行列 A の各行は e i = (a i 1 a i 2 …, a in) で表されます (たとえば、
e 1 = (a 11 a 12 ..., a 1 n)、e 2 = (a 21 a 22 ..., a 2 n) など)。 それぞれは行行列であり、数値を乗算したり、別の行に加算したりできます。 一般的なルール行列を使った演算。

線形結合線 e l 、 e 2 、...ek k は、これらの線と任意の実数の積の和と呼ばれます。
e = l l e l + l 2 e 2 +...+ l k e k、ここで l l、l 2、...、l k は任意の数 (線形結合の係数) です。

行列 e l 、 e 2 、...e m の行は次のように呼ばれます。 線形依存性、行列の行の線形結合がゼロ行と等しくなるように、同時にゼロに等しくない数値 l l 、 l 2 、...、 l m がある場合:
l l e l + l 2 e 2 +...+ l m e m = 0、ここで 0 = (0 0...0)。

行列の行間の線形関係は、行列の少なくとも 1 つの行が他の行の線形結合であることを意味します。 実際、明確にするために、最後の係数を l m ¹ 0 とします。次に、等式の両辺を l m で割ると、残りの行の線形結合として最後の行の式が得られます。
e m = (l l /l m)e l + (l 2 /l m)e 2 +...+ (l m-1 /l m)e m-1 。

すべての係数がゼロに等しい場合に限り、行の線形結合がゼロに等しい場合、つまり、 l l e l + l 2 e 2 +...+ l m e m = 0 Û l k = 0 "k、その後、これらの行が呼び出されます 線形独立.

行列の順位定理。 行列のランクは、その線形的に独立した行または列の最大数に等しく、それによって他のすべての行または列が線形的に表現されます。

この定理を証明してみましょう。 サイズ m x n の行列 A のランクが r (r(A) £ min (m; n)) であるとします。 したがって、r 次の非ゼロのマイナーが存在します。 私たちはそのような未成年者全員に電話します 基本的な。 はっきり言って未成年にしておきます

このマイナーのラインも呼ばれます 基本的な.

行列 e l 、e 2 、...er r の行が線形独立であることを証明しましょう。 逆のこと、つまり、 これらの行の 1 つ (たとえば r 番目の行) は、他の行の線形結合です: e r = l l e l + l 2 e 2 +...+ l r-1 e r-1 = 0。 r番目の要素 rows は、1 行目の要素に l l を掛けたもの、2 行目の要素に l 2 を掛けたものなど、最後に (r-1) 番目の行の要素に l r-1 を掛けたものです。 ｒ行目ゼロになります。 この場合、行列式の性質に従って、上記の行列式は変化すべきではなく、同時にゼロに等しくなければなりません。 矛盾が得られ、行の線形独立性が証明されます。

ここで、行列の任意の (r+1) 行が線形依存していることを証明します。 あらゆる文字列を基本的な文字列で表現できます。

前に検討したマイナーを、もう 1 行 (i 番目) ともう 1 列 (j 番目) で補足しましょう。 その結果、(r+1) 次のマイナーが得られます。これはランクの定義により 0 に等しいです。

させて

マトリックスの列を次元化します。 行列列の線形結合列行列と呼ばれる、いくつかの実数または複素数を含む 線形結合係数。 線形結合ですべての係数がゼロに等しい場合、線形結合はゼロ列行列と等しくなります。

行列の列は次のように呼ばれます。 線形独立 、線形結合のすべての係数がゼロに等しい場合にのみ、それらの線形結合がゼロに等しい場合。 行列の列は次のように呼ばれます。 線形依存性 、少なくとも 1 つがゼロ以外の一連の数値があり、これらの係数を持つ列の線形結合がゼロに等しい場合

同様に、行列行の線形依存性と線形独立性の定義を与えることができます。 以下では、すべての定理が行列の列に対して定式化されます。

定理5

行列の列にゼロがある場合、行列の列は線形に依存します。

証拠。 すべての非ゼロ列についてはすべての係数がゼロに等しく、すべてのゼロ列については 1 に等しい線形結合を考えてみましょう。 これはゼロに等しく、線形結合の係数の中にはゼロ以外の係数があります。 したがって、行列の列は線形に依存します。

