マトリックスを階段状の形状 (図 1.4) にするには、次の手順を実行する必要があります。

1. 最初の列で、ゼロ以外の要素を選択します ( 主要な要素 ）。 先頭要素 ( 先頭線 )、それが最初でない場合は、最初の行の代わりに再配置します (タイプ I 変換)。 最初の列に先頭の要素がない (すべての要素がゼロである) 場合は、この列を除外し、行列の残りの先頭の要素の検索を続けます。 すべての列が削除されるか、行列の残りの要素がすべてゼロになると、変換は終了します。

2. 先頭の行のすべての要素を先頭の要素で除算します (タイプ II 変換)。 先頭行が最後の場合、変換はそこで終了する必要があります。

3. 先頭の行の下にある各行に、先頭の行を追加し、先頭の行の下の要素がゼロに等しくなるような数値を掛けます (タイプ III 変換)。

4. 先頭の要素が交差する行と列を考慮から除外したら、ステップ 1 に進み、ここで説明したすべてのアクションを行列の残りの部分に適用します。

行の要素に応じた品目の分布に関する定理。

行列式を行または列の要素に分解する定理により、行列式の計算を削減できます。 - 次数 () から次数決定因子の計算へ .

行列式の要素が 0 に等しい場合は、行列式を、最大数の 0 を含む行または列の要素に展開するのが最も便利です。

行列式のプロパティを使用して、行列式を変換できます。 - 特定の行または列の 1 つを除くすべての要素がゼロになるように順序付けします。 したがって、行列式を計算すると、 - 0 以外の場合、次数は 1 つの行列式の計算に還元されます。 - 番目の注文。

タスク3.1。行列式を計算する

解決。最初の行を 2 行目に加算し、1 行目に 2 を乗じて 3 行目に、1 行目に -5 を乗算して 4 行目を追加すると、次のようになります。

行列式を最初の列の要素に展開すると、次のようになります。

.

結果として得られる 3 次行列式で、最初の列を除く最初の列のすべての要素をゼロにしてみましょう。 これを行うには、(-1) を乗算した最初の行を 2 行目に追加し、5 を乗算した 3 行目に、8 を乗算した最初の行を追加します。3 行目に 5 を乗算したため、(行列式は変わりません）それに を掛けます。 我々は持っています

結果の行列式を最初の列の要素に分解してみましょう。

ラプラスの定理(1)。 宇宙人の加算に関する定理(2)

1) 行列式は、任意の行の要素とその代数の補数の積の合計に等しい。

2) 行列式の任意の行の要素と、他の行の対応する要素の代数補数との積の和は、ゼロに等しくなります (他の代数補数による乗算の定理)。

選択した座標系を持つ平面上のすべての点は、その座標のペア (α、β) によって指定されます。 数値 α と β は、この点を終端とする動径ベクトルの座標としても理解できます。 同様に、空間では、トリプル (α、β、γ) は、座標 α、β、γ を持つ点またはベクトルを定義します。 システムのよく知られた幾何学的解釈はこれに基づいています。 線形方程式未知のものが 2 つまたは 3 つあります。 したがって、2 つの未知数を持つ 2 つの線形方程式系の場合、

a 1 x + b 1 y = c 1、

a 2 x + b 2 y = c 2

各方程式は平面上の直線として解釈され (図 26 を参照)、解 (α、β) はこれらの直線の交点、または座標 ap を持つベクトルとして解釈されます (図は に対応します)。システムに固有のソリューションがある場合）。

米。 26

3 つの未知数を含む線形方程式系でも同じことを行うことができ、各方程式を空間内の平面の方程式として解釈できます。

数学とそのさまざまな応用 (特にコーディング理論) では、3 つ以上の未知数を含む線形方程式系を扱わなければなりません。 n 個の未知数 x 1、x 2、...、x n を持つ連立一次方程式は、次の形式の方程式のセットです。

a 11 x 1 + a 12 x 2 + ... + a 1n x n = b 1、

a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2n x n = b 2、

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1)

a m1 x 1 + a m2 x 2 + ... + a mn x n = b m、

ここで、a ij と b i は任意の実数です。 システム内の方程式の数は任意であり、未知数の数とはまったく関係ありません。 未知数 a ij の係数には二重の番号が付けられています。最初のインデックス i は方程式の番号を示し、2 番目のインデックス j はこの係数が存在する未知数の番号を示します。

