ベクトルの有限生成系を持つ場合、それは有限次元と呼ばれます。

コメント。 有限次元ベクトル空間のみを研究します。 有限次元ベクトル空間の基礎についてはすでにかなりのことがわかっているという事実にもかかわらず、そのような空間が存在するかどうかはまったくわかりません。 以前に得られた結果はすべて、根拠が存在するという仮定の下で得られました。 以下でこの質問を終わります。

定理。 (有限次元ベクトル空間の基底の存在について)

有限次元ベクトル空間には基底があります。

証拠。 条件により、与えられた有限次元ベクトル空間 V: の有限生成システムが存在します。

ベクトルの生成システムが空である場合、つまり、 ベクトルが含まれていない場合、定義により、このベクトル空間はゼロであると想定されます。 。 この場合、定義により、ヌル ベクトル空間の基底は空の基底であると想定され、定義により、それはゼロに等しいと想定されます。

このシステムが独立している場合、すべてが証明されます。 ベクトル空間のベクトルの線形独立生成システムがその基礎です。

もし このシステムベクトルが線形依存している場合、このシステムのベクトルの 1 つは残りのベクトルに関して線形に表現され、システムから削除できますが、残りのベクトル システムは引き続き生成されます。

残りのベクトル系に番号を付け直しましょう。 その後、推論が繰り返されます。

この系が線形独立であれば、それは基底です。 そうでない場合は、このシステム内に再び除去できるベクターが存在し、残りのシステムが生成することになります。

このプロセスを繰り返すことで、空のベクトル系が残ることはありません。 最も極端なケースでは、線形独立であり、したがって基底となる 1 つの非ゼロ ベクトルの生成システムに到達します。 したがって、あるステップで、線形に独立した生成系のベクトルに到達します。 ベースなどに

定理は証明されました。

レマ。 (n 次元ベクトル空間のベクトル系について。)

させて 。 それから：

1. ベクトルからのシステムはすべて線形依存します。

2. 線形に独立したベクトル系がその基礎となります。

証拠。 1)。 補題の条件によれば、基底内のベクトルの数は等しく、基底は生成系であるため、線形独立系内のベクトルの数は を超えることはできません。 ベクトルを含むシステムはすべて線形依存します。

2)。 今証明されたことからわかるように、このベクトル空間の線形に独立したベクトル系は最大であり、したがって基底となります。

補題は証明されました。

定理 (基底への補完について) ベクトル空間内の任意の線形独立ベクトル系は、この空間の基底へ補完することができます。

証拠。 n 次元のベクトル空間とそのベクトルの線形独立系があるとします。 それから 。

の場合、前の補題によれば、このシステムは基礎であり、証明するものは何もありません。

の場合、このシステムは最大独立システムではありません (そうでない場合、それは基礎になりますが、不可能であるため)。 したがって、次のようなベクトルが存在します。 – 線形独立。

もし今、システムが が基礎です。

そうであれば、すべてが繰り返されます。 システムを補充するプロセスは無期限に継続することはできません。 各ステップで空間ベクトルの線形独立系が得られ、前の補題によれば、そのような系内のベクトルの数は空間の次元を超えることはできません。 したがって、ある段階で基礎に到達することになります。 与えられたスペース.、など。

意味。 基礎

高さ n の算術列ベクトル空間は、標準または自然と呼ばれます。

ゴロビジン V.V. 代数学と幾何学の講義。

5

代数学と幾何学の講義。 2学期。

講義 23. ベクトル空間の基礎。

概要: 非ゼロベクトル系の線形依存性の基準、ベクトル系のサブシステム、ベクトルの生成系、最小生成系と最大線形独立系、ベクトル空間の基礎とそれに相当する 4 つの定義、ベクトル空間の次元、有限次元ベクトル空間とその基底の存在、基底への追加。

