意味。 段付き次のプロパティを持つ行列を呼び出します。

1) もし i 行目がゼロの場合、(I + 1) 番目の行もゼロになります。

2) 最初の値がゼロ以外の場合 i 番目の要素(I + 1) 番目の行はそれぞれ k と R の番号が付けられた列に位置し、その後 k< R.

条件 2) から移動する場合、左側のゼロを強制的に増やす必要があります。 i 行目(I + 1) 行目まで。 たとえば、行列

A1 = 、A2 =
、A3 =

は段階的であり、行列

B1 = 、V 2 = 、B 3 =

ステップされていません。

定理5.1。行列の行の基本変換を使用して、任意の行列を階層行列に縮小できます。

この定理を例を挙げて説明しましょう。

A=

結果として得られる行列は段階的です。

意味。 マトリックスランクこの行列の段階的形式の非ゼロ行の数を呼びます。

たとえば、前の例の行列 A のランクは 3 です。

講義6。

決定要因とその性質。 逆行列とその計算。

二次行列式。

2次正方行列を考えてみましょう

A =

意味。 二次行列式行列 A に対応する数は式で計算された数です

│A│= = .

ij と呼ばれる要素 決定要因の要素│A│、要素 a 11 と 22 が形成する 主対角線、要素 a 12、a 21 ─ 側

例。 = -28 + 6 = -22

三次行列式。

3次正方行列を考えてみましょう

A =

意味。 三次行列式行列 A に対応する数は式で計算された数です

│A│= =

等式の右辺のどの積にプラス記号を付け、どの積にマイナス記号を付けるかを思い出すには、次のルールを覚えておくと便利です。 三角定規。

= ─

例:

1) = - 4 + 0 + 4 – 0 + 2 +6 = 8

2) = 1、つまり │E 3 │= 1。

3 次行列式を計算する別の方法を考えてみましょう。

意味。 微量要素行列式のａ ｉｊ は、与えられた行列式からｉ行目ｊ列を削除して得られる行列式である。 代数補数行列式の要素 a ij の ij は、符号 (-1) i+ j を付けて、そのマイナー M ij と呼ばれます。

例。行列の要素 a 23 のマイナー M 23 と代数補数 A 23 を計算してみましょう

A =

マイナー M 23 を計算してみましょう。

M 23 = = = - 6 + 4 = -2

A 23 = (-1) 2+3 M 23 = 2

定理1. 3 次行列式は、任意の行 (列) の要素とその代数の補数の積の和に等しくなります。

博士。 定義上

= (1)

たとえば、2 行目を選択して、代数の補数 A 21、A 22、A 23 を見つけてみましょう。

A 21 = (-1) 2+1 = -() =

A 22 = (-1) 2+2 =

A 23 = (-1) 2+3 = - () =

式(1)を変形してみましょう。

│A│= ( ) + () + () = A 21 + A 22 + A 23

│A│= A 21 + A 22 + A 23

呼ばれた 行列式の展開│A│ 2 行目の要素による。 同様に、他の行および任意の列の要素から分解を取得できます。

例。

= (2 列目の要素による) = 1× (-1) 1+2 +2×(-1)2+2 +

+ (-1)(-1) 3+2 = - (0 + 15) + 2(-2 +20) + (-6 +0) = -15 +36 – 6 = 15.

6.3. n 次の行列式 (n О N)。

意味。 n次の行列式、 n次行列に対応

A =

数値は、任意の行 (列) の要素とその代数補数との積の合計に等しいと呼ばれます。

│A│= A i1 + A i2 + … + A in = A 1j + A 2j + … + A nj

n = 2 の場合、2 次行列式を計算する式が得られることが簡単にわかります。

例。 = (4行目の要素による) = 3×(-1) 4+2 +

2×(-1) 4+4 = 3(-6 + 20 – 2 – 32) +2(-6 +16 +60 +2)=3(-20) +2×72 = -60 +144 = 84。

行列式の行 (列) の 1 つを除くすべての要素が 0 に等しい場合、行列式を計算するときに、行列式をこの行 (列) の要素に展開すると便利であることに注意してください。