定理6

もし 行列の列 線形依存している、それだけです 行列の列は線形に依存します。

証拠。 明確にするために、行列の最初の列は次のように仮定します。 直線的に依存します。 次に、線形依存の定義により、少なくとも 1 つが非ゼロである一連の数値が存在し、これらの係数を持つ列の線形結合はゼロに等しくなります。

係数がゼロの残りの列を含む、行列のすべての列の線形結合を作成しましょう。

しかし 。 したがって、行列のすべての列は線形に依存します。

結果。 線形独立行列列の中では、いずれも線形独立しています。 (この命題は矛盾によって簡単に証明できます。)

定理7

行列の列が線形従属であるためには、行列の少なくとも 1 つの列が他の列の線形結合であることが必要かつ十分です。

証拠。

必要性。行列の列が線形従属であるとします。つまり、少なくとも 1 つがゼロとは異なる一連の数値があり、これらの係数を持つ列の線形結合はゼロに等しくなります。

明確にするために、 と仮定しましょう。 つまり、最初の列は残りの列の線形結合になります。

適切性。 行列の少なくとも 1 つの列が他の列の線形結合であるとします。たとえば、 です。ここで、 はいくつかの数字です。

つまり、列の線形結合は 0 に等しく、線形結合内の数値のうち、少なくとも 1 つ ( で ) は 0 とは異なります。

行列のランクを とします。 次数 1 のゼロ以外のマイナーが呼び出されます。 基本的な 。 交点に基底マイナーがある行と列は、と呼ばれます。 基本的な .

逆行列、逆行列を計算するアルゴリズム。

線形代数方程式系、スラウの基本性質、均一性と不均一性、一貫性と非互換性、スラウの明確性、スラウの表記の行列形式とその解

スクエアシステム、クレイマー法

スラウの初歩的な変化。 スラフ調査のためのガウス法。

スラウ適合性基準、クロネッカー・カペリの定理、2 つの未知数を含む 2 つの方程式の例を使用した幾何学的解釈。

均一なスラウ。 解の性質、fsr、均一系の一般解に関する定理。 自明でない解が存在するかどうかの基準。

異質なスラウ。 不均一なスラフの溶液の構造に関する定理。 不均一なスラフを解決するためのアルゴリズム。

線形 (ベクトル) 空間の定義。 LPの例。

線形依存ベクトルシステムと線形独立ベクトルシステム。 線形依存基準。

LP ベクトル系の線形依存性と線形独立性のための十分な条件。 文字列、多項式、行列の空間における線形独立システムの例。

同型性 lp. lp の同型性の基準。

LP 部分空間とベクトル システムの線形スパン。 線形シェルの寸法。

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ハミルトン・ケイリーの定理

線形代数

スラウ理論

1. 行列、行列を使った演算、逆行列。 行列方程式とその解。

マトリックス– 任意の数値を特定の順序で並べた長方形のテーブル。サイズは m*n (行×列) です。 行列の要素は、i が行番号、aj が列番号として指定されます。

追加 （引き算)行列は 1 次元行列に対してのみ定義されます。 行列の和（差）は、要素がそれぞれ元の行列の要素の和（差）である行列です。

乗算（除算）数字ごとに– この数値による各行列要素の乗算 (除算)。

行列の乗算は、最初の列の数が 2 番目の行の数と等しい行列に対してのみ定義されます。

行列乗算– 行列。その要素は次の式で与えられます。

行列転置– このような行列 B の行 (列) は元の行列 A の列 (行) です。 指定された

逆行列

行列方程式– A*X=B の形式の方程式は行列の積であり、この方程式の答えは行列 X であり、次の規則を使用して求められます。

1. 行列の列 (行) の線形依存性と独立性。 線形依存基準、行列の列 (行) の線形依存の十分条件。

行 (列) のシステムはと呼ばれます。 線形独立、線形結合が自明である場合 (等式は a1...n=0 についてのみ成り立ちます)、ここで A1...n は列 (行)、aa1...n は展開係数です。