第1項。 非ゼロベクトル系の線形依存性の基準。

定理。 非ゼロ ベクトルのシステムは、このシステムの前のベクトルに関して線形に表現されるシステムのベクトルが存在する場合に限り、線形依存します。
証拠。 システムがゼロ以外のベクトルで構成され、線形に依存するとします。 1 つのベクトルの系を考えてみましょう。
。 なぜなら
、次にシステム - 線形独立。 ベクトルを付けてみましょう
線形独立である場合、次のベクトルをそれに追加します。 。 等。 線形依存システムが得られるまで続けます
、 どこ 。 間違いなくそのような数があるでしょう、なぜなら... ソースシステム
は条件によって線形に依存します。

したがって、構築により、線形依存システムが得られます。
、そしてシステム
は線形独立です。

システム
はゼロベクトルを非自明に表します。つまり、 このようなゼロ以外のスカラーのセットがあります
、 何

スカラーはどこにありますか
.

確かに、そうでなければ、
の場合、線形独立システムによるゼロ ベクトルの非自明な表現が得られます。
、それは不可能です。

最後の等式をゼロ以外のスカラーで割る
、そこからベクトルを表現できます :

,

逆は明らかなので、定理は証明されます。

条項2。 ベクトル空間ベクトル システムのサブシステム。

意味。 ベクトル系の空でないサブセット
は、特定のベクトル システムのサブシステムと呼ばれます。

例。 させて
– 10 個のベクトルからなるシステム。 次に、ベクトル システムは次のようになります。
;
,
– 特定のベクトル システムのサブシステム。

定理。 ベクトル系に線形依存サブシステムが含まれている場合、ベクトル系自体も線形依存します。

証拠。 ベクトル系を与えてみましょう
念のため言っておきますが、サブシステムを
、 どこ
は線形依存性があります。 次に、ゼロ ベクトルを非自明な方法で表現します。

係数のどこに
ゼロに等しくないものが少なくとも 1 つあります。 しかし、次の等式はゼロ ベクトルの自明ではない表現です。

定義上、これはシステムの線形依存性を意味します。
、など。

定理は証明されました。

結果。 線形独立したベクトル系のサブシステムはすべて線形独立です。

証拠。 逆のことを想定してみましょう。 このシステムの一部のサブシステムが線形依存しているとします。 この場合、定理はこのシステムの線形依存性を暗示しており、条件と矛盾します。

調査により証明されました。

条項3。 算術ベクトル列空間の列システム。

前の段落の結果から、特別な場合として、定理は次のようになります。

1) 列系は、この系の他の列を通じて線形に表現される列がシステム内に少なくとも 1 つ存在する場合に限り、線形依存します。

2) 系の列が線形独立であるのは、系のどの列も系の他の列に関して線形に表現されていない場合に限ります。

3) ゼロ列を含む列系は線形従属です。

4) 2 つの等しい列を含む列システムは線形依存します。

5) 2 つの比例柱を含む柱システムは線形依存します。

6) 線形依存サブシステムを含む列系は線形依存します。

7) 線形独立柱系のサブシステムはすべて線形独立です。

ここで明確にする必要がある唯一のことは、比例列の概念です。

意味。 ゼロ以外の 2 つの列
スカラーがある場合は比例と呼ばれます
、そのような
または

,
, …,
.

例。 システム
最初の 2 つの列は比例するため、 は線形に依存します。

コメント。 行列式の列 (行) 系が線形依存している場合、行列式はゼロに等しいことはすでにわかっています (講義 21 を参照)。 将来的には、その逆のステートメントも真であることが証明されるでしょう。つまり、行列式がゼロに等しい場合、その列のシステムとその行のシステムは線形に依存します。

第4項。 ベクトル空間の基礎。

意味。 ベクトルシステム
体 K 上のベクトル空間のベクトルのいずれかを表す場合、このベクトル空間のベクトルの生成 (生成) システムと呼ばれます。 そのようなスカラーのセットがある場合
、 何 。

意味。 ベクトル空間内のベクトルの系は、この系から任意のベクトルが除去されると生成系でなくなる場合、最小生成系と呼ばれます。

コメント。 この定義から、ベクトルの生成システムが最小でない場合、そのシステムには少なくとも 1 つのベクトルが存在し、そのシステムから削除されても、残りのベクトルのシステムが引き続き生成されることがわかります。

補題 (線形依存生成システムについて。)

線形に依存し生成するベクトルのシステムにおいて、ベクトルの 1 つが他のベクトルを通じて線形に表現される場合、それをシステムから削除することができ、残りのベクトルのシステムが生成されます。

証拠。 システムにしましょう
線形依存および生成し、そのベクトルの 1 つがこのシステムの他のベクトルを通じて線形に表現されるようにします。

表記を明確にし簡単にするために、次のように仮定します。

なぜなら
は生成システムである場合、
そのようなスカラーのセットがあります
、 何

.

