いくつかの変数の関数。複数の変数の関数を講義します複数の変数の関数の定義と幾何学的意味

13.10.2021

) 私たちはすでに偏導関数に繰り返し遭遇しています。複雑な関数同様の、より難しい例。それで、他に何を話すことができますか？ ...そして、すべては人生と同じです - 複雑にできない複雑さはありません =) しかし、数学は、私たちの世界の多様性を厳密な枠組みに適合させるためにあります。そして場合によっては、これを 1 つの文で行うことができます。

一般に、複素関数の形式は次のとおりです。、どこ、 少なくとも1つ文字の表す関数に依存する可能性があります任意変数の数。

最小かつ最も単純なオプションは、長年よく知られている 1 つの変数の複素関数です。 誰の派生語私たちは前学期の求め方を学びました。機能を区別するスキルも身に付きます (同じ機能を見てください ) .

したがって、ここではこのケースにのみ注目します。複雑な関数は多種多様であるため、その導関数の一般式は非常に複雑で、理解するのが困難です。この点に関して、理解できる具体的な例に限定して説明します。一般原則これらの導関数を見つけます。

例1

複雑な関数が与えられると、。必須：
1) その導関数を求め、1 次の合計微分を書き留めます。
2) での導関数の値を計算します。

解決: まず、関数自体を見てみましょう。とに応じて関数が提供されます。 関数です 1 つの変数:

次に、タスク自体に細心の注意を払いましょう。 派生関数つまり、私たちが見つけ慣れている偏導関数について話しているのではありません。機能以来実際には 1 つの変数のみに依存するため、「微分」という言葉は次のことを意味します。合計導関数。彼女を見つけるにはどうすればいいですか？

最初に思い浮かぶのは、直接置換とさらなる差別化です。代用しましょう機能するには:
、その後、目的の導関数に問題はありません。

したがって、合計の差は次のようになります。

この解決策は数学的には正しいですが、ちょっとしたニュアンスは、問題が定式化されたとおりに定式化されている場合、誰もあなたからそのような野蛮なことを期待していないということです =) しかし真剣に、ここであなたは実際に間違いを見つけることができます。関数がマルハナバチの飛行を記述し、入れ子になった関数が温度に応じて変化すると想像してください。直接置換の実行、私たちが得るのはただ 個人情報、これは、たとえば暑い天候でのみ飛行を特徴づけます。さらに、マルハナバチについての知識のない人に完成品を見せて、その機能が何であるかを説明されても、飛行の基本法則については決して学ぶことはできません。

そこで、全く予期せぬことに、私たちの賑やかな兄弟は、私たちが普遍的な公式の意味と重要性を理解するのを助けてくれました。

デリバティブの「2 階建て」表記に慣れてください。検討中のタスクでは、デリバティブが使用されています。この場合、次のようにする必要があります。 とてもきちんとしたエントリ内: 直接記号「de」を含む導関数は次のとおりです。 完全な導関数、丸いアイコンが付いた派生関数は次のとおりです。 偏導関数。最後のものから始めましょう:

さて、「尾」については、一般にすべてが初歩的なものです。

見つかった導関数を式に代入してみましょう。

機能が最初に複雑な方法で提案されると、それは論理的になります (これについては上で説明しました!)結果をそのままにしておきます。

同時に、「洗練された」回答では、最小限の単純化さえも控えたほうがよいでしょう。 （ここでは、たとえば、3つのマイナスを削除するように求めています）- そうすれば、あなたは仕事が減り、あなたの毛皮で覆われた友人は喜んでタスクを簡単にレビューできるようになります。

ただし、大まかなチェックは不要です。代用しましょう見つかった導関数に代入し、単純化を実行します。

(最後のステップで使用したのは 三角関数の公式 , )

その結果、「野蛮」な解決法と同様の結果が得られた。

この点における導関数を計算してみましょう。まず「通過」値を調べると便利です (関数値 ) :

ここで、最終的な計算を作成します。この場合さまざまな方法で行うことができます。私は、3 番目と 4 番目の「フロア」を通常のルールに従って単純化せず、2 つの数値の商として変換するという興味深いテクニックを使用しています。

