講義番号15。

線形デジタルフィルターの設計（合成）。

デジタル フィルターの設計 (合成) とは、結果として得られるフィルターの特性が指定された要件を満たすシステム (伝達) 関数の係数を選択することを指します。 厳密に言えば、設計タスクには、計算の最終精度を考慮して適切なフィルター構造を選択することも含まれます (講義番号 14 を参照)。 これは、フィルタをハードウェア形式 (専用 LSI またはデジタル信号プロセッサの形式) で実装する場合に特に当てはまります。 したがって、一般に、デジタル フィルターの設計は次の手順で構成されます。

1. 近似問題を解いて、特定の要件を満たすフィルター係数とシステム関数を決定します。
2. フィルター設計スキームの選択、つまりシステム関数を特定のフィルター構造図に変換します。
3. 量子化効果、つまり数値表現の有限精度に関連する効果の評価 デジタルシステム、有限の容量を持っています。
4. シミュレーション方法を使用して、結果のフィルターが指定された要件を満たしているかどうかを確認します。

デジタル フィルターを合成する方法は、さまざまな基準に従って分類できます。

1. 受信したフィルターの種類別:
   • 有限インパルス応答を備えたフィルターを合成する方法。
   • 無限インパルス応答を持つフィルターを合成する方法。
2. アナログプロトタイプの入手可能性に基づいて:
   • アナログプロトタイプを使用した合成方法。
   • 直接合成法（アナログプロトタイプを使用しない）。

実際には、次の理由から FIR フィルターが好まれることがよくあります。 まず、FIR フィルターは、インパルス応答の切り捨てを必要とせずに、畳み込みによって制限された入力信号から出力信号を正確に計算する機能を提供します。 第 2 に、有限インパルス応答を持つフィルターは通過帯域内で厳密に線形な位相応答を持つことができるため、入力信号を歪めない振幅応答を持つフィルターを設計することが可能になります。 第三に、FIR フィルターは常に安定しており、適切な有限遅延を導入することで物理的に実現可能です。 さらに、FIR フィルターは非再帰回路を使用するだけでなく、再帰形式を使用して実装することもできます。

FIR フィルターの欠点に注意してください。

1. 周波数応答が鋭いカットオフを持つフィルターを近似するには、多数のサンプルを含むインパルス応答が必要です。 したがって、従来の畳み込み演算を使用すると、大量の計算を実行する必要があります。 高効率の FFT アルゴリズムに基づく高速畳み込み手法の開発によってのみ、FIR フィルターが周波数応答の鋭いカットオフを持つ IIR フィルターと競合できるようになりました。
2. 線形位相 FIR フィルターの遅延は、サンプリング間隔の整数に常に等しいとは限りません。 一部のアプリケーションでは、この複数の遅延が問題を引き起こす可能性があります。

デジタル フィルターの設計オプションの 1 つは、周波数応答 (周波数ゲイン) を取得して分析するために使用される、特定の一連のインパルス応答サンプルに関連付けられています。

非再帰フィルターが厳密に線形の位相応答を持つ条件を取得してみましょう。 システム機能このようなフィルターは次のようになります。

, (15.1)

ここで、フィルター係数はインパルス応答のサンプルです。 のフーリエ変換はフィルターの周波数応答であり、周波数は周期的です。 実際のシーケンスについて次の形式で表してみましょう。 フィルターのインパルス応答がその位相応答の厳密な線形性を保証する条件を取得します。 後者は、位相特性が次の形式を持つ必要があることを意味します。

(15.2)

ここで、 はサンプリング間隔の数で表される一定の位相遅延です。 周波数応答を次の形式で書きましょう。

(15.3)

実数部と虚数部を等しくすると、次のようになります。

, (15.4)

. (15.5)

どこ：

. (15.6)

2つあります 考えられる解決策式(15.6)。 1 つ (at) は重要ではありませんが、もう 1 つはケースに対応します。 式 (15.6) の項を相互乗算すると、次が得られます。

(15.7)

方程式 (15.7) はフーリエ級数の形式をとっているため、方程式の解は次の条件を満たさなければなりません。

, (15.8)

と (15.9)

条件 (15.8) から、それぞれについて位相遅延が 1 つだけ存在し、その遅延でフィルターの位相応答の厳密な線形性が達成できることがわかります。 (15.9) から、条件 (15.8) を満たす特定の条件では、インパルス応答は明確に定義された対称性を持たなければならないことがわかります。

条件 (15.8) と (15.9) の使用は、偶数の場合と奇数の場合に分けて検討することをお勧めします。 この数値が奇数の場合、それは整数です。つまり、フィルターの遅延はサンプリング間隔の整数に等しくなります。 この場合、対称の中心は基準にあります。 数値が偶数の場合、それは小数となり、フィルターの遅延は非整数のサンプリング間隔に等しくなります。 たとえば、インパルス応答の対称中心は 2 つのサンプル間の中央にあります。