ここから、次のようになります。

それらの。 任意のベクトル x は、システムのベクトルを通じて線形に表現されます。
、つまり発電システムなどです。

系 1. ベクトルの線形依存生成システムは最小ではありません。

証拠。 これは補題とベクトルの最小生成システムの定義からすぐに得られます。

結果 2. ベクトルの最小生成システムは線形独立です。

証拠。 逆を仮定すると、系 1 との矛盾に到達します。

意味。 ベクトル空間内のベクトル系は、この系にベクトルを追加すると線形依存になる場合、最大線形独立系と呼ばれます。

コメント。 この定義から、システムが線形独立であるが最大ではない場合、システムに追加されると線形独立システムを生成するベクトルが存在することがすぐにわかります。

意味。 フィールド K 上のベクトル空間 V の基礎は、ベクトル空間の任意のベクトルを独自の方法で表すベクトルの順序付けられたシステムです。

言い換えれば、ベクトルの系
体 K 上のベクトル空間 V の基底と呼ばれるのは、次の場合です。
スカラーのセットは 1 つだけです
、そのような。

定理。 (根拠の 4 つの同等の定義に基づいて。)

させて
– ベクトル空間内のベクトルの順序付けられたシステム。 したがって、次のステートメントは同等です。

1. システム
が基礎です。

2. システム
は、ベクトルの線形独立生成システムです。

3. システム
はベクトルの最大線形独立系です。

4. システム
ベクトルの最小生成システムです。

証拠。

ベクトル系を考えてみましょう
が基礎です。 基底の定義から、このベクトル系はベクトル空間内のベクトルの生成系であることがすぐにわかります。そのため、必要なのはその線形独立性を証明することだけです。

このベクトル系が線形依存していると仮定しましょう。 次に、ゼロ ベクトルには 2 つの表現 (自明なものと自明でないもの) があり、これは基底の定義と矛盾します。

ベクトル系を考えてみましょう
線形に独立して生成されます。 この線形独立システムが最大であることを証明する必要があります。

逆のことを想定してみましょう。 この線形に独立したベクトル系が最大ではないとします。 次に、上記の説明により、このシステムに追加できるベクトルがあり、結果として得られるベクトルのシステムは線形独立のままになります。 しかし一方で、システムに追加されたベクトルは、生成システムであるため、元のベクトルのシステムの線形結合として表すことができます。

そして、新しい拡張されたベクトル システムでは、そのベクトルの 1 つがこのシステムの他のベクトルを通じて線形に表現されることがわかります。 このようなベクトル系は線形依存性があります。 矛盾が生じました。

ベクトル系を考えてみましょう
ベクトル空間は最大線形独立です。 それが最小の生成システムであることを証明しましょう。

a) まず、それが生成システムであることを証明します。

以下の理由により、 線形独立性、 システム
null ベクトルは含まれません。 を任意の非ゼロベクトルとしましょう。 これをこのベクトル システムに追加してみましょう。
。 結果として得られる非ゼロ ベクトルの系は線形に依存します。 元のベクトル系は最大限に線形独立です。 これは、このシステムには、前のベクトルを介して線形に表現できるベクトルが存在することを意味します。 元の線形独立システムでは
どのベクトルも前のベクトルに関して表現できません。したがって、ベクトル x のみが前のベクトルに関して線形に表現できます。 したがって、システムは
はゼロ以外のベクトルを表します。 この系は明らかにゼロベクトルも表すことに注意してください。 システム
生成的です。

b) 次に、その最小性を証明しましょう。 逆のことを想定してみましょう。 この場合、システムのベクトルの 1 つをシステムから削除することができ、残りのベクトル システムは依然として生成システムであるため、システムから削除されたベクトルもシステムの残りのベクトルを通じて線形表現され、これは矛盾します。元のベクトル系の線形独立性。