例。

│E n │= = 1 × │E n -1 │ = … = │E 3 │= 1

行列式のプロパティ。

意味。マトリックスを表示する

または

電話します 三角行列。

プロパティ 1.三角行列の行列式は、主対角要素の積に等しいです。

= =

プロパティ 2。行または列が 0 の行列の行列式は 0 です。

特性３．行列を転置する場合、行列式は変わりません。

│А│= │А t │。

特性４．行列 A から特定の行の各要素に数値 k を乗算して行列 B を取得する場合、

│B│= k│A│

特性５．

= =

特性６．行列 A から 2 つの行を並べ替えて行列 B が得られる場合、|B|= −|A| となります。

物件7。比例行を含む行列の行列式は 0 に等しく、特に 2 つの同一の行を含む行列の行列式は 0 に等しくなります。

物件8。行列の行列式は、行列の別の行の要素を 1 つの行の要素に加算して特定の数を乗算しても変わりません。

コメント。性質 3 により、行列の行列式は転置中に変化しないため、行列の行に関するすべての性質が列にも当てはまります。

物件9。 A と B が n 次の正方行列の場合、|AB|=|A||B| となります。

逆行列。

意味。次数 n の正方行列 A を呼びます。 逆行する、 AB = BA = E n となるような行列 B があるとします。 この場合、行列 B は次のように呼ばれます。 逆行列 A であり、A -1 と指定されます。

定理2.次の記述は真実です。

1) 行列 A が可逆である場合、行列は 1 つだけ存在します。 逆行列;

2) 逆行列にはゼロ以外の行列式があります。

3) A と B が n 次の逆行列の場合、行列 AB は可逆であり、(AB) -1 =

V -1 ×A -1 .

証拠。

1) B と C を行列 A の逆行列とします。つまり、 AB = BA = E n および AC = CA = E n。 すると、B = BE n = B(AC) = (BA)C = E n C = Cとなります。

2) 行列 A を可逆とする。 次に、行列 A -1 とその逆行列があり、

行列式 │АА -1 │=│А││А -1 │の性質 9 による。 次に、│A││A -1 │=│E n │、ここから

│А││А -1 │= 1。

したがって、│A│¹ 0。

3) 確かに、

(AB)(B -1 A -1) = (A(BB -1))A -1 = (AE n)A -1 = AA -1 = E n。

(B -1 A -1)(AB) = (B -1 (A -1 A))B = (B -1 E n)B = B -1 B = E n。

したがって、AB は可逆行列であり、(AB) -1 = B -1 A -1 となります。

次の定理は、逆行列の存在の基準とその計算方法を示します。

定理3.正方行列 A は、行列式がゼロ以外の場合にのみ可逆です。 │А│¹ 0 の場合、

A -1 = =

例。行列 A = の逆行列を求めます。

解決。│A│= = 6 + 1 = 7。

│А│¹ 0 なので、逆行列が存在します。

A -1 = =

A 11 = 3、A 12 = 1、A 21 = -1、A 22 = 2 を計算します。

A -1 = .

講義7。

システム 線形方程式。 線形方程式系の互換性基準。 連立一次方程式を解くためのガウス法。 クラマーの法則と連立一次方程式を解くための行列法。

線形方程式系。

次の形式の方程式のセット

(1)

呼ばれた n 個の未知数を持つ m 個の線形方程式系 x 1、x 2、...、x n。 ij が呼ばれる番号 システム係数、そして数字 b i ─ 無料会員。

システムの解法(1)は数値 c 1、c 2、...、c n の集合です。これらを x 1、x 2、...、x n の代わりに系 (1) に代入すると、正しい数値的等価性が得られます。

システムを解決する─ 解決策をすべて見つけるか、解決策が存在しないことを証明することを意味します。 システムは次のように呼ばれます ジョイント少なくとも 1 つの解決策がある場合、および 非接合解決策がない場合。

