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11 複素変数の基本関数

複素指数の定義を思い出してみましょう – それから

マクローリンシリーズの展開。 この級数の収束半径は + ∞ です。これは、複素指数が複素平面全体で解析的であることを意味します。

(exp z)"=exp z; exp 0=1. (2)

ここでの最初の等式は、たとえば、べき級数の項ごとの微分に関する定理から得られます。

11.1 三角関数と双曲線関数

複素変数の正弦呼び出された関数

複素変数のコサイン機能があります

複素変数の双曲線正弦は次のように定義されます。

複素変数の双曲線余弦-- これは関数です

新しく導入された関数のいくつかのプロパティに注目してください。

A. x∈ ℝ の場合、cos x、sin x、cosh x、sh x∈ ℝ となります。

B.三角関数と双曲線関数の間には次のような関係があります。

cos iz=ch z; sin iz=ish z、ch iz=cos z; シズ=イシンズ。

B. 基本的な三角恒等式と双曲恒等式:

cos 2 z+sin 2 z=1; ch 2 z-sh 2 z=1。

主な双曲恒等性の証明。

三角関数と双曲線関数の間の関係を考慮すると、主要な三角関数恒等式は、主要な双曲線恒等式から得られます (プロパティ B を参照)。

G 加算式:

特に、

D.三角関数と双曲線関数の導関数を計算するには、べき級数の項ごとの微分に関する定理を適用する必要があります。 得られるものは次のとおりです。

(cos z)"=-sin z; (sin z)"=cos z; (ch z)"=sh z; (sh z)"=ch z。

E.関数 cos z、ch z は偶数で、関数 sin z、sin z は奇数です。

J. (周波数)関数 e z は周期 2π i です。 関数 cos z、sin z は 2π の周期で周期的であり、関数 ch z、sin z は 2πi の周期で周期的です。 さらに、

合計の公式を適用すると、次のようになります。

Z. 実数部と虚数部への展開:

単一値の解析関数 f(z) がドメイン D をドメイン G に全単射的にマッピングする場合、D は一価ドメインと呼ばれます。

そして。領域 D k =( x+iy | 2π k≤ y<2π (k+1)} для любого целого k является областью однолистности функции e z , которая отображает ее на область ℂ* .

証拠。 関係 (5) から、マッピング exp:D k → ℂ は単射であることがわかります。 w をゼロ以外の任意の複素数とする。 次に、方程式 e x =|w| を解きます。 そして e iy =w/|w| 実変数 x と y を使用します (y は、n > 1 の半区間から選択されます。z = 0 を除くすべての点でゼロとは異なります。式 (4) で w と z を指数形式で書くと、式 ( 5) 複素数 Z1 と z2 は、k が整数の場合、1 つの点 w に移動することは明らかです。これは、n > 1 の場合、写像 (4) が z 平面上で一価ではないことを意味します。写像 φ = zn が一価である領域は、 a が任意の実数である領域です。 領域 (7) では、複素数 z = ε1×Ф 0 ごとに異なる n を指定できるため、写像 (4) は共形多値になります。次のような複素数 n度は z に等しい: 複素変数 z の次数 n の多項式は、複素数と Φ 0 が与えられた関数であることに注意してください。任意の次数の多項式は、複素平面全体の解析関数です。 2.3. 分数有理関数 分数有理関数は、次の形式の関数と呼ばれます。ここで、 は複素変数 z の多項式です。 分数有理関数は、分母 Q(z) が消える点を除いて、平面全体にわたって解析的です。 例 3. ジュコフスキー関数__ は、点 z = 0 を除く、z 平面全体で解析的です。この領域で考慮されるジュコフスキー関数が一価となる複素平面の領域の条件を見つけてみましょう。 M 点 Z) と zj が関数 (8) によって 1 点に転送されるとします。 したがって、ジュコフスキー関数が一価であるためには、次の条件を満たすことが必要かつ十分です。 一価条件 (9) を満たす領域の例は、円 |z| の外側です。 > 1. ジュコフスキー関数の導関数 複素変数の初等関数 分数有理関数 べき乗関数 指数関数 対数関数 三角関数と双曲線関数 は点を除いてどこでも非ゼロなので、この関数によって実行される領域のマッピングは等角になります。 (図13)。 単位円板 |I の内部もジュコフスキー関数の一価の領域であることに注意してください。 米。 13 2.4. 指数関数 任意の複素数 z = x + y に対して次の関係によって指数関数 ez を定義します。 x = 0 の場合、オイラーの公式が得られます。 指数関数の主な性質を説明します。 1. 実数 z の場合 この定義通常のものと一致します。 これは、式 (10) で y = 0 を設定することによって直接検証できます。 2. 関数 ez は複素平面全体で解析的であり、通常の微分公式が保存されます。 3. 関数 ez については、加法定理が保存されます。 。 4 を設定しましょう。関数 ez は、仮想の主周期 2xi で周期的です。 実際、任意の整数 k に対して、定義 (10) から、Whence はそれに従う、または n が整数である場合、ということになります。 ストリップには、関係 (12) によって接続された単一の点のペアが含まれていないため、実行された研究から、マッピング w = e" はストリップ内で単一であることがわかります (図 14)。これは導関数であるため、このマッピングは等角であることに注意してください。 niv. 関数 g.g は任意のストリップ内で一価です。 2.5. 対数関数 未知数が与えられる方程式から、関数の逆関数は次の式で表されます。多値関数は対数と呼ばれ、次のように表されます。 値 arg z は対数の主値と呼ばれ、 で表されます。 次に、Ln z に対して、三角関数と双曲線関数が得られます。 実数 y に対するオイラーの公式 (11) から、次のようになります。以下の公式を使用して、任意の複素数 z に対する三角関数 sin z と cos z を定義します。 複素引数のサインとコサインには興味深い特性があります。 主なものをリストしてみましょう: 関数 sinz と cos z: 1)実数の z -x は通常のサインおよびコサインと一致します。 2) 複素平面全体の解析。 3) 通常の微分公式に従います。 4) 2π の周期で周期的です。 5) sin z は奇関数、cos z は偶関数です。 6) 通常の三角関係は保存されます。 全ては式（１５）から容易に得られる。 複素領域の関数 tgz と ctgz は公式によって決定され、双曲線関数は公式によって決定されます。「双曲線関数は三角関数と密接に関連しています。この関係は次の等式で表されます。 複素引数のサインとコサインはもう 1 つの重要な特性: 複素平面上では、 |\ は任意の大きな正の値を取ることができます。 特性 6 と式 (18) を使用して、複素変数の初等関数、べき乗関数、指数関数、対数関数、三角関数、および双曲線関数を取得します。関数 ここから、例 4 があると仮定します。 -4 であることを確認するのは簡単です。

