自然対数の概念を紹介する前に、定数 $e$ の概念を考えてみましょう。

数値 $e$

定義 1

数値 $e$は超越数である数学定数であり、$e\about 2.718281828459045\ldots$ に等しくなります。

定義 2

超越的な整数係数を持つ多項式の根ではない数値です。

注1

最後の式は次のように説明します 2番目の素晴らしい制限.

数字eは別名eとも呼ばれます オイラー数、そして時々 ネピア数.

注2

数値 $е$ の最初の桁を覚えるには、次の式がよく使用されます。 「2ドル、7ドル、レフ・トルストイの2倍」。 もちろん、これを使用できるようにするには、レフ・トルストイが $1828$ に生まれたことを覚えておく必要があります。これらの数値は、整数部分 $2$ の後の数値 $e$ の値で 2 回繰り返されます。小数部分は$7$です。

自然対数を研究するときに、数値 $e$ の概念を考慮し始めたのは、それが通常対数 $\log_(e)⁡a$ と呼ばれる対数の底にあるためです。 自然$\ln ⁡a$ の形式で記述します。

自然対数

多くの場合、計算では、数値 $е$ を底とする対数が使用されます。

定義 4

$e$を底とする対数を呼びます 自然.

それらの。 自然対数は $\log_(e)⁡a$ と表すことができますが、数学では $\ln ⁡a$ という表記を使用するのが一般的です。

自然対数の性質

なぜなら 単位の底に対する対数が $0$ に等しい場合、単位の自然対数は $0$ に等しくなります。

数値 $е$ の自然対数は 1 に等しくなります。

2 つの数値の積の自然対数は、これらの数値の自然対数の合計に等しくなります。

$\ln ⁡(ab)=\ln ⁡a+\ln ⁡b$。

2 つの数値の商の自然対数は、これらの数値の自然対数の差に等しくなります。

$\ln⁡\frac(a)(b)=\ln ⁡a-\ln⁡ b$。

数値のべき乗の自然対数は、指数と部分対数の自然対数の積として表すことができます。

$\ln⁡ a^s=s \cdot \ln⁡ a$。

例1

式 $\frac(2 \ln ⁡4e-\ln ⁡16)(\ln ⁡5e-\frac(1)(2) \ln ⁡25)$ を簡略化します。

解決.

積対数の特性を分子と分母の最初の対数に適用し、累乗対数の特性を分子と分母の 2 番目の対数に適用してみましょう。

$\frac(2 \ln ⁡4e-\ln⁡16)(\ln ⁡5e-\frac(1)(2) \ln ⁡25)=\frac(2(\ln ⁡4+\ln ⁡e) -\ln⁡ 4^2)(\ln ⁡5+\ln ⁡e-\frac(1)(2) \ln⁡ 5^2)=$

括弧を開いて同様の用語を提示し、プロパティ $\ln ⁡e=1$ も適用してみましょう。

$=\frac(2 \ln ⁡4+2-2 \ln ⁡4)(\ln ⁡5+1-\frac(1)(2) \cdot 2 \ln ⁡5)=\frac(2)( \ln ⁡5+1-\ln ⁡5)=2$。

答え: $\frac(2 \ln ⁡4e-\ln ⁡16)(\ln ⁡5e-\frac(1)(2) \ln ⁡25)=2$。

例 2

式 $\ln⁡ 2e^2+\ln \frac(1)(2e)$ の値を見つけます。

解決.

対数の和の公式を適用してみましょう。

$\ln 2e^2+\ln \frac(1)(2e)=\ln 2e^2 \cdot \frac(1)(2e)=\ln ⁡e=1$。

答え: $\ln 2e^2+\ln \frac(1)(2e)=1$。

例 3

対数式 $2 \lg ⁡0.1+3 \ln⁡ e^5$ の値を計算します。

解決.