そしてもちろん、よりコンパクトな表記法を使用してチェックしないのは罪です。 :

答え:

問題が「半一般的な」形式で提案されることがあります。

「次の関数の導関数を求めます。 »

つまり、「main」関数は指定されていませんが、その「挿入」は非常に具体的です。答えは同じスタイルで与えられる必要があります。

さらに、条件はわずかに暗号化できます。

「関数の導関数を求めよ »

この場合必要なのは 自分自身でネストされた関数を適切な文字で指定します。たとえば、同じ式を使用します。

ところで文字指定について。私は、あたかも救命具であるかのように「手紙にしがみつくこと」をしないようにと繰り返し主張してきましたが、今、これは特に重要です。このトピックに関するさまざまな情報源を分析すると、一般に、著者が「狂って」、容赦なく学生を数学の嵐の深淵に投げ込み始めたという印象を受けました=)だから許してください:)）

例 2

関数の導関数を求める、もし

他の指定を混乱させないでください。このようなタスクに遭遇するたびに、次の 2 つの簡単な質問に答える必要があります。

1) 「main」関数は何に依存していますか?この場合、関数「zet」は 2 つの関数 (「y」と「ve」) に依存します。

2) 入れ子関数はどの変数に依存しますか?この場合、両方の「挿入」は「X」のみに依存します。

したがって、このタスクに数式を適応させるのは難しいことではありません。

レッスンの最後に短い解答と答えが表示されます。

最初のタイプの追加の例は、次の場所にあります。 リャブシュコの問題集 (IDZ10.1)さて、私たちは向かっています 3 つの変数の関数:

例 3

関数が与えられると、 .
点での導関数を計算します

多くの人が推測しているように、複素関数の導関数の公式には次のような関連形式があります。

推測したら決めてください =)

念のため、関数の一般的な公式を示しておきます。
ただし、実際には例 3 より長いものはほとんどありません。

さらに、場合によっては、「切り捨てられた」バージョンを区別する必要がある場合があります。原則として、フォームの機能または。この質問はあなたが自分で勉強できるように残しておきます。いくつかの簡単な例を考え出し、考え、実験し、導関数の短縮公式を導き出します。

まだ不明な点がある場合は、タスクがより複雑になるため、レッスンの最初の部分をゆっくりと読み直して理解してください。

例 4

複素関数の偏導関数を求めます。

解決: この関数の形式はで、直接置換すると、2 つの変数の通常の関数が得られます。

しかし、そのような恐れは受け入れられないだけでなく、もはや区別したくありません =) したがって、既製の公式を使用します。パターンをすぐに把握できるように、いくつかメモを書きます。

写真を上から下、左から右までよく見てください…。

まず、「main」関数の偏導関数を見つけてみましょう。

ここで、「ライナー」の「X」派生物を見つけます。

そして最後の「X」導関数を書き留めます。

「ゲーム」についても同様です。

そして

別のスタイルに固執することもできます - すべての「尾」を一度に見つけますそして両方の導関数を書き留めます。

答え:

代替品についてどういうわけか、私はそれについてまったく考えていません =) =) しかし、結果を少し調整することはできます。繰り返しになりますが、なぜでしょうか？ – 教師の確認がさらに困難になるだけです。

必要に応じて、 フルディファレンシャルここでは通常の公式に従って書かれており、ちなみに、軽い化粧品が適切になるのはこの段階です。

これは... ...車輪のついた棺です。

検討中の複素関数のタイプは一般的であるため、独立した解決策を求めるタスクがいくつかあります。式自体を理解するために、「準一般」形式の簡単な例を示します;-):

例5

関数の偏導関数を求めます。ここで、

さらに複雑には、差別化テクニックが含まれます。

例6

関数の完全微分を求める、どこ

いいえ、私は「あなたを底に送る」つもりはまったくありません。すべての例は実際の作品から取られており、「公海上」ではどんな文字にも出会うことができます。いずれにせよ、関数を分析する必要があります (2 つの質問に答える – 上記を参照)、それを一般的な形式で表現し、偏導関数の公式を慎重に変更します。少し混乱しているかもしれませんが、その構造の原理そのものは理解できるでしょう。なぜなら、本当の挑戦はまだ始まったばかりだからです:)))