基準: ベクトル系が線形依存するためには、系のベクトルの少なくとも 1 つが系の残りのベクトルを通じて線形に表現されることが必要かつ十分です。

十分な条件:

1. 行列行列式とその性質

行列行列式 (行列式)– 正方行列 A の場合、次の式を使用して行列の要素から計算できる数値。

、ここで、要素の追加のマイナーは

プロパティ:

1. 逆行列、逆行列を計算するアルゴリズム。

逆行列– このような正方行列 X は、同じ次数の正方行列 A とともに次の条件を満たします。ここで、E は A と同じ次数の単位行列です。 行列式がゼロに等しくない正方行列は、1 つの逆行列を持ちます。 基本変換の方法と次の式を使用して求められます。

マトリックスランクの概念。 マイナー基底定理。 行列の行列式がゼロに等しいかどうかの基準。

行列の初等変換。初等変換の方法を使用したランク計算。 初等変換の方法を使用した逆行列の計算。

マトリックスランク –基底マイナー次数 (rg A)

基本マイナー –次数 r のマイナーが 0 に等しくありません。つまり、次数 r+1 以上のすべてのマイナーが 0 に等しいか、存在しません。

基本マイナー定理 -任意の行列 A の各列 (行) は、基底マイナーが位置する列 (行) の線形結合です。

証拠： 次元 m*n の行列 A の基底マイナーが最初の r 行と最初の r 列に位置するとします。 行列式を考えてみましょう。これは、s 行目と k 列目の対応する要素を行列 A の基底マイナーに代入することによって得られます。 任意の u について、この行列式はゼロに等しいことに注意してください。 or の場合、行列式 D には 2 つの同一の行または 2 つの同一の列が含まれます。 そうである場合、行列式 D は (r+λ)-ro 次数のマイナーであるため、ゼロに等しくなります。 最後の行に沿って行列式を展開すると、次が得られます。 ここで、 は最後の行の要素の代数補数です。 基本マイナーなので注意。 したがって、どこで 最後の等式を書くと、次のようになります。、つまり

k番目の列(どのような場合でも) 基底短音の列の線形結合があり、これを証明する必要がありました。基準 d

etA=0:

– 行列式は、その行 (列) が線形従属している場合に限り、ゼロに等しくなります。

基本的な変換

1) 文字列にゼロ以外の数値を乗算する。

2) ある行の要素に別の行の要素を追加します。

3) 文字列の再配置。

4) 同一の行 (列) の 1 つを取り消し線で消します。基底小定理から、行列 A のランクは線形独立行 (行列内の列) の最大数に等しいことがわかります。したがって、基本変換のタスクは、すべての線形独立行 (列) を見つけることです。

逆行列の計算- 変換は、特定の行列 T に、対応する基本行列の積である行列 A を乗算することによって実装できます: TA = E。

この式は、変換行列 T が行列 の逆行列であることを意味します。 したがって、

ここで、 はいくつかの数字です (これらの数字の一部、またはすべてがゼロに等しい場合もあります)。 これは、列の要素間に次の同等性があることを意味します。

または 、 。

(3.3.1) から次のことがわかります。

(3.3.2)

ここで、 はゼロ文字列です。

意味。 行列 A の行は、同時にすべてが 0 に等しくない数値がある場合、次のように線形依存します。

(3.3.3)

等式 (3.3.3) が true の場合、およびその場合に限り、行は線形独立であると呼ばれます。 関係 (3.3.2) は、行の 1 つが他の行に関して線形に表現される場合、行は線形従属であることを示しています。

逆のことは簡単にわかります。文字列が線形依存している場合、残りの文字列の線形結合となる文字列が存在します。

たとえば、(3.3.3) では、次のようになります。 .

意味。 行列 A で特定のマイナーを選択するとします。 r 番目の順序とマイナー ( r 同じ行列の +1) 次には完全にマイナーが含まれます。 この場合、マイナーはマイナーに隣接している（または に隣接している）と言えます。

ここで重要な補題を証明します。

補題国境を接する未成年者について。 未成年者が正常であれば r 行列 A = がゼロとは異なり、それに隣接するマイナーがすべてゼロに等しい場合、行列 A の行 (列) は を構成する行 (列) の線形結合になります。

証拠。 推論の一般性を失うことなく、ゼロ以外のマイナーが次のように仮定されます。 r 番目の次数は行列 A =: の左上隅にあります。

.

