信号とリニアシステム。信号相関関数確定的信号の相関解析

が周期信号の場合、ACF K f (t) =

f (t) × f t(+ t) dt と

が周期信号の場合、ACF K f (t) =

f (t) × f t(+ t) dt と

26.11.2023

最適な受信アルゴリズムの種類と送信システムの品質指標個別のメッセージ特性に大きく依存します

これを、複素基準信号の位置と、時間の不一致によるそれらの間の時間シフトの位置に対応する複素受信フィールドの相互相関関数と呼びます。

この関数は、インデックスを持つ信号の「差」(または「近接性」) の尺度です。チャネル内の干渉のすべての実装が信号のアンサンブルに含まれている場合、この関数は「差」の尺度も決定します。信号と干渉の間、および干渉の個々の実装間の「近接性」)。信号とノイズを区別できるというこの特性は、たとえば多くの作品で利用されています。

最後の公式を導出する際には、パーシヴァルの等式から次の関係が考慮されました。

これらの関数は、それぞれ、受信信号の相互相関関数および受信位置での共役信号の相互相関関数と呼ばれます。それらの 1 つ目は、最適なコヒーレント受信の特性を決定しますが、不確実な信号位相 (インコヒーレント受信) での最適な受信を特徴付けるには、モジュラス (エンベロープ) の知識のみが必要です。複素関数相関関係

最適なコヒーレント受信方式で使用される複雑な基準信号 (下記を参照)

ここで、積分方程式の解となる関数は

ここで、は付加ノイズの相関関数です。相関関数はそれ自体の関数に関して双一次級数に拡張できるため、

ここで、が固有値である場合、積分方程式 (1.52) の解は次の形式で書くことができます。

干渉が集中部分と変動の 2 つの部分の合計であり、互いに相関がない場合、干渉の集中部分の相関関数を系列に展開すると (1.53)、次のようになります。

ここで、任意の正規直交基底におけるホワイトノイズとスペクトル密度の相関関数は次のように表すことができるため、に対応する固有値と固有関数は次のように表されます。

(すべての固有値は同じであり、N に等しい)、その後

(1.51) を考慮して、この関数も重み付き [複素相互相関の重みを使用して] と呼びます。

式 (1.51) は、受信位置での複素信号の 2 つの実装の関数を次の形式で書くことができます。

重み関数が均一であると仮定します。つまり、とが 1 対のヒルベルト変換によって相互に関連していることが示されます。信号のアンサンブル

条件が満たされている場合、受信位置での信号の直交システムについては、任意のタイムシフトに対して「直交」と呼びます。

(1-47) の場合、それを受信した複素信号の相関関数と呼びます。実際、条件 (1.59) のおおよその満たしについてのみ話すことができます。これは、スペクトルがどこにも重なり合わない信号を使用する場合にのみ、条件 (1.59) を厳密に満たすことが可能であり、これは実現不可能であるためです。実際には、条件 (1.59) は任意の値に対してのみ満たされることがよくあります。

この場合、インデックスが一致しない場合は相互相関関数の狭さの条件が満たされ、インデックスが一致する場合は相関関数の狭さの条件が満たされると言えます。

正規化された相関関数を導入しましょう。

受信位置における信号のエネルギー比 (信号/干渉)。したがって、正規化相関関数 (1.61) がこの条件を満たすことがわかります。同様に、共役受信信号の正規化相関関数も同じ条件を満たすことがわかります。

信号位相が不確実な場合、場合によっては、受信機の特性がエンベロープ (1.50) によって特徴付けられ、それに応じて正規化されたエンベロープによって特徴付けられます。

受信信号のシステムを次のように呼びましょう。

任意の時間シフトに対する強い意味での直交

非常に多くの場合、私たちは条件を満たす信号システムを扱っています。この条件を、専門用語を使用して拡張された意味で (受信場所で) 直交と呼びます。

実際には、条件 (1.64) は通常、境界 (1.60) 内でのみ満たされます。

入力された受信信号の特性と同様に、重み付けされた相関特性と相互相関特性を入力できます。送信信号:

この条件は、任意の時間シフトに対する強化された意味での受信信号の直交性も保証します。

チャネル内で特定の位相が設定されている場合、受信信号の通常の直交性については、送信信号 (同じ重みを持つ) の直交性で十分です。

シングルビームチャネルの場合、任意の時間シフトにおける受信信号の直交性および拡張された意味での直交性は、重み付き送信信号の任意の時間シフトにおける直交性および拡張された意味での直交性とそれぞれ同等です。

狭帯域の送信および受信信号の場合、任意の非ゼロシフトでの拡張された意味での直交性は、任意のシフトでの通常の直交性と同等です。ただし、そのような信号の場合、拡張された意味での直交性 ( で ) は通常の直交性と同等ではありません。