システム係数で構成される行列

A =

これを系(1)の行列と呼びます。 システム行列に自由項の列を追加すると、次の行列が得られます。

B =
,

と呼ばれるもの システムの拡張行列 (1)。

と表すと

X = 、C = とすると、系 (1) は行列方程式 AX=C の形で書くことができます。

先頭の要素は 1 行目 - 、2 行目 - にあります。 、4行目 。 行の先頭の要素が唯一である必要はないことに注意してください (2 行目を参照)。

定理。 任意の行列は、有限数の基本行変換によって縮小形式に縮小できます。

証拠。

行列の形式を次のようにします。

.

縮小行列の定義を使用してみましょう。

最初の行がゼロの場合は、非ゼロの行が見つかるまで 2 行目などに進みます。 ゼロ以外の行 (これを 番目の行とする) で、ゼロ以外の要素 (要素 とする) を選択します。

行列に対して次の基本的な変換を実行してみましょう。

... ... .

明らかに、この後、 要素を除く 番目の列のすべての要素はゼロになります。 次に、ゼロ以外の要素を持つ次の非ゼロ行を選択し、行列の行に対して同様の変換を実行します。 有限数のステップで、ゼロ以外のすべての行を調べた後、行列を取得します。行列は定義により削減されます。

例 14. みましょう 。 行列を縮小形式に縮小してみましょう。

解決。

先頭の要素を先頭の要素として取得し (先頭の要素は括弧で強調表示されます)、次の変換を実行します。

次のステップでは、要素を先頭要素として取得し、指定された変換を実行して、最終的に取得します。

このトピックでは、行列の概念と行列の種類について説明します。 このトピックには多くの用語があるため、資料を読みやすくするために簡単な概要を追加します。

行列とその要素の定義。 表記。

マトリックス$m$ 行と $n$ 列からなるテーブルです。 行列の要素は、数値、変数、または他の行列など、まったく異なる性質のオブジェクトにすることができます。 たとえば、行列 $\left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$ には 3 行 2 列が含まれます。 その要素は整数です。 行列 $\left(\begin(array) (cccc) a & a^9+2 & 9 & \sin x \\ -9 & 3t^2-4 & u-t & 8\end(array) \right)$ 2 行 4 列が含まれます。

行列を記述するさまざまな方法: show\hide

マトリックスは丸括弧だけでなく、角括弧や二重正括弧で書くこともできます。 以下は同じ行列です いろいろな形エントリ:

$$ \left(\begin(配列) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(配列) \right);\;\; \left[ \begin(配列) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(配列) \right]; \;\; \left \Vert \begin(配列) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(配列) \right \Vert $$

積 $m\times n$ が呼び出されます マトリックスサイズ。 たとえば、行列に 5 行と 3 列が含まれる場合、サイズ $5\times 3$ の行列と言います。 行列 $\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$ のサイズは $3 \times 2$ です。

通常、行列は、$A$、$B$、$C$ などのラテン文字の大文字で表されます。 たとえば、$B=\left(\begin(array) (ccc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$ となります。 行番号は上から下に付けられます。 列 - 左から右へ。 たとえば、行列 $B$ の最初の行には要素 5 と 3 が含まれ、2 番目の列には要素 3、-87、0 が含まれます。

行列の要素は通常、小さな文字で表されます。 たとえば、行列 $A$ の要素は $a_(ij)$ で表されます。 二重インデックス $ij$ には、行列内の要素の位置に関する情報が含まれます。 数値 $i$ は行番号、数値 $j$ は列番号で、その交点に要素 $a_(ij)$ があります。 たとえば、行列の 2 行目と 5 列目の交点 $A=\left(\begin(array) (cccccc) 51 & 37 & -9 & 0 & 9 & 97 \\ 1 & 2 & 3 & 41 & 59 & 6 \ \ -17 & -15 & -13 & -11 & -8 & -5 \\ 52 & 31 & -4 & -1 & 17 & 90 \end(array) \right)$ 要素$a_(25)= $59:

