安定性を判断するために、ホドグラフを構築する必要はありません。 これを行うには、周波数応答と位相応答を分析するだけで十分です。 したがって、ナイキスト基準の 3 番目の代替定式化は次のようになります。 位相応答が 0 になる周波数で周波数応答が 1 より大きい場合、またはどこ n € z、次にシステム フィードバック安定していない、そうでない場合は安定しています (図 3.10)。

米。 3.9 フィードバックのある開ループシステムの周波数応答と位相応答

4 線形定常回路を通過するランダム信号の通過

ランダムプロセスの主な特徴は、瞬間的な信号値の確率密度です。 相関関数そしてパワースペクトル密度。 瞬時出力信号値の確率密度を求める 線形回路回路の入力における既知の確率密度と回路の既知の特性に基づくと、これは非常に困難な作業です。 ただし、入力信号がガウスの場合、出力信号も常にガウスになります。 これは、問題の解決が簡素化され、出力信号のパラメーター (数学的な期待値と分散) を見つけることに集約されることを意味します。

出力信号の相関関数とパワースペクトル密度を見つけるタスクははるかに簡単です。

Wiener-Khinchin 理論によるパワー スペクトル密度の逆フーリエ変換:

– 信号相関関数

パワーゲインの逆フーリエ変換:

– 信号のインパルス応答の相関関数

2 つの信号のスペクトルの積は、これらの信号の畳み込みのスペクトルに等しいため、次のように書くことができます。

つまり、線形回路の出力における信号の相関関数は、回路の入力における信号の相関関数と回路のインパルス応答の相関関数の畳み込みに等しい。

さまざまなシステムを分析する場合、周波数範囲全体にわたって一定のパワー スペクトル密度を持つホワイト ノイズが干渉として作用することがよくあります。

と相関関数

したがって、出力信号の相関関数は、係数 をもつインパルス応答の自己相関関数と等しくなります。

5 非線形回路を通過する信号

リニア 固定チェーン信号のスペクトル構成を変更しないでください。 信号のスペクトル構成の変化に関連する主な無線工学変換は、非線形回路または可変パラメータを備えた線形回路を使用して実行されます。

非線形回路の研究は、非線形微分方程式を解くという複雑な作業です。 非線形要素に慣性がない場合、つまり入力動作の変化に対する応答が瞬時に発生する場合、非線形回路の解析は簡素化されます。 厳密に言えば、無慣性要素 (FFE) は存在しませんが、入力信号の変化時間が非線形要素のプロセスの確立時間を大幅に超える場合、その要素は無慣性要素であるとみなすことができます。 無線工学では、非線形要素が最もよく使用されます。 半導体デバイス(ダイオード、トランジスタ)。 このようなデバイスを説明するには、デバイスに印加される電圧とデバイスを流れる電流を関係付ける電流電圧特性が使用されます。

chで。 6 移籍も検討された さまざまな信号線形回路を介して 定数パラメータ。 このような回路における入力信号と出力信号の関係は、伝達関数 (スペクトル法) またはインパルス応答 (重ね合わせ積分法) を使用して求められました。

同様の関係は、可変パラメーターを使用した線形回路でも作成できます。 このような回路では、入力信号と出力信号の関係の性質が送信プロセス中に変化することは明らかです。 言い換えれば、回路の伝達関数は時間だけでなく時間にも依存します。 インパルス応答は、2 つの変数にも依存します。1 つは単一パルスの印加の瞬間と出力信号の観測の瞬間の間の間隔 t (定数パラメーターを持つ回路の場合)、そしてさらに、パルスの位置にも依存します。時間軸上の間隔。 したがって、可変パラメータを持つ回路の場合、インパルス応答は次の一般形式で記述する必要があります。

四重極の入力にある場合 インパルス応答任意の信号 s(t) が動作する場合 (図 10.2)、重ね合わせの原理に基づいて、式 (6.11) からの類推により、出力信号は次の式を使用して求めることができます。

(10.12)

ここで、可変パラメータを持つ回路の伝達関数を導入してみましょう。 これを行うには、関数をフーリエ積分の形式で表します。

(10.13)

ここで、 は信号 s(t) のスペクトル密度です。

この場合、式 (10.13) は次のようになります。

米。 10.2. パラメトリック四極子

内部積分を で表すと、最後の式を次のように書き換えます。

(10.14)

(10.14) から、次の式で定義される関数は次のようになります。

仕事の目的: ランダム信号の統計的特性を研究するための主要なスキルを習得します。 線形および非線形無線回路の出力におけるランダム信号の分布の法則を実験的に決定します。

簡単な理論的情報

1. 無線回線の分類

信号変換に使用される無線回路は、その構成、構造、特性が非常に多様です。 開発および分析研究の過程では、適切性と簡素性の要件を満たすさまざまな数学モデルが使用されます。 一般に、あらゆる無線回路は、入力信号 x(t) から出力 y(t) への変換を決定する形式化された関係によって記述でき、次のように記号的に表すことができます。

y(t) = T,

ここで、T は入力信号が変換される規則を定義する演算子です。

したがって、次のように 数学的モデル無線工学回路は、演算子 T と、回路の入力および出力における信号の 2 つのセット X=(xi(t)) および Y=(yi(t)) を組み合わせたものになります。

(y私(t)) = T(x私(t)).