例 7

偏微分を求め、複素関数の完全微分を作成します。
、どこ

解決: 「main」関数は次の形式を持ち、依然として 2 つの変数「x」と「y」に依存します。ただし、例 4 と比較すると、入れ子関数が追加されているため、偏導関数の式も長くなります。この例と同様に、パターンをよりわかりやすく視覚化するために、「主要な」偏導関数をさまざまな色で強調表示します。

そしてもう一度、記録を上から下、左から右に注意深く調べてください。

問題は「半一般」形式で定式化されているため、すべての作業は基本的に埋め込み関数の偏導関数を見つけることに限定されます。

1 年生が扱えるのは次のとおりです。

そして、フルディファレンシャルでも非常に良い結果が得られました。

不必要な混乱がタスクの概念の十分な理解を妨げないように、意図的に特定の機能は提供しませんでした。

答え:

非常に多くの場合、次のような「さまざまな規模の」投資が見つかります。

ここで、「main」関数は、形式はありますが、依然として「x」と「y」の両方に依存します。したがって、同じ式が機能し、一部の偏導関数だけがゼロに等しくなります。さらに、これは次のような関数にも当てはまります。、各「ライナー」は 1 つの変数に依存します。

レッスンの最後の 2 つの例でも、同様の状況が発生します。

例8

ある点における複素関数の微分の合計を求める

解決: 条件は「予算的な」方法で定式化されており、入れ子になった関数に自分でラベルを付ける必要があります。これは良い選択肢だと思います:

「挿入」には ( 注意！) 3 つの文字は古き良き「X-Y-Z」で、「main」関数が実際には 3 つの変数に依存することを意味します。これは形式的にはと書き換えることができ、この場合の偏導関数は次の式で求められます。

私たちはスキャンし、掘り下げ、キャプチャします…。

私たちのタスクでは:

講義 1 2 つおよび複数の変数の関数の理論 (TFNP)。 1. FNPの概念。 2. FNP制限。 3. FNP の継続性。 4. 一次偏導関数。 5. 複素関数の導関数。 6. 暗黙的な関数の導関数。 7. 高次導関数。

1. FNPの概念。集合 D を平面上の領域とする。意味。数値が関連付けられている場合、数値関数 D は関数の定義領域である集合 D 上で与えられると言われます。

点の場合、マッピングは 2 つの座標、つまり 2 つの変数の関数によって指定されます。このような関数のグラフは、座標 x、y、z を持つ点のセット (空間内の表面) になります。

f(x, y) の幾何学的解釈。 D – 平面 0 ХY z の一部 D – 関数 f(x, y) のグラフの平面 0 ХY z f О x D x y y への投影関数のグラフは空間内の面です。

2. 2 変数関数の極限。点を、点の近傍であるような点の集合と呼びます。

意味。点 If の場合、点 P を集合 D の内部点と呼ぶことにします。定義。すべての点 D がこのセットの内部にある場合、それはオープンと呼ばれます。意味。点を含む開集合はその近傍と呼ばれます。

意味。このセット内にある連続曲線によって接続できる任意の 2 点のセットを接続済みと呼びます。意味。開いた接続された集合は領域と呼ばれます。

ある点の近傍の関数をある点 (必ずしも点自体ではない) で定義するとします。数 A は関数の極限と呼ばれます。

指定。コメント。願望はあらゆる法則と方向に従って発生する可能性がありますが、すべての制限値が存在し、A に等しくなります。

例。関数を考えてみましょう。 t (0, 0) を通過する傾向を考えてみましょう。直線に沿って、A の値はどのように変化するかに依存します。

3. FNP の継続性。関数は、条件 1 ～ 3 の少なくとも 1 つに違反する場合、ある点で連続的であると呼ばれます。その場合、その点は不連続点となります。

ブレークポイントを分離したり、ブレークラインを形成したり、サーフェスをブレークしたりすることができます。例。 a) ブレークポイント - (分離) b) - ブレークライン

意味。差は関数の合計増分と呼ばれます。意味。限界は関数の偏導関数と呼ばれます (限界が存在すると仮定します)。

FNP の偏導関数を計算するためのルールは、1 変数の関数に対応するルールと一致します。コメント。変数の 1 つに関して FNP の導関数を計算する場合、他の変数はすべて定数とみなされます。例。