インパルス応答係数の値は、FIR フィルターの周波数応答を計算するために使用されます。 奇数のサンプルを持つ対称インパルス応答の場合、正と負の値を取る実関数の式は次のようになります。

, (15.10)

どこ

ほとんどの場合、FIR フィルターの設計は必要な (または望ましい) 周波数応答に基づいて行われ、フィルター係数が計算されます。 このようなフィルターを計算するには、いくつかの方法があります。ウィンドウを使用した設計方法、周波数サンプリング方法、最適な (チェビシェフによる) フィルターを計算する方法。例としてローパス FIR フィルターを使用したウィンドウ設計のアイデアを見てみましょう。

まず、ご希望の 周波数応答設計されたフィルター。 たとえば、低周波数ではゲインが 1 に等しく、特定の周波数を超える周波数ではゲインが 0 に等しいローパス フィルターの理想的な連続周波数応答を考えてみましょう。カットオフ周波数 。 理想的なローパス フィルターの離散表現は周期特性であり、サンプリング周波数に等しい周期間隔のサンプルによって指定できます。 逆 DFT 法 (解析的に、または逆 DFT を実装するプログラムを使用) を使用してローパス フィルター係数を決定すると、古典的な関数の形式を持つ、両方向のインパルス応答サンプルの無限シーケンスが得られます。

特定の次数の実装可能な非再帰フィルターを取得するには、このシーケンスが切り詰められ、必要な長さの中央のフラグメントがその中から選択されます。 インパルス応答サンプルの単純な切り捨ては、次の用途に対応します。長方形の窓、特別な関数によって指定されます。サンプルの切り捨てにより、最初に指定された周波数応答は、離散周波数応答と DFT ウィンドウ関数の周波数領域での畳み込みであるため、歪みます。

, (15.11)

ここで DFT その結果、サイドローブにより周波数応答の通過帯域にリップルが現れます。

リストされた効果を弱めるため、そして何よりも阻止帯域内のローブのレベルを下げるために、切り捨てられたインパルス応答に重み付け関数 (ウィンドウ) が乗算され、エッジに向かって滑らかに減少します。 このように、窓付きFIRフィルタ設計法は、長方形以外の窓を用いて窓の不連続性を低減する方法である。 この場合、重み関数 (ウィンドウ) には次のプロパティが必要です。

• ウィンドウの周波数応答のメインローブの幅は、できるだけ多くの総エネルギーを含み、小さくする必要があります。
• ウィンドウの周波数応答のサイド ローブのエネルギーは、ウィンドウが近づくにつれて急速に減少するはずです。

ハミング、カイザー、ブラックマン、チェビシェフなどのウィンドウが重み関数として使用されます。

線形電気回路の合成に関する一般理論は、「無線工学回路と信号」コースの範囲には含まれていません。

この章では、無線回路の合成に特有のいくつかの問題のみについて説明します。

1 次または 2 次の基本的な非相互作用 (切り離された) リンクのカスケード接続の形式でのアクティブ四重極の合成。

インダクタを含まない選択回路（集積回路）の構築。

ディスクリート (デジタル) 回路の合成の要素、およびデジタル フィルターの周波数応答と位相応答の関係。

この章のアナログ回路の合成は、周波数領域でのみ実行されます。つまり、指定された伝達関数に従って実行されます。 デジタル回路の場合、合成が考慮され、所定の条件に従って インパルス応答（簡単に）。

線形 2 ポート ネットワークの伝達関数は、 - 平面 (アナログ回路) または z 平面 (デジタル回路) 上の零点と極によって一意に決定されることが知られています。 したがって、「与えられた伝達関数に従った合成」という表現は、「与えられた伝達関数の零点および極に従った合成」という表現と等価です。 4 端子ネットワークの既存の合成理論では、伝達関数が有限数の零点と極を持つ回路、つまり、集中定数を持つ有限数のリンクで構成される回路を考慮しています。 以下に示す内容は、無線電子デバイスで広く使用されるローパス フィルター、ハイパス フィルター、ストップ フィルターなどに一般的な、少数のリンクを備えた四重極に焦点を当てています。