物理的な観点から見ると、相関関数は 2 つのものの関係または相互依存性を特徴付けます。瞬時値 1つまたは2つさまざまな信号時々、そして。前者の場合、相関関数は自己相関と呼ばれることが多く、後者の場合は相互相関と呼ばれます。決定論的プロセスの相関関数はにのみ依存します。

信号とが与えられた場合、相関関数は次の式によって決定されます。

- 相互相関関数; (2.66)

- 自己相関関数。 (2.67)

とが同じ周期の 2 つの周期信号の場合 Tの場合、それらの相関関数も周期的であることは明らかです。 Tしたがって、フーリエ級数で展開できます。

実際、式 (2.66) の信号をフーリエ級数に展開すると、次のようになります。

(2.68)

ここで、とは複素振幅です n信号の次高調波であり、したがって、複素共役係数となります。相互相関関数の展開係数は、フーリエ級数の係数として求められます。

. (2.69)

自己相関関数の周波数展開は、式 (2.68) と (2.69) から簡単に求めることができます。、それから

. (2.70)

そしてそれ以来、したがって

, (2.71)

この場合、自己相関関数は偶数であるため、

. (2.72)

自己相関関数のパリティにより、コサインの三角フーリエ級数に拡張できます。

特殊なケースでは、については次のようになります。

したがって、自己相関関数は、すべての高調波の平均パワーの合計に等しい、周期信号の合計平均パワーを表します。

パルス信号の周波数表現

先ほどの説明では信号は連続であると仮定しましたが、自動情報処理ではパルス信号や連続信号からパルス信号への変換がよく使われます。これには、パルス信号の周波数表現の問題を考慮する必要があります。

図 2.6a に示す、連続信号をパルス形式に変換するモデルを考えてみましょう。

連続信号がパルス変調器の入力に到着するとします (図 2.6b)。パルス変調器は、一定の周期を持つ一連の単一パルス (図 2.6c) を生成します。 Tとパルス持続時間 t、そして。このような一連のパルスの数学的モデルは関数として記述できます。

(2.74)

どこ k- シーケンス内のパルス番号。

パルス変調器の出力信号 (図 2.6d) は次のように表すことができます。

実際には、パルス列の周波数表現を得ることが望ましい。これを行うには、関数を周期としてフーリエ級数として表すことができます。

, (2.75)

- フーリエ級数へのスペクトル展開係数。 (2.76)

パルス繰り返し率。

n- 高調波数。

関係式 (2.74) を式 (2.76) に代入すると、次のようになります。

(2.76) を (2.74) に代入すると、次のようになります。

(2.78)

サインの差を変換しましょう。

. (2.79)

フェーズ指定を導入しましょう n次高調波

. (2.81)

したがって、単一パルスのシーケンスには、一定の成分とともに、振幅が減少する無数の高調波が含まれます。振幅 k番目の高調波は次の式から決定されます。

デジタル信号処理には、時間サンプリング (量子化)、つまり連続信号の一連の短いパルスへの変換が含まれます。上に示したように、パルスシーケンスはかなり複雑なスペクトルを持っているため、時間サンプリングプロセスが元の連続信号の周波数スペクトルにどのような影響を与えるかという当然の疑問が生じます。

この問題を調査するには、次の点を考慮してください。数学的モデル図 2.7a に示すタイムサンプリングプロセス。

パルス変調器 (PM) は、非常に短いパルスの理想的なシーケンス (シーケンス) の形式の搬送波を持つ変調器として表されます。 d-関数)、その繰り返し周期は次のとおりです。 T(図2.7b)。

連続信号がパルス変調器の入力で受信され (図 2.7c)、パルス信号が出力で生成されます (図 2.7d)。

次に、理想的なシーケンスモデル d-関数は次の式で記述できます。

信号を記述するためのスペクトル的アプローチに加えて、実際には、信号のいくつかの特性、特に時間の経過に伴う変化率や信号の継続時間についてのアイデアを与える特性が必要になることがよくあります。高調波成分に分解することなく。

このような時間特性として広く使用されています相関信号機能。

確定的な信号の場合 s(t) 有限期間の相関関数は次の式で求められます。

ここで、τ は信号の時間シフトです。

この章では、時間の実数関数である信号を扱います。複素共役の指定は省略できます。

. (1.78)

式 (1.78) から次のことが明らかです。 B s (t) 信号のつながり（相関）の度合いを特徴づけます s ( t ) そのコピーは時間軸に沿って量 t だけシフトされます。機能が明確であることは、 B s ( t ) どの信号もそれ自体と完全に相関しているため、τ = 0 で最大値に達します。同時に

, (1.79)

つまり、相関関数の最大値は信号エネルギーに等しくなります。

τ が増加すると、関数はで 8 (τ) 信号の相対的なシフトによっても減少します (必ずしも単調に減少するとは限りません) s(t) そして s(t+ τ) は信号の継続時間を超えるとゼロになります。

相関関数の一般的な定義から、信号をそのコピーに対して量 τ だけ右にシフトするか左にシフトするかに違いがないことは明らかです。したがって、式 (1.78) は次のように一般化できます。

. (1.78)

これは次のことを言うのと同じです B s (τ) は 偶数関数τ.