ベクトル系を考えてみましょう
ベクトル空間は最小限の生成システムです。 次に、ベクトル空間内の任意のベクトルを表します。 表現の一意性を証明する必要があります。

逆のことを想定してみましょう。 あるベクトル x を、2 つの異なる方法で特定のシステムのベクトルを通じて線形に表現するとします。

一方の等式からもう一方の等式を減算すると、次のようになります。

系 2 により、システムは
線形独立です、つまり はゼロ ベクトルを自明にしか表さないため、この線形結合のすべての係数はゼロでなければなりません。

したがって、任意のベクトル x は、独自の方法で特定のシステムのベクトルを通じて線形に表現されます。

定理は証明されました。

第5条。 ベクトル空間の次元。

定理 1. (線形独立およびベクトル生成系のベクトル数について) 線形独立ベクトル系のベクトル数は、同じベクトル空間のベクトル生成系のベクトル数を超えません。

証拠。 させて
任意の線形独立ベクトル系、
- 任意の生成システム。 と仮定しましょう。

なぜなら
生成システムの場合、ベクトルを含む空間の任意のベクトルを表します。 。 このシステムに接続してみましょう。 ベクトルの線形依存生成システムを取得します。
。 次にベクトルがあります
これは、このシステムの前のベクトルを通じて線形に表現され、補題によってシステムから削除でき、残りのベクトル システムは引き続き生成されます。

。 なぜなら このシステムは生成しており、ベクトルを表します
そして、それをこの系に追加すると、再び線形依存生成系が得られます。

その後、すべてが繰り返されます。 この系には、前のベクトルに関して線形に表現されるベクトルがあり、それをベクトルにすることはできません。 、 なぜなら ソースシステム
線形独立およびベクトル ベクトルを介して線形に表現することはできません
。 これは、これがベクトルの 1 つだけであることを意味します
。 システムからそれを削除すると、番号を付け直した後、生成システムとなるシステムが得られます。 このプロセスを継続し、次のステップを経てベクトルの生成システムを取得します。
、 なぜなら 私たちの推測によると。 これは、このシステムが生成システムとしてベクトルを表すことを意味し、システムの線形独立性の条件に矛盾します。
.

定理 1 が証明されました。

定理 2. (基底内のベクトルの数について) ベクトル空間のどの基底にも同じ数のベクトルが含まれます。

証拠。 させて
そして
– ベクトル空間の 2 つの任意の基底。 どの基底も、線形に独立したベクトルの生成系です。

なぜなら 最初のシステムは線形独立であり、2 番目のシステムは生成しているため、定理 1 によれば、
.

同様に、2 番目のシステムは線形独立であり、最初のシステムは を生成し、次に を生成します。 したがって、
、など。

定理 2 が証明されました。

この定理により、次の定義を導入できます。

意味。 フィールド K 上のベクトル空間 V の次元は、その基底内のベクトルの数です。

指定：
または
.

第6項。 ベクトル空間基底の存在。

意味。 ベクトル空間が有限のベクトル生成システムを持っている場合、そのベクトル空間は有限次元と呼ばれます。

コメント。 有限次元ベクトル空間のみを研究します。 有限次元ベクトル空間の基礎についてはすでにかなりのことがわかっているという事実にもかかわらず、そのような空間の基礎が存在するかどうかはまったくわかりません。 以前に取得されたすべてのプロパティは、基底が存在するという仮定の下で取得されました。 次の定理がこの質問を解決します。

定理。 (有限次元ベクトル空間の基底の存在について) 有限次元ベクトル空間には基底があります。

証拠。 条件により、特定の有限次元ベクトル空間 V に対するベクトルの有限生成システムが存在します。
.