べき乗の対数の性質を適用してみましょう。

$2 \lg ⁡0.1+3 \ln e^5=2 \lg 10^(-1)+3 \cdot 5 \ln ⁡e=-2 \lg ⁡10+15 \ln ⁡e=-2+ 15= 13ドル。

答え: $2 \lg ⁡0.1+3 \ln e^5=13$。

例 4

対数式 $\ln \frac(1)(8)-3 \ln ⁡4$ を簡略化します。

$3 \ln \frac(9)(e^2)-2 \ln ⁡27=3 \ln (\frac(3)(e))^2-2 \ln 3^3=3 \cdot 2 \ln \ frac(3)(e)-2 \cdot 3 \ln ⁡3=6 \ln \frac(3)(e)-6 \ln ⁡3=$

最初の対数に商の対数の性質を適用します。

$=6(\ln ⁡3-\ln ⁡e)-6 \ln⁡ 3=$

括弧を開いて類似の用語を示してみましょう。

$=6 \ln ⁡3-6 \ln ⁡e-6 \ln ⁡3=-6$。

答え: $3 \ln \frac(9)(e^2)-2 \ln ⁡27=-6$。

意味

番号と呼ばれる無理数で超越的な数学定数です。 オイラー数または ネピア数、自然対数の底です。

舞台裏での定数 は、スコットランドの数学者ジョン・ネーピア (1550-1617) の著作「驚異的な対数表の説明」に記載されています (より正確には、1618 年に出版されたこの著作の翻訳の付録にあります)。 この定数について最初に言及したのは、ザクセンの哲学者、論理学者、数学者、機械工、物理学者、弁護士、歴史家、外交官、発明家、言語学者のゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツ (1646-1716) がオランダの機械工、物理学者、数学者、天文学者に宛てた手紙の中にあります。そして1690年から1691年の発明家クリスティアン・フィンゲンス・ファン・ズリヘム（1629年-1695年）。 そこでは、それは文字によって指定されました。 伝統的指定 1727 年にスイス、ドイツ、ロシアの数学者、機械工のレオンハルト オイラー (1707-1783) がそれを使い始めました。 彼は、1731 年にドイツの数学者クリスチャン ゴールドバッハ (1690-1764) に宛てた手紙の中でこの言葉を初めて使用しました。この手紙が記載された最初の出版物は、L. オイラーの著書『分析的に説明される力学、または運動の科学』(1736 年) でした。 定数自体は、スイスの数学者ヤコブ ベルヌーイ (1655-1705) によって、利子収入の制限値の問題を解決する際に最初に計算されました。

数は数学のさまざまな分野、特に微分積分において重要な役割を果たします。 オイラー数の超越性は、1873 年にフランスの数学者シャルル エルミット (1822-1901) によって証明されました。

番号 e のタスク

1) 限界を超えて:

y (x) = e x、その導関数は関数自体に等しい。

指数は、 、 または で表されます。

番号e

指数次数の基礎は次のとおりです。 番号e。 これは無理数です。 ほぼ等しい
e ≈ 2,718281828459045...

数値 e は、数列の極限によって決定されます。 これはいわゆる 2番目の素晴らしい制限:
.

数値 e は系列として表すこともできます。
.

指数グラフ

指数グラフ、y = e x 。

グラフは指数関数を示しています eある程度 ×.
y (x) = e x
グラフは、指数が単調増加していることを示しています。

数式

基本的な公式は次のものと同じです 指数関数パワーベース付き e.

;
;
;

指数関数を介した次数 a の任意の底を持つ指数関数の式:
.

プライベートな価値観

させてください (x) = e x。
.

それから

指数のプロパティ e > 1 .

指数はべき乗ベースを持つ指数関数の特性を持ちます。

ドメイン、値のセット (x) = e x指数y
すべての x に対して定義されます。
- ∞ < x + ∞ .
その定義領域:
0 < y < + ∞ .

その多くの意味:

極端、増加、減少

指数関数は単調増加関数であるため、極値はありません。 その主な特性を表に示します。

逆関数
;
.

指数の逆数は自然対数です。

指数の導関数 eある程度 ×デリバティブ eある程度 × :
.
に等しい
.
n次微分:

数式の導出 > > >

積分

複素数 複素数の演算は次のように実行されます。:
,
オイラーの公式
.

ここで虚数単位は次のとおりです。

; ;
.

双曲線関数による式

; ;
;
.

