線形定常システムの入力に振動があり、これはランダム プロセスの実装を表していると仮定します。 この実装が事前に指定されている場合、新しいタスクは発生しません。信号は決定論的な関数として扱われます。 システムの数学的モデル (周波数透過係数など) がわかれば、出力応答を見つけることができます。

ただし、入力信号に関する完全な情報が入手できないという特異性があります。ランダム プロセスの平均化された確率的特性に関する情報しか得られません。

目標は、システムの数学的モデルに基づいて見つけることができる、プロセスの統計的特性間の関係を調査することです。

制限を導入しましょう。定常的な入力ランダムプロセスのみを考慮します。 期待 瞬時値実装は時間的に一定ですが ()、相関関数は時間軸上の点間の絶対シフトの大きさにのみ依存します。

入力信号の別の実装を検討し、それをフーリエ積分の形式で表してみましょう。

ここで、 はスペクトル密度です。

システムの出力信号は、その周波数ゲインが既知であれば見つかります。

(1)

プロセスが静止しているという仮定には、スペクトル密度の平均値という条件が課せられます。

式 (1) の両辺で統計的平均を実行すると、次のようになります。

(2)

相関関数を計算するには、ある瞬間の出力信号の値が必要です。

(3)

なぜなら 関数は実数なので、右辺の複素共役量を計算しても式 (3) は変わりません。

(4)

どこ ; - 定常ランダムプロセスのパワースペクトル。 (デルタ関数のフィルタリング プロパティが使用されます)。

(6)

出力ランダム信号のパワー スペクトルは、次の関係により入力信号の同様のスペクトルに関連付けられます。

応用問題では、多くの場合、正の周波数でのみ定義される片側スペクトルを扱わなければなりません。

したがって、出力信号の分散

(9)

多くの場合、ブロードバンドの線形周波数選択回路への影響を考慮する必要があります。 ランダム信号、例えば、短いパルスの混沌とし​​たシーケンスによって形成される。 この場合、入力ランダム プロセスの実効スペクトル幅がシステム帯域幅を大幅に超えている場合、実際のランダム プロセスは、回路帯域幅内の特定の点である片側パワー スペクトルを持つ等価ホワイト ノイズに置き換えられる可能性があります。

すると、式(9)は簡略化されます。

工学計算では、広帯域ランダム信号の影響下にある線形周波数選択回路は、ノイズ通過帯域によって特徴付けられると便利です。 これは、実際の回路のゲインの最大絶対値に等しい実際のゲインを持つ理想的なバンドパス フィルターの帯域幅として定義されます。 理想的なシステムと実際のシステムをパワー スペクトルを持つホワイト ノイズで励起する場合、両方の回路の出力におけるノイズ信号の分散が一致する必要があります。

(11)

したがって、

(12)

たとえば、積分 RC 回路の場合

;

したがって、

同時に。

入力ランダム プロセスが正規 (分布法則のガウス的性質) である場合、線形システムの動的特性に関係なく、出力ランダム プロセスはこの特性を持ちます。

デュアメルの式に基づく瞬時応答値

入力信号の前の値の合計に、回路のシフトされたインパルス応答を乗算した結果です。

安定性を判断するために、ホドグラフを構築する必要はありません。 これを行うには、周波数応答と位相応答を分析するだけで十分です。 したがって、ナイキスト基準の 3 番目の代替定式化は次のようになります。 位相応答が 0 になる周波数で周波数応答が 1 より大きい場合、またはどこ n € zの場合、フィードバック システムは安定しません。それ以外の場合、フィードバック システムは安定します (図 3.10)。

米。 3.9 フィードバックのある開ループシステムの周波数応答と位相応答

4 線形定常回路を通過するランダム信号の通過

ランダム プロセスの主な特性は、瞬時信号値の確率密度、相関関数、およびパワー スペクトル密度です。 線形回路の入力における既知の確率密度と回路の既知の特性から、線形回路の出力における瞬時信号値の確率密度を見つけることは、非常に困難な作業です。 ただし、入力信号がガウスの場合、出力信号も常にガウスになります。 これは、問題の解決が簡素化され、出力信号のパラメーター (数学的な期待値と分散) を見つけることに集約されることを意味します。

出力信号の相関関数とパワースペクトル密度を見つけるタスクははるかに簡単です。

Wiener-Khinchin 理論によるパワー スペクトル密度の逆フーリエ変換:

– 信号相関関数

パワーゲインの逆フーリエ変換:

– 信号のインパルス応答の相関関数

2 つの信号のスペクトルの積は、これらの信号の畳み込みのスペクトルに等しいため、次のように書くことができます。

つまり、線形回路の出力における信号の相関関数は、回路の入力における信号の相関関数と回路のインパルス応答の相関関数の畳み込みに等しい。

さまざまなシステムを分析する場合、周波数範囲全体にわたって一定のパワー スペクトル密度を持つホワイト ノイズが干渉として作用することがよくあります。

と相関関数

したがって、出力信号の相関関数は、係数 をもつインパルス応答の自己相関関数と等しくなります。

5 非線形回路を通過する信号

リニア 固定チェーン信号のスペクトル構成を変更しないでください。 信号のスペクトル構成の変化に関連する主な無線工学変換は、非線形回路または可変パラメータを備えた線形回路を使用して実行されます。

非線形回路の研究は、非線形微分方程式を解くという複雑な作業です。 非線形要素に慣性がない場合、つまり入力動作の変化に対する応答が瞬時に発生する場合、非線形回路の解析は簡素化されます。 厳密に言えば、無慣性要素 (FFE) は存在しませんが、入力信号の変化時間が非線形要素のプロセスの確立時間を大幅に超える場合、その要素は無慣性要素であるとみなすことができます。 無線工学では、非線形要素が最もよく使用されます。 半導体デバイス(ダイオード、トランジスタ)。 このようなデバイスを説明するには、デバイスに印加される電圧とデバイスを流れる電流を関係付ける電流電圧特性が使用されます。

既知の伝達関数またはインパルス応答を持つ線形慣性システムを考えてみましょう。 このようなシステムの入力を、確率密度、相関関数、またはエネルギー スペクトルなどの特定の特性を持つ定常ランダム プロセスとします。 システムの出力におけるプロセスの特性を決定してみましょう: 、および 。

プロセスのエネルギー スペクトルを見つける最も簡単な方法は、システムの出力にあります。 実際、入力プロセスの個々の実装は決定的です。

関数があり、これらにフーリエ装置を適用することができます。 期間を切り詰めた実装にしてみましょう T入力時のランダムな処理、および

そのスペクトル密度。 線形システムの出力における実装のスペクトル密度は次のようになります。

(3.3.3) による出力におけるプロセスのエネルギー スペクトルは、次の式によって決定されます。

(3.4.3)

それらの。 は、入力におけるプロセスのエネルギー スペクトルにシステムの振幅周波数特性の 2 乗を乗算したものに等しく、位相周波数特性には依存しません。

線形システムの出力におけるプロセスの相関関数は、エネルギー スペクトルのフーリエ変換として定義できます。

(3.4.4)

したがって、ランダムな定常プロセスが影響を与える場合、 線形システム出力も、式 (3.4.3) および (3.4.4) で定義されるエネルギー スペクトルと相関関数を備えた定常ランダム プロセスです。 システム出力のプロセス電力は次のようになります。

(3.4.5)

慣性のない非線形回路の出力における信号の確率分布密度と数値特性。

バスカコフ pp. 300 – 302

非線形慣性のない回路を介したランダム信号の通過。

ここで、非線形システムを通過するランダムなプロセスの問題を考えてみましょう。 一般に、この問題は非常に複雑ですが、非線形システムに慣性がない場合は大幅に単純化されます。 慣性のない非線形システムでは、特定の瞬間における出力プロセスの値は、同じ瞬間における入力プロセスの値によって決まります。 非線形慣性のない変換の場合、より単純なタスクは、より複雑な出力分布関数を決定すること、つまり相関関数またはエネルギー スペクトルを決定することです。

上で述べたように、ランダム プロセスの n 次元分布関数は、本質的に、n 個の異なる時点でのランダム プロセスの値を表す n 個の確率変数の分布関数であり、関数的に変換された確率変数の分布の法則を決定します。比較的単純なタスク。

考えてみましょう 最も単純な例一次元の確率変数。 非線形変換を受ける確率変数 ζ の確率密度を とします。 確率変数 η の確率密度を決定してみましょう。 関数がその逆関数が一意であるようなものであると仮定しましょう。

確率変数 ξ が十分に小さい間隔にある場合 の場合、η と η の間の一意の関数関係により、確率変数 η は必然的に区間内に存在します。 、ここで、これらのイベントの確率は同じでなければなりません。つまり、 (3.4.13)

どこから見つけますか？

(3.4.14)

確率密度を負にすることはできないため、最後の式の導関数は絶対値によって取得されます。 逆関数があいまいな場合、つまり にはいくつかの分岐があるため、確率加算定理を使用して確率密度を取得できます。

(3.4.15)

非線形に変換されたランダム プロセスの数値特性を決定するために、確率密度を決定する必要がないことに注意してください。 実際、一般的なケースでは、k 次の最初の瞬間については、次のようになります。