科学は心を洗練します。

学ぶことで記憶力が強化されます。

コズマ・プルトコフ

第15章

線形定常回路の合成要素

15.1. 検討した質問

とアナログ二端子ネットワークの合成。 与えられた周波数応答に従った定常四重極の合成。 バターワース フィルターとチェビシェフ フィルター。

方向。問題を検討する際には、フォスターとカウアーによる二端子ネットワークの合成問題の解決の曖昧さと問題を解決するための具体的な方法を明確に理解し、特定のネットワークの実装の可能性を判断する能力を獲得する必要があります。 2 端子ネットワークの入力抵抗の関数。 プロトタイプのフィルターに基づいて電気フィルターを合成する場合、チェビシェフおよびバターワースの減衰特性を近似することの長所と短所を理解することが重要です。 周波数変換公式を使用して、あらゆる種類のフィルター (ローパス フィルター、ハイパス フィルター、PPF) の要素のパラメーターを迅速に計算できる必要があります。

15.2. 簡単な理論的情報

回路理論では、構造合成とパラメトリック合成について話すのが通例です。 構造合成の主なタスクは、所定の特性を満たす回路の構造 (トポロジー) を選択することです。 パラメトリック合成では、構造がわかっている回路の要素のパラメータと種類のみが決定されます。 さらに、パラメトリック合成についてのみ説明します。

2 端子ネットワークを合成する場合、通常は入力抵抗がソースとして使用されます。

関数が与えられた場合、次の条件が満たされていれば、その関数は受動回路によって実装できます。 1) 分子多項式と分母多項式のすべての係数が実数で正である。 2) すべての零点と極は左半平面または虚軸上に位置し、虚軸上の極と零点は単純です。 これらの点は常に実数であるか、複素共役ペアを形成します。 3) 分子多項式と分母多項式の最高累乗と最低累乗の差が 1 以内であること。 合成手順は明確ではない、つまり、同じ入力関数がいくつかの方法で実装できることにも注意してください。

合成された 2 端子ネットワークの初期構造としては、通常、いくつかの複雑な抵抗と導電率を入力端子に対して直列または並列に接続したフォスター回路と、カウアー ラダー回路が使用されます。

2 端子ネットワークの合成方法は、特定の入力関数が一連の連続した単純化を受けるという事実に基づいています。 この場合、各ステージで、合成回路の物理要素に関連付けられた式が識別されます。 選択した構造のすべてのコンポーネントが物理要素で識別されれば、合成問題は解決されます。

4 ポート ネットワークの合成は、プロトタイプのローパス フィルターの理論に基づいています。 可能なオプションプロトタイプのローパスフィルターを図に示します。 15.1.

特性が同一であるため、どのスキームも計算に使用できます。 図の名称 15.1 は次の意味を持ちます。 – 直列コイルのインダクタンスまたは並列コンデンサの静電容量。 – の場合は発電機の抵抗、 の場合は発電機の導電率。 – 負荷抵抗 (の場合) または負荷導電率 (の場合)。

プロトタイプ要素の値は、カットオフ周波数が となるように正規化されています。 正規化されたプロトタイプ フィルターから別のレベルの抵抗と周波数への移行は、回路要素の次の変換を使用して実行されます。

;

.

素数の付いた値は正規化されたプロトタイプを指し、素数のない値は変換された回路を指します。 合成の初期値は、デシベルで表される動作電力減衰です。

、dB、

– 内部抵抗と起電力を伴う発電機の最大電力 – 負荷の出力電力。

通常、周波数依存性は最も平坦な (バターワース) 特性で近似されます (図 15.2、 あ)

どこ .

カットオフ周波数に対応する動作減衰量は、通常 3 dB に等しく選択されます。 同時に。 パラメータ nはアクティブな回路要素の数に等しく、フィルターの次数を決定します。

ターゲット： 最大フラット近似とチェビシェフ近似に基づいて線形フィルター (ローパス、ハイパス、バンドパス) を合成する方法を習得します。

簡単な理論的情報: この仕事を実行するには、分析する能力が必要です さまざまな種類線形回路を調べてその主な特性を見つける (周波数透過係数、伝達関数およびその極); 最大限に平坦なチェビシェフ近似に基づく線形ローパス フィルターの合成原理、および既知のローパス フィルター回路からハイパス フィルター回路およびバンドパス フィルターへの移行原理に関する知識。

ローパスフィルターは、周波数が特定のカットオフ周波数を超えない発振を最小限の減衰で送信するように設計されています。 カットオフ周波数一方、カットオフ周波数よりも高い周波数の発振は大幅に減衰されるはずです。

四重極の伝達関数の特性 :

4 ポート ネットワークの伝達関数の極は、複素周波数 p の左半平面に位置する必要があります。 それらは実数であることも、複素共役ペアを形成することもできます。

伝達関数の極の数は常にゼロの数を超える必要があります。

極とは異なり、伝達関数の零点は任意の半平面、つまり複素周波数 p の平面全体に沿って配置できます。

フィルター合成ステージ :