三角関数を使った式

べき級数展開
使用した文献:

で。 ブロンスタイン、K.A. Semendyaev、エンジニアと大学生のための数学ハンドブック、「Lan」、2009 年。

e を「2.71828... にほぼ等しい定数」と記述することは、pi を「3.1415... にほぼ等しい無理数」と呼ぶのと同じです。 これは間違いなく真実ですが、その要点はまだわかりません。。 これはすべての円に共通する基本的な比率であるため、円、球、円柱などの円周、面積、体積、表面積の計算に関与します。 Pi は、円から導出される三角関数 (サイン、コサイン、タンジェント) はもちろん、すべての円が関連していることを示します。

数値 e は、すべての継続的に成長するプロセスの基本的な成長率です。 e 数値を使用すると、単純な成長率 (差異が年末にのみ表示される) を取得し、この指標の構成要素である通常の成長を計算できます。通常の成長では、ナノ秒ごとに (またはそれより速く) すべてが少しずつ成長します。もっと。

数値 e は、人口、放射性崩壊、パーセント計算など、指数関数的成長システムと定数成長システムの両方に関係します。 均一に成長しないステップ系でも、数値 e を使用して近似できます。

任意の数値が 1 (基本単位) の「スケールされた」バージョンと考えることができるのと同様に、任意の円も単位円 (半径 1) の「スケールされた」バージョンと考えることができます。 そして、あらゆる成長因子は e の「スケールされた」バージョン (「単位」成長因子) と考えることができます。

したがって、数値 e はランダムに取得された乱数ではありません。 数字 e は、成長を続けるすべてのシステムは同じメトリックのスケール バージョンであるという考えを具体化しています。

指数関数的成長の概念

復習から始めましょう 基本システム、 どれの ダブルス一定期間。 例えば：

• 細菌は24時間ごとに分裂し、その数が「2倍」になります
• 麺を半分に割ると2倍の量になります
• 100% 利益が出れば、お金は毎年 2 倍になります (幸運です!)

そしてそれは次のようになります:

2 で割る、または 2 倍にすることは非常に簡単です。 もちろん、3 倍や 4 倍にすることもできますが、説明するには 2 倍の方が便利です。

数学的には、分割が x 個ある場合、最終的には最初よりも 2^x 倍良い結果が得られます。 パーティションが 1 つだけ作成された場合は、2^1 倍多くの値が得られます。 パーティションが 4 つある場合、2^4=16 個のパーツが得られます。 一般的な式は次のようになります。

身長= 2 ×

言い換えれば、2 倍は 100% の増加です。 この式は次のように書き換えることができます。

身長= (1+100%) x

これは同じ等式であり、「2」をその構成部分に分割しただけであり、本質的にはこの数値、つまり初期値 (1) に 100% を加えたものです。 賢いですよね？

もちろん、100% の代わりに他の数値 (50%、25%、200%) を代入して、この新しい係数の成長式を取得することもできます。 時系列の x 期間の一般式は次のようになります。

身長 = (1+増加)x

これは単に、収益率 (1 + ゲイン) を「x」回連続して使用することを意味します。

もっと詳しく見てみましょう

私たちの計算式は、成長が個別のステップで起こることを前提としています。 私たちのバクテリアは待って待って、そしてバタン!そして最後の瞬間にその数が2倍になります。 預金の利息による利益は、魔法のようにちょうど 1 年後に現れます。 上記の計算式に基づくと、利益は段階的に増加します。 緑色の点が突然現れます。

しかし、世界は常にこのようであるわけではありません。 ズームインすると、私たちの仲間である細菌が常に分裂していることがわかります。

緑の仲間は何もないところから生まれるわけではありません。彼は青い親からゆっくりと成長します。 1 時間後 (この場合は 24 時間)、緑色の友人はすでに完全に熟しています。 成長すると、彼は群れの本格的な青色のメンバーとなり、自分自身で新しい緑色の細胞を作成できるようになります。

この情報によって私たちの方程式は何らかの形で変化するでしょうか?

いいえ。 細菌の場合、半分形成された緑色の細胞は、成長して青色の親細胞から完全に分離するまで、まだ何もできません。 したがって、方程式は正しいです。

e- 数学的定数、自然対数の底、無理数および超越数。 e= 2.718281828459045… 場合によっては数値 e呼ばれた オイラー数または 非フェザー番号。 微分積分学において重要な役割を果たします。

判定方法

数値 e はいくつかの方法で定義できます。

プロパティ

話

この番号は時々呼ばれます 羽毛のない「驚くべき対数表の説明」（1614年）という作品の著者であるスコットランドの科学者ジョン・ネイピアに敬意を表して。 ただし、この名前は完全に正しいわけではありません。数値の対数が含まれるためです。 ×等しかった .