最初の k については、 行列 A の行を考えると、補題のステートメントは明白です。線形結合には、係数が 1 に等しい同じ行と、係数が 0 に等しい残りの行を含めるだけで十分です。

ここで、行列 A の残りの行が最初の行に関して線形に表現されることを証明しましょう。 k 線。 これを行うには、マイナー ( r +1) 番目のマイナー加算による次数 k 行目 () と 私列目():

.

結果のマイナーはすべての場合にゼロに等しくなります。 kとl 。 の場合、2 つの同一の列が含まれるため、ゼロに等しくなります。 の場合、結果のマイナーは の境界マイナーであり、したがって補題の条件によりゼロに等しくなります。

マイナーを最後の要素に従って分解しましょう私列目:

(3.3.4)

ここで、 は要素の代数補数です。 代数の補数は行列 A のマイナーであるため、 になります。 (3.3.4) を次のように除算して表現します。

(3.3.5)

どこ 、 。

と仮定すると、次のようになります。

(3.3.6)

式 (3.3.6) は、次のことを意味します。 k 行列 A の 2 番目の行は、最初の行まで線形に表現されます。 r行。

行列が転置されても、そのマイナーの値は（行列式の性質により）変化しないため、証明されたすべてのことが列にも当てはまります。 定理は証明されました。

結果I 。 行列の行 (列) は、その基本行 (列) の線形結合です。 実際、行列の基底マイナーはゼロではなく、それに隣接するすべてのマイナーはゼロに等しい。

系II。 行列式 n of order は、線形に依存する行 (列) が含まれる場合に限り、ゼロに等しくなります。 行列式がゼロに等しくなるための行 (列) の線形依存性が十分であることは、行列式の特性として以前に証明されました。

必要性を証明しましょう。 正方行列が与えられるとします n 番目の次数、そのマイナーのみがゼロです。 したがって、この行列のランクは低くなります n 、つまり この行列の基本行の線形結合である行が少なくとも 1 つあります。

行列のランクに関する別の定理を証明してみましょう。

定理。行列の線形独立行の最大数は、その線形独立列の最大数に等しく、この行列のランクに等しくなります。

証拠。 行列 A= のランクを次と等しいものとします。 r. 次に、その k のいずれか 基底行は線形に独立しています。そうでない場合、基底マイナーはゼロになります。 一方で、どれも r +1 行以上は線形従属です。 逆に仮定すると、次のマイナーを見つけることができます。 r 、前の補題の系 2 によりゼロとは異なります。 後者は、ゼロ以外のマイナーの最大次数が次と等しいという事実と矛盾します。 r 。 行に関して証明されたことはすべて、列にも当てはまります。

最後に、行列のランクを見つけるための別の方法の概要を説明します。 行列のランクは、ゼロとは異なる最大次数のマイナーを見つけることによって決定できます。

一見すると、これには、有限ではあるが、おそらくこの行列の非常に多数のマイナーの計算が必要です。

ただし、次の定理により、これに大幅な単純化を導入できます。

定理。行列 A のマイナーが 0 以外で、それに隣接するすべてのマイナーが 0 に等しい場合、行列のランクは次と等しくなります。 r.

証拠。 以下の行列行のサブシステムが存在することを示すだけで十分です。 S>r 定理の条件下では線形に依存します (このことから、r は行列の線形独立行の最大数、または次数が次数のマイナーの最大数であることがわかります) k はゼロに等しい)。

逆のことを想定してみましょう。 行は線形独立であるとします。 境界マイナーに関する補題によれば、マイナーのそれぞれは、マイナーを含む線によって線形に表現され、ゼロとは異なるという事実により線形独立です。

(3.3.7)

一次式 (3.3.7) の係数から行列 K を考えてみましょう。

.