入力信号から出力信号への変換の種類、つまりオペレータ T の種類に応じて、無線工学回路が分類されます。

演算子 T が回路が加法性と均一性の条件を満たすようなものである場合、無線回路は線形です。つまり、等式が有効です。

T = T : T = c T

私 私

ここで、c は定数です。

これらの条件は、線形回路のみに特徴的な重ね合わせ原理の本質を表しています。

線形回路の機能は、係数が一定の線形微分方程式によって記述されます。 特徴的なのは、いかなる形状の信号の線形変換でも、出力信号のスペクトル内に新しい周波数の高調波成分の出現を伴わないこと、つまり、信号スペクトルの強化につながらないことです。

無線回路は、 非線形、演算子 T が加法性と均一性の条件を満たすことを保証しない場合。 このような回路の機能は、非線形微分方程式で記述されます。

構造的には、線形回路には線形デバイス (アンプ、フィルター、長い配線など) のみが含まれます。 非線形回路には、1 つ以上の非線形デバイス (発生器、検出器、乗算器、リミッターなど) が含まれます。

入力信号に対する出力信号の時間依存性の性質に基づいて、慣性無線回路と無慣性無線回路が区別されます。

無線回路では、t=t0 の時点での出力信号 y(t) の値は、この時点での入力信号 x(t) の値だけでなく、x( t) t0 が呼び出される瞬間に先行する瞬間 慣性鎖。 出力信号 y(t) の値と瞬間 t=t0 が、同時に t0 の値 x(t) によって完全に決定される場合、そのような回路は次のように呼ばれます。 慣性なし.

2. 線形回路におけるランダム過程の変換

一般的な場合の線形無線回路におけるランダム プロセスの変換の問題は、次の定式化で考慮されます。 与えられた統計的特性を持つランダム プロセス x(t) が、周波数応答 K(jw) を持つ線形回路の入力に到達するとします。 回路の出力におけるランダムプロセス y(t) の統計的特性を決定する必要があります。 ランダム プロセス x(t) と y(t) の分析された特性に応じて、一般的な問題の 2 つの変形が考慮されます。

1. 線形回路の出力におけるランダムプロセスのエネルギースペクトルと相関関数の決定。

2. 線形チェーンの出力におけるランダムプロセスの確率分布の法則の決定。

最も単純なのは最初のタスクです。 周波数領域での解は、定常モードの線形回路 Wy(w) の出力におけるランダム プロセスのエネルギー スペクトルが、入力プロセス Wx(w) のエネルギー スペクトルに等しいという事実に基づいています。係数の二乗 周波数応答鎖、つまり

ワイ(W)= Wx(W) ∙│ K(ユダヤ人)│ あ (1)

数学的期待値 mx=0 を持つランダムプロセス x(t) のエネルギースペクトル Wx(w) は、フーリエ変換によってその共分散関数 Bx(t) と関連付けられることが知られています。

Wx(W)= で×(T) E— JWTDT

で×(T)= Wx(W) エイジWTDW.

したがって、線形チェーンの出力におけるランダムプロセスの共分散関数 Вy(t) は次のように決定できます。

でY(T)= ワイ(W) エイジWTDW= Wx(W))│ K(ユダヤ人)│ あ エイジWTDW

ライ(T)=BY(T)+ ミャ.

この場合、分散 Dy と出力ランダムプロセスの数学的期待値 my は等しい

Dy= Ry(0)= Wx(w)) │K(jw)│adw

私の= MX∙ K(0) .

ここで、mx は入力ランダム プロセスの数学的期待値です。

K(0) は線形回路の DC 伝達係数です。

K(0)= K(ユダヤ人)/ W=0

式 (1、2、3、4) は本質的に次のとおりです。 完全なソリューション周波数領域で割り当てられたタスク。

2 番目の問題を解決するための一般的な方法はありません。これにより、線形慣性回路の出力におけるプロセス y(t) の確率密度を、所定のプロセス x(t) の確率密度から直接求めることができます。入力。 この問題は、マルコフ ランダム プロセスと同様に、いくつかの特殊な場合と、ガウス (正規) 分布則を使用したランダム プロセスに対してのみ解決されます。

正規分布則を持つプロセスに関しては、そのようなプロセスの線形変換中に分布則が変化しないことに基づいて、解決策は単純化されます。 以来 通常のプロセスは数学的期待値と相関関数によって完全に決定されるため、プロセスの確率密度を見つけるには、その数学的期待値と相関関数を計算するだけで十分です。

線形慣性のない回路の出力における信号の確率分布の法則は、機能的な意味で入力信号の分布の法則と一致します。 パラメータの一部のみが変更されます。 したがって、線形慣性のない回路が y(t) = a x(t) + b の形式の関数変換を実装する場合 (a と b は定数係数)、ランダム プロセスの確率密度 p(y) は次のようになります。チェーンの出力はよく知られた関数変換公式ランダムプロセスによって決定されます。