エネルギーが無限に大きい周期信号の場合、式 (1.129) または (1.129") を使用して相関関数を定義することは受け入れられません。この場合、次の定義が使用されます。

この定義により、相関関数は検出力の次元を獲得し、 B Ｓｎｅｐ（０）は、周期信号の平均パワーに等しい。信号の周期性により ( t ) 積の平均化
または
無限に大きなセグメントにわたって T は、期間 T1 にわたる平均化と一致する必要があります。したがって、式 (1.79) は次の式で置き換えることができます。

この式に含まれる積分は、区間上の信号の相関関数にすぎません。 T 1 . それを表すのは、 B sTL (τ )、次の関係に到達します。

また、周期信号 s( t ) 周期相関関数に対応します。 B s レーン (τ). 機能期間 B s レーン (τ) 期間と一致する T 1 元の信号 ( t ). たとえば、最も単純な（調和）振動の場合、
相関関数

τ=0のとき
振幅を伴う調和振動の平均電力です。あ 0 . 相関関数に注意することが重要です。
発振の初期位相に依存しない .

2 つの異なる信号間の結合度を推定するには s 1 ( t ) 2です ( t ) 一般式で定義される相互相関関数が使用されます。

実関数 s 1 (t) および s 2 (t) の場合

上で説明した相関関数で s (τ) は関数の特殊なケースです
、いつ1 ( t ) =s2 ( t ).

とは異なり
相互相関関数は τ に関して必ずしも均一ではありません。また、相互相関関数は、ない必然的にで最大値に達します τ = 0.

信号相関関数それは一時的な特性です

信号を高調波成分に分解することなく、時間の経過に伴う信号の変化率と信号の持続時間を知ることができます。

自己相関関数と相互相関関数があります。決定論的信号 f(t) の場合、自己相関関数は次の式で与えられます。

ここで、は信号の時間シフトの大きさです。

信号 f (t) とその信号との接続 (相関) の程度を特徴づけます。

時間軸に沿ってある量だけシフトされたコピー。方形パルス f (t) の自己相関関数 (ACF) を構築してみましょう。図のように信号がリーディング側にシフトします。 6.25。

グラフでは、各値には関数のグラフの下に独自の積と面積があります。数値

対応するτのそのような領域の値は、関数の縦座標を与えます

τ が増加すると、τ は減少します (必ずしも単調に減少するわけではありません)。

つまり、信号持続時間はゼロよりも大きくなります。

も周期 T の周期関数です。

自己相関関数の主なプロパティを考えてみましょう。

1. ACF は偶関数です。つまり、関数が増加すると関数は減少します。

2. どの信号もそれ自体と完全に相関しているため、ACF はで最大に達します。この場合、ACF の最大値はエネルギーに等しくなります。


信号、つまり	E = K f (0) = ò f 2 (t) dt。周期信号の場合

平均信号パワー。
	とスペクトル密度係数の二乗
直接フーリエ変換および逆フーリエ変換によってそれらの間で変換されます。

信号スペクトルが広いほど、相関間隔は小さくなります。相関関数がゼロとは異なる範囲のシフトの大きさ。したがって、信号相関間隔が大きくなるほど、そのスペクトルは狭くなります。

相関関数は、時間的にシフトされた 2 つの異なる信号 f 1 (t) と f 2 (t) 間の接続の程度を推定するために使用することもできます。

この場合、それは相互相関関数 (MCF) と呼ばれ、次の式で定義されます。

相互相関関数は τ に関して必ずしも均一ではなく、必ずしも最大値に達するとは限りません。 2 つの三角信号 f 1 (t) と f 2 (t) の CCF の構成を図に示します。 6.26 変速時

信号 f 2 (t) を左に移動すると (t > 0、図 6.26、a)、信号の相関関数は最初に増加し、次に 0 に減少します。信号 f 2 (t) が右にシフトすると (t< 0, рис. 6.26, б) корреляционная функция сразу убывает. В результате получается нессиметричная относительно оси ординат ВКФ , показанная на рис. 6.26, в.

f1(t)

f2(t)

0 t t

0t -T T

f 1 (t) × f 2 (t + t)

f1(t)

f2(t)