意味。ある点における関数の合計増分の主 (線形) 部分は、その点における関数の合計微分と呼ばれます。

5. 複素関数の導関数。つまり、z が x、y の複素関数である関数を考えてみましょう。変数 x および y に関する複素関数の偏導関数は、次のように計算されます: (1 変数の複素関数の場合と同様)。

合計導関数 a) ここで、つまり z は 1 つの引数 t の複素関数です。次に、引数 t に関する関数の導関数の合計です。

自然科学や経済学の多くのパターンを研究すると、2 つ (またはそれ以上) の独立変数の関数に遭遇します。

定義 (2 つの変数の関数の場合)。させて × , Y そして Z - 大勢。それぞれのカップルであれば、 (×, y) それぞれセットの要素 × そして Y 何らかの法律により f 1 つの要素のみに一致します z たくさんの人から Z 、すると彼らはこう言います。 2 つの変数の関数が与えられる z = f(×, y) .

一般的に 2 変数関数の定義域 幾何学的には、特定の点のセット ( ×; y）飛行機 xOy .

いくつかの変数の関数に関連する基本的な定義は、対応する関数を一般化したものです。 1 つの変数の関数の定義 .

多くの D呼ばれた 関数のドメイン zとセット E – その多くの意味。変数 ×そして y機能に関連して zはその引数と呼ばれます。変数 z従属変数と呼ばれます。

引数のプライベート値

関数のプライベート値に対応します

複数の変数の関数の定義域

もし 複数の変数 (たとえば、2 つの変数) の関数 式で与えられる z = f(×, y) 、それ その定義の範囲 平面上のそのようなすべての点の集合です x0y、その式は f(×, y) 意味があり、受け入れます 実際の値。いくつかの変数の関数の定義域に関する一般規則は、次のように導出されます。一般的なルールのために 1 つの変数の関数の定義域。違いは、2 の関数の場合です。変数エリア定義は、1 つの変数の関数のように直線ではなく、平面上の特定の点の集合です。 3 つの変数の関数の場合、定義域は 3 次元空間内の対応する点のセットであり、関数の場合、定義域は n変数 - 要約の対応する点のセット n-次元空間。

ルートを持つ 2 つの変数の関数の定義域 n度

2変数の関数が次の式で与えられる場合、 n - 自然数 :

もし nが偶数の場合、関数の定義域は、根号式のゼロ以上のすべての値に対応する平面の点の集合になります。

もし nが奇数の場合、関数の定義域は任意の値の集合、つまり平面全体になります。 x0y .

整数の指数を持つ 2 つの変数のべき乗関数の定義域

もしある- 正の場合、関数の定義領域は平面全体です x0y ;

もしある- 負の場合、関数の定義域はゼロとは異なる値のセットになります。

小数指数を伴う 2 つの変数のべき乗関数の定義域

関数が次の式で与えられる場合 :

が正の場合、関数の定義領域は、関数がゼロ以上の値を取る平面内の点のセットです。

- が負の場合、関数の定義範囲は、関数がゼロより大きい値を取る平面内の点のセットになります。

2 変数の対数関数の定義域

2 変数の対数関数は、引数が正の場合、つまり、その定義域がゼロより大きい値を取る平面の点のセットである場合に定義されます。

2 変数の三角関数の定義領域

機能ドメイン - 飛行機全体 x0y .

関数の定義領域は平面全体です x0y

機能ドメイン - 飛行機全体 x0yただし、値を取る数値のペアは除きます。

2 変数の逆三角関数の定義領域

機能ドメイン .

機能ドメイン - 対象となる平面上の点のセット .

機能ドメイン - 飛行機全体 x0y .

2 つの変数の関数としての分数の定義領域

関数が次の式で与えられる場合、関数の定義領域は、が含まれる平面のすべての点になります。

2 変数の一次関数の定義域

関数が次の形式の式で与えられる場合、 z = 斧 + による + c の場合、関数の定義領域は平面全体になります。 x0y .

例1.