システムに対するあらゆる解は、未知数 (α) の (実際の) 値のセットとして理解されます。 1 , α 2 , ..., α n )、各方程式を真の等式に変換します。

n > 3 の場合の系 (1) の直接的な幾何学的解釈はもはや不可能ですが、2 次元または 3 次元の空間の幾何学的言語を任意の n の場合に拡張することはかなり可能であり、多くの点で便利です。 さらなる定義はこの目的に役立ちます。

n 個の実数のすべての順序集合 (α 1 , α 2 , ..., α n ) は n 次元算術ベクトルと呼ばれ、数値自体は α 1 , α 2 , ..., α n - このベクトルの座標。

ベクトルを指定するには、原則として太字フォントが使用され、座標 α 1、α 2、...、α n を持つベクトル a については、通常の表記形式が維持されます。

a = (α 1, α 2, ..., α n)。

通常の平面と同様に、n 個の未知数を含む一次方程式を満たすすべての n 次元ベクトルの集合は、n 次元空間の超平面と呼ばれます。 この定義によれば、システム (1) に対するすべての解のセットは、いくつかの超平面の交差に他なりません。

n 次元ベクトルの加算と乗算は、通常のベクトルと同じ規則で決定されます。 つまり、もし

a = (α 1, α 2, ..., α n)、b = (β 1, β 2, ..., β n) (2)

2 つの n 次元ベクトル、その合計はベクトルと呼ばれます

α + β = (α 1 + β 1, α 2 + β 2, ..., α n + β n)。 (3)

ベクトル a と数値 λ の積はベクトルです

λa = (λα 1, λα 2, ..., λα n)。 (4)

ベクトルの加算とベクトルの数値の乗算を行うすべての n 次元の算術ベクトルの集合を、算術 n 次元ベクトル空間 L n と呼びます。

導入された演算を使用すると、いくつかのベクトルの任意の線形結合、つまり次の形式の式を考慮できます。

λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ k a k、

ここで、λ i は実数です。 たとえば、ベクトル (2) と係数 λ および μ の線形結合はベクトルです。

λa + μb = (λα 1 + μβ 1, λα 2 + μβ 2, ..., λα n + μβ n)。

3 次元ベクトル空間では、ベクトル i、j、k (座標単位ベクトル) の 3 つが特別な役割を果たし、ベクトル a は次のように分解されます。

a = xi + yj + zk、

ここで、x、y、z は実数 (ベクトル a の座標) です。

n 次元の場合、次のベクトル系が同じ役割を果たします。

e 1 = (1, 0, 0, ..., 0),

e 2 = (0, 1, 0, ..., 0),

e 3 = (0, 0, 1, ..., 0),

. . . . . . . . . . . . (5)

e n = (0, 0, 0, ..., 1)。

明らかに、ベクトル a はベクトル e 1、e 2、...、e n の線形結合です。

a = a 1 e 1 + a 2 e 2 + ... + a n e n、(6)

そして係数α 1 、α 2 、...、α n はベクトル a の座標と一致します。

すべての座標がゼロに等しいベクトル (つまり、ゼロ ベクトル) を 0 で表すと、次の重要な定義が導入されます。

ベクトル a 1、a 2、...、k の系は、ゼロ ベクトルに等しい線形結合がある場合、線形依存と呼ばれます。

λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ k a k = 0、

ここで、係数ｈ １ 、λ ２ 、…、λ ｋ のうちの少なくとも１つはゼロとは異なる。 それ以外の場合、システムは線形独立と呼ばれます。

したがって、ベクトル

a 1 = (1, 0, 1, 1)、a 2 = (1, 2, 1, 1)、および 3 = (2, 2, 2, 2)

線形依存性があるため、

a 1 + a 2 - a 3 = 0。

定義からわかるように、線形依存は (k ≥ 2 の場合) システムのベクトルの少なくとも 1 つが他のベクトルの線形結合であるという事実と等価です。

システムが 2 つのベクトル a 1 と a 2 で構成されている場合、システムの線形依存性は、一方のベクトルが他方のベクトルに比例することを意味します。たとえば、a 1 = λa 2。 3 次元の場合、これはベクトル a 1 と a 2 の共線性に相当します。 同様に、通常空間における 3 つのベクトルの系 I の線形依存性は、これらのベクトルが同一平面上にあることを意味します。 したがって、線形依存性の概念は、共線性と共平面性の概念を自然に一般化したものです。