この行列の行は次のように表されます。 。 行列 K のランク、つまり、 線形に独立したラインの最大数は次を超えません。 r< S 。 したがって、すべてがゼロに等しいわけではない数値もあります。

コンポーネントの等価性に移りましょう

(3.3.8)

ここで、次の線形結合を考えてみましょう。

または

線形依存性と線形独立性の概念は、行と列に対して同様に定義されます。 したがって、列に対して定式化されたこれらの概念に関連付けられたプロパティは、当然、行に対しても有効です。

1. 列システムにゼロ列が含まれる場合、それは線形依存します。

2. 列システムに 2 つの等しい列がある場合、それは線形依存します。

3. 柱システムに 2 つの比例柱がある場合、それは線形に依存します。

4. 列系は、列の少なくとも 1 つが他の列の線形結合である場合にのみ線形依存します。

5. 線形独立システムに含まれる列はすべて、線形独立サブシステムを形成します。

6. 線形依存サブシステムを含む列系は線形依存です。

7. 列系が線形独立であり、それに列を追加した後に線形依存であることが判明した場合、その列は列に分解でき、さらに、独自の方法で分解できます。 膨張係数は一意に求めることができます。

たとえば、最後の性質を証明してみましょう。 列系は線形依存しているため、すべてが 0 に等しくない数値が存在します。

この平等においては。 実際、 の場合、

これは、列の非自明な線形結合がゼロ列に等しいことを意味し、システムの線形独立性と矛盾します。 したがって、そしてその後、つまり 列は列の線形結合です。 このような表現の独自性を示すことはまだ残っています。 逆のことを想定してみましょう。 2 つの展開 と があり、展開のすべての係数がそれぞれ互いに等しいわけではありません (たとえば、 )。 すると平等から

(\alpha_1-\beta_1)A_1+\ldots+(\alpha_k-\beta_k)A_k=o を取得します。

順番に、列の線形結合はゼロ列と等しくなります。 その係数のすべてが (少なくとも) ゼロに等しいわけではないため、この組み合わせは自明ではなく、列の線形独立性の条件に矛盾します。 結果として生じる矛盾は、拡張の独自性を裏付けます。

例3.2。 2 つの非ゼロ列と が比例する場合に限り、線形に依存することを証明します。 。

解決。実際、列が線形に依存している場合、 のように、同時にゼロに等しくない数値が存在します。 そしてこの平等の中で。 実際、 と仮定すると、列も非ゼロであるため、矛盾が生じます。 手段、 。 したがって、 のような数が存在します。 必要性は証明されています。

逆に、 の場合は、 です。 ゼロ列に等しい列の自明ではない線形結合が得られました。 これは、列が線形に依存していることを意味します。

例3.3。柱から形成されるあらゆる種類のシステムを検討する

各システムの線形依存性を調べます。
解決。 それぞれ 1 つの列を含む 5 つのシステムを考えてみましょう。 備考 3.1 の段落 1 によると、システムは線形独立であり、1 つのゼロ列で構成されるシステムは線形従属です。

2 つの列を含むシステムを考えてみましょう。

– 4 つのシステムにはそれぞれゼロ列 (プロパティ 1) が含まれているため、線形依存性があります。

– 列が比例するため、システムは線形依存します (プロパティ 3)。

– 列が不均衡であるため、5 つのシステムはそれぞれ線形に独立しています (例 3.2 のステートメントを参照)。

3 つの列を含むシステムを考えてみましょう。

– 6 つのシステムにはそれぞれゼロ列 (プロパティ 1) が含まれているため、線形依存性があります。

– システムには線形依存サブシステム (プロパティ 6) が含まれるため、システムは線形依存します。

– システム と は、最後の列が残り (プロパティ 4) を通じて線形に表現されるため、線形に依存します (プロパティ 4): と、それぞれ。

最後に、4 列または 5 列のシステムは線形に依存します (特性 6 による)。

マトリックスランク

このセクションでは、行 (列) が互いに依存する程度に関連する、行列のもう 1 つの重要な数値特性を検討します。

定義 14.10サイズの行列と最小値を超えない数値が与えられるとします。 。 マトリックスの行と列をランダムに選択しましょう (行番号は列番号と異なる場合があります)。 選択した行と列の交点の要素で構成される行列の行列式を行列次数マイナーと呼びます。

例14.9させて .