複素変数の関数。
複素変数の関数の微分。

この記事では、複素変数の関数理論に関連する典型的な問題を考察する一連のレッスンを開始します。 例をうまくマスターするには、複素数の基本的な知識が必要です。 資料を統合して繰り返すには、このページにアクセスするだけです。 見つけるスキルも必要です 二次偏導関数。 ほら、これらの偏導関数は…今でもそれが頻繁に起こることに少し驚いています…

私たちが検討し始めているトピックには特別な困難はなく、複雑な変数の関数では、原理的にはすべてが明確でアクセスしやすいものです。 重要なことは、私が実験的に導き出した基本ルールに従うことです。 続きを読んでください！

複素変数の関数の概念

まず、1 つの変数の学校関数についての知識を更新しましょう。

単一変数関数これは、(定義領域からの) 独立変数の各値が関数の 1 つの値にのみ対応するという規則です。 当然のことながら、「x」と「y」は実数です。

複雑な場合、関数の依存関係は同様に指定されます。

複素変数の単一値関数- これは誰もが従うルールです 包括的な(定義領域からの) 独立変数の値は、ただ 1 つに対応します。 包括的な関数値。 この理論では、多値関数や他のタイプの関数も考慮されていますが、簡単にするために 1 つの定義に焦点を当てます。

複素変数関数との違いは何ですか?

主な違いは、複素数です。 皮肉を言っているわけではありません。 このような質問をすると、記事の最後で人々が呆然としてしまうことがよくあります。面白い話をしましょう。 授業中 ダミー用の複素数という形式の複素数を考えました。 今から文字「z」は 変数, 次に、それを次のように表します: , 一方、「x」と「y」は異なる値をとることができます。 有効意味。 大まかに言うと、複素変数の関数は、「通常の」値をとる変数 と に依存します。 この事実から論理的に次の点が導かれます。

複素変数の関数は次のように記述できます。
、ここで と は 2 の 2 つの関数です 有効変数。

関数が呼び出されます 実部機能
関数が呼び出されます 虚数部機能

つまり、複素変数の関数は 2 つの実関数 と に依存します。 最後にすべてを明確にするために、実際の例を見てみましょう。

例1

解決：独立変数「zet」は、覚えているとおり、次の形式で記述されます。

(1) を代入しました。

(2) 第 1 項では、乗算の略式を使用しました。 期中は括弧が開いています。

(3) 慎重に二乗する、それを忘れない

(4) 用語の並べ替え: まず用語を書き換えます 、虚数単位はありません(最初のグループ)、次にそこにある用語 (2 番目のグループ)。 用語をシャッフルする必要はなく、このステップは（実際に口頭で行うことで）スキップできることに注意してください。