ベクトルの生成システムが空である場合、つまり、 ベクトルが含まれていない場合、定義により、このベクトル空間はゼロであると想定されます。
。 この場合、定義により、ゼロ ベクトル空間の基底は空の基底であり、その次元は定義により 0 に等しいと想定されます。

さらに、 を非ゼロベクトル空間とし、
非ゼロベクトルの有限生成システム。 線形独立であれば、すべてが証明されます。 ベクトル空間のベクトルの線形独立生成システムがその基礎です。 与えられたベクトル系が線形依存している場合、この系のベクトルの 1 つは残りのベクトルに関して線形に表現され、システムから削除できますが、補助定理 5 により、残りのベクトル系はそのまま残ります。生成している。

残りのベクトル系に番号を付け直してみましょう。
。 その後、推論が繰り返されます。 この系が線形独立であれば、それは基底です。 そうでない場合は、このシステム内に再び除去できるベクターが存在し、残りのシステムが生成することになります。

このプロセスを繰り返すことで、空のベクトル系が残ることはありません。 最も極端なケースでは、線形独立であり、したがって基底となる 1 つの非ゼロ ベクトルの生成システムに到達します。 したがって、あるステップで、ベクトルの線形独立生成システムに到達します。 基地へ。

定理は証明されました。

レマ。 させて 。 それから：

1. ベクトルからのシステムはすべて線形依存します。

2. 線形に独立したベクトル系がその基礎となります。

証拠。 1)。 補題の条件によれば、基底内のベクトルの数は等しく、基底は生成システムであるため、線形独立システム内のベクトルの数は を超えることはできません。

2)。 今証明されたことからわかるように、このベクトル空間の線形に独立したベクトル系は最大であり、したがって基底となります。

補題は証明されました。

定理 (基底への補完について) ベクトル空間内の任意の線形独立ベクトル系は、この空間の基底へ補完することができます。

証拠。 次元 n のベクトル空間とする。
そのベクトルの線形独立系。 それから
.

もし
、そして、前の補題によれば、このシステムは基礎であり、証明するものは何もありません。

もし
の場合、この系は最大線形独立系ではありません (そうでない場合は基底になりますが、不可能です。なぜなら )。 したがって、ベクトルが存在します
、システムが
– 線形独立。

もし今、システムが
が基礎です。

もし
、すべてが繰り返されます。 システムを補充するプロセスは無期限に継続することはできません。 各ステップで空間ベクトルの線形独立系が得られ、前の補題によれば、そのような系内のベクトルの数は空間の次元を超えることはできません。 したがって、ある段階で、この空間の基礎に到達することになります。

定理は証明されました。

第7条。 例。

1. K を任意のフィールド、高さ の列の算術ベクトル空間とする。 それから 。 これを証明するために、この空間の柱系を考えてみましょう。

させて Vフィールド上のベクトル空間 R, S- からのベクトルのシステム V.

定義1. ベクターシステムの基礎 Sこのような順序付けされた線形独立サブシステムはと呼ばれます B 1, B 2, ..., B Rシステム S、システムの任意のベクトル Sベクトルの線形結合 B 1, B 2, ..., B R.

定義2. ベクターシステムのランク Sはシステムの基底ベクトルの数です S。 ベクターシステムのランクを表示 Sシンボル R= ランク S.

S = ( 0 ) の場合、システムには根拠がなく、ランクが次のように仮定されます。 S= 0.

例1.ベクトル系を与えてみましょう あ 1 = (1,2), あ 2 = (2,3), あ 3 = (3,5), あ 4 = (1.3)。 ベクター あ 1 , あ 2 は線形に独立しているため (例 3.1 を参照)、このシステムの基礎を形成します。 あ 3 = あ 1 + あ 2 , あ 4 = 3あ 1 - あ 2. このベクトルシステムのランクは 2 です。

定理1(基底定理)。 S を V からのベクトルの有限系とする, S ≠{0 }. そうすれば、その発言は真実です。

1 ° システム S の線形独立サブシステムは基底まで拡張できます。

2 ° システムSには根拠があります。

2 ° システム S の 2 つの基底には同じ数のベクトルが含まれます。つまり、システムのランクは基底の選択に依存しません。

4 ° もし R= ランク S, その場合、任意の r 線形独立ベクトルがシステム S の基礎を形成します。

5 ° もし R= ランク S, この場合、システム S の k > r ベクトルは線形依存します。

6 ° 任意のベクトル あ€ S は基底ベクトルを通じて一意に線形に表現されます。つまり、 B 1, B 2, ..., B R がシステム S の基礎である場合、

あ = あ1 B 1 + あ2 B 2 +...+ あRB R; あ1 , あ2 , ..., あN€P、(1)

そしてこれが唯一の表現です.