1 次マイナーは行列の任意の要素です。 したがって、 2、 、は 1 次の未成年者です。

第二次未成年者：

1. 行 1、2、列 1、2 を取得すると、マイナーが得られます。 ;

2. 行 1、3、列 2、4 を取得すると、マイナーが得られます。 ;

3. 行 2、3、列 1、4 を取得すると、マイナーが得られます。

三次未成年者:

ここの行は一方向でのみ選択できます。

1. 列 1、3、4 を取得すると、マイナーが得られます。 ;

2. 列 1、2、3 を取得すると、マイナーが得られます。 .

命題 14.23 次数行列のすべてのマイナーがゼロに等しい場合、次数のすべてのマイナーも (存在する場合) ゼロに等しくなります。

証拠。 次数の任意のマイナーを考えてみましょう。 これが順序行列の決定要因です。 最初の行に沿って分解してみましょう。 次に、展開の各項で、因子の 1 つが元の行列の次数のマイナーになります。 条件により、次数のマイナーはゼロに等しくなります。 したがって、次数のマイナーはゼロになります。

定義14.11マトリックスのランクは、ゼロ以外のマトリックスのマイナーの最大次数です。 ゼロ行列のランクはゼロとみなされます。

マトリックス ランクには単一の標準的な指定はありません。 教科書に沿って表記していきます。

例14.10例 14.9 の行列のランクは 3 です。これは、ゼロ以外の 3 次のマイナーは存在しますが、4 次のマイナーは存在しないためです。

マトリックスランク は 1 に等しくなります。これは、1 次の非ゼロのマイナー (行列要素) があり、2 次のすべてのマイナーが 0 に等しいためです。

次数の非特異正方行列の階数は、その行列式が次数のマイナーであり、非特異行列では非ゼロであるため、 に等しくなります。

命題 14.24 行列が転置されても、その順位は変わりません。つまり、 .

証拠。 元の行列の転置されたマイナーは転置された行列のマイナーになり、逆も同様で、どのマイナーも元の行列の転置されたマイナーになります。 転置する場合、行列式 (マイナー) は変わりません (命題 14.6)。 したがって、元の行列内の次数のすべてのマイナーが 0 に等しい場合、同じ次数のすべてのマイナーも 0 に等しくなります。 元の行列の次数のマイナーがゼロと異なる場合、 b は同じ次数のゼロとは異なるマイナーです。 したがって、 .

定義 14.12行列のランクを とします。 次に、ゼロ以外の次数のマイナーは基底マイナーと呼ばれます。

例14.11させて 。 3 行目は最初の 2 行の合計に等しいため、行列の行列式はゼロです。 最初の 2 行と最初の 2 列にある 2 次マイナーは次と等しいです。 。 したがって、行列のランクは 2 であり、考慮されるマイナーはベーシックです。

基本マイナーは、たとえば、1 行目と 3 行目、1 列目と 3 列目に位置するマイナーでもあります。 。 マイナーは 2 行目と 3 行目、1 列目と 3 列目で基本になります。 .

1 行目と 2 行目、2 列目と 3 列目のマイナーは 0 であるため、基底にはなりません。 読者は、他のどの二次未成年者が基本的であり、どの未成年者がそうでないのかを独自に確認できます。

行列の列 (行) は加算したり、数値を乗算したり、線形結合を形成したりできるため、行列の列 (行) 系の線形依存性と線形独立性の定義を導入することができます。 これらの定義は、ベクトルの同じ定義 10.14、10.15 に似ています。

定義 14.13列 (行) 系は、少なくとも 1 つが 0 以外の係数のセットがあり、これらの係数を持つ列 (行) の線形結合が 0 に等しくなる場合、線形依存と呼ばれます。

定義 14.14これらの列 (行) の線形結合が 0 に等しいということは、この線形結合のすべての係数が 0 に等しいことを意味する場合、列 (行) 系は線形独立しています。

命題 10.6 と同様に、次の命題も真です。

文 14.25 列 (行) のシステムは、列の 1 つ (行の 1 つ) がこのシステムの他の列 (行) の線形結合である場合にのみ線形依存します。

という定理を立ててみましょう 基底マイナー定理.