P(Y)= =

ここで、p(x) は、回路の入力におけるランダム プロセス x(t) の確率密度です。

場合によっては、慣性回路の出力におけるランダムプロセスの確率的特性を決定する問題は、慣性システムによるランダムプロセスの正規化の効果を使用して近似的に解決できることがあります。 相関間隔 tk の非ガウス過程 x(t1) が時定数 t»tk の慣性線形連鎖に作用する場合 (この場合、ランダム過程 x(t) のエネルギー スペクトルの幅はチェーンの帯域幅)、そのようなチェーンの出力におけるプロセス y(t) は、t/tk 比が増加するにつれてガウスに近づきます。 この結果はランダムプロセス正規化効果と呼ばれます。 正規化効果は、回路帯域幅が狭いほど顕著になります。

3. 非線形回路におけるランダム過程の変換

非線形慣性変換は、非線形回路の解析の過程で考慮されますが、与えられた影響下での慣性は無視できません。 このような回路の動作は、非線形微分方程式によって記述されますが、一般的な解法は存在しません。 したがって、ランダムプロセスの非線形慣性変換の研究に関連する問題は、ほとんどの場合、さまざまな人工技術を使用して近似的に解決されます。

これらの手法の 1 つは、線形慣性チェーンと非線形慣性のないチェーンの組み合わせによって非線形慣性チェーンを表すことです。 線形チェーンに対するランダムなプロセスの影響を研究する問題については上で検討しました。 この場合、出力信号のスペクトル密度 (または相関関数) を決定するのは非常に簡単ですが、分布則を決定するのは困難であることが示されました。 非線形慣性のない回路では、主な困難は相関関数を見つけることです。 ただし、非線形回路に対するランダム信号の影響を解析するための一般的な方法はありません。 それらは、実際的に興味深いいくつかの特定の問題を解決することに限定されています。

3.1. 非線形回路の出力におけるランダムプロセスの統計的特性

次の特性を持つ非線形慣性のない連鎖による、1 次元の確率密度を持つランダムなプロセスの変換を考えてみましょう。

Y= f(x).

明らかに、ランダム プロセス x(t) の実現は、対応する新しいランダム プロセス y(t) の実現に変換されます。

y(t)=F[ ×(T)] .

A. ランダム過程 y(t) の分布則の決定

ランダムプロセス x(t) の確率密度 p(x) が既知であるとします。 ランダム処理 y(t) の確率密度 p(y) を決定する必要があります。 典型的な 3 つのケースを考えてみましょう。

1. 非線形チェーンの関数 y= f(x) は、x(t) と y(t) の間の 1 対 1 の対応を決定します。 逆関数 x = j(y) があり、これも y(t) と x(t) の間の 1 対 1 対応を決定すると考えられます。 この場合、区間 (x0, x0+dx) でランダム プロセス x(t) の実現が見つかる確率は、区間 (x0, x0+dx) でランダム プロセス y(t)=f の実現が見つかる確率に等しいです。 (y0, y0+dу)、y0= f(x0) および y0+dy= f(x0+dx)、つまり

P(×) DX= P(Y) ディ

したがって、

P(Y)= .

確率密度 p(y) > 0 であるため、導関数は絶対値で取得されますが、導関数は負になる可能性があります。

2. 逆関数 x = j(y) は曖昧です。つまり、y の 1 つの値が x の複数の値に対応します。 たとえば、値 y1=y0 が値 x= x1、x2、…、xn に対応するとします。

次に、y0≤ y(t)≤ y0+dy という事実から、n 個の相互に矛盾する可能性のうちの 1 つが次のようになります。

×1 ≤ ×(T)≤ ×1 + DX、 または ×2 ≤ ×(T)≤ ×2 + DX、 または … Xn≤ ×(T)≤ Xn+ DX.

得られる確率を加算するルールを適用する

P(Y)= + +…+ .

/ ×= ×1 / ×= ×2 / ×= Xn

3、特徴 非線形要素 y= f(x) には 1 つ以上の水平セクション (y= が定数であるセクション) があります。 それから式は

P(Y)=

y(t) が y = const の区間内にある確率を考慮した項で補足する必要があります。

このケースを検討する最も簡単な方法は、例を使用することです。

関数 y= f(x) の形式を図 1 に示し、式を次のようにします。

米。 1 双方向リミッターに対するランダムプロセスの影響。

x(t) において<а выходной сигнал y(t)=0, Это значит, что вероятность принятия случайным процессом y(t) нулевого значения равна

P1= P= P= P(x)dx,

そして確率密度は

P1(y) = P1∙δ(y)。

x(t)> b の場合も同様に議論すると、次のようになります。

Pa= P= P= P(x)dx、

パ(Y) = パ∙ δ (Y— C).

/ Y= C

a≤ x≤ b の場合、式は有効です

パ(Y) =

/0≤ Y≤ C

一般に、出力プロセスの確率密度は次の式で決まります。

P(Y)= P1 ∙ δ (Y)+ パ∙ δ (Y— C)+ .

