4 つの数値で構成されるテーブル (行列と呼ばれます) を与えてみましょう。

行列には 2 行 2 列があり、この行列を構成する数値は 2 つのインデックスが付いた文字で示されます。 最初のインデックスは行番号を示し、2 番目のインデックスは指定された番号が出現する列番号を示します。 たとえば、 は最初の行と 2 列目の数値を意味します。 2行目1列目の数値。 数値を行列の要素と呼びます。

与えられた行列に対応する 2 次の行列式 (または行列式) は、次のように得られる数です。

行列式は記号で表されます。

したがって、

この数値は行列式の要素と呼ばれます。

二次行列式の性質を示しましょう。

特性 1. 行が対応する列と交換された場合、行列式は変化しません。

プロパティ 2。

2 つの行 (または列) を並べ替える場合、行列式は絶対値を維持したまま、その符号を反対に変更します。

特性 3. 2 つの同一の行 (または列) を持つ行列式はゼロに等しい。

特性４． 合計乗数行 (または列) のすべての要素を決定符号から取り出すことができます。

特性 5. 行 (または列) のすべての要素が 0 に等しい場合、行列式は 0 に等しくなります。

性質 6. 行列式の任意の行 (または列) に、別の行 (または列) の対応する要素を追加し、同じ数値 y を掛けた場合、行列式はその値を変更しません。

行列に数値を乗算するには、行列の各要素にその数値を乗算する必要があります。

結果。 すべての行列要素の共通因数は行列の符号から取り出すことができます。

例えば、 。

ご覧のとおり、行列の加算、減算、および行列と数値の乗算のアクションは、数値に対するアクションと似ています。 行列乗算は特殊な演算です。

2 つの行列の積。

すべての行列を乗算できるわけではありません。 2 つの行列の積 あそして で記載されている順序で AB最初の要素の列数の場合にのみ可能です あ 2 番目の要素の行数に等しい で.

例えば、 。

マトリックスのサイズ あ 33、マトリックスサイズ で 23. 仕事 AB無理、仕事 バージニア州多分。

2 つの行列 A と B の積が 3 番目の行列 C です。その要素 C ij は、最初の因子の i 行目と 2 番目の因子の j 列の要素のペアごとの積の合計に等しくなります。要素。

で示されたのは、 この場合行列の積も可能です バージニア州

2 つの行列の積の存在規則から、一般的な場合の 2 つの行列の積は交換法則に従いません。 AB? バージニア州。 特定のケースで次のことが判明した場合 AB = BA、このような行列は、置換可能または可換と呼ばれます。

行列代数では、通常の代数とは異なり、因子行列が 0 でない場合でも 2 つの行列の積がゼロ行列になることがあります。

たとえば、行列の積を求めてみましょう AB、 もし

複数の行列を乗算できます。 行列の乗算ができれば あ, でこれらの行列の積は行列で乗算できます。 と、その後、製品を構成することができます ( AB) とそして あ(太陽）。 この場合、乗算に関する結合法則が発生します ( AB) と = あ(太陽).

経済学のほとんどの数学モデルは、行列と行列微積分を使用して記述されます。

マトリックス 数値、関数、方程式、またはその他の数学的オブジェクトが行と列に配置された長方形のテーブルです。

マトリックスを構成するオブジェクトは次のように呼ばれます。 要素 。 行列はラテン語の大文字で表されます

そしてそれらの要素は小文字です。

シンボル
マトリックスを意味します もっている
線と 列、 交差点の要素 - 行目と - 番目の列
.

.

彼らはマトリックスだと言います あ行列に等しい で : A=B、それらが同じ構造 (つまり、同じ数の行と列) を持ち、対応する要素がまったく等しい場合
、みんなのために
.

特定の種類の行列

実際には、特殊なタイプの行列が頻繁に発生します。 一部の方法には、あるタイプから別のタイプへの行列の変換も含まれます。 最も一般的なタイプの行列を以下に示します。

	正方行列、行数 n列の数に等しい n
	行列の列
	行列行
	下三角行列
	上三角行列
	ゼロ行列
	対角行列
E =	単位行列 E（四角）
	ユニタリ行列
	ステップ行列
	空の行列

行番号と列番号が等しい行列要素、つまり ある iiマトリックスの主対角を形成します。

行列に対する演算。

.

行列の演算のプロパティ

操作の特定のプロパティ

行列の積の場合
– 存在してから作品が存在する
存在しないかもしれない。 一般的に言えば、
。 つまり、行列の乗算は可換ではありません。 もし
、 それ そして 可換性と呼ばれます。 たとえば、同じ次数の対角行列は可換です。

もし
、その後はオプション
または
。 つまり、非ゼロ行列の積によりゼロ行列が得られる可能性があります。 例えば

べき乗演算 正方行列に対してのみ定義されます。 もし
、 それ

.