解決。定義域の規則に従って、二重不等式を構成します。

不等式全体にを乗算すると、次のようになります。

結果の式は、2 つの変数のこの関数の定義領域を指定します。

例2。 2 つの変数の関数の定義域を求めます。

多くの変数の関数

§1. 多くの変数の関数の概念。

ありましょう n可変量。各セット
点を表します n- 次元セット
(n-次元ベクトル)。

与えられたセットをみましょう
そして
.

ODA。それぞれのポイントであれば、
単数に一致します
、その場合、数値関数が与えられると言います。 n変数:

定義域と呼ばれます、
- 指定された関数の値のセット。

万一に備えて n代わりに =2
通常は書きます ×, y, z。この場合、2 つの変数の関数は次の形式になります。

z= f(×, y).

例えば、
- 2 つの変数の関数。

- 3 つの変数の関数。

一次関数 n変数。

ODA。関数グラフ n変数が呼び出されます n- 宇宙の次元超曲面
、各点は座標によって指定されます

たとえば、2 つの変数の関数のグラフ z= f(×, y) は 3 次元空間内の面であり、その各点は座標 ( ×, y, z) 、どこ
、そして
.

3 つ以上の変数の関数のグラフを描くことは不可能なので、(明確にするために) 主に 2 つの変数の関数を検討します。

2 つの変数の関数をプロットするのはかなり難しい作業です。いわゆるレベルラインの構築は、この問題の解決に大きな助けとなります。

ODA。 2 変数関数のレベルライン z= f(×, y) は平面の点の集合と呼ばれますホウ、関数のグラフの断面を平行平面で投影したものです。 ほう。レベルライン上の各点で、関数は同じ値を持ちます。レベルラインは次の方程式で表されます。 f(×, y)=c、どこと– 特定の数。レベルラインは無限にあり、その 1 つが定義領域の各点を通過して描画できます。

ODA。表面レベル関数 n変数 y= f (
) は空間の超曲面と呼ばれます
、各点で関数の値が一定であり、特定の値に等しいと。レベル面の方程式: f (
)=s.

例。 2 つの変数の関数をグラフ化する

c=1の場合:
;
.

c=4 の場合:
;
.

c=9 の場合:
;
.

レベルラインは同心円であり、増加するにつれて半径が減少します。 z.

§2. 複数の変数の関数の極限と連続性。

多くの変数の関数については、1 つの変数の関数と同じ概念が定義されます。たとえば、関数の限界と連続性の定義を与えることができます。

ODA。 z= f(×, y) 数値 A は 2 変数関数の極限と呼ばれます
,
で
そして指定されている、正の数の場合正の数があります
、そのような点が
要点から離れたところにある距離が短い f(×, y) 、次に数量 .

ODAと A の差は以下です z= f(×, y) 。関数の場合
ポイントで定義
この時点では関数の値に等しい制限があります

、その場合、それは特定の点で連続的であると呼ばれます。

§3. いくつかの変数の関数の偏導関数。
.

2 つの変数の関数を考えてみましょうたとえば、引数の 1 つの値を修正してみましょう。
、置く
。それから関数。点で導関数を持たせる :

この導関数は、関数の偏導関数 (または 1 次偏導関数) と呼ばれます。
による時点で
そして指定されています:
;
;
;
.

この差は部分増分と呼ばれますで
:

上記の表記を考慮すると、次のように書くことができます。

同様に定義

偏導関数これらの変数の 1 つにおける複数の変数の関数は、関数の部分増分と対応する独立変数の増分との比率の限界と呼ばれ、この増分がゼロになる傾向があります。

任意の引数に関して偏導関数を求める場合、他の引数は定数とみなされます。 1 つの変数の関数を微分するためのすべての規則と公式は、多くの変数の関数の偏導関数にも有効です。

関数の偏導関数は同じ変数の関数であることに注意してください。これらの関数には、偏導関数を含めることができます。 二次偏導関数元の関数の (または 2 次偏導関数)。

たとえば、関数
には 4 つの 2 次偏導関数があり、次のように表されます。

;
;

;
.

そして
- 混合偏導関数。

例。関数の 2 次偏導関数を求める

解決。
,
.

,
.

エクササイズ.

1. 関数の 2 次偏導関数を求める

,
;

2. 機能について
それを証明する
.