同様に、最初の行と最初の列の交差点に要素 $a_(11)=51$ があります。 3 行目と 2 列目の交差点 - 要素 $a_(32)=-15$ など。 エントリ $a_(32)$ は「a 3 two」ではなく「a thirty two」であることに注意してください。

サイズが $m\times n$ である行列 $A$ を省略するには、$A_(m\times n)$ という表記が使用されます。 次の表記がよく使用されます。

$$ A_(m\times(n))=(a_(ij)) $$

ここで $(a_(ij))$ は行列 $A$ の要素の指定を示します。 行列 $A$ の要素が $a_(ij)$ として表されると述べています。 拡張形式では、行列 $A_(m\times n)=(a_(ij))$ は次のように記述できます。

$$ A_(m\times n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(m1) & a_(m2) & \ldots & a_(mn) \end(array) \right) $$

別の用語を紹介しましょう - 等行列.

同じサイズの 2 つの行列 $A_(m\times n)=(a_(ij))$ と $B_(m\times n)=(b_(ij))$ が呼び出されます 等しい、対応する要素が等しい場合、つまり すべての $i=\overline(1,m)$ および $j=\overline(1,n)$ に対して $a_(ij)=b_(ij)$ です。

エントリ $i=\overline(1,m)$: show\hide の説明

「$i=\overline(1,m)$」という表記は、パラメータ $i$ が 1 から m まで変化することを意味します。 たとえば、エントリ $i=\overline(1,5)$ は、パラメータ $i$ が値 1、2、3、4、5 を取ることを示します。

したがって、行列が等しいためには、サイズの一致と対応する要素の等しいという 2 つの条件が満たされる必要があります。 たとえば、行列 $A=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$ は行列と等しくありません。 $B=\left(\ begin(array)(cc) 8 & -9\\0 & -87 \end(array)\right)$ 行列 $A$ のサイズは $3\times 2$ で行列 $B$ であるためサイズは $2\times $2 です。 また、行列 $A$ は行列 $C=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\98 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$ と等しくありません。 、$a_( 21)\neq c_(21)$ (つまり $0\neq 98$) 以降。 しかし、行列 $F=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$ の場合、安全に $A= と書くことができます。 F$ は、行列 $A$ と $F$ のサイズと対応する要素の両方が一致するためです。

例その1

行列のサイズを決定します $A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \\ -6 & 8 & 23 \\ 11 & -12 & -5 \ \4 & 0 & -10 \\ \end(array) \right)$。 要素 $a_(12)$、$a_(33)$、$a_(43)$ が何に等しいかを示します。

この行列には 5 行 3 列が含まれているため、そのサイズは $5\times 3$ になります。 この行列には $A_(5\times 3)$ という表記を使用することもできます。

要素 $a_(12)$ は 1 行目と 2 列目の交点にあるため、$a_(12)=-2$ となります。 要素 $a_(33)$ は 3 行目と 3 列目の交点にあるため、$a_(33)=23$ となります。 要素 $a_(43)$ は 4 行目と 3 列目の交点にあるため、$a_(43)=-5$ となります。

答え: $a_(12)=-2$、$a_(33)=23$、$a_(43)=-5$。

サイズに応じた行列の種類。 主対角線と副対角線。 マトリックスのトレース。

ある行列 $A_(m\times n)$ が与えられたとします。 $m=1$ (行列が 1 行で構成される) の場合、指定された行列が呼び出されます。 行列行。 $n=1$ (行列が 1 列で構成される) の場合、そのような行列は次のように呼ばれます。 行列の列。 たとえば、 $\left(\begin(array) (ccccc) -1 & -2 & 0 & -9 & 8 \end(array) \right)$ は行行列であり、 $\left(\begin(array) ) (c) -1 \\ 5 \\ 6 \end(array) \right)$ は列行列です。