最終的な式を得るには、逆関数 x = j(y) を使用して、x の関数である関数依存関係 p(x) および dy/dx を y の関数に変換する必要があることに注意してください。 したがって、非線形慣性のない回路の出力におけるランダム プロセスの分布密度を決定する問題は、かなり単純な特性 y = f(x) に対して解析的に解決されます。

B. ランダム過程 y(t) のエネルギースペクトルと相関関数の決定

非線形回路の出力におけるランダムプロセスのエネルギースペクトルを直接決定することはできません。 方法は 1 つだけあり、回路の出力で信号の相関関数を決定し、直接フーリエ変換を適用してスペクトルを決定することです。

定常ランダム プロセス x(t) が非線形慣性のない回路の入力に到達すると、出力におけるランダム プロセス y(t) の相関関数は次のように表すことができます。

ライ(T)= による(T)- 私の2 ,

ここで、By(t) は共分散関数です。

my は、ランダム プロセス y(t) の数学的期待値です。 ランダムプロセスの共分散関数は、瞬間 t および t+t におけるランダムプロセス y(t) の値の統計的に平均された積です。

による(T)= M[ Y(T)∙ Y(T+ T)].

ランダムプロセス y(t) の実装では、積 y(t)∙y(t+t) は数値になります。 一連の実装としてのプロセスの場合、この積は確率変数を形成します。その分布は 2 次元の確率密度 p2 (y1, y2, t) によって特徴付けられます。ここで、y1= y(t)、ya= y( t+t）。 プロセスが定常であるため、最後の式では変数 t が表示されないことに注意してください。結果は t に依存しません。

で 与えられた関数р2 (у1, у2, t) セット全体の平均演算は次の式に従って実行されます。

による(T)=У1∙у2∙р2 (у1, у2,T) ディ1 ディ2 = F(×1 )∙ F(×2 )∙ P(×1 , ×2 , T) DX1 DX2 .

数学的期待値 my は次の式で与えられます。

私の= Y∙ P(Y) ディ.

p(y)dy = p(x)dx を考慮すると、次のようになります。

私の= F(×)∙ P(×) DX.

出力信号のエネルギー スペクトルは、Wiener-Khinchin の定理に従って、共分散関数の直接フーリエ変換として求められます。

ワイ(W)= による(T) E— JWTDT

実用化 この方法 By(t) の二重積分は常に計算できるとは限らないため、困難です。 解決する問題の詳細に関連するさまざまな単純化手法を使用する必要があります。

3.2. 振幅検出器に対する狭帯域ノイズの影響

統計無線工学では、広帯域ランダム プロセスと狭帯域ランダム プロセスが区別されます。

Δ fе をランダム過程のエネルギースペクトルの幅とし、次の式で決定します (図 2)。

米。 2. ランダムプロセスのエネルギースペクトルの幅

ナローバンドランダムプロセスは、Δf «f0 となるプロセスです。ここで、f0 はエネルギースペクトルの最大値に対応する周波数です。 エネルギースペクトル幅がこの条件を満たさないランダムプロセスは、 ブロードバンド.

狭帯域のランダム プロセスは、通常、(周波数 f0 での振動と比較して) 振幅と位相がゆっくりと変化する高周波振動として表されます。

X(t)= A(t)・cos、

ここで、 A(t) = √x2(t) + z2(t) 、

J(t) = arctan、

z(t) は元の関数 x(t) のヒルベルト共役関数です。

z(t)= —DT

この振動のすべてのパラメータ (振幅、周波数、位相) は時間のランダム関数です。

受信経路の不可欠な部分である振幅検出器は、非線形慣性のない要素 (ダイオードなど) と慣性線形回路 (ローパス フィルター) を組み合わせたものです。 検出器出力の電圧は、入力における高周波発振の振幅包絡線を再現します。

狭帯域ランダム信号が振幅検出器の入力 (たとえば、中間周波数に比べて狭い帯域幅を持つアンプの出力から) に到着するとします。これは、通常のエルゴディック ランダム プロセスの特性を持ちます。流通法。 明らかに、検出器出力の信号は入力ランダム信号のエンベロープになり、これも時間のランダム関数です。 この包絡線、つまり狭帯域ランダム過程の包絡線は、レイリー分布と呼ばれる確率密度によって特徴付けられ、次の形式を持つことが証明されています。

ここで、A はエンベロープ値です。

Sx2 は、検出器入力におけるランダム信号の分散です。

レイリー分布プロットを図 3 に示します。

図3. レイリー分布則グラフ

関数 p(A) の最大値は次のとおりです。

A = sx の場合。 これは、A = sx の値がエンベロープの最も可能性の高い値であることを意味します。

ランダム過程のエンベロープの数学的期待

MA= = =

したがって、正規分布則を持つ狭帯域ランダムプロセスのエンベロープは時間のランダム関数であり、その分布密度はレイリーの法則で記述されます。

3.3. 高調波信号と狭帯域ランダムノイズの和の包絡線の分布の法則

高調波信号と狭帯域ランダムノイズの合計の包絡線の分布の法則を決定するという問題は、レーダーや通信システムの独自の条件や通信システムの線形検出のプロセスを分析するときに発生します。 外部ノイズレベルは有用な信号に匹敵します。

受信機の入力が、正規分布則に基づく高調波信号 a(t)=E・cos(wt) と狭帯域ノイズ x(t)=A(t)・cos の合計を受信するとします。 この場合の総振動は次のように書くことができます。

N(T) = S(T)+ ×(T)= E∙coS(重量)+ あ(T)∙ コス[ 重量+ J(T)]=

=[E+あ(T)∙ コス(J(T))]∙それでS(重量)- あ(T)∙ 罪(J(T))∙ 罪(重量)= U(T)∙ コス[ 重量+ J(T)],

ここで、U(t) と j (t) は信号全体のエンベロープと位相であり、次の式で決定されます。

U(T)= ;