5°基準のため、これは 最大限に線形に独立したサブシステムシステム S、システムのランク Sそのようなサブシステム内のベクトルの数。

ベクトル表現 あ (1) の形式では次のように呼ばれます。 ベクトルを基底ベクトルに分解することによって、および数字 a1、a2 , ...、ar と呼ばれます ベクトル座標 あ これに基づいて。

証拠。 1°レット B 1, B 2, ..., B K- システムの線形独立サブシステム S。 システムの各ベクトルが Sサブシステムのベクトルを通じて線形表現され、定義によりシステムの基礎となります。 S.

システム内にベクトルが存在する場合 S、ベクトルに関して線形に表現されません。 B 1, B 2, ..., B K、それを次のように表します。 B K+1。 それからシステム B 1, B 2, ..., B K, B K+1 - 線形独立。 システムの各ベクトルが Sこのサブシステムのベクトルを通じて線形表現され、定義上、それがシステムの基礎となります。 S.

システム内にベクトルが存在する場合 S、これは次のように線形に表現されません。 B 1, B 2, ..., B K, B K+1 したら、推論を繰り返しましょう。 このプロセスを続けると、システムの基礎に到達します。 S、または線形独立システム内のベクトルの数を 1 つ増やします。 システム上なので Sベクトルの数が有限である場合、2 番目の選択肢は無期限に継続することができず、あるステップでシステムの基礎が得られます。 S.

2°レット Sベクトルの有限系と S ≠{0 ）。 それからシステム内で Sベクトルがあります B 1 ≠ 0。システムの線形独立サブシステムを形成します。 S。 最初の部分によると、システムの基礎を補足できます。 S。 したがって、システムは S根拠がある。

3° システムが次のように仮定します。 Sには 2 つのベースがあります。

B 1, B 2, ..., B R , (2)

C 1, C 2, ..., C S , (3)

基底の定義により、ベクトル系 (2) は線形独立であり、(2) Н S。 さらに、基底の定義により、系 (2) の各ベクトルは系 (3) のベクトルの線形結合になります。 次に、2 つのベクトル系に関する主定理により、 R £ S。 同様に、次のことが証明されます S £ R。 これら 2 つの不等式から次のことがわかります R = S.

4°レット R= ランク S, あ 1, あ 2, ..., あ R- 線形独立サブシステム S。 それがシステムの基礎であることを示しましょう S。 それが根拠ではない場合、最初の部分を使用して根拠を補足することができ、根拠が得られます。 あ 1, あ 2, ..., あ R, あ R+1,..., あ R+T以上を含む R

5°の場合 Kベクトル あ 1, あ 2, ..., あ K (K > R) システム S- 線形独立である場合、最初の部分からこのベクトル系を基底に補足することができ、基底を取得します。 あ 1, あ 2, ..., あ K, あ K+1,..., あ K+T以上を含む Rベクトル。 これは、第 3 部で証明されたことと矛盾します。

6°レット B 1, B 2, ..., B Rシステムベース S。 基底の定義により、任意のベクトル あ € S基底ベクトルの線形結合があります。

あ = a1 B 1+a2 B 2 +...+ ar B R.

このような表現の一意性を証明するために、逆のこと、つまり別の表現があると仮定してみましょう。

あ = b1 B 1 + b2 B 2 +...+ br B R.

見つかった等式を項ごとに減算します。

0 = (a1 - b1) B 1 + (a2 - b2) B 2 +...+ (ar - br) B R.