この定数は、1618 年に出版されたネイピアの上記著作の英語翻訳の付録に非公式で初めて含まれています。非公式には、自然対数の表のみが含まれているため、定数自体は定義されていません。 この表の作成者はイギリスの数学者ウィリアム・オートレッドであると考えられています。 この定数自体は、スイスの数学者ヤコブ ベルヌーイが次の制限値を計算しようとしたときに初めて導き出しました。

この定数の最初に知られた使用法では、文字で示されていました。 b、1690年と1691年にゴットフリート・ライプニッツからクリスチャン・ホイヘンスに宛てた手紙の中に見られる。 手紙 eレオンハルト・オイラーは 1727 年にそれを使い始め、この手紙を含む最初の出版物は 1736 年の彼の著書「分析的に説明された力学、または運動の科学」でした。 e時々呼ばれます オイラー数。 その後一部の科学者がこの手紙を使用しましたが、 c、 手紙 eはより頻繁に使用され、現在では標準的な指定になっています。

なぜその手紙が選ばれたのでしょうか？ e、正確には不明です。 おそらくこれは、単語がそれで始まるという事実によるものです 指数関数的(「指標的」、「指数的」)。 もう一つの仮定は、文字が ある, b, cそして dすでに他の目的で非常に広く使用されており、 eそれは最初の「無料」手紙でした。 オイラーが選択したと考えるのは信じがたい e姓の最初の文字 (ドイツ語) オイラー）、彼は非常に謙虚な人で、常に他の人の仕事の重要性を強調しようとしたからです。

暗記方法

番号 e次の記憶規則を使用して覚えることができます: 2 と 7、次にレフ トルストイの誕生年の 2 倍 (1828 年)、次に直角二等辺三角形の角度 ( 45 , 90 そして 45 度）。

別のバージョンのルールでは eアンドリュー・ジャクソン米国大統領に関連: 2 - 何度も選出されている、7 - 彼は第 7 代米国大統領、1828 - 彼の選挙の年、ジャクソンが 2 回選出されて以来、2 回繰り返されました。 そして、再び直角二等辺三角形。

もう 1 つの興味深い方法は、数字を記憶することを提案しています。 e「悪魔の数字」によって小数点以下 3 桁まで正確に計算できます。666 を、6 - 4、6 - 2、6 - 1 (3 つの 6、そこから 2 の最初の 3 乗を除いた数字) で構成される数で割る必要があります。逆の順序で): .

4 番目の方法は、次のことを思い出すことを提案します。 eどうやって .

大まか (0.001 までの精度) ですが、適切な近似が示唆されています。 e等しい 非常に大まかな (精度 0.01) 近似は、式 で得られます。

「ボーイング ルール」: 0.0005 という良好な精度が得られます。

「詩」: 私たちは羽ばたいて輝いていたが、峠で立ち往生した。 彼らは私たちが盗んだ集会を認識しませんでした。

e = 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 95749 66967 62772 40766 30353 54759 45713 82178 52516 15 738 34187 93070 21540 89149 93488 41675 09244 76146 06680 82264 80016 84774 11853 74234 54424 37107 53907 77449 55170 27618 38606 26133 13845 83000 75204 49338 26 560 29760 67371 13200 70932 87091 27443 74704 72306 96977 20931 01416 92836 81902 55151 08657 46377 2 1112 52389 78442 50569 53696 77078 54499 69967 94686 44549 05987 93163 68892 30098 79312 77361 78215 42499 92295 76351 82698 95193 66803 31825 28869 39849 64651 05820 93923 98294 88793 32036 094 43117 30123 81970 68416 14039 70198 37679 32068 32823 76464 80429 53118 02328 78250 98194 5 30175 67173 61332 06981 12509 96181 88159 30416 90351 59888 85193 45807 27386 67385 89422 87922 84998 92086 80582 57492 610 48419 84443 63463 24496 84875 60233 62482 70419 78623 20900 21609 90235 30 436 99418 49146 31409 34317 38143 64054 62531 52096 18369 08887 07016 76839 64243 78140 59271 5635 49061 30310 72085 10383 75051 01157 47704 17189 86106 87396 96552 12671 54688 95703 50354 02123 40784 98193 34321 01210 05627 88023 51920