システム (5) からのベクトル e 1、e 2、...、en が線形独立であることを検証するのは簡単です。 したがって、n 次元空間には、n 個の線形独立ベクトルの系が存在します。 多数のベクトルからなる系はいずれも線形依存することがわかります。

n 次元空間 L n の n 個の線形独立ベクトルのシステム a 1 、a 2 、...、a n は、その基底と呼ばれます。

空間 L n のベクトル a は、独自の方法で、任意の基底 a 1、a 2、...、a n のベクトルに分解されます。

a = λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ n a n。

この事実は、基礎の定義に基づいて簡単に確立されます。

3 次元空間での類推を続けると、n 次元の場合、次のように設定してベクトルのスカラー積 a b を決定することができます。

a · b = α 1 β 1 + α 2 β 2 + ... + α n β n 。

この定義では、3 次元ベクトルのスカラー積の基本特性がすべて保存されます。 ベクトル a と b は、そのスカラー積がゼロに等しい場合、直交していると呼ばれます。

α 1 β 1 + α 2 β 2 + ... + α n β n = 0。

線形コードの理論では、別の重要な概念である部分空間の概念が使用されます。 空間 L n の部分集合 V は、次の場合にこの空間の部分空間と呼ばれます。

1) V に属するベクトル a、b について、それらの和 a + b も V に属します。

2) V に属する任意のベクトル a および任意の実数 λ について、ベクトル λa も V に属します。

たとえば、システム (5) からのベクトル e 1 、e 2 のすべての線形結合のセットは、空間 L n の部分空間になります。

線形代数では、任意の部分空間 V にベクトル a 1、a 2、...、a k の線形独立系が存在し、部分空間のすべてのベクトル a がこれらのベクトルの線形結合であることが証明されます。

a = λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ k a k 。

示されたベクトル系は部分空間 V の基底と呼ばれます。

空間と部分空間の定義から、空間 L n はベクトル加算の演算に関して可換群であり、その部分空間 V のいずれもこの群の部分群であることがすぐにわかります。 この意味で、たとえば、部分空間 V に関する空間 L n の剰余類を考えることができます。

結論として、n 次元算術空間の理論において、実数 (つまり、実数体の要素) の代わりに、任意の体 F の要素を考慮すると、与えられたすべての定義と事実が得られることを強調します。上記は引き続き有効です。

符号化理論では、体 F が剰余 Z p の体である場合が重要な役割を果たしますが、これはご存知のように有限です。 この場合、対応する n 次元空間も有限であり、容易にわかるように、p n 個の要素が含まれています。

空間の概念も、群や環の概念と同様に、公理的な定義を可能にします。 詳細については、Feeder の線形代数コースを参照してください。

直線的な組み合わせ。

線形依存および独立ベクトル システム。

ベクトルの線形結合 ベクトルの線形結合

ベクトルと呼ばれる どこ - 線形結合係数。 もし

自明でない組み合わせは自明であると言われます。

線形依存性とベクトル独立性 システム

線形依存性とベクトル独立性 線形依存性

線形独立

ベクトルの線形依存性の基準 (ベクトルの場合 r > 1

) が線形依存していた場合、これらのベクトルの少なくとも 1 つが他のベクトルの線形結合であることが必要かつ十分です。

線形空間の次元 線形空間 V n呼ばれた n-次元 (次元を持っています)

)、以下が含まれる場合: n 1) 存在する

線形独立ベクトル。 2) 任意のシステム n+1

ベクトルは線形依存します。 n指定: 線形空間;.

= 薄暗い ベクトルシステムは次のように呼ばれます。線形依存性、 存在する場合ゼロ以外の

= 薄暗い 線形結合となるような一連の数値線形に独立しており、

線形結合の等価からゼロまでの場合 みんな係数

についての質問 線形依存性一般的な場合のベクトルは、これらのベクトルの対応する座標に等しい係数を持つ一次方程式の同次系に対する非ゼロの解が存在するかどうかという問題に帰着します。

ベクトル系の「線形依存性」と「線形独立性」の概念を完全に理解するには、次のタイプの問題を解くことが役立ちます。

直線性。直線性の I および II 基準。

ベクトルシステム は、システムのベクトルの 1 つがこのシステムの残りのベクトルの線形結合である場合に限り、線形依存します。

証拠。 ベクトル系が線形依存するとします。 このような係数のセットがあります 、それは、少なくとも 1 つの係数はゼロではありません。 と仮定しましょう。 それから