基礎から B 1, B 2, ..., B R線形独立システムの場合、すべての係数 ai - bi =0; 私 = 1, 2, ..., R。 したがって、ai = bi; 私 = 1, 2, ..., Rそして独自性が証明されました。

意味。 要素系 x..., xch 線形空間 V は、数値 a"、...、otq があり、すべてがゼロに等しいわけではなく、次のような場合に線形従属と呼ばれます。 a] = ... = aq = 0 についてのみ等式 (1) が満たされる場合、次の系は次のようになります。要素 xj、..、x9 は線形独立と呼ばれます。 以下の記述は真実です。 定理 1. 要素系 X\,..., xq (q ^ 2) は、その要素の少なくとも 1 つが他の要素の線形結合として表現できる場合に限り、線形依存します。まず、要素系 xx..., xq が線形依存していると仮定します。 明確にするために、式 (1) では係数 a9 が非ゼロであると仮定します。 最後の条件を除くすべての条件を 右側 基準次元 どこからの基準を置き換えます。 要素 X|,..., xq の線形独立性から、a(、したがって、定理 3 が成り立ちます。線形従属サブシステムを含む要素系は線形従属です。」 システムの最初の q 要素を次のようにします。 xx..., xq, xg +l,..., xm は線形従属であり、"..., aq のすべての係数がゼロに等しくなるわけではありません。要素を追加すると、次のようになります。 ..., xm に係数がゼロの場合、それが得られ、図 5 の線形結合では、すべての係数がゼロに等しいわけではありません。 例: Vj からのベクトルは、それらが同一平面上にある場合にのみ線形依存します (図 5)。 ) |,..., en の要素が線形独立であり、V の各要素が次の場合、線形空間 V の要素の順序系と呼ばれます。ここで、順序付けとは、1 つのシステムから n 個の要素を割り当てることができることを意味します。 Vj (図6)。 次に、順序付けされたトリプルは異なる基底になります。 c = (b! ... en) を空間 V の基底とします。このとき、V の任意の要素 x に対して、定理により次のような数値のセットが存在します。 2、数値、...、C - 基底 c 内の要素 x の座標 - は一意に決定されます。 最も単純なアクション中に要素の座標に何が起こるかを見てみましょう。 したがって、要素を追加する場合は、対応する座標が追加され、要素に数値を乗算する場合は、そのすべての座標にこの数値が乗算されます。 多くの場合、要素の座標を列として記述すると便利です。 たとえば、n は c 基底の要素の座標列です。 任意の要素系 X|,..., x を基底 c に従って拡張し、この基底での要素 X|,..., x9 の座標列を考えてみましょう。 定理 4. 要素系x\,...,xq が線形依存するのは、何らかの基底における座標列の系が線形依存している場合のみです。 * 係数 A* の少なくとも 1 つをゼロとは異なるものとします。 これをさらに詳しく書きます。基底に沿った要素の分解の一意性により、基底の線形依存性、基底の次元の変化、つまり、要素 xt の座標列の線形結合になります。 .., xq はゼロ列に等しい (同じ係数 A|,..., A?)。 これは、座標列系が線形依存していることを意味します。 式(2)が満たされる場合、逆の順序で推論を実行すると、式(1)が得られます。 したがって、線形空間の要素の非自明な (少なくとも 1 つの係数がゼロでない) 線形結合が消えることは、それらの座標列の自明でない線形結合 (同じ係数を持つ) がゼロに等しいという事実と同等です。カラム。 定理 5. 線形空間 V の基底 c が n 個の要素で構成されているとします。 この場合、m 個の要素からなる系 (m > n) は線形従属になります。 * 定理 3 により、Xj,..., xn+| とする場合を考慮するだけで十分です。 - 空間 V の任意の要素。基底 c に従って各要素を展開し、要素の座標を行列の形で書きます。列を座標に割り当てます。要素。 n 行 +1 列の行列を取得します。行列 K のランクは行数 n を超えないため、行列 K の列 (n + 1 個あります) は線形です。依存。 そして、これらは要素の座標列であるため、定理 4 によれば、要素系 X|....x``+| となります。 も線形依存しています。 結果。 線形空間 V のすべての基底は、同じ数の要素で構成されます。 , otq F O で割った後、要素 xq は要素 xi,..., xq の線形結合であることがわかります。 