエルゴードであると言われます。 言い換えれば、プロセスのほぼすべての可能な実装の時間平均は、同じ定数値、つまりアンサンブル平均に 1 つの確率で収束します。

. (50)

この制限が存在する場合、平均の時間分散がゼロに近づく傾向がある場合にのみ、真の平均に収束します。これは、次の条件が成立することを意味します。
ここで、c xx [m] はプロセス x[n] の共分散の真の値です。

(51)

同様に、2 つの時点でのプロセス サンプル x[n] の積の値を観察すると、平均値が次の値に等しくなることが期待できます。

. (52)

PSD のこの等価形式は、サンプル数が無限に増加する場合に、重み付けされたデータ セットの DVFT 係数をデータ レコードの長さで割った値を統計的に平均することによって取得されます。

(53)

DVFT 自体は x[n] が実現されるたびに変化する確率変数であるため、ここでは統計的平均化が必要です。 (52) が Wiener-Khinchin の定理と同等であることを示すために、DVFT 係数の 2 乗を 2 つの系列の積として表し、合計と統計的平均演算の順序を変更します。

, (54)

有名な表現を使うと

(55)

関係式 (53) は次のように簡略化できます。

. (56)

導出の最後の段階 (55) では、自己相関シーケンスが「減衰する」という仮定が使用されたことに注意してください。
PSD (46) と (52) の 2 つの定義間の関係は、図 4 に示す図で明確に示されています。

, (57)

式 (52) で数学的期待値の演算を考慮しない場合、SPM 推定値が得られます。 と呼ばれるもの.

サンプルスペクトル

米。 4. パワースペクトル密度を推定するための 2 つの方法の関係

スペクトル推定のピリオドグラム法 上記では、パワー スペクトル密度 (PSD) を決定するための 2 つの形式的に等価な方法を紹介しました。 間接的な方法は、自己相関シーケンスを計算するための無限のデータ シーケンスの使用に基づいており、そのフーリエ変換により目的の PSD が得られます。 PSD を決定する直接的な方法は、適切な統計的平均を使用して、無限のデータ シーケンスに対するフーリエ変換の二乗係数を計算することに基づいています。 このような平均化を行わずに取得された PSD は、そのような推定値の二乗平均平方根誤差がその平均値に匹敵するため、満足のいくものではないことがわかります。 次に、有限数のサンプルにわたって滑らかで統計的に安定したスペクトル推定を提供する平均化方法を検討します。 直接的なデータ変換とその後の平均化に基づく SPD 推定は、ピリオドグラムと呼ばれます。 最初に初期データから相関推定値が形成される PSD 推定値は、と呼ばれます。。 PSD 推定方法を使用する場合、有限数のサンプルから可能な限り最高の解像度で統計的に安定したスペクトル推定値を取得するために、ユーザーは多くのトレードオフの決定を下す必要があります。 これらのトレードオフには、データの重み付けと相関推定のためのウィンドウの選択、重み付けによるサイドローブの削減、効率的な平均化の実行、および許容可能なスペクトル解像度を提供します。 図では、 図 5 は、主要な段階を示す図を示しています。 ピリオドグラム

方法

米。 5. ピリオドグラム法を使用した PSD 推定の主な段階

このメソッドの適用は、サンプルごとに T 秒の間隔で取得される N データ サンプルの収集から始まり、その後 (オプションの) 傾向除去ステップが続きます。

統計的に安定したスペクトル推定値を取得するには、利用可能なデータを（可能であれば）重複するセグメントに分割し、その後、そのようなセグメントごとに取得されたサンプル スペクトルを平均する必要があります。 この平均化のパラメータは、セグメントごとのサンプル数 (NSAMP) と、次のセグメントの先頭をシフトする必要があるサンプル数 (NSHIFT) を適切に選択することによって変更されます。図を参照してください。 6. セグメントの数は、スペクトル推定値の必要な平滑度 (分散) と必要なスペクトル分解能に応じて選択されます。 NSAMP パラメータの値を小さくすると、平均化が実行されるセグメントが増えるため、分散が少なくなる推定値が得られますが、周波数分解能も低くなります。 セグメント長 (NSAMP パラメータ) を長くすると、当然のことながら、平均化の回数が減って推定値の分散が増加するため、分解能が向上します。 図 5 の戻り矢印は、異なる長さとセグメント数でデータを何度か繰り返す必要があることを示しています。これにより、研究中のプロセスに関するより多くの情報を取得できるようになります。