(3.4.16)

しかし、(3.4.13) によると そして 。 したがって、最後の式は書き換えることができます

(3.4.17)

結果として得られる式 (3.4.14) と (3.4.15) は、いくつかの量の場合に簡単に拡張できます。 ここでは、2 次元の場合の最終結果のみを示します。 確率変数に同時確率密度がある場合、確率変数については

(3.4.18)

逆関数が一意の場合

同時確率密度は次の式で与えられます。

大きさはどこにあるのか

は変換のヤコビアンと呼ばれ、ある座標系から別の座標系に移動するときの基本領域の比率を表します。 の場合、等価性は真です

どこ

質問No.23

離散パルス シーケンス、そのスペクトル。

バスカコフ pp. 382-383

周期的な信号のサンプリング。 離散フーリエ変換 (DFT)。 DFT を使用して元の信号を復元します。 逆離散フーリエ変換 (IDFT)。

バスカコフ pp. 388-392

質問No.24

に基づくデジタル信号処理 (DP) の原理 離散変換フーリエ。

バスカコフ pp. 400-405

デジタル フィルタリング アルゴリズムの実装 (トランスバーサル デジタル フィルタ、再帰的デジタル フィルタ、インパルス応答、出力信号)

デジタルフィルターに応じて フィードバック再帰的 (RF) と非再帰的 (NF) があります。

再帰フィルタと比較した非再帰フィルタの利点は次のとおりです。

非再帰フィルタは、正確に線形の位相応答を持つことができます。

NF の固有ノイズ電力は、通常、RF のノイズ電力よりもはるかに小さくなります。

NF の場合、係数を計算するのが簡単です。

再帰フィルタと比較した非再帰フィルタの欠点は次のとおりです。

再帰フィルタを使用すると、インパルス応答の「テール」を破棄することなく、より正確にインパルス応答を実装できるため、より高精度の信号処理が可能になります。

RF の回路実装は NF よりもはるかに単純です。

再帰的フィルターを使用すると、非再帰的フィルターではまったく実装できないアルゴリズムを実装できます。

再帰的フィルターのインパルス応答は無限大ですが、非再帰的フィルターのインパルス応答は有限です。

バスカコフ pp. 405-408、409-411、413

質問No.25

信号対雑音比、フィルタリング、最適なフィルタの概念。

信号対雑音比- 有用な信号電力とノイズ電力の比に等しい無次元量。

濾過加工プロセスです 信号信号のスペクトル構成を変更する周波数選択デバイス。

最適な線形フィルター信号とノイズの合計を処理する周波数選択システムと呼ばれる 可能な限り最善の方法で。 出力は信号対雑音比を最大化します。

バスカコフ pp. 423-424

整合フィルターの出力における信号対雑音比。

バスカコフ、425、431-432ページ

既知の形状の信号 (AFC、PFC、IR) に対する最適な (整合された) フィルターの特性。

整合フィルタの出力における信号。

無線エレクトロニクスでは、さまざまな信号とさまざまな回路を処理する必要があり、信号がそのような回路を通過するときに過渡プロセスが発生し、その結果として形状が変化します。 送信信号変更される可能性があります。 ほとんどのデバイスには線形要素と非線形要素の組み合わせが含まれているため、信号フローの厳密な分析が複雑になります。 ただし、問題なく解決できる問題はかなり広範囲にあります。 線形法回路内に非線形要素がある場合でも同様です。 これは、信号の振幅が非常に小さいため、非線形素子の特性の非線形性が無視できるため、線形であると考えることもできるデバイスを指します。

線形回路を通る信号の通過を解析するほとんどの方法は、基本原理である重ね合わせの原理に基づいており、複雑な影響に対する回路の応答は、複雑な影響が加わる単純な信号に対する反応の合計として定義できます。影響を分解することができます。 既知の単純な (テスト) 影響に対する線形回路の応答は、システム的 (つまり、回路のみに依存する) と呼ばれます。 伝染 ; 感染回路の特性です。 伝達特性自体は次のように決定できます。