J(T)= アークタグ

総振動 u(t) が振幅検出器に作用すると、振幅検出器の出力に包絡線が形成されます。 この包絡線の確率密度 p(U) は次の式で求められます。

P(U)= (5)

ここで、sxa はノイズ分散 x(t) です。

I0 - ゼロ次のベッセル関数 (修正)。

この式によって求められる確率密度は、一般化レイリーの法則、またはライスの法則と呼ばれます。 信号対雑音比E/sxのいくつかの値に対する関数p(U)のグラフを図4に示します。

有用な信号がない場合、つまり E/sx=0 の場合、式 (5) は次の形式になります。

P(U)=

つまり、この場合、結果として得られる信号の包絡線はレイリーの法則に従って分布します。

図4． 一般化レイリー分布則のグラフ

有用な信号の振幅が二乗平均平方根ノイズ レベルを超える場合、つまり E/sx»1 の場合、U≃E に対して、大きな引数を使用したベッセル関数の漸近表現を使用できます。

≃≃.

この式を(5)に代入すると、

P(U)= ,

つまり、結果の信号の包絡線は、分散 sx2 と数学的期待値 E を伴う正規分布則によって記述されます。実際には、すでに E/sx = 3 で、結果の信号の包絡線は正規化されていると考えられます。

4. ランダム過程の分布の法則の実験的決定

ランダム プロセス x(t) の分布関数を実験的に決定する方法の 1 つは、次の形式の補助ランダム関数 z(t) の使用に基づく方法です。

ここで、x は、z(t) が計算される関数 x(t) の値です。

関数 z(t) の意味内容からわかるように、z(t) の値の変化はランダムなプロセスの瞬間に発生するため、その統計パラメータはランダム プロセス x(t) のパラメータによって決定されます。プロセス x(t) はレベル x を通過します。 したがって、x(t) が分布関数 F(x) を持つエルゴード ランダム プロセスである場合、関数 z(t) も同じ分布関数を持つエルゴード ランダム プロセスを記述することになります。

図 5 は、ランダム プロセス x(t) と z(t) の実装を示しており、関係の自明性を示しています。

P[ Z(T)=1]= P[ ×(T)< ×]= F(×);

P[ Z(T)=0]= P[ ×(T)≥ ×]= 1- F(×).

図5 ランダム処理 x(t), z(t), z1(t) の実現

2 つの離散値を持つ関数 z(t) の数学的期待値 (統計的平均) は、次の式に従って決定されます (表 1 を参照)。

M[ Z(T)]=1∙ P[ Z(T)=1]+0 ∙ P[ Z(T)=0]= F(×).

一方、エルゴードランダムプロセスの場合、

したがって、

この式を分析すると、エルゴード ランダム プロセス x(t) の分布関数を測定するデバイスには、式 (6) に従って関数 z(t) で記述されるランダム プロセスを取得するためのレベル弁別器が含まれている必要があると結論付けることができます。積分装置１０６は、例えばローパスフィルタの形で作られる。

ランダムプロセス x(t) の分布密度を実験的に決定する方法は、本質的に上記で説明した方法と同様です。 この場合、次の形式の補助ランダム関数 z1(t) が使用されます。

2 つの離散値を持つ関数 z1(t) の数学的期待値 (図 5) は次のようになります。

M[ Z1 (T)]=1∙ P[ Z1 (T)=1]+0 ∙ P[ Z1 (T)=0]= P[ ×< ×(T)< ×+∆ ×].

関数 z1(t) で記述されるランダム プロセスのエルゴード性を考慮すると、次のように書くことができます。

したがって、

知られているのは、

P(×≤ ×(T)< ×+∆ ×) ≃ P(×)∙∆ ×.

したがって、

したがって、エルゴードランダム過程ｘ（ｔ）の分布密度を測定するための装置は、分布関数を測定するための装置と同じ構造および構成を有する。

F(x) と p(x) の測定精度は、観測間隔の期間と積分操作の品質に依存します。 実際の状況では、 評価平均化 (積分) 時間は有限であるため、分布法則が適用されます。 式(6)と図に戻ります。 5.それに注意してください

Z(T) DT= ∆ T1 ,

ここで、Δ t1 は関数 x(t) がレベル x を下回るときの最初の時間間隔、つまり関数 z(t)=1 のときの時間間隔です。

この式の妥当性が判断される 幾何学的な感覚 定積分(関数 z(t) と時間軸のセグメント (0,T) によって制限される図形の領域)。

したがって、次のように書くことができます

つまり、ランダムプロセス x(t) の分布関数は、区間 -¥ におけるプロセス実装の相対的な滞留時間に等しくなります。< x(t) < х.

同様に議論すると、次のようになります。

ここで、Δ t1 は、(x, x+Δx) 内にある関数 x(t) の最初の時間間隔です。

ランダムプロセスの分布法則を実験的に決定する検討された方法の実際の実装では、ランダム信号x(t)がxminからxmaxまでの瞬間値の変化の範囲内で分析されます（図6）。 これらの制限内には、プロセス x(t) の瞬間値の主要なセット (確率的な意味で) が集中します。

xmin と xmax の値は、分布法則の必要な測定精度に基づいて選択されます。 この場合、切り捨てられた分布が検査されるため、

F(シミン)+<<1.

x(t) 値の範囲全体 (xmin、xmax) は、N 個の等間隔 Δx に分割されます。

×マックス— シミン= N∙∆ ×.