(5) 2 番目のグループでは、括弧内を外します。

その結果、関数は次の形式で表現されることが判明しました。

答え：
– 関数の実部。
– 関数の虚数部。

これらはどのような機能になったのでしょうか？ このような人気のある関数を見つけることができる 2 つの変数の最も一般的な関数 偏導関数。 容赦なく見つけ出します。 でも、もう少し後。

簡単に言うと、解決された問題のアルゴリズムは次のように記述できます。 元の関数に を代入し、単純化を実行し、すべての項を虚数単位 (実数部) なしと虚数単位 (虚数部) ありの 2 つのグループに分割します。 。

例 2

関数の実数部と虚数部を求めます

これは自分で解決できる例です。 チェッカーを引いた複雑な平面での戦闘に突入する前に、このテーマに関する最も重要なアドバイスをさせてください。

気をつけて！もちろんどこでも注意が必要ですが、複素数ではこれまで以上に注意する必要があります。 ブラケットを慎重に開けて、何も失わないように注意してください。 私の観察によると、最も一般的な間違いは看板を紛失することです。 急ぐ必要はありません。

完全なソリューションそしてレッスンの最後に答えが。

さてキューブです。 省略された乗算公式を使用すると、次のように導き出されます。
.

数式は解のプロセスを大幅にスピードアップするため、実際に使用するのに非常に便利です。

複素変数の関数の微分。

良いニュースと悪いニュースが 2 つあります。 良いものから始めます。 複素変数の関数の場合、微分規則と初等関数の導関数表が有効です。 したがって、導関数は、実変数の関数の場合とまったく同じ方法で取得されます。

悪いニュースは、多くの複雑な変数関数には導関数がまったくないため、次のことを理解する必要があることです。 微分可能ですかある機能か別の機能です。 そして、自分の心がどのように感じているかを「理解する」ことは、さらなる問題と関連しています。

複素変数の関数を考えてみましょう。 この関数が微分可能であるためには、次のことが必要かつ十分です。

1) 1 次偏導関数が存在するようにします。 複素変数の関数理論では伝統的に別の表記法が使用されているため、これらの表記法はすぐに忘れてください。 .

2) いわゆる コーシー・リーマン条件:

この場合にのみ派生関数が存在します。

例 3

解決は 3 つの連続した段階に分かれています。

1) 関数の実数部と虚数部を求めてみましょう。 このタスクについては前の例で説明したので、コメントなしで書き留めておきます。

それ以来：

したがって：

– 関数の虚数部。

もう 1 つ技術的な点に触れさせてください。 どのような順序で実数部と虚数部の項を書きますか? はい、原則的には問題ありません。 たとえば、実部は次のように記述できます。 、そして想像上のものは次のようになります。

2) コーシー・リーマン条件が満たされていることを確認してみましょう。 そのうちの2つがあります。

まずは状態の確認から始めましょう。 私たちは見つけます 偏導関数:

したがって、条件は満たされます。

もちろん、良いニュースは、偏導関数はほとんどの場合非常に単純であるということです。

2 番目の条件が満たされていることを確認します。

結果は同じですが、符号が反対になります。つまり、条件も満たされます。

コーシー リーマン条件が満たされるため、関数は微分可能です。

3) 関数の導関数を求めてみましょう。 導関数も非常に単純で、通常の規則に従って求められます。

虚数単位は微分中に定数とみなされます。

答え： – 実部、 – 虚数部。
コーシー・リーマン条件は満たされます。

導関数を見つける方法はさらに 2 つあります。もちろん、使用頻度は低くなりますが、この情報は 2 番目のレッスンを理解するのに役立ちます。 複素変数の関数を見つけるにはどうすればよいですか?

導関数は次の式を使用して求めることができます。

で この場合:

したがって

逆問題を解決する必要があります。結果として得られる式を分離する必要があります。 これを行うには、条件内および括弧の外側に次のことが必要です。

多くの人が気づいているように、逆の操作は実行するのがやや難しく、下書きに表現を書き込むか、口頭で括弧を開き、結果が正確であることを確認する方が常に良いです。

導関数を求めるためのミラー公式:

この場合： 、 それが理由です：

例 4

関数の実数部と虚数部を決定する 。 コーシー-リーマン条件が満たされていることを確認します。 コーシー リーマン条件が満たされる場合は、関数の導関数を求めます。

レッスンの最後には、短いソリューションと最終デザインのおおよそのサンプルが表示されます。

コーシー・リーマン条件は常に満たされますか? 理論的には、満たされるよりも満たされない方が多くなります。 しかし、実際の例では、それらが満たされなかったケースは覚えていません =) したがって、偏導関数が「収束しない」場合は、非常に高い確率で、どこかで間違いがあったと言えます。