指定された帯域幅に応じたフィルタ特性の技術要件を策定します。 この場合、フィルタの構造には制限はない。 このアプローチはと呼ばれます 与えられた周波数応答に従った合成。 一般に、理想的な特性は実際には実現できません。

物理的に実現可能な回路に属する関数を使用した理想的な特性の近似。

選択した近似関数を実装し、その要素の値を含むフィルターの回路図を取得します。

最も広く普及しているのは、最大フラットとチェビシェフの 2 種類の近似です。

最大平坦近似 は、周波数電力伝達係数関数の使用に基づいており、次のように指定されます。

どこ
– 無次元の正規化された周波数。

周波数応答がこの関数を満たすフィルターを呼びます。 最大限に平坦な応答を持つフィルターまたはバターワース フィルター。

合成手順は、フィルター伝達関数の極を決定することから始まります。これには、正規化された複素周波数に進む必要があります。 r nそしてフィルターの周波数電力伝達関数の極を決定します。

;

一般的な場合、この方程式の根は、Moivre の公式を使用して決定できます (根の計算) n複素数の - 乗)。 この場合、複素数の位相の値を考慮する必要があります。 z= – 1 (=)。

任意のフィルター次数についてこの方程式の根を求める場合 n以下を実行する必要があります 一般的な パターン： すべての極は互いに同じ角距離に位置し、この距離は常に等しい ; もし n– 奇数の場合、最初の極は常に 1 に等しくなります。 n– 偶数、その後最初の極
.

周波数電力伝達係数関数の極の位置の象限対称の特性と、4 端子ネットワークの安定性および物理的実現可能性の条件を使用すると、フィルター伝達関数では、次の位置にある極のみを選択する必要があります。複素周波数の左半平面を作成し、それらを書き込みます 零点表現伝達関数。

電気フィルタは、無視できる減衰 ΔA で特定の周波数範囲 f 0 ... f 1 (通過帯域) の振動を伝達し、他の範囲 f 2 ... f 3 (阻止帯域、または非通過帯域）。

米。 2.1.1. ローパスフィルター（LPF）。 米。 2.1.2. ハイパスフィルター(HPF)。

電気フィルタの実装にはさまざまなタイプがあります: パッシブ LC フィルタ (誘導性および容量性要素を含む回路)、パッシブ RC フィルタ (抵抗性および容量性要素を含む回路)、アクティブ フィルタ (オペアンプ、抵抗性および容量性要素を含む回路)、導波路、デジタルフィルターなど。 あらゆる種類のフィルタの中で、LC フィルタは特別な位置を占めており、さまざまな周波数範囲の通信機器で広く使用されています。 このタイプのフィルタには十分に開発された合成技術があり、他のタイプのフィルタの合成では主にこれが使用されます。

技術。 したがって、 コースワーク合成に重点が置かれています

米。 2.1.3. バンドパスフィルター（PF）。 パッシブLCフィルター。

合成タスク電気フィルターは、周波数応答が指定された技術要件を満たす、可能な限り最小限の素子数を備えたフィルター回路を決定することです。 多くの場合、動作減衰特性に要件が課されます。 図 2.1.1、2.1.2、2.1.3 では、動作時の減衰の要件は、通過帯域 A の最大許容減衰のレベルと阻止帯域 A の最小許容減衰のレベルによって指定されます。 合成タスクは 2 つの段階に分かれています。 近似問題物理的に実現された機能による動作減衰の要件と、 実装タスク電気回路により求めた近似関数。

近似問題の解決策は、まずフィルタの周波数応答に関する所定の技術要件を満たし、次に物理的な実現可能性の条件を満たす、可能な最小次数の関数を見つけることです。

実装上の問題の解決策は、次のことを決定することです。 電気回路、その周波数応答は、近似問題を解いた結果として見つかった関数と一致します。

2.1. 動作パラメータに応じたフィルタ合成の基本。

電気フィルターを介したエネルギー伝達の条件を特徴付けるいくつかの関係を考えてみましょう。 原則として、電気フィルタは、デバイスがその入力端子から接続されている条件で使用されます。これは、パラメータ E(jω)、R1、および出力端子は接続されており、等価回路の抵抗値は抵抗 R2 で表されます。 電気フィルタの接続図を図2.2.1に示します。

図 2.2.2 は、フィルタと抵抗 R2 の代わりに、負荷抵抗が等価発電機 (パラメータ E(jω)、R1) に接続されている図を示しています。その値は発電機の抵抗に等しいです。 R1。 知られているように、負荷抵抗が発電機の内部損失 R1 の抵抗に等しい場合、発電機は抵抗負荷に最大電力を供給します。