フルディファレンシャル 多くの変数の関数。

価値観の同時変化により ×そしてで関数
関数の合計増分と呼ばれる量だけ変化します z 時点で
。 1 変数の関数の場合と同様に、増分の近似置換の問題が発生します。
の上一次関数から
そして
。線形近似の役割は次によって実行されます。 フルディファレンシャル特徴：

2次の合計微分:

=
.

一般に、合計の差分は、 n- 番目の注文の形式は次のとおりです。

方向導関数。勾配。

機能させましょう z= f(×, y) 点 M( ×, y）そして - 単位ベクトルで指定された方向
。単位ベクトルの座標は、ベクトルと座標軸によって形成される角度の余弦によって表現され、方向余弦と呼ばれます。

点Mを移動する場合( ×, y) この方向に私要点まで
関数 z増分を受け取ります

指定された方向の関数のインクリメントと呼ばれます私.

MM 1 =Δの場合私、それ

いつ

について

広報. デリバティブ 機能 z= f(×, y) 方向に

は、変位 Δ の大きさに対する、この方向の関数の増分の比率の限界と呼ばれます。私後者はゼロになる傾向があるため:

方向導関数は、特定の方向における関数の変化率を特徴付けます。明らかに、偏導関数は、そして軸に平行な方向の導関数を表します牛そしてオイ。

例それを示すのは簡単です
。関数の導関数を計算する
.

ODA. 点 (1;1) の方向機能 z= f(×, y) 勾配

は偏導関数に等しい座標を持つベクトルです。
そして
:

ベクトルのスカラー積を考えます
それを見るのは簡単です .

、つまり方向導関数は、勾配と単位方向ベクトルのスカラー積に等しい
なぜなら

の場合、ベクトルの方向が同じ場合にスカラー積が最大になります。したがって、ある点における関数の勾配は、その点での関数の最も速い増加の方向を指定し、勾配の大きさは関数の最大増加率に等しくなります。

関数の勾配がわかれば、関数レベルの線を局所的に構築できます。定理 z= f(×, y) 。微分可能な関数を与えてみましょう
そしてその時点で
関数の勾配はゼロではありません。

。この場合、勾配は指定された点を通過するレベルラインに対して垂直になります。

したがって、ある点から開始して、関数の勾配と、近くの点でそれに垂直なレベルラインの一部を構築すると、(多少の誤差はありますが) レベルラインを構築できます。

機能させましょう
2 変数関数の極値
.

ODA点の近傍で定義され、連続している
。ドット
は関数の極大点と呼ばれます、ポイントの近くにそのようなものがあれば
、どの点についても

不等式が成立します:

局所最小値の概念も同様に導入されます。.

定理（極値の必要条件）
微分可能な関数を実現するには
その点に局所的な極値がありました

、この時点でのすべての 1 次偏導関数がゼロに等しいことが必要です。
したがって、極値が存在する可能性のある点は、関数が微分可能であり、その勾配が 0 に等しい点です。

。 1 変数の関数の場合と同様、そのような点は静止と呼ばれます。

これまでのところ、私たちは 1 つの変数、つまり 1 つの変数の関数を研究してきました。値が 1 つの独立変数の値に依存する変数の研究。

例1.実際には、数値が互いに独立して変化する複数の量の値に依存する量を扱わなければならないことがよくあります。このような量を研究すると、いくつかの変数の関数の概念が生まれます。いくつか例を挙げてみましょう。

例2。長方形の面積は、長方形の辺と以下の 2 つの独立して変化する変数の関数です。

回路のセクション上の電流の仕事は、セクションの両端の電位差、電流の強さ、時間によって決まります。特定の体のさまざまな点で測定される温度は、測定された点の座標と時刻の関数です。

定義1.電話しましょう n -測定点 順序付けられた数値のセット。数字は呼ばれます座標 -次元のポイント。考えられるすべての点の集合を -次元点と呼びましょう n次元空間 それをと表記します。ポイントを呼び出しましょう起源 -次元空間では、その数は寸法空間。

特殊な場合:

1. – 数直線;

2. – 平面。

3. – 三次元空間。

定義2.可変量があり、特定のセットからのそれらの値の各セットが、変数の 1 つの明確に定義された値に対応するとします。それから彼らはそれが与えられると言います いくつかの変数の関数

変数は呼び出されます 独立変数 または引数 , – 従属変数 、記号 - 通信の法則 .