行列 $A_(m\times n)$ が条件 $m\neq n$ を満たす (つまり、行数が列数に等しくない) 場合、$A$ は長方形であるとよく言われます。マトリックス。 たとえば、行列 $\left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 0 & 9 \\ 5 & 9 & 5 & 1 \end(array) \right)$ のサイズは $2\times 4 です。 $、それら。 2 行 4 列が含まれます。 行数と列数が等しくないため、この行列は長方形になります。

行列 $A_(m\times n)$ が条件 $m=n$ を満たす (つまり、行数が列数に等しい) 場合、$A$ は次数 $ の正方行列と言われます。 n$。 たとえば、 $\left(\begin(array) (cc) -1 & -2 \\ 5 & 9 \end(array) \right)$ は 2 次正方行列です。 $\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 9 \\ 5 & 9 & 8 \\ 1 & 0 & 4 \end(array) \right)$ は 3 次の正方行列です。 一般に、正方行列 $A_(n\times n)$ は次のように記述できます。

$$ A_(n\times n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(n1) & a_(n2) & \ldots & a_(nn) \end(array) \right) $$

要素 $a_(11)$、$a_(22)$、$\ldots$、$a_(nn)$ はオンであると言われます 主対角線行列 $A_(n\times n)$。 これらの要素は次のように呼ばれます 主な対角要素(または単に対角要素)。 要素 $a_(1n)$、$a_(2 \; n-1)$、$\ldots$、$a_(n1)$ はオンです 側（短）対角線; 彼らは呼ばれています 側面対角要素。 たとえば、行列 $C=\left(\begin(array)(cccc)2&-2&9&1\\5&9&8& 0\\1& 0 & 4 & -7 \\ -4 & -9 & 5 & 6\end(配列) \right)$ があります:

要素 $c_(11)=2$、$c_(22)=9$、$c_(33)=4$、$c_(44)=6$ は主な対角要素です。 要素 $c_(14)=1$、$c_(23)=8$、$c_(32)=0$、$c_(41)=-4$ は、側対角要素です。

主な対角要素の合計は次のように呼ばれます。 続いてマトリックス$\Tr A$ (または $\Sp A$) で表されます。

$$ \Tr A=a_(11)+a_(22)+\ldots+a_(nn) $$

たとえば、行列 $C=\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1\\5 & 9 & 8 & 0\\1 & 0 & 4 & -7\\- の場合4 & -9 & 5 & 6 \end(array)\right)$ は次のようになります。

$$ \Tr C=2+9+4+6=21。 $$

対角要素の概念は、非正方行列にも使用されます。 たとえば、行列 $B=\left(\begin(array) (ccccc) 2 & -2 & 9 & 1 & 7 \\ 5 & -9 & 8 & 0 & -6 \\ 1 & 0 & 4 の場合& - 7 & -6 \end(array) \right)$ 主要な対角要素は $b_(11)=2$、$b_(22)=-9$、$b_(33)=4$ になります。

要素の値に応じた行列の種類。

行列 $A_(m\times n)$ のすべての要素がゼロに等しい場合、そのような行列は次のように呼ばれます。 ヌル通常は文字 $O$ で表されます。 たとえば、$\left(\begin(array) (cc) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end(array) \right)$、$\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ - ゼロ行列。

行列 $A$ の非ゼロ行を考えてみましょう。 ゼロ以外の要素を少なくとも 1 つ含む文字列。 主要な要素非ゼロ文字列の最初の (左から右に数えて) 非ゼロ要素と呼びます。 たとえば、次のマトリックスを考えてみましょう。

$$W=\left(\begin(配列)(cccc) 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 12\\ 0 & -9 & 5 & 9 \end(配列)\right)$ $

2 行目では、先頭の要素は 4 番目の要素になります。 $w_(24)=12$ となり、3 行目では先頭の要素が 2 番目の要素になります。 $w_(32)=-9$。

行列 $A_(m\times n)=\left(a_(ij)\right)$ が呼び出されます 段差のある 2 つの条件を満たす場合:

1. Null 行が存在する場合、それはすべての非 Null 行の下に配置されます。
2. 非ゼロ行の先頭要素の数は、厳密に増加するシーケンスを形成します。 $a_(1k_1)$、$a_(2k_2)$、...、$a_(rk_r)$ が行列 $A$ の非ゼロ行の先頭要素である場合、$k_1\lt(k_2)\ lt\ldots\lt(k_r)$。

ステップ行列の例:

$$ \left(\begin(配列)(cccccc) 0 & 0 & 2 & 0 & -4 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -9 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end(array)\right);\; \left(\begin(配列)(cccc) 5 & -2 & 2 & -8\\ 0 & 4 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -10 \end(配列)\right)。 $$

比較: 行列 $Q=\left(\begin(array)(ccccc) 2 & -2 & 0 & 1 & 9\\0 & 0 & 0 & 7 & 9\\0 & -5 & 0 & 10 & 6\end(array)\right)$ は、ステップ行列の定義の 2 番目の条件に違反しているため、ステップ行列ではありません。 2 行目と 3 行目の先頭要素 $q_(24)=7$ と $q_(32)=10$ には、番号 $k_2=4$ と $k_3=2$ が付いています。 ステップ行列の場合、条件 $k_2\lt(k_3)$ が満たされる必要があります。 この場合違反した。 2 行目と 3 行目を入れ替えると、段階的な行列が得られることに注意してください。 $\left(\begin(array)(ccccc) 2 & -2 & 0 & 1 & 9\\0 & -5 & 0 & 10 & 6 \\0 & 0 & 0 & 7 & 9\end(array)\right)$。

ステップ行列はと呼ばれます 台形または 台形、先頭の要素 $a_(1k_1)$, $a_(2k_2)$, ..., $a_(rk_r)$ が条件 $k_1=1$, $k_2=2$,..., $k_r を満たす場合= r$、つまり 主要なものは対角要素です。 一般に、台形行列は次のように記述できます。

$$ A_(m\times(n)) =\left(\begin(array) (cccccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1r) & \ldots & a_(1n)\\ 0 & a_(22) & \ldots & a_(2r) & \ldots & a_(2n)\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ 0 & 0 & \ldots & a_(rr) & \ldots & a_(rn)\\ 0 & 0 & \ldots & 0 & \ldots & 0\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ 0 & 0 & \ldots & 0 & \ldots & 0 \end(array)\right) $$

台形行列の例:

$$ \left(\begin(配列)(cccccc) 4 & 0 & 2 & 0 & -4 & 1\\ 0 & -2 & 0 & 0 & -9 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end(array)\right);\; \left(\begin(配列)(cccc) 5 & -2 & 2 & -8\\ 0 & 4 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -3 & -10 \end(配列)\right)。 $$

正方行列の定義をさらにいくつか挙げてみましょう。 主対角線の下にある正方行列のすべての要素がゼロに等しい場合、そのような行列は次のように呼ばれます。 上三角行列。 たとえば、 $\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end(array) \right)$ は上三角行列です。 上三角行列の定義では、主対角の上または主対角上にある要素の値については何も述べられていないことに注意してください。 ゼロであってもなくても構いません。それは問題ではありません。 たとえば、 $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 9 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ も上三角行列です。

主対角線上にある正方行列のすべての要素がゼロに等しい場合、そのような行列は次のように呼ばれます。 下三角行列。 例: $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 1 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 6 \ end(array) \right)$ - 下三角行列。 下三角行列の定義では、主対角線の下または上にある要素の値については何も述べられていないことに注意してください。 それらはゼロであってもなくても構いません。 たとえば、 $\left(\begin(array) (ccc) -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 9 \end(array) \right)$ および $\left(\ begin (array) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ も下三角行列です。

正方行列はと呼ばれます 対角線、主対角線上にないこの行列のすべての要素がゼロに等しい場合。 例: $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \ end(配列)\right)$。 主対角線上の要素は何でも (ゼロに等しいかどうか)、問題ではありません。