4 ポート ネットワークを介した信号の通過は、動作伝達関数 T(jω) によって特徴付けられます。 動作伝達関数を使用すると、発電機によって負荷 R1 に供給される電力 S 0 (jω) (独自のパラメーターと一致) と、フィルターを通過した後に負荷 R2 に供給される電力 S 2 (jω) を比較できます。

作用伝達関数の引数 arg(T(jω)) は、起電力間の位相関係を特徴付けます。 E(jω)と出力電圧U 2 (jω)。 それは作業段階と呼ばれます 常時送信(ギリシャ文字「ベータ」で示されます):

4 ポート ネットワークを通じてエネルギーを伝送する場合、絶対値での電力、電圧、電流の変化は、作用伝達関数の係数によって特徴付けられます。 電気フィルターの選択特性を評価する場合、対数関数によって決定される尺度が使用されます。 この尺度は作用減衰 (ギリシャ文字の「アルファ」で示される) であり、次の関係によって作用伝達関数のモジュールに関連付けられます。

、(Нп); または (2.2)

、(dB)。 (2.3)

式 (2.2) を使用する場合、動作減衰は非フェザーで表され、式 (2.3) を使用する場合はデシベルで表されます。

この値は、四極ネットワークの動作透過定数 (ギリシャ文字の「ガンマ」で表されます) と呼ばれます。 動作伝達関数は、動作減衰と動作位相を使用して次のように表すことができます。

発電機の内部損失抵抗 R1 と負荷抵抗 R2 が抵抗性の場合、電力 S 0 (jω) と S 2 (jω) が有効になります。 電力伝達係数は、発電機に適合する負荷によって受け取られる最大電力 P max と、負荷 R2 に供給される電力 P 2 の比として定義されます。この係数を使用して、フィルタを通過する電力の通過を特徴付けると便利です。

無効四重極は有効電力を消費しません。 この場合、発電機によって供給される有効電力 P 1 は、負荷によって消費される電力 P 2 に等しくなります。

入力電流モジュールの値を次のように表し、それを (2.5) に代入します。

代数変換を使用して、(2.5) を次の形式で表します。

方程式の右辺の分子を次のように表します。

左側式 (2.6) は電力伝達係数の逆数です。

次の式は、四重極の入力端子からの電力反射係数を表します。

四重極の入力端子からの反射係数 (電圧または電流) は次のようになります。

フィルタ入力抵抗と抵抗 R1 のマッチングを特徴付けます。

つまり、パッシブな 4 端子ネットワークでは電力利得を提供できません。

したがって、このような回路では、次の式で定義された補助関数を使用することをお勧めします。

フィルター合成の問題を解決するのに便利な、別の形式での実際の減衰を想像してみましょう。

明らかに、動作減衰の周波数依存性の性質は、フィルタリング関数と呼ばれる関数の周波数依存性に関連しています。フィルタリング関数のゼロと極は、減衰のゼロと極と一致します。

式 (2.7) と (2.9) に基づいて、4 端子ネットワークの入力端子からの電力反射係数を想像できます。

p = jω であること、また複素量の二乗法がたとえば で表されることを考慮して、ラプラスに従って演算子イメージを作成することに移りましょう。 演算子形式の式 (2.10) は次の形式になります。

演算子式 、 、は 有理関数複素変数 "p" であるため、次の形式で書くことができます。

ここで、 、 、は次のような多項式です。

式 (2.11) から、(2.12) を考慮して、多項式間の関係を得ることができます。

近似問題を解く段階で、フィルタリング関数の式が決定されます。つまり、多項式 h(p)、w(p) が決定されます。 式 (2.13) から多項式 v(p) を求めることができます。

式 (2.8) が演算子形式で示されている場合、フィルタ入力抵抗関数を演算子形式で取得できます。

物理的な実現可能性の条件は次のとおりです。

1. v(p) – フルヴィッツ多項式でなければなりません。つまり、その根は複素変数 p=α+j·Ω (チェーンの安定性要件) の平面の左半分に位置します。

2. w(p) – 偶数または奇数の多項式でなければなりません (ローパス フィルターの場合は w(p) – 偶数であるため、ω=0 には減衰極が存在しません。ハイパス フィルターの場合は w(p) ） - 奇数）;

3. h(p) – 実数係数を持つ任意の多項式。

2.2. 抵抗と周波数による評価。

要素L、C、Rのパラメータの数値と実際のフィルタのカットオフ周波数は、技術的条件に応じて非常に異なる値をとる可能性があります。 計算に少量と大量の両方を使用すると、重大な計算エラーが発生します。