関数を複雑にしてみましょう。

例5

関数の実数部と虚数部を決定する 。 コーシー-リーマン条件が満たされていることを確認します。 計算する

解決：解のアルゴリズムは完全に保持されますが、最後に新しい点が追加されます。つまり、点での導関数を求めます。 立方体の場合、必要な式はすでに導出されています。

この関数の実数部と虚数部を定義しましょう。

またまた注目、注目！

それ以来：


したがって：
– 関数の実部。
– 関数の虚数部。

2 番目の条件を確認します。

結果は同じですが、符号が反対になります。つまり、条件も満たされます。

コーシー リーマン条件が満たされるため、関数は微分可能です。

必要な点での導関数の値を計算してみましょう。

答え：、 、コーシー・リーマン条件は満たされます。

キューブを使用した関数は一般的であるため、強化するための例を次に示します。

例6

関数の実数部と虚数部を決定する 。 コーシー-リーマン条件が満たされていることを確認します。 計算してください。

レッスン終了時の解答と仕上げ例。

複素解析の理論では、指数、サイン、コサインなど、複素引数の他の関数も定義されます。 これらの関数には、通常ではない、さらには奇妙な特性があります。これは非常に興味深いものです。 本当はお伝えしたいのですが、ここではたまたま参考書や教科書ではなく、解答本なので、いくつかの共通機能を使って同じ問題を考えていきます。

まずいわゆるものについて オイラーの公式:

誰にとっても 有効数値の場合、次の式が有効です。

参考資料としてノートにコピーすることもできます。

厳密に言えば、式は 1 つだけですが、便宜上、次のように書くのが一般的です。 特別な場合インジケーターにマイナスが付いています。 パラメーターは単一の文字である必要はありません。複雑な式または関数を使用できます。重要なのは、それらが受け入れられることだけです。 のみ有効です意味。 実際に、今これを見てみましょう:

例 7

導関数を求めます。

解決：党の一般的な方針は揺るぎないものであり、関数の実部と虚部を区別する必要がある。 以下に詳細な解決策を示し、各ステップについてコメントします。

それ以来：

(1) 代わりに「z」を代入します。

(2) 置換後、実数部と虚数部を選択する必要があります インジケーターの最初に出展者たち。 これを行うには、括弧を開きます。

(3) 虚数単位を括弧の外に置き、インジケーターの虚数部をグループ化します。

(4) 学位付きのスクールアクションを利用します。

(5) 乗数にはオイラーの公式と を使用します。

(6) 括弧を開くと、次のようになります。

– 関数の実部。
– 関数の虚数部。

さらなるアクションは標準です。コーシー-リーマン条件が満たされていることを確認してみましょう。

例9

関数の実数部と虚数部を決定する 。 コーシー-リーマン条件が満たされていることを確認します。 それはそれで、派生語は見つかりません。

解決：解決アルゴリズムは前の 2 つの例と非常によく似ていますが、次の点が非常に異なります。 重要な点したがって、最初の段階をもう一度段階的にコメントアウトします。

それ以来：

1) 代わりに「z」を代入します。

(2) まず、実数部と虚数部を選択します。 副鼻腔の内側。 これらの目的のために、括弧を開きます。

(3) 次の式を使用します。 .

(4) 用途 ハイパボリックコサインのパリティ： そして ハイパボリックサインの奇数: 。 双曲線は、この世のものではありませんが、多くの点で同様の三角関数を思い出させます。

結果として：
– 関数の実部。
– 関数の虚数部。

注意！マイナス記号は虚数部を表しており、いかなる場合でもマイナス記号を失ってはなりません。 明確に説明するために、上記で得られた結果は次のように書き換えることができます。

コーシー-リーマン条件が満たされていることを確認してみましょう。

コーシー・リーマン条件は満たされています。

答え：、 、コーシー・リーマン条件は満たされます。

皆さん、自分で考えてみましょう。

例 10

関数の実数部と虚数部を決定します。 コーシー・リーマン条件が満たされていることを確認します。

殻をむいたピーナツのようなものなら誰でも対処できると思われるため、あえて難しい例を選びました。 同時に注意力も鍛えられます！ レッスンの最後にはナッツクラッカー。

結論として、複雑な引数が分母にある場合の別の興味深い例を見てみましょう。 実際にはこのようなことが何度かありました。簡単な例を見てみましょう。 えー、老けたな…

例 11

関数の実数部と虚数部を決定します。 コーシー・リーマン条件が満たされていることを確認します。

解決：ここでも、関数の実数部と虚数部を区別する必要があります。
の場合、

分母に「Z」が入っている場合はどうすればよいのかという疑問が生じます。

すべてがシンプルです - 標準的なものが役に立ちます 分子と分母に共役式を掛ける方法、レッスンの例ですでに使用されています ダミー用の複素数。 学校の公式を思い出してみましょう。 分母には​​すでに入っています。つまり、共役式は になります。 したがって、分子と分母に次の値を乗算する必要があります。