定理14.2 行列の列はどれも、基底マイナーを通過する列の線形結合です。

証明は教科書に載っています 線形代数たとえば、 、 では。

命題 14.26 行列のランクは、線形独立システムを形成する列の最大数に等しくなります。

証拠。 行列のランクを とします。 基底短音を通過する列を考えてみましょう。 これらの列が線形依存システムを形成していると仮定しましょう。 この場合、列の 1 つは他の列の線形結合になります。 したがって、基底マイナーでは、1 つの列は他の列の線形結合になります。 命題 14.15 および 14.18 によれば、この基底マイナーはゼロに等しくなければなりませんが、これは基底マイナーの定義と矛盾します。 したがって、基底マイナーを通過する列が線形依存しているという仮定は当てはまりません。 したがって、線形独立システムを形成する列の最大数は、以上になります。

列が線形独立システムを形成していると仮定します。 それらから行列を作ってみましょう。 すべてのマトリックス マイナーはマトリックス マイナーです。 したがって、行列の基底マイナーの次数は です。 基底マイナー定理によれば、行列の基底マイナーを通過しない列は、基底マイナーを通過する列の線形結合です。つまり、行列の列は線形従属系を形成します。 これは、行列を形成する列の選択に反します。 したがって、線形独立システムを形成する列の最大数は を超えることはできません。 これは、記載されている内容と同等であることを意味します。

命題 14.27 行列のランクは、線形独立システムを形成する行の最大数に等しくなります。

証拠。 命題 14.24 によれば、行列のランクは転置中に変化しません。 マトリックスの行はその列になります。 線形独立システムを形成する転置行列 (元の行) の新しい列の最大数は、行列のランクに等しくなります。

命題 14.28 行列の行列式がゼロの場合、その列の 1 つ (行の 1 つ) は残りの列 (行) の線形結合になります。

証拠。 行列の次数を に等しいものとします。 行列式は、順序を持つ正方行列の唯一のマイナーです。 それはゼロに等しいので、 です。 したがって、列 (行) 系は線形従属です。つまり、列の 1 つ (行の 1 つ) は他の列の線形結合になります。

命題 14.15、14.18、14.28 の結果から、次の定理が得られます。

定理14.3 行列の行列式は、その列の 1 つ (行の 1 つ) が残りの列 (行) の線形結合である場合に限り、ゼロに等しくなります。

すべてのマイナーを計算して行列のランクを見つけるには、非常に多くの計算作業が必要になります。 (読者は、4 次正方行列に 36 個の 2 次マイナーがあることを確認するかもしれません。) したがって、ランクを見つけるために別のアルゴリズムが使用されます。 これを説明するには、いくつかの追加情報が必要になります。

定義 14.15これらに対する次のアクションを行列の基本変換と呼びましょう。

1) 行または列の再配置。
2) 行または列にゼロ以外の数値を乗算する。
3) 行の 1 つに数値を掛けた別の行を追加するか、列の 1 つに数値を掛けた別の列を追加します。

命題 14.29 で 基本的な変換マトリックスのランクは変わりません。

証拠。 行列のランクを 、つまり基本変換を実行した結果の行列と等しくします。

文字列の順列を考えてみましょう。 を行列のマイナーとすると、行列は行を並べ替えることによって一致するか、または異なるマイナーを持ちます。 逆も同様で、任意のマトリックス マイナーを、行順序が一致するか異なるマトリックス マイナーに関連付けることができます。 したがって、行列内の次数のすべてのマイナーが 0 に等しいという事実から、行列内でこの次数のすべてのマイナーも 0 に等しいということになります。 そして、行列には​​ゼロとは異なる次数のマイナーがあるため、行列もゼロとは異なる次数のマイナー、つまり を持ちます。

文字列にゼロ以外の数値を乗算することを検討してください。 行列のマイナーは、1 行のみで一致するか異なる行列のマイナーに対応し、マイナー行にゼロ以外の数値を乗算して取得されます。 後者の場合。 すべての場合において、 と は同時にゼロに等しいか、同時にゼロとは異なります。 したがって、 。