フィルターの周波数依存性の性質は、これらの依存性を記述する関数の係数の絶対値には依存せず、それらの関係によってのみ決定されることが知られています。 係数の値は、パラメータ L、C、R フィルタの値によって決定されます。 したがって、関数係数の正規化（同じ回数だけ変化させる）は、フィルタ要素のパラメータ値の正規化につながります。 したがって、フィルタ要素の抵抗の絶対値の代わりに、それらは取得されます。 相対値、負荷抵抗 R2 (または R1) に関連します。

さらに、通過帯域のカットオフ周波数を基準にして周波数値を正規化すると (この値が最もよく使用されます)、計算で使用される値の広がりがさらに狭まり、計算の精度が向上します。 正規化された周波数値は の形式で書かれ、無次元量であり、通過帯域のカットオフ周波数の正規化された値は です。

たとえば、直列接続された要素 L、C、R の抵抗を考えてみましょう。

標準化された抵抗: 。

正規化された周波数値を最後の式に導入しましょう。ここで、正規化されたパラメータは次と等しいです。

要素パラメータの真の (非正規化された) 値は次のように決定されます。

f 1 と R2 の値を変更することにより、元の回路から他の周波数範囲および他の負荷下で動作するデバイスの新しい回路を取得することができます。 正規化の導入により、フィルタ カタログの作成が可能になり、多くの場合、フィルタ合成の複雑な問題がテーブルの操作に軽減されます。

2.3. 二重スキームの構築。

知られているように、二重の量は抵抗と導電率です。 各電気フィルター回路に対して、それと二重の回路が見つかります。 この場合、最初の回路の入力抵抗は、2 番目の回路の入力コンダクタンスに係数を掛けたものと等しくなります。 両方の方式の動作伝達関数 T(p) が同じであることに注意することが重要です。 二重化回路の構成例を図2.3に示します。

このような変換は、誘導要素の数を減らすことができるため、便利であることがよくわかります。 ご存知のとおり、インダクタはコンデンサに比べて大きく、Q が低い素子です。

二重回路の要素の正規化されたパラメータが (=1 で) 決定されます。

2.4. 周波数特性の近似。

図2.1.1～図2.1.3にローパスフィルタ(LPF)、ハイパスフィルタ(HPF)、バンドパスフィルタ(BPF)の動作減衰関数のグラフを示します。 同じグラフは、必要な減衰のレベルを示しています。 通過帯域f 0 ...f 1 には最大許容減衰値（いわゆる減衰ムラ）ΔAが設定されており、通過帯域f 0 ...f 1 には最大許容減衰値（いわゆる減衰ムラ）ΔAが設定されている。 阻止帯域 f 2 ...f 3 では、最小許容減衰値 A S が設定されます。 遷移周波数領域 f 1 ... f 2 では、減衰の必要はありません。

近似問題の解決を開始する前に、周波数ごとの動作減衰の必要な特性が、たとえばローパス フィルターとハイパス フィルターに対して正規化されます。

求められる近似関数は、物理的な実現可能性の条件を満たし、動作減衰の必要な周波数依存性を正確に再現する必要があります。 近似誤差を評価するにはさまざまな基準があり、さまざまなタイプの近似がそれに基づいています。 振幅周波数特性の近似問題では、Taylor と Chebyshev の最適性基準が最もよく使用されます。

2.4.1. テイラー基準による近似。

テイラー基準を適用する場合、目的の近似関数は次の形式 (正規化された値) になります。

ここで、 はフィルタリング関数のモジュールの二乗です。

– 多項式の次数 (整数値をとります);

ε – 不均一係数。 その値は、通過帯域内の減衰の不均一性である ΔA の値に関係します (図 2.4)。 通過帯域のカットオフ周波数では Ω 1 =1 であるため、

減衰の周波数依存性 (2.16) を持つフィルターは、次のフィルターと呼ばれます。 極めてフラットな減衰特性、または次のフィルタを使用します バターワースの特性は、フィルター合成の問題を解決する際に、テイラー基準を使用した近似を初めて使用した人です。

近似関数の次数は、阻止帯域 Ω 2 のカットオフ周波数で動作減衰が最小許容値を超えるという条件に基づいて決定されます。

どこ 。 (2.19)

多項式の次数は整数である必要があるため、結果の値は

図2.4。 最も近い値に切り上げられます

全体の値。

変換 jΩ→ を使用して、式 (2.18) を演算子形式で表してみます。

多項式の根を見つけてみましょう: , ここから

K = 1、2、…、NB (2.20)

根は複素共役値をとり、半径 の円上に位置します。 フルヴィッツ多項式を形成するには、複素平面の左半分にある根のみを使用する必要があります。

図 2.5 は、負の実数成分を持つ 9 次多項式の根を複素平面に配置する例を示しています。 モジュールスクエア

米。 2.5. (2.16) によると、フィルタリング関数は次と等しくなります。

実係数を持つ多項式。 - 偶数次の多項式。 したがって、物理的な実現可能性の条件が満たされます。

2.4.2. チェビシェフ基準を使用した近似。

テイラー近似にべき乗多項式 Ω 2 · N B を使用すると、点 Ω=0 付近で理想関数への良好な近似が得られますが、Ω>1 の近似関数の十分な急峻性を確保するには、次数を増やす必要があります。多項式 (したがって、回路の次数) です。

近似関数として単調関数 (図 2.4) ではなく、通過帯域の値 0 ... ΔA の範囲で振動する関数を選択すると、遷移周波数領域での最良の傾きを取得できます。 0<Ω<1 (рис. 2.7).