逆に、要素の 1 つが他の要素の線形結合と等しい場合、それを左側に移動します。 、ゼロとは異なる係数 (-1 Ф 0) が存在する線形結合が得られます。 これは、要素系 Xi,_____ xq が線形依存していることを意味します。 定理 2. 要素系 X|,...,X9 が線形独立であり、y = a\X\ + .+ aqxq であるとします。 次に、係数 ori,...,aq が要素 y から一意の方法で決定されます。 それでは、みましょう 。 この線形空間の次元は、FSR の要素の数に等しくなります。 n - g ここで、r は均一系の係数行列のランク、an は未知数の数です。 例 3. n 次以下の多項式の線形空間 Mn の次元は、n + 1 に等しい。 4 n 次以下のすべての多項式 /*(() は次の形式を持つため、次を示すだけで十分です。 | = 内の要素の線形独立性を考えます。t = 0 であると仮定すると、«о = 0 が得られます。 5 Zak.750 t に関して等式 (3) を微分してみます。このプロセスを続けると、 оо = "I = ... = аn =0 であることを確認します。これは、要素系 θ = 1,... ,еn4) = であることを意味します。 *n は線形独立です。 したがって、必要な次元は n + 1 です。一致します。 さらにこの章では、特に明記しない限り、線形空間 V の次元は等しいと仮定します。 W が n 次元線形空間 V の部分空間である場合、dim W ^ n であることは明らかです。n 次元線形空間 V には、任意の次元 k ^ n の線形部分空間が存在することを示します。定義により、定理 b (基底の完成に関して) が次元 k であることを検証するのは簡単です。 次元 n の線形空間 V の要素系を線形独立とし、k とします。そのとき、空間 V には要素 a*+1,...,an があり、系 axx は V の基底となります。 b を線形空間 V の任意の要素とします。システムが線形従属である場合、^自明でない線形結合では、システム a の線形独立性による係数が次のようになります。空間 V の任意の要素 b については、定義によれば、元の系 a|,..., a* が基底となります。 しかし、条件によりそれは不可能です。 したがって、完成したシステム ai,..., ab,a*+| となるような要素 a*+i € V が存在する必要があります。 線形ですが独立しています。 k + 1 = n の場合、このシステムは空間 V の基礎になります。k + 1 の場合、システム a について前の推論を繰り返す必要があります。 このようにして、任意の線形独立要素系を空間全体 V の基礎として完成させることができます。 2 つのベクトルからなる系を完成させます。 空間 R4 の = (1,2,0,1), aj = (-1,1.1,0) をこの空間の基底に置きます。 M 空間 R4 内のベクトル aj = (空間 R4 で、ベクトル系 ai.aj.aj, a4 が R4 の基底であることを示します。行がベクトル aag、az、 A4 は 4 に等しいことを意味します。つまり、行列 A の行は 4 になります。 AG。 ａ ｚ 、ａ ＾ は線形独立である。 > 同様のアプローチが一般的な場合に使用されます。線形独立要素のシステムを空間の基底に補完するために、行列の線形依存基底次元基底を基本的な行変換で置き換えると、台形形式に縮小され、次に次のように補足されます。結果の行列のランクが n に等しくなるように、フォームの n - k 行を作成します。次のステートメントは true です。 定理 7. を線形空間 V の線形部分空間とする。 基底の変更 線形空間 V の基底を とします。基底 c の要素を基底 c に拡張しましょう。 これらの関係は、便宜的に行列形式で記述されます。この行列は、基底 c から基底 c への遷移行列と呼ばれます。この性質の証明は、等式 det S = 0 を意味します。行列 S の列の依存関係。これらの列は、要素の座標列です。" ,... "e"n は基底 c にあります。したがって (定理 4 により) 要素 e"and..., e"n は線形従属でなければなりません。後者は c" が基底であるという事実と矛盾します。 これは、det S = 0 という仮定が正しくないことを意味します。 2....、および...がそれぞれ基底 c および c" の要素 x の座標である場合、_ 式中のそれらを式 (1) に置き換えると、次のことが得られます。見つかった等式の行列記録に移り、プロパティ 2 の妥当性を確信します。 3. S-1 は、基底 c" から基底 c への遷移行列です。