つまり、システムの残りのベクトルの線形結合です。

システム ベクトルの 1 つが残りのベクトルの線形結合であるとします。 これがベクトルであると仮定しましょう。 。 それは明らかです。 システム ベクトルの線形結合はゼロに等しく、係数の 1 つはゼロとは異なります ( に等しい) ことがわかりました。

オファー10 . 7 ベクトル系に線形依存サブシステムが含まれている場合、システム全体が線形依存します。

証拠.

サブシステムをベクトル系にしましょう 、 、は線形従属、つまり であり、少なくとも 1 つの係数はゼロとは異なります。 次に線形結合を作ってみましょう。 この線形結合がゼロに等しいこと、および係数の中にはゼロ以外の係数があることは明らかです。

ベクトルシステムのベースは主力です。

ベクトルの非ゼロ系のベースは、等価な線形独立サブシステムです。 ゼロシステムにはベースがありません。

プロパティ 1:線形独立系の基底はそれ自体と一致します。

例：どのベクトルも他のベクトルを介して線形に表現できないため、線形に独立したベクトルの系。

プロパティ 2: (基本基準)特定のシステムの線形独立サブシステムは、それが最大限に線形独立している場合に限り、そのベースとなります。

証拠：システムを考えると 必要性ベースにしましょう。 次に、定義により、および、 if 、ここで、システムは を介し​​て線形縮退するため、線形依存しており、したがって最大線形独立です。 適切性サブシステムが最大限に線形独立であるとします。その場合、 になります。

線形依存は、システムのベースを通じて線形に縮退します。特性 3：（ベースの主な特性）

証拠システムの各ベクターは、塩基を介して独自の方法で表現できます。

ベクター システムのランク。

意味：線形空間内のベクトルの非ゼロ系のランクは、その基底のベクトルの数です。 ヌル システムのランクは、定義上、ゼロです。 ランクのプロパティ: 1) 線形独立システムのランクは、そのベクトルの数と一致します。 2) 線形依存システムのランクは、そのベクトルの数よりも小さい。 3) 同等のシステムのランクは -rankrank と一致します。 4) サブシステムのランクがシステムのランク以下である。 5) 両方がrankrankである場合、それらには共通のベースがあります。 6) システムの残りのベクトルの線形結合であるベクトルがシステムに追加される場合、システムのランクは変更できません。 7) システムからベクトルが削除された場合、システムのランクは変更できません。ベクトルは、残りのベクトルの線形結合です。

ベクトル系のランクを見つけるには、ガウス法を使用してシステムを三角形または台形に縮小する必要があります。

同等のベクター システム。

例：

ベクトルデータを行列に変換して基底を見つけてみましょう。 得られるものは次のとおりです。

ここで、ガウス法を使用して、行列を台形形式に変換します。

1) メイン行列で、最初の行を除く最初の列全体をキャンセルし、2 番目の行列から最初の の乗算を減算し、3 番目の行列から最初の の乗算を減算し、4 番目の行列からは何も減算しません。 4 行目の最初の要素、つまり 1 列目と 4 行目の交点が 0 に等しいためです。 行列を取得します。 2) ここで、行列内で、解決を容易にするために行 2、3、および 4 を交換して、要素の代わりに行 1 が存在するようにします。 2 行目の代わりに 4 行目を、3 行目の代わりに 2 行目を、4 行目の代わりに 3 行目を変更しましょう。 行列を取得します。 3) 行列で、要素の下にあるすべての要素をキャンセルします。 行列の要素は再びゼロに等しいため、4 行目からは何も減算しませんが、3 行目には 2 を乗算した値を追加します。 行列を取得します。 4) マトリックスの行 3 と行 4 を再度交換してみましょう。 行列を取得します。 5) 行列で、4 行目に 3 行目を追加し、5 を掛けます。三角形の形を持つ行列が得られます。