チェビシェフ基準による最良の近似は、チェビシェフ多項式 P N (x) の使用によって保証されます (図 2.6)。 -1 の間< x < 1 отклонения аппроксимирующих функций от нулевого уровня равны ±1 и чередуются по знаку.

-1 の間< x < 1 полином Чебышёва порядка N описывается выражением

P N (x) = cos(N arccos(x)), (2.21)

N=1 P 1 (x) = cos(arccos(x)) = x の場合、

N=2 P 2 (x) = cos(2 arccos(x)) = 2 cos 2 (arccos(x)) – 1 = 2 x 2 – 1、

N≥3 の場合、多項式 P N (x) は漸化式を使用して計算できます。

P N +1 (x) = 2 x P N (x) - P N -1 (x)。

x > 1 の場合、チェビシェフ多項式の値は単調増加し、次の式で表されます。

P N (x) = ch(N・Arch(x))。 (2.22)

動作減衰関数 (図 2.7) は次の式で表されます。

ここで、εは式(2.17)で求められる不均一係数です。

フィルタリング機能モジュール正方形。

P N (Ω) – N 次のチェビシェフ多項式。

阻止帯域での動作減衰は値 A S を超える必要があります。

この不等式に阻止帯域周波数の値の式 (2.22) を代入して、値 N = NP - チェビシェフ多項式の次数に関してそれを解きます。

多項式の次数は整数である必要があるため、結果の値は最も近い上位の整数値に丸める必要があります。

作用伝達関数の二乗係数（正規化値）

減衰のゼロ (フルヴィッツ多項式の根でもあります) は通過帯域内に位置するため、通過帯域の周波数値の式 (2.21) をこの式に代入する必要があります。

変換 jΩ→ を使用して式 (2.25) を演算子形式で表してみます。

多項式の根は次の式で求められます。

K = 1, 2, … , NЧ, (2.26)

複素平面内の複素共役根は楕円上に位置します。 Hurwitz 多項式は、負の実数成分を持つ根によってのみ形成されます。

フィルタリング機能モジュール正方形。 したがって、漸化式を使用して多項式を求めます。

実数の係数を持つ多項式です。 は偶数次の多項式です。 物理的な実現可能性の条件が満たされています。

2.5. 電気回路による近似機能の実現。

実装問題を解決する方法の 1 つは、入力抵抗関数の連分数展開に基づいています。

分解手順は次の文献に記載されています。 連分数展開は次のように簡単に説明できます。

関数は多項式の比です。 まず、分子多項式が分母多項式で除算されます。 次に、除数であった多項式が被除数になり、その結果の剰余が除数になる、というようになります。 除算によって得られた商は連分数を形成します。 図 2.8 の図の場合、連分数は次の形式になります (=1 の場合)。