1 つの変数の関数と同様に、複数の変数の関数を指定できます。 明らかに - そして 暗黙的に – .

いくつかの変数の明示的な関数は、次の次元空間内の点の関数として表すことができます。ここで、点はその座標のセットによって定義されます。

定義領域内の各点が 1 つの値に対応する場合、関数が呼び出されます。 明確な 、さもないと - 多義的な .

セットはと呼ばれます 関数のドメイン 、それは -次元空間のサブセットです。ギャップ領域と同様に、 閉まっている または約 開ける 独自の境界線が含まれているかどうかに応じて異なります。

定義の自然領域関数 (1) は、その座標が関数の実数値と有限値を一意に提供する点のセットです。以下では、独立変数の変更に対する追加の制限が問題ステートメントによって課されていない場合、関数の定義領域とは、その自然な定義領域を意味します。

最も単純で幾何学的解釈が可能な 2 つの特殊なケースをさらに詳しく考えてみましょう。

1. 2 つの変数の関数 ( n = 2)

2 変数の関数をで表します。またはある点における関数の部分値は、、、またはの形式で記述されます。

関数の定義域は、座標平面上の点のサブセットです。特に、関数の定義領域は、平面全体または線で制限された平面の一部とすることができます。この領域を制限する線は次のように呼ばれます。国境地域。境界上にない平面の点が呼び出されます。内部 .

例4.関数は平面全体で定義されます。

例5.関数は直線を除く平面全体で定義されます。

例6。関数の定義領域は、その座標が関係を満たす平面の点の集合です。原点を中心とした半径 1 の円。この関数の定義領域は閉じられています。

次の例をさらに詳しく見てみましょう。

例7。関数のドメインを見つけます。

解決。

対数は引数が正の場合にのみ定義されるため、引数には 1 つの条件があります。

領域を幾何学的に表現するには、まずその境界を見つけます。結果として得られる方程式は放物線を定義します。放物線の頂点は点に位置し、軸は軸の正側を向いています。

米。 1.1

放物線は、平面全体を放物線の内部と外部の 2 つの部分に分割します。これらの部分の 1 つの点では不等式が満たされ、もう 1 つの部分では (放物線自体上で) 不等式が満たされます。これら 2 つの部分のどちらが特定の関数のスコープであるかを確立するには、つまり、が条件を満たしている場合は、放物線上にない 1 つの点についてこの条件をチェックするだけで十分です。たとえば、原点は放物線の内側にあり、望ましい条件を満たします。

したがって、目的の領域は放物線の内部点で構成されます。放物線自体は領域に含まれていません。これは、領域が開いていることを意味します。

定義 3. 近隣地域点とは、点を含む開いた円です。

特に、近傍は、点を中心とし、半径がの開いた円です。

明らかに、平面上の円は直線上の間隔の 2 次元の類似物です。

複数の変数の関数を研究する場合、1 つの変数の関数用にすでに開発された数学的装置が主に使用されます。つまり、任意の関数を、1 つの変数の関数のペア (固定値の場合は関数、固定値の場合は関数) に関連付けることができます。

関数の「起源」は同じですが、外観は大きく異なる場合があることに注意してください。

例9。機能を考えてみましょう。関数がべき乗の場合、および関数が指数関数の場合。

幾何学的なイメージ 2 つの変数の関数。

知られているように、引数の値を横座標として、関数の値を曲線上の点の縦座標として考慮すると、1 つの変数の関数は平面上の何らかの曲線で表すことができます。

同様に、2 つの変数の関数をグラフで表すことができます。

平面上の領域で定義された関数と直交デカルト座標系を考えてみましょう。セットの各点に、その点での関数の値に等しい適用対象を持つ空間内の点を関連付けます。このようなすべての点の集合は特定の表面を表します。これは当然次のようにみなされます。グラフィック画像機能

定義 4. 2 変数関数のグラフは 3 次元空間内の点の集合であり、その適用対象は関数関係によって横座標と縦座標に関連付けられます。