システム、そのランクはランクの特性により一致し、そのランクはランク ランクに等しい

注: 1) 従来のガウス法とは異なり、行列行のすべての要素が特定の数で除算される場合、行列の特性により行列行を減らす権利はありません。 行を特定の数だけ削減したい場合は、行列全体をその数だけ削減する必要があります。 2) 線形依存行を取得した場合は、それを行列から削除し、ゼロ行に置き換えることができます。 例： 最初の行を 2 で乗算すると、2 番目の行が最初の行で表されていることがすぐにわかります。この場合、2 行目全体をゼロに置き換えることができます。 得られるものは次のとおりです。 その結果、行列を線形依存ベクトルを持たない三角形または台形のいずれかの形式にすると、行列のすべての非ゼロ ベクトルが行列の基底となり、その数がランクになります。

以下に、グラフ形式のベクトル系の例を示します。 、 、および がある系があるとします。 ベクトルはそれらを介して表現されるため、このシステムのベースは明らかにベクトル と です。 このシステムをグラフィック形式で表すと、次のようになります。

初歩的な再現。 ステップ式システム。

基本的な行列変換- これらは行列の等価性を維持する行列変換です。 したがって、基本変換は、この行列が表す線形代数方程式系の解のセットを変更しません。

ガウス法では基本変換を使用して、行列を三角形または階段状に縮小します。

基本的な文字列の変換と呼ばれます:

一部の線形代数コースでは、任意の 2 つの行列行の置換は、任意の行列行に定数を乗算し、乗算された任意の行列行に別の行を加算することによって取得できるため、行列行の置換は別個の基本変換として区別されません。定数 、 によって。

同様に定義される 基本的な列変換.

基本的な変換 可逆.

この表記は、行列が基本変換によって取得できる (またはその逆) ことを示しています。

連立一次方程式を解いて研究する場合、縮小ステップ行列が重要な役割を果たします。

意味。 ステップマトリックスすべての主要な列で構成される行列が単位行列である場合、 は、reduce と呼ばれます。

縮小階層行列にはゼロ行はなく、その行の先頭要素はすべて 1 に等しくなります。

定理3.4. ゼロ以外の行列は行単位で縮小された階層行列と等価です。

証拠。 を Rank の非ゼロ行列としましょう。 定理 3.2 および 3.3 によれば、これは、非ゼロ行で構成される階層行列 (行列 B など) と行単位で等価です。 行列 B の各行をその先頭の要素で分割しましょう。

その結果、行のすべての先頭要素が 1 に等しいステップ行列 C が得られます。 次に、行列 C の行方向の基本変換のチェーンを使用して、先頭の要素の上にあるすべての非ゼロ要素をゼロにします。 その結果、行列 D が得られ、その主要な列が単位行列を形成します。 したがって、D は目的の縮小エシュロン行列であり、行に関しては元の行列 A と等価になります。

定理3.5. 線形に独立した行を持つすべての正方行列は、行単位で恒等行列 E と等価です。

証拠。 A を線形に独立した行を持つ行列とします。 非特異的な基本行変換のチェーンを使用すると、行列 C の主要な要素を特定のステップ行列に減らすことができます。

不等式 (2) から次のことがわかります。 したがって、行列 C は次の形式になります。

つまり、主対角線上に非ゼロ要素を持つ上三角行列です。 行列の最初の行と 2 番目の行を乗算してみましょう。その結果、行に相当する行列が得られます。

意味

正方行列はと呼ばれます 対角線、主対角線の外側にあるすべての要素がゼロに等しい場合。

コメント。行列の対角要素 (つまり、主対角要素) がゼロになることもあります。

例

意味

スカラーすべての対角要素が互いに等しい対角行列と呼ばれます。

コメント。ヌル行列が正方形の場合、それはスカラーでもあります。

例

意味

恒等行列は、対角要素が 1 に等しい次数のスカラー行列です。

コメント。表記を短くするために、単位行列の順序を省略できます。その場合、単位行列は単に で表されます。

例

は 2 次単位行列です。

2.10. 行列を対角形式に縮小する

通常の (特に対称) 行列 あ相似変換によって対角形にすることができます -

あ = た −1

ここ Λ = diag(λ 1 ,..., λ N) は、要素が行列の固有値である対角行列です。 あ、A T行列の対応する固有ベクトルで構成される行列です。 あ、つまり T = (v 1 ,...,v N).