対角行列はと呼ばれます シングル、主対角線上にあるこの行列のすべての要素が 1 に等しい場合。たとえば、 $\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(array)\right)$ - 4 次単位行列。 $\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array)\right)$ は 2 次単位行列です。

意味

正方行列はと呼ばれます 対角線、主対角線の外側にあるすべての要素がゼロに等しい場合。

コメント。行列の対角要素 (つまり、主対角要素) がゼロになることもあります。

例

意味

スカラーすべての対角要素が互いに等しい対角行列と呼ばれます。

コメント。ヌル行列が正方形の場合、それはスカラーでもあります。

例

意味

恒等行列は、対角要素が 1 に等しい次数のスカラー行列です。

コメント。表記を短くするために、単位行列の順序を省略できます。その場合、単位行列は単に で表されます。

例

は 2 次単位行列です。

2.10. 行列を対角形式に縮小する

通常の (特に対称) 行列 あ相似変換によって対角形にすることができます -

あ = た −1

ここ Λ = diag(λ 1 ,..., λ N) は、要素が行列の固有値である対角行列です。 あ、A T行列の対応する固有ベクトルで構成される行列です。 あ、つまり T = (v 1 ,...,v N).

例えば、

米。 23 対角形式への還元

ステップマトリックス

意味

段付きは次の条件を満たす行列です。

意味

段付きは、行を含み、最初の対角要素が非ゼロであり、主対角の下にある要素と最後の行の要素が 0 に等しい行列と呼ばれます。つまり、次の形式の行列です。

意味

主な要素行列の行の最初の非ゼロ要素が呼び出されます。

例

エクササイズ。行列の各行の主要素を見つけます。

解決。最初の行の主要素はその行の最初の非ゼロ要素であり、したがって行番号 1 の主要素になります。 同様に、2行目の主要要素です。

ステップ行列の別の定義。

意味

マトリックスはと呼ばれます 段差のある、 もし：

すべてのゼロ行は非ゼロ行の後に来ます。

2 番目から始まるゼロ以外の各行では、その主要素は前の行の主要素の右側 (番号が大きい列) に配置されます。

定義上、ステップ行列には、1 行を含む行列だけでなく、ゼロ行列も含まれます。

例

ステップ行列の例:

, , , ,

エシェロンではない行列の例:

, ,

例

エクササイズ。行列があるかどうかを調べます。 踏み出した。

解決。定義から条件が満たされていることを確認します。

したがって、指定された行列は段階的です。

連立一次方程式を解いて研究する場合、縮小ステップ行列が重要な役割を果たします。

意味。 すべての主要な列で構成される行列が単位行列である場合、エシュロン行列は縮小行列と呼ばれます。

縮小階層行列にはゼロ行はなく、その行の先頭要素はすべて 1 に等しくなります。

定理3.4. ゼロ以外の行列は行単位で縮小された階層行列と等価です。

証拠。 を Rank の非ゼロ行列としましょう。 定理 3.2 および 3.3 によれば、これは、非ゼロ行で構成される階層行列 (行列 B など) と行単位で等価です。 行列 B の各行をその先頭の要素で分割しましょう。

その結果、行のすべての先頭要素が 1 に等しいステップ行列 C が得られます。 次に、行列 C の行方向の基本変換のチェーンを使用して、先頭の要素の上にあるすべての非ゼロ要素をゼロにします。 その結果、行列 D が得られ、その主要な列が単位行列を形成します。 したがって、D は目的の縮小エシュロン行列であり、行に関しては元の行列 A と等価になります。

定理3.5. 線形に独立した行を持つすべての正方行列は、行単位で恒等行列 E と等価です。

証拠。 A を線形に独立した行を持つ行列とします。 非特異的な基本行変換のチェーンを使用すると、行列 C の主要な要素を特定のステップ行列に減らすことができます。

不等式 (2) から次のことがわかります。 したがって、行列 C は次の形式になります。

つまり、主対角線上に非ゼロ要素を持つ上三角行列です。 行列の最初の行と 2 番目の行を乗算してみましょう。その結果、行に相当する行列が得られます。