必要に応じて、受信したメッセージから可能です

デュアル方式に切り替えます。

2.6. 周波数変数を変換する方法。

ハイパスフィルターとフィルターフィルターの合成には周波数可変変換方式を採用しています。 変換は正規化された Ω 周波数にのみ適用されます。

2.6.1. HPF合成。 図 2.9 と図 2.10 のローパス フィルタとハイパス フィルタの特性を比較すると、互いに逆になっていることがわかります。 これは、周波数変数を置き換えると、

ローパスフィルタ特性を式にすると、ハイパスフィルタ特性が得られます。 たとえば、バターワース特性を持つフィルターの場合、

この変換を使用することは、容量性要素を誘導性要素に置き換えることと同じであり、その逆も同様です。

つまり

つまり 。

周波数可変変換方式を使用してハイパス フィルターを合成するには、次の操作を行う必要があります。

米。 2.9. 正規化されたローパス フィルターの図。 2.10. 正規化されたハイパスフィルター

特性。 特性。

1. 周波数変数の正規化を実行します。

2. 式 (2.27) を適用して周波数変数を変換します。

動作減衰特性の再計算された要件は、いわゆるローパス フィルター プロトタイプの動作減衰の要件を表します。

3. ローパス フィルターのプロトタイプを合成します。

4. 式 (2.27) を適用して、プロトタイプのローパス フィルターから必要なハイパス フィルターに移動します。

5. 合成されたハイパス フィルターの要素のパラメーターの非正規化を実行します。

2.6.2. PF合成。 図2.1.3。 図は、バンドパス フィルターの動作減衰の対称特性を示しています。 平均周波数を中心として幾何学的に対称な特性の名前です。

周波数変数変換法を使用して PF を合成するには、次のことを行う必要があります。

1. PF の必要な対称特性からローパス フィルター プロトタイプの正規化された特性に移行するには (そして既知の合成技術を使用するには)、周波数変数を置き換える必要があります (図 2.11)。

2.7. アクティブフィルター。

アクティブ フィルタは、アクティブ素子 (オペアンプ)、抵抗、およびコンデンサを含むアクティブ回路を使用して誘導素子の特性を再現できるため、インダクタが存在しないことが特徴です。 このようなスキームは、ARC スキームと呼ばれます。 インダクタの欠点は、品質係数が低い (損失が高い)、寸法が大きい、製造コストが高いことです。

2.7.1. ARCフィルターの基礎理論。 線形 4 ポート ネットワーク (線形 ARC フィルターを含む) の場合、入力電圧と出力電圧の関係 (演算子形式) は、電圧伝達関数で表されます。

ここで、w(p) は偶数 (ローパス フィルターの場合は K p 0) または奇数 (ハイパス フィルターの場合) の多項式です。

v(p) は、N 次のフルヴィッツ多項式です。

ローパス フィルターの場合、伝達関数 (正規化された値) は係数の積として表すことができます。

ここで、 K = N U (0) = K2 1 K2 2 ... K2 (N /2) – 定電圧を送信するときの関数 H U (p) (偶数次フィルターの場合) の値 (つまり、f = の場合) 0、または演算子形式では p=0);

分母の因子は複素共役根の積によって形成されます

奇数次フィルターの場合、実数値を持つフルヴィッツ多項式の根を使用して形成される係数が 1 つあります。

各伝達関数係数は、2 次または 1 次のローパス アクティブ フィルター (ARC) によって実装できます。 そして、与えられた伝達関数 H U (p) 全体は、そのような 4 端子ネットワークのカスケード接続です (図 2.13)。

オペアンプをベースにしたアクティブ 4 ポート ネットワークには、入力抵抗が出力抵抗よりもはるかに大きいという非常に便利な特性があります。 4 端子ネットワークに負荷として非常に大きな抵抗を接続しても (この動作モードは無負荷モードに近い)、4 端子ネットワーク自体の特性には影響しません。

H U (p) = H1 U (p) H2 U (p) ... Hk U (p)

たとえば、5 次のアクティブ ローパス フィルターは、2 次の 4 極子 2 つと 1 次の 4 極子 1 つをカスケード接続した回路 (図 2.14) と 4 次のローパス フィルターで実装できます。パス フィルターは、2 次の 2 つの四重極のカスケード接続で構成されます。 より高い品質係数を持つ四重極が最初に信号伝送パスに接続されます。 1 次の 4 ポート ネットワーク (品質係数が最も低く、周波数応答の傾きが最も小さい) が最後に接続されます。

2.7.2. ARCフィルター合成電圧伝達関数 (2.29) を使用して実行されます。 周波数正規化は、カットオフ周波数 f c を基準にして実行されます。 カットオフ周波数では、電圧伝達関数の値は最大 Hmax よりも 1 倍小さくなり、減衰値は 3 dB になります。

米。 2.14。 5次ARCローパスフィルター。

周波数特性は f c に対して正規化されています。 方程式 (2.16) と (2.23) をカットオフ周波数に関して解くと、次の式が得られます。

バターワース特性のローパスフィルター用。

チェビシェフの特徴を備えています。

フィルター特性のタイプ (バターワースまたはチェビシェフ) に応じて、近似関数の次数は式 (2.19) または (2.26) を使用して決定されます。

Hurwitz 多項式の根は式 (2.20) または (2.26) によって決定されます。 2 次の 4 ポート ネットワークの電圧伝達関数は、一対の複素共役根を使用して形成でき、さらに回路要素のパラメーターを通じて表現できます (図 2.14)。 回路の解析と式 (2.31) の導出は与えられていません。 1 次の 4 ポート ネットワークの式 (2.32) も同様に記述されます。

負荷抵抗の値はアクティブフィルタの特性に影響を与えないため、以下に基づいて非正規化を行います。 まず、許容可能な抵抗値（10 ... 30 kOhm）が選択されます。 次に、容量パラメータの実際の値が決定されます。 この目的のために、式(2.15)でf c が使用されます。