例えば、

米。 23 対角形式への還元

ステップマトリックス

意味

段付きは次の条件を満たす行列です。

意味

段付きは、行を含み、最初の対角要素が非ゼロであり、主対角の下にある要素と最後の行の要素が 0 に等しい行列と呼ばれます。つまり、次の形式の行列です。

意味

主な要素行列の行の最初の非ゼロ要素が呼び出されます。

例

エクササイズ。行列の各行の主要素を見つけます。

解決。最初の行の主要素はその行の最初の非ゼロ要素であり、したがって行番号 1 の主要素になります。 同様に、2行目の主要要素です。

ステップ行列の別の定義。

意味

マトリックスはと呼ばれます 段差のある、 もし：

すべてのゼロ行は非ゼロ行の後に来ます。

2 番目から始まるゼロ以外の各行では、その主要素は前の行の主要素の右側 (番号が大きい列) に配置されます。

定義上、ステップ行列には、1 行を含む行列だけでなく、ゼロ行列も含まれます。

例

ステップ行列の例:

, , , ,

エシェロンではない行列の例:

, ,

例

エクササイズ。行列があるかどうかを調べます。 踏み出した。

解決。定義から条件が満たされていることを確認します。

したがって、指定された行列は段階的です。

行列は数学における特別なオブジェクトです。 これは、一定数の行と列で構成される、長方形または正方形のテーブルの形式で表されます。 数学には、サイズや内容が異なるさまざまなタイプの行列があります。 その行と列の番号は次数と呼ばれます。 これらのオブジェクトは、数学で線形方程式系の記述を整理するために使用されます。 便利な検索彼らの結果。 行列を使用する方程式は、カール ガウス、ガブリエル クラマー、マイナー法、代数加算法、その他多くの方法を使用して解決されます。 行列を扱うときの基本的なスキルは次のとおりです。ただし、最初に、数学者がどのような種類の行列を区別しているかを理解しましょう。

ヌル型

このタイプの行列のすべての成分はゼロです。 一方、その行数と列数はまったく異なります。

スクエアタイプ

このタイプの行列の列と行の数は同じです。 つまり「四角」の形をしたテーブルです。 その列 (または行) の数を順序と呼びます。 特殊な場合として、2 次行列 (2x2 行列)、4 次行列 (4x4)、10 次行列 (10x10)、17 次行列 (17x17) などが存在すると考えられます。

列ベクトル

これは最も単純なタイプの行列の 1 つで、3 つの数値を含む列が 1 つだけ含まれています。 これは、線形方程式系における多数の自由項 (変数に依存しない数値) を表します。

前のものと同様のビュー。 3 つの数値要素で構成され、順番に 1 行にまとめられます。

斜めタイプ

行列の対角形式の数値は、主対角の成分のみを取ります (強調表示されています) 緑）。 主対角線は、それぞれ左上隅にある要素で始まり、右下隅にある要素で終わります。 残りの成分はゼロに等しい。 対角型は、ある次数の正方行列にすぎません。 対角行列のうち、スカラー行列を区別できます。 そのすべてのコンポーネントは同じ値を取ります。

対角行列のサブタイプ。 その数値はすべて単位です。 単一タイプの行列テーブルを使用して、その基本的な変換を実行するか、元の行列の逆行列を見つけます。

カノニカルタイプ

マトリックスの正準形式は主要なものの 1 つと考えられています。 仕事上、それを減らすことが必要になることがよくあります。 正準行列の行と列の数は変化し、必ずしも正方行列に属するわけではありません。 これは単位行列に似ていますが、その場合、主対角のすべての成分が 1 に等しい値をとるわけではありません。 主要な対角ユニットは 2 つまたは 4 つあります (すべて行列の長さと幅によって異なります)。 または、単位がまったくない場合もあります (その場合はゼロとみなされます)。 正規型の残りのコンポーネント、および対角要素と単位要素はゼロに等しくなります。

三角タイプ

行列の最も重要なタイプの 1 つで、行列式を検索するときや単純な演算を実行するときに使用されます。 三角型は対角型から来ているので行列も正方形です。 行列の三角形タイプは上三角と下三角に分かれます。

上三角行列 (図 1) では、主対角より上の要素のみがゼロに等しい値を取ります。 対角線自体の成分とその下にある行列の一部には数値が含まれます。

逆に、下三角行列 (図 2) では、行列の下部分にある要素はゼロに等しくなります。

この型は、行列のランクを見つけるだけでなく、行列の基本的な演算にも (三角型とともに) 必要です。 ステップ行列は、(図に示すように) ゼロの特徴的な「ステップ」が含まれているため、このように名付けられました。 ステップタイプでは、ゼロの対角線が形成され（必ずしも主要な対角線である必要はありません）、この対角線の下のすべての要素もゼロに等しい値を持ちます。 前提条件は次のとおりです。ステップ行列にゼロ行がある場合、その下の残りの行にも数値が含まれていません。