A) クラシック回路を線形微分方程式系で記述し、その右側にテスト効果を記述する方法。 この方法は、ほとんどの場合、単位ステップ関数またはデルタ関数に対する反応、いわゆる回路の過渡特性およびインパルス特性を決定します。これらは、重ね合わせ法 (またはデュアメル積分法) の回路の伝達特性です。 かなり単純な回路と影響を伴う古典的な手法を使用すると、解析問題を即座に解決できます。 入力信号に対する回路の応答を見つける。

b) 包括的な高調波発振がテスト信号として使用される場合の方法。 この場合、回路の伝達特性は次のように決定されます。 頻度周波数解析法の基礎となる特性。

V) オペレーターラプラス変換装置を用いてその結果を求める方法。 コントロールルーム演算子メソッドは次の形式の信号を使用するため、回路の伝達特性 eポイント、 どこ p=s + うわー、その後、演算子伝達特性で置き換えるとき pの上 うわーさらに、以下に示すように、周波数伝達特性が得られます。オペレータ伝達特性からの元の値は、回路のインパルス応答です。

したがって、複雑な信号の通過を解析する方法は次のように分類できます。

A) 頻度、主に定常状態プロセスの分析に使用されます。

b) 一時的、回路の過渡応答またはインパルス応答を使用し、回路内の過渡プロセスが重要な場合に、急速に変化する (パルス) 信号の場合に使用されます。

狭帯域選択回路を通過する信号を分析する場合、同じ方法を瞬間的な信号値ではなく、ゆっくりと変化する包絡線に使用できます。

非線形を通るランダム信号の通過を研究する一般的な問題

回路は、既知の回路データと信号の統計的特性から出力信号の統計的特性を見つけることから構成されます。 このタスクは、入力信号の特性、回路の特性、出力信号の初期特性に関連する特性に基づいて、いくつかの個別のタスクに分割する必要があります。

ない 線形回路は、明確な電流電圧特性を持つ非線形要素の比率を表し、慣性のないものとして定義されます。

出力信号の望ましい統計的特性に従って、瞬時値の分布法則または包絡線を見つける必要があるタスクと、これらの法則の最初の瞬間を決定するだけで十分なタスクを区別する必要があります。 。

研究と出版物の分析。 さまざまなソースからの信号を処理する方法に応じて、信号に対して除算、乗算などの数学的演算を実行する必要があります。信号に対するこのような数学的演算は、非線形慣性のないデバイスを使用して技術的に実装できます。 その結果、ランダムな信号の通過を研究するタスクは、 非線形回路、数学的演算の助けを借りて、常に許容可能な形式で解決策を導き出せるとは限りません。

一般に、ランダムプロセスの非線形慣性のない変換の問題に対する根本的な解決策は、確率差の不変性というよく知られた性質によって生成されます。 ただし、この特性を実際に興味深いものに応用すると、 非線形変換大きな困難を引き起こします。 したがって、確率密度の計算が複雑なため、多くの場合、出力信号のより単純で完全な統計的特性を見つけることに限定されます。

問題の声明。 2 つのランダム信号を分割する操作は、入力信号の特定の変換に対する非線形回路を合成する問題に起因すると考えられます。これには、この変換を実行する回路の特性のタイプを確立し、結果の特性を実装することが含まれます。 たとえば、ランダム プロセスを表す 2 つの入力信号の場合、乗算演算は非線形決定論的​​慣性フリー システムを使用して実行されます。これを図に示します。 1. これは、2 つの対数計 1、2 (対数振幅特性を持つデバイス)、加算器、および指数関数的な振幅特性を持つデバイスである表示器 3 で構成されます。 この問題を解決するためのアプローチは、ランダム プロセスの非線形慣性のない変換によって追加の一時的な接続が導入されないという事実に基づいています。 つまり、慣性のない変換前のプロセスが n 次元の分布によって特徴づけられていた場合、その後のプロセスは n 次の分布によって特徴づけられることになります。

正規分布法則を持つ 2 つのランダムなプロセスの和の確率分布の法則も正規であることが知られています。 したがって、展示者の入力における信号は確率密度の正規分布を持っていると仮定できます。

得られる結果は排除などの単純な解決法を持ち、通常の定常過程の指数関数的変換によってのみ発生します。

ただし、多くの場合、非線形要素の特性は 2 ～ 3 つの指数項を含む合計で近似できるため、この結果は比較的一般的な意味を持ちます。 このアプローチでは、出力プロセスの合計相関関数は合計と等しくなります。 相関関数、指数項ごとに個別に計算されます。

信号に対して数学的演算 (2 つの信号の除算や乗算など) を実行する非線形慣性のない回路を通るランダム信号の通過を研究する場合の問題は、必ずしも直接的な形で解決できるとは限りません。 ただし、このような場合の統計的特性を決定する問題の解決結果を得るには、特性の種類の確立を含む、入力信号の特定の変換に対する非線形回路を合成する問題を解くことによって行うことができます。 個々の要素この信号変換を実行する回路。 このアプローチでは、結果の信号を決定するタスクは、割り当てられた機能を実行する各要素の出力で決定されます。