すべての古典的なスペクトル推定方法に共通する重要な問題の 1 つは、データの重み付けに関連しています。 ウィンドウ処理は、スペクトル推定におけるサイドローブ効果を制御するために使用されます。 既存の有限データ レコードを、適用されたウィンドウを通して見える、対応する無限シーケンスの一部として考えると便利であることに注意してください。 したがって、N 個のサンプルからの観測データ x 0 [n] のシーケンスは、無限シーケンス x[n] と長方形の窓関数の積として数学的に書くことができます。

X 0 [n]=x[n] 長方形 [n]。
これにより、実際にそうなるかどうかに関係なく、すべての未観測サンプルがゼロに等しいという明らかな仮定が行われます。 重み付けされたシーケンスの離散時間フーリエ変換は、シーケンス x[n] と長方形ウィンドウ rect[n] の変換の畳み込みに等しくなります。

X 0 (f)=X(f)*D N (f) 、ここで
D N (f)= Texp(-j2pfT)sin(pfTN)/sin(pfT)。

離散 sinc 関数またはディリクレ カーネルと呼ばれる関数 D N (f) は、方形関数の DCFT です。 観測された有限シーケンスの変換は、無限シーケンスの変換の歪んだバージョンです。 周波数 f 0 の離散時間正弦波に対する長方形ウィンドウの効果を図 7 に示します。

図7。

データの重み付けによる漏れによる離散時間フーリエ変換のバイアスの図: a、b - 元のシーケンスと重み付けされたシーケンス。 b、d - フーリエ変換。図から、無限正弦波シーケンスの DTFT の鋭いスペクトル ピークが、ウィンドウ変換との畳み込みによって拡大されていることがわかります。 したがって、ウィンドウ重み付けシーケンスのスペクトル ピークの最小幅は、そのウィンドウのメイン変換ローブの幅によって決まり、データには依存しません。。 長方形ウィンドウと比較してサイド ローブを軽減できるウィンドウ機能は他にも多数あります。
サイド ローブのレベルを下げるとスペクトル推定のシフトが減りますが、これにはウィンドウ スペクトルのメイン ローブが拡大するという代償が伴い、当然のことながら解像度の低下につながります。 したがって、ここでもメインローブの幅とサイドローブのレベルの間である程度の妥協点を選択する必要があります。 ウィンドウの品質を評価するには、いくつかのパラメータが使用されます。 従来の指標は、半分の電力でのメインローブ帯域幅です。 2 番目の指標は、上で紹介した同等の帯域幅です。 サイドローブの特性を評価するために 2 つの指標も使用されます。 1 つ目は最大レベル、2 つ目は減衰率で、メイン ローブからの距離に応じてサイド ローブが減少する速度を特徴付けます。 表 3 に、一般的に使用されるいくつかの離散時間ウィンドウ関数の定義を示し、表 4 にその特性を示します。

. (46)

表 3. 一般的な N 点離散時間 windowsMax の定義。サイドローブレベル、dB -31.5 コレログラム法 PSD の推定は、式 (46) に自己相関推定の値の有限シーケンスを単純に代入するだけです (

コレログラム

) 未知の真の自己相関値の無限シーケンスの代わりに。

スペクトル推定のコレログラム方法の詳細については、を参照してください。

文学

1. ラビナー L.、グールド B. デジタル信号処理の理論と応用。

マ：ミール、1978年。

2.マープルJr. S.L. デジタルスペクトル分析とその応用：Transl. 英語から -M.: ミール、1990年。 3. Goldberg L.M.、Matyushkin B.D.、Polyak M.N.、デジタル信号処理 - M.: 無線と通信、1990 年。 4. オットネス R.、エノクソン L. 時系列の応用分析 - M.: ミール、1982 年。スペクトル分析

フーリエ変換の主な意味は、任意の形状の元の非周期関数が、解析的に記述できないため、処理や解析が困難であり、異なる周波数、振幅、初期値を持つサインまたはコサインのセットとして表現されることです。段階。

言い換えると、 複素関数多くの単純なものに変換されます。 フーリエ展開した結果得られる、一定の周波数と振幅を持つそれぞれの正弦波（または余弦波）を次のように呼びます。 スペクトル成分または 高調波。 スペクトル成分が形成されます。 フーリエスペクトル.