したがって、それらを扱うために必要な最も重要なタイプの行列を調べました。 次に、行列を必要な形式に変換する問題を見てみましょう。

三角形に縮小する

行列を三角形の形に縮小するにはどうすればよいでしょうか? ほとんどの場合、タスクでは行列式 (行列式とも呼ばれます) を見つけるために、行列を三角形の形式に変換する必要があります。 実施 この手順三角行列の行列式は主対角成分の積に正確に等しいため、行列の主対角を「保存」することが非常に重要です。 行列式を見つけるための別の方法も思い出してみましょう。 正方形タイプの行列式は、特別な公式を使用して求められます。 たとえば、三角形の方法を使用できます。 その他の行列の場合は、行、列、またはその要素ごとに分解する方法が使用されます。 マイナーおよび代数行列加算の方法も使用できます。

いくつかのタスクの例を使用して、行列を三角形の形式に縮小するプロセスを詳細に分析してみましょう。

タスク 1

提示された行列を三角形に縮小する方法を使用して行列式を見つける必要があります。

与えられた行列は 3 次正方行列です。 したがって、三角形の形状に変換するには、最初の列の 2 つのコンポーネントと 2 番目の列の 1 つのコンポーネントをゼロにする必要があります。

これを三角形の形にするには、行列の左下隅、つまり数字の 6 から変換を開始します。これをゼロにするには、最初の行に 3 を掛けて、最後の行からそれを引きます。

重要！ 一番上の行は変更されませんが、元の行列と同じままになります。 元の文字列の 4 倍の大きさの文字列を記述する必要はありません。 ただし、コンポーネントをゼロに設定する必要がある文字列の値は常に変化します。

最後の値、つまり 2 列目の 3 行目の要素だけが残ります。 これは数値 (-1) です。 ゼロにするには、最初の行から 2 番目の行を減算します。

確認してみましょう:

detA = 2 x (-1) x 11 = -22。

これは、タスクの答えが -22 であることを意味します。

タスク 2

行列を三角形の形式に還元して行列式を見つける必要があります。

提示された行列は正方型に属し、4 次行列です。 これは、最初の列の 3 つの成分、2 番目の列の 2 つの成分、および 3 番目の列の 1 つの成分をゼロにする必要があることを意味します。

左下隅にある要素 (数値 4) から縮小を開始しましょう。この数値をゼロにする必要があります。 これを行う最も簡単な方法は 4 を掛けることです トップライン、4番目からそれを引きます。 変換の第一段階の結果を書き留めてみましょう。

したがって、4 行目のコンポーネントはゼロに設定されます。 3 行目の最初の要素である数値 3 に進みましょう。同様の操作を実行します。 最初の行に 3 を掛け、それを 3 行目から引き、結果を書き留めます。

この正方行列の最初の列のすべての成分を、変換を必要としない主対角の要素である数値 1 を除いて、なんとかゼロにすることができました。 ここで、結果のゼロを保持することが重要なので、列ではなく行で変換を実行します。 表示されたマトリックスの 2 番目の列に進みましょう。

最後行の 2 列目の要素から、もう一度一番下から始めましょう。 この数値は (-7) です。 ただし、 この場合 3行目の2列目の要素である数字(-1)から始めるとより便利です。 ゼロにするには、3 行目から 2 番目の行を減算します。 次に、2 行目に 7 を掛けて、4 行目から減算します。 2 列目の 4 行目にある要素の代わりにゼロが取得されました。 次に、3 番目の列に進みます。

この列では、1 つの数字 - 4 だけをゼロにする必要があります。これは難しいことではありません。最後の行に 3 番目の数字を追加して、必要なゼロを確認するだけです。

すべての変換を行った後、提案された行列を三角形の形にしました。 ここで、行列式を見つけるには、主対角の結果の要素を乗算するだけで済みます。 得られるものは次のとおりです。 detA = 1 x (-1) x (-4) x 40 = 160。したがって、解は160となります。