定義上、彼らは信じている
、そしてそれを示すのは簡単です
,
。 から注意してください
それは従わない
.

要素ごとのべき乗 A. メートル =
.

トランスポーズ操作 行列は、行列の行をその列に置き換えることで構成されます。

,

例えば

,
.

トランスポーズのプロパティ:

決定因子とその性質。

正方行列の場合、この概念がよく使用されます 決定要因 – 厳密に定義されたルールを使用して行列の要素から計算される数値。 この数値はマトリックスの重要な特性であり、次の記号で示されます。

.

行列行列式
その要素です .

行列行列式
ルールに従って計算されます。

つまり、追加の対角要素の積が主対角要素の積から減算されます。

高次の行列式を計算するには (
) 要素のマイナーおよび代数補体の概念を導入する必要があります。

マイナー
要素 行列から得られる行列式です。 、取り消し線を引く 行目と 列目。

マトリックスを考えてみる サイズ
:

,

次に、たとえば、

代数補数 要素 彼らはそれをマイナー乗算と呼びます
.

,

ラプラスの定理: 正方行列の行列式は、任意の行（列）の要素とその代数補数との積の和に等しい。

たとえば、分解すると、
最初の行の要素に基づいて、次の結果が得られます。

最後の定理は、2 番目から始めて任意の次数の行列式を計算するための普遍的な方法を提供します。 行 (列) は常に、ゼロの数が最も多い行 (列) として選択されます。 たとえば、4 次の行列式を計算する必要があります。

この場合、最初の列に沿って行列式を展開できます。

または最後の行:

この例は、上三角行列の行列式がその対角要素の積に等しいことも示しています。 この結論があらゆる三角行列および対角行列に対して有効であることを証明するのは簡単です。

ラプラスの定理により行列式の計算を削減できる - 計算される次数 決定要因
番目の次数、そして最終的には 2 次の行列式の計算につながります。

正方行列 あ注文 n数値detを比較できます あ(または | あ|、または)、彼女に電話しました 決定要因 、 次のように：

行列行列式 あ彼女にも電話した 決定要因 。 順序行列の行列式を計算するためのルール N理解して適用するのは非常に困難です。 しかし、低次の行列式に基づいて高次の行列式の計算を実行できる方法が知られています。 方法の 1 つは、行列式を特定の系列の要素に展開する特性 (特性 7) に基づいています。 同時に、定義に従って低次の行列式 (1、2、3) を計算できることが望ましいことに注意します。

2 次行列式の計算を図で示します。

例4.1。行列の行列式を見つける

3次行列式を計算する際に便利です。 三角定規 (または Sarrus) は、次のように象徴的に書くことができます。

例4.2。行列の行列式を計算する

デット あ = 5*1*(-3) + (-2)*(-4)*6 + 3*0*1 — 6*1*1 — 3*(-2)*(-3) — 0*(-4)*5 = -15+48-6-18 = 48-39 = 9.

すべての次数の行列式に固有の行列式の基本的な性質を定式化してみましょう。 これらの性質のいくつかを 3 次行列式を使用して説明します。

プロパティ 1 (「行と列の等価性」)。 行列式は、行が列に置き換えられても変化しません。また、その逆も同様です。 言い換えると、

以下では、単純に行と列と呼びます。 行列式の行 .

プロパティ 2 。 2 つの並列直列を並べ替えると、行列式の符号が変わります。

プロパティ 3 。 2 つの同一の系列を持つ行列式はゼロに等しくなります。

プロパティ 4 。 行列式の任意の系列の要素の共通因数は、行列式の符号から取り出すことができます。

プロパティ 3 と 4 から、次のようになります。 つまり、特定の系列のすべての要素が並列系列の対応する要素に比例する場合、そのような行列式はゼロに等しいということです。

本当に、

プロパティ 5 。 行列式の任意の系列の要素が 2 つの項の合計である場合、行列式は 2 つの対応する行列式の合計に分解できます。

例えば、

特性６． (「行列式の基本変換」)。 並列系列の対応する要素を 1 つの系列の要素に加算し、任意の数を乗算しても、行列式は変わりません。

例4.3。 それを証明してください

解決策: 実際、プロパティ 5、4、および 3 を使用して学習します。

行列式のさらなる性質は、マイナーおよび代数補体の概念に関連しています。

マイナー何らかの要素 アイジ決定要因 n-番目 順序を行列式といいます n- 1 次。選択した要素が位置する行と列の交点を取り消すことによって元のデータから取得されます。 指定された ミジ

代数補数要素 アイジ行列式の合計は、プラス記号を付けてそのマイナーと呼ばれます。 i+j偶数であり、この量が奇数の場合はマイナス記号が付きます。 指定された アイジ:

プロパティ 7 (「行列式を特定の系列の要素に分解する」)。 行列式は、特定の級数の要素とそれらの対応する代数の補数の積の合計に等しくなります。