米。 6. ランダムプロセス x(t) の分布関数 (a)、確率密度 (b)、および実装 (c)

間隔は、測定が行われる差分コリドーの幅を指定します。 確率推定値が決定される

円周率* ≃ P[ 習-∆ ×/2≤ ×(T)< 習-∆ ×/2]

差分コリドー内での実現 x(t) の滞在 (その中の x(t) の平均値は xi と等しい)。 推定 Pi* は、各差分コリドーにおける実装の相対滞留時間 x(t) を測定することによって決定されます。

Pi*=1/T Zi(t)dt= 、

I= 1,…,N。

それを考えると

円周率* ≃ P1 = P(×) DX,

それぞれの差分コリドーの分布密度推定値を決定できます。

円周率* (×)= 円周率*/∆ ×.

得られた結果、つまり pi*(x)、xi、Δx の値を使用して、分布密度ヒストグラムと呼ばれるステップ曲線 p*(x) が作成されます (図 7 を参照)。

図7。 分布密度ヒストグラム

Δx 内のヒストグラムの各フラグメントの下の面積は、与えられた区間内の真の分布曲線 p(x) が占める面積と数値的に等しくなります。

差動コリドーの数 N は 10 ～ 20 以内である必要があります。 N が増加すると間隔 ∆x の値が減少し、∆ti を正確に測定するための条件が悪化するため、それらの数がさらに増加し​​ても、より正確な法則 p(x) は得られません。

得られた結果により、ランダムプロセス x(t) の数学的期待値と分散の推定値を計算できます。

MX* = 習∙ 円周率* ; DX* = (習— MX* )2∙ 円周率* .

計算するとき MX* そして DX* これらの式では、ランダム プロセスの実現値 x(t) が最初の微分コリドーに該当する場合、値と (微分コリドーの中央) が割り当てられることが考慮されています。

ランダムプロセスの分布法則を決定するために検討された方法は、この実験室での研究で使用される統計分析装置の動作の基礎を形成します。

実験室設備の説明

ランダム信号の分布の法則の研究は、実験室モデル、統計アナライザー、S1-72 オシロスコープを含む実験室セットアップを使用して実行されます (図 8)。

図8. 研究室のセットアップ図

実験室モデルは、ランダム信号を生成および変換し、その統計分析を提供し、分布法則のヒストグラムを構築し、これらの法則を統計アナライザーのインジケーターにグラフィック表示します。 これには次の機能ユニットが含まれます。

A.信号発生器のブロック。 4 つの異なるランダム信号を生成します。

— 信号 x1(t)= A∙sin はランダムな初期位相を持つ調和振動であり、その分布則は ユニフォーム間隔0で

P(J)= 1/2 P, 0< J<2 P.

このような信号の瞬時値の確率密度は次のようになります。

— 信号 x2(t) — 一定の振幅 A とランダム シフト パラメーター q を持つ鋸歯状周期電圧、分布則
誰 ユニフォーム区間 内で、T0 は信号の周期です。つまり、確率密度は次の値に等しくなります。

P(Q)= 1/ T0 ; 0< Q≤ T0 .

このような信号の瞬時値の確率密度は次の式で決定されます。

— 信号 x3(t) は、瞬時値の正規分布則 (ガウスの法則) を持つランダム信号です。

パ(×)= ,

ここで、mx、sx はランダム信号 x3(t) の数学的な期待値と分散です。

— 信号 x4(t) は、ランダムにクリップされた信号であり、ランダムな時間に発生する、一定の振幅 A とランダムな持続時間を持つ一連の矩形パルスです。 このような信号は、正規分布則に基づくランダム プロセスが入力に作用する場合に、理想的なリミッターの出力に現れます。 変換特性の形式は次のとおりです。

ここで、x は制限レベルです。

したがって、ランダムプロセス x4(t) は、確率で 2 つの値 (A と - A) を取ります。

P= P= F3(x);

P= P= 1-F3(x);

ここで、F3(x) はランダム プロセス x3(t) の積分分布則です。

上記を考慮すると、クリップされた信号の確率密度は次のようになります。

P4(x)= F3(x)∙D(x+A)+ ∙D(x - A)。

図 9 は、実験室レイアウトの反復子によって生成された各ランダム信号の実装とその確率密度を示しています。

これらの信号は、それぞれ独自の分布密度によって特徴づけられ、出力における信号分布の法則を変換および研究するために、無線工学装置の典型的な要素の入力に供給することができます。

B.リニアシグナルミキサー。 次の関係に従って、入力に供給される 2 つのランダム信号 xi(t) と x1(t) の合計を生成します。

Y(T)= R∙ 習(T)+ (1- R)∙ ×1 (T),

ここで、R はポテンショメータのノブによって 0 ～ 1 の範囲内で設定される係数です。

2 つのランダム信号の合計の分布の法則を研究するために使用されます。

で。さまざまな 4 端子ネットワークを接続するためのソケット - 機能コンバーター。 実験室設置キットには 4 つの機能コンバーターが含まれています (図 10)。