視覚的には、フーリエ スペクトルは、ギリシャ文字の「オメガ」で示される円周周波数が横軸に沿ってプロットされ、スペクトル成分の振幅（通常はラテン文字の A で示されます）がグラフの形式で表示されます。 、縦軸に沿ってプロットすると、各スペクトル成分は、カウント、その周波数に対応する水平方向の位置、および高さ (その振幅) として表すことができます。 周波数がゼロの高調波は次のように呼ばれます。 定数成分(時間表現では、これは直線です)。

スペクトルを単純に視覚的に分析するだけでも、関数が得られた基礎となった関数の性質について多くのことがわかります。 初期データの急速な変化により、スペクトル内に次のような成分が生じることは直感的に明らかです。 高い頻度と遅いもの - 低い。 したがって、その成分の振幅が周波数の増加とともに急激に減少する場合、元の関数 (たとえば、時系列) は滑らかになりますが、スペクトルに振幅の大きな高周波成分が含まれている場合、元の関数には急激な変動が含まれます。 。 したがって、時系列の場合、これは、大きなランダム成分、それが記述するプロセスの不安定性、存在を示している可能性があります。 ノイズデータの中で。

スペクトル処理はスペクトル操作に基づいています。 確かに、高周波成分の振幅を小さく（抑制）し、変化したスペクトルを元に逆フーリエ変換して元の関数に戻すと、高周波成分が除去されて滑らかになります。成分。

たとえば、時系列の場合、これは、ランダムな要因の影響を非常に受けやすい毎日の売上に関する情報を削除し、季節性などのより一貫した傾向を残すことを意味します。 逆に、低周波成分を抑制して、遅い変化を削除し、速い変化だけを残すこともできます。 時系列の場合、これは季節成分の抑制を意味します。

このようにスペクトルを使用すると、元のデータに望ましい変更を加えることができます。 最も一般的な用途は、スペクトル内の高周波成分の振幅を除去または低減することによって時系列を平滑化することです。

スペクトルを操作するには、スペクトルの形状を制御し、その成分を抑制または強化できるアルゴリズムであるフィルターが使用されます。 主要 財産どれでも フィルターは振幅周波数応答 (AFC) であり、その形状がスペクトルの変換を決定します。

フィルターが特定のカットオフ周波数より低い周波数のスペクトル成分のみを通過させる場合、それはローパスフィルター (LPF) と呼ばれ、その助けを借りてデータを平滑化し、ノイズを除去し、データを除去することができます。 異常値.

フィルターが特定のカットオフ周波数を超えるスペクトル成分を通過させる場合、そのフィルターはハイパス フィルター (HPF) と呼ばれます。 データ系列の季節性など、緩やかな変化を抑制するために使用できます。

さらに、ミッドパス フィルター、バンドストップ フィルター、バンドパス フィルターなど、他の多くの種類のフィルターが使用されます。さらに、無線電子機器の信号処理で使用されるより複雑なフィルターも使用されます。 種類と形を選ぶ 周波数応答フィルターを使用すると、スペクトル処理を通じて元のデータを希望どおりに変換できます。

平滑化やノイズ除去を目的としてデータの周波数フィルタリングを実行する場合、ローパス フィルタの帯域幅を正しく指定する必要があります。 値を大きくしすぎると平滑化が不十分となり、ノイズが完全に抑えられなくなります。 狭すぎるとノイズとともに変化が​​生じます。 役立つ情報。 技術的応用においてフィルターの最適な特性を決定するための厳格な基準がある場合、分析技術では主に実験的手法を使用する必要があります。

スペクトル分析は、最も効果的でよく開発されたデータ処理方法の 1 つです。 周波数フィルタリングは、その多くのアプリケーションの 1 つにすぎません。 さらに、次のような場合にも使用されます。 相関統計分析、信号と関数の合成、モデルの構築など。