したがって、行列を三角形の形式に縮小するという問題は気にする必要はありません。

段付き形状への縮小

行列の初歩的な演算では、階段状の形式は三角形の形式よりも「需要」が低くなります。 行列のランク (つまり、ゼロ以外の行の数) を見つけたり、線形依存行と独立行を決定したりするために最もよく使用されます。 ただし、階段タイプのマトリックスは、正方形タイプだけでなく他のすべてのタイプにも適しているため、より普遍的です。

行列を段階的な形式に縮小するには、まず行列式を見つける必要があります。 上記の方法はこれに適しています。 行列式を見つける目的は、行列式をステップ行列に変換できるかどうかを調べることです。 行列式がゼロより大きいか小さい場合は、安全にタスクに進むことができます。 これがゼロに等しい場合、行列を段階的な形式に縮小することはできません。 この場合、記録または行列変換にエラーがないかどうかを確認する必要があります。 このような不正確さがなければ、タスクを解決することはできません。

いくつかのタスクの例を使用して、行列を段階的な形式に縮小する方法を見てみましょう。

タスク1。指定された行列テーブルのランクを見つけます。

私たちの前には 3 次の正方行列 (3x3) があります。 ランクを見つけるには、それを段階的な形式に減らす必要があることがわかっています。 したがって、まず行列の行列式を見つける必要があります。 三角形の方法を使用してみましょう。 detA = (1 x 5 x 0) + (2 x 1 x 2) + (6 x 3 x 4) - (1 x 1 x 4) - (2 x 3 x 0) - (6 x 5 x 2) = 12.

行列式 = 12。これは 0 より大きく、行列を段階的な形式に縮小できることを意味します。 変換を開始しましょう。

3 行目の左列の要素、つまり数値 2 から始めましょう。一番上の行に 2 を掛けて、3 行目からそれを引きます。 この操作のおかげで、必要な要素と数値 4 (3 行目の 2 列の要素) の両方が 0 になりました。

縮小の結果、三角行列が形成されたことがわかります。 私たちの場合、残りのコンポーネントをゼロに減らすことができないため、変換を続行できません。

これは、この行列 (またはそのランク) 内の数値を含む行の数は 3 であると結論付けることを意味します。タスクの答えは 3 です。

タスク2。この行列の線形に独立した行の数を決定します。

どのような変換によってもゼロに変換できない文字列を見つける必要があります。 実際、ゼロ以外の行の数、または提示された行列のランクを見つける必要があります。 これを行うために、単純化してみましょう。

正方形タイプに属さない行列が表示されます。 大きさは3×4です。 また、左下隅の要素 (数値 (-1)) からリダクションを開始しましょう。

それ以上の変形は不可能です。 これは、線形に独立した線の数とタスクの答えが 3 であると結論付けることを意味します。

マトリックスを段階的な形式に縮小することは、あなたにとって不可能な作業ではありません。

これらのタスクの例を使用して、行列を三角形の形状と階段状の形状に縮小することを検討しました。 それをゼロにするために 必要な値マトリックス テーブルでは、場合によっては想像力を働かせて列や行を正しく変換する必要があります。 数学と行列の扱いに頑張ってください!

先頭の要素は 1 行目 - 、2 行目 - にあります。 、4行目 。 行の先頭の要素が唯一である必要はないことに注意してください (2 行目を参照)。

定理。 任意の行列は、有限数の基本行変換によって縮小形式に縮小できます。

証拠。

行列の形式を次のようにします。

.

縮小行列の定義を使用してみましょう。

最初の行がゼロの場合は、非ゼロの行が見つかるまで 2 行目などに進みます。 ゼロ以外の行 (これを 番目の行とする) で、ゼロ以外の要素 (要素 とする) を選択します。

行列に対して次の基本的な変換を実行してみましょう。

... ... .

明らかに、この後、 要素を除く 番目の列のすべての要素はゼロになります。 次に、ゼロ以外の要素を持つ次の非ゼロ行を選択し、行列の行に対して同様の変換を実行します。 有限数のステップで、ゼロ以外のすべての行を調べた後、行列を取得します。行列は定義により削減されます。

例 14. みましょう 。 行列を縮小形式に縮小してみましょう。

解決。

先頭の要素を先頭の要素として取得し (先頭の要素は括弧で強調表示されます)、次の変換を実行します。

次のステップでは、要素を先頭要素として取得し、指定された変換を実行して、最終的に取得します。