米。 9. ランダムプロセス x1(t)、x2(t)、x3(t)、x4(t) とその確率密度の実現

アンプ－リミッター（リミッター）変換特性付き

ここで、U1、U2 はそれぞれ下限レベルと上限レベルです。

kは変換特性の傾き角のtgに等しい係数である。

入力信号の非線形で慣性のない変換を実行します。

共振周波数 f0=20 kHz の狭帯域フィルター (F1)。 正規に近い分布則を持つ狭帯域ランダムプロセスを生成するために使用されます。

AM発振受信機の典型的な経路(狭帯域フィルタF1 - 線形検波器D - ローパスフィルタF2)。 線形検出中に狭帯域ランダム信号のエンベロープの形成を実行します。

構造的には、考慮された機能コンバータは、交換可能な小さなブロックの形で作成されます。

別の機能コンバータとして、「理想的な」アンプ、つまりプロトタイプの信号発生器ブロックの一部であるリミッター（電子キー）が使用されます。 これは、入力ランダム信号の非線形慣性のないコンバーターとして、クリップされた信号の形成を提供します。

米。 10. 機能コンバーター

G.マッチングアンプ。 研究対象の信号の値の範囲と統計アナライザーの振幅範囲の間の調整を提供します。 スイッチ P1 (図 8) が「校正」位置に設定されている場合、調整は「ゲイン」および「オフセット」ポテンショメータを使用して実行されます。

マッチングアンプは機能コンバーターとしても使用され (上記の 4 つを除く)、次の式に従って線形で慣性のない変換を提供します。

Y(T)= あ∙ ×(T)= B,

ここで、a は「Gain」ノブで設定されたゲイン係数です。

b は信号の定数成分で、「Offset」ノブで設定します。

図 8 の図にレイアウトの一部として示されているアナライザー ブロックは、この作業では使用されません。 研究室の設置には、別個のデバイスとして設計されたデジタル統計アナライザーが使用されます。

D.デジタル統計アナライザーは、入力に供給された信号値の分布の法則を測定および定式化するために使用されます。 アナライザーは次のように動作します。

「スタート」ボタンを使用して、分析装置を測定モードに切り替えます。 測定時間は20秒です。 この間、入力信号値のサンプルが (ランダムな時間に) 取得され、その合計数 N は 100 万に相当します。サンプルは、それぞれが 32 の間隔のいずれかに該当するようにレベルごとにサンプリングされます。差分コリドー、またはグループ化間隔サンプル値と呼ばれます)。 インターバルには 0 ～ 31 の番号が付けられ、その幅は 0.1 V で、0 番目のインターバルの下限は 0 V、31 番目のインターバルの上限は +3.2 V です。測定時間中、カウント数がカウントされます。各区間には ni が含まれます。 測定結果はモニター画面に分布ヒストグラムの形で表示されます。スケールグリッドの横軸は0...+3.2V以内の信号値の軸、縦軸は相対値の軸です。周波数 ni/N、i = 0.1...31。

測定結果をデジタル形式で読み取るには、選択した間隔の数と対応する周波数 (確率推定値) ni/N を表示するデジタル インジケータを使用します。 デジタルインジケータのインターバル番号の選択は、「インターバル」スイッチを使用して行われます。 この場合、選択された間隔はモニター画面上でマーカーでマークされます。

「乗数」スイッチを使用すると、縦軸に沿った観察に便利なヒストグラムのスケールを選択できます。

この作業を実行するときは、アナライザの入力電圧範囲スイッチ (アナログ - デジタル変換範囲) を 0 ～ +3.2 V の位置に設定する必要があります。各測定の前に、「リセット」ボタンと「スタート」ボタンを交互に押す必要があります。 （「リセット」ボタンを押すと、メモリデバイスがゼロにリセットされ、前回の測定結果がスタックメモリに書き換えられ、そこから「ページ」スイッチを使用して呼び出すことができます。）

仕事の目的:

微分回路、積分回路、直列および並列発振回路、変圧器などの線形回路を通る高調波信号および方形信号の通過過程の研究。

線形回路における過渡プロセスの研究。

測定器を扱うスキルを習得する。

シンボリック手法を使用して RCL 回路の計算を実行する方法を学びます。

得られた実験データの処理と分析。

タスク:

7 つの線形回路の振幅周波数特性を測定します。

上記の線形回路の位相周波数特性を測定します。

7 つの線形回路の過渡特性を取得して研究します。

1 線形回路

無線エレクトロニクスにおける電気回路は、抵抗、コンデンサ、インダクタ、ダイオード、トランジスタ、オペアンプ、電流源、電圧源などの接続された回路要素の集合です。

回路要素はワイヤまたはプリントされたバスバーを使用して接続されます。 理想化された要素で構成される電気回路は、次のようないくつかの基準に従って分類されます。

エネルギー特性別:

アクティブ (電源を含む);

受動回路（電流源および（または）電圧源を含まない）。

トポロジ上の特徴によると、次のようになります。

平面（平ら）。

非平面的。

分岐した;

分岐していない;

シンプル（単回路、二重回路）。

複雑（マルチサーキット、マルチノード）。

外部ピンの数によって:

バイポーラ;

四極子。

マルチポートネットワーク。

測定場の周波数から:

集中定数を持つ回路 (集中定数を持つ回路では、抵抗だけが抵抗を持ち、コンデンサだけが静電容量を持ち、インダクタだけがインダクタンスを持ちます)。

分布パラメータを持つ回路 (分布パラメータを持つ回路では、接続ワイヤにも静電容量、導電率、およびインダクタンスがあり、それらはその長さに沿って分布します。このアプローチはマイクロ波領域の回路で最も一般的です)。

要素タイプから:

線形回路（線形の理想化された要素で構成されている場合）。

非線形回路（回路に少なくとも 1 つの非線形要素が含まれる場合）。

この論文では、3 つの回路要素からなる受動回路を検討します。 要素
– は理想化された回路要素と呼ばれます。 このような要素を流れる電流は、印加電圧の一次関数です。

抵抗器用
:
;

コンデンサ用 :
;

インダクタ用 :

したがって、以下から構成されるチェーンは、
要素が呼び出されます リニア.

厳密に言えば、実際にはすべてではありません
要素は線形ですが、多くの場合、線形性からの偏差は小さく、実際の要素は理想的な線形とみなすことができます。 アクティブ抵抗は、そこを流れる電流が非常に小さく、発生する熱によって抵抗値が顕著に変化しない場合にのみ、線形要素とみなすことができます。 インダクタとコンデンサについても同様のことが考えられます。 パラメータの場合
研究対象の電気プロセスが発生する間、回路は変化しないため、パラメータが一定の回路について話します。

線形回路のプロセスは一次方程式で記述されるため、重ね合わせの原理が適用できます。 これは、複雑な形状の信号の線形回路における作用の結果は、元の複雑な信号を分解したより単純な信号の作用の結果の合計として見出すことができることを意味します。

線形回路の解析には、周波数応答法と過渡応答法の 2 つの方法が使用されます。

非線形を通るランダム信号の通過を研究する一般的な問題

回路は、既知の回路データと信号の統計的特性から出力信号の統計的特性を見つけることから構成されます。 このタスクは、入力信号の特性、回路の特性、出力信号の初期特性に関連する特性に基づいて、いくつかの個別のタスクに分割する必要があります。

非線形回路は、明確な電流電圧特性を持つ非線形要素の比率を表し、慣性のない回路として定義されます。

出力信号の望ましい統計的特性に従って、瞬時値の分布法則または包絡線を見つける必要があるタスクと、これらの法則の最初の瞬間を決定するだけで十分なタスクを区別する必要があります。 。

研究と出版物の分析。 さまざまなソースからの信号を処理する方法に応じて、信号に対して除算、乗算などの数学的演算を実行する必要があります。信号に対するこのような数学的演算は、非線形慣性のないデバイスを使用して技術的に実装できます。 その結果、数学的演算を使用して非線形回路を通るランダム信号の通過を研究するという問題は、常に許容可能な形式で解決できるとは限りません。

一般に、ランダムプロセスの非線形慣性のない変換の問題に対する根本的な解決策は、確率差の不変性というよく知られた性質によって生成されます。 ただし、この特性を実際に興味深い非線形変換に適用すると、大きな困難が生じます。 したがって、確率密度の計算が複雑なため、多くの場合、出力信号のより単純で完全な統計的特性を見つけることに限定されます。

問題の声明。 2 つのランダム信号を分割する操作は、入力信号の特定の変換に対する非線形回路を合成する問題に起因すると考えられます。これには、この変換を実行する回路の特性のタイプを確立し、結果の特性を実装することが含まれます。 たとえば、ランダム プロセスを表す 2 つの入力信号の場合、乗算演算は非線形決定論的​​慣性フリー システムを使用して実行されます。これを図に示します。 1. これは、2 つの対数計 1、2 (対数振幅特性を持つデバイス)、加算器、および指数関数的な振幅特性を持つデバイスである表示器 3 で構成されます。 この問題を解決するためのアプローチは、ランダム プロセスの非線形慣性のない変換によって追加の一時的な接続が導入されないという事実に基づいています。 つまり、慣性のない変換前のプロセスが n 次元の分布によって特徴づけられていた場合、その後のプロセスは n 次の分布によって特徴づけられることになります。

正規分布法則を持つ 2 つのランダムなプロセスの和の確率分布の法則も正規であることが知られています。 したがって、展示者の入力における信号は確率密度の正規分布を持っていると仮定できます。

得られる結果は排除などの単純な解決法を持ち、通常の定常過程の指数関数的変換によってのみ発生します。

ただし、多くの場合、非線形要素の特性は 2 ～ 3 つの指数項を含む合計で近似できるため、この結果は比較的一般的な意味を持ちます。 このアプローチでは、出力プロセスの相関関数の合計は、指数項ごとに個別に計算された相関関数の合計と等しくなります。

信号に対して数学的演算 (2 つの信号の除算や乗算など) を実行する非線形慣性のない回路を通るランダム信号の通過を研究する場合の問題は、必ずしも直接的な形で解決できるとは限りません。 ただし、このような場合の統計的特性を決定する問題を解決した結果を得るには、入力信号の特定の変換に対する非線形回路を合成する問題を解決する必要があります。これには、これを実行する個々の回路要素の特性の種類を確立することが含まれます。信号変換。 このアプローチでは、結果の信号を決定するタスクは、割り当てられた機能を実行する各要素の出力で決定されます。