T T+t

f 1 (t) × f 2 (t - t)

6.9. 変調信号の概念。振幅変調

高周波信号は、情報を遠くに送信するために使用されます。送信される情報は、何らかの方法で搬送波と呼ばれる高周波振動に埋め込まれる必要があります。チャの選択

キャリア信号の値 ω は多くの要因に依存しますが、いずれの場合も ω

送信メッセージのスペクトルの最高周波数よりもはるかに大きくなければなりません。つまり、

搬送波の性質に応じて、2 種類の変調が区別されます。

– 連続 – 時間的に連続した高調波搬送波を使用します。

– パルス - 搬送波がパルスの周期的なシーケンスの形式である場合。

情報を運ぶ信号は次の形式で表現できます。

とが定数値の場合、これは情報を持たない単純な調和振動です。メッセージを送信するために強制的に変更されると、振動が変調されます。

A (t) が変化する場合、角度が角度であれば、これは振幅変調です。角度変調は、周波数 (FM) と位相 (PM) の 2 つのタイプに分けられます。

以来、その後、およびはゆっくりと変化する時間の関数です。次に、あらゆるタイプの変調に対して、信号パラメータは次のように仮定できます。

(1) (振幅、位相、周波数) の変化が非常にゆっくりであるため、1 周期以内の高周波発振は高調波と見なすことができます。この前提は、信号とそのスペクトルの特性の基礎となっています。

振幅変調 (AM)。 AM では、搬送波信号の振幅包絡線は、送信メッセージ、周波数の変化の法則と一致する法則に従って変化します。変化せず、初期段階変調が始まる瞬間によって異なる場合があります。一般式 (6.22) は次のように置き換えることができます。

振幅変調信号のグラフ表示を図に示します。 6.27。ここで、S (t) は送信された連続メッセージ、つまり搬送高調波高周波信号の振幅です。エンベロープ A (t) はメッセージを再現する法則に従って変化します

S(t)。

最大のもの、そして。 – 変調関数の周波数 – エンベロープの初期位相。この変調はと呼ばれます

調性です (6.28)。

元の信号の変化の法則を繰り返します (図 6.28、b)。

3 信号の相関分析

意味スペクトル分析信号を研究することは、信号が単調波振動の和 (または積分) としてどのように表されるのか、また信号の形状がこれらの振動の振幅と位相の周波数分布の構造をどのように決定するのかを研究することです。対照的に、信号相関分析のタスクは、信号または同じ信号のタイムシフトされたコピー間の類似性と相違の程度を判断することです。措置の導入で実現への道が開かれる定量的測定信号の類似度。信号のスペクトル特性と相関特性の間には一定の関係があることが示されます。

3.1 自己相関関数 (ACF)

有限のエネルギーを持つ信号の自己相関関数は、この信号の 2 つのコピーの積の積分の値であり、時間 τ だけ相互にシフトされ、この時間シフト τ の関数として考慮されます。

信号が有限の時間間隔にわたって定義されている場合、その ACF は次のように求められます。

ここで、は信号のシフトされたコピーのオーバーラップ間隔です。

での自己相関関数の値が大きいほど、与えられた値、ある期間だけシフトされた信号の 2 つのコピーは、互いにより類似します。したがって、相関関数は、信号のシフトされたコピーの類似性の尺度になります。

ゼロ値付近のランダムな振動の形式を持つ信号に対してこの方法で導入された類似性の尺度には、次のような特徴的な特性があります。

信号のシフトされたコピーが互いにほぼ時間的に振動する場合、これはそれらの類似性の兆候であり、ACFは大きな正の値（大きな正の相関）をとります。コピーがほぼ逆位相で振動する場合、ACFは大きな負の値をとります（シグナルコピーの逆類似性、大きな負の相関）。

最大の ACF は、コピーが一致する場合、つまりシフトがない場合に達成されます。ゼロ ACF 値は、シグナルコピーの類似性も反類似性も目立たないシフトで達成されます (相関ゼロ、

相関関係はありません）。

図 3.1 は、0 秒から 1 秒までの時間間隔にわたる特定の信号の実装の一部を示しています。信号はゼロ付近でランダムに振動します。信号の存在間隔は有限であるため、そのエネルギーも有限です。その ACF は次の方程式に従って計算できます。

この式に従って MathCad で計算された信号の自己相関関数が図に示されています。 3.2. 相関関数は、信号がそれ自体に類似している (シフト τ=0) だけでなく、相互に約 0.063 秒ずれた信号のコピーにもある程度の類似性がある (自己相関関数の横方向の最大値) ことも示します。。対照的に、0.032 秒シフトされた信号のコピーは、互いに反類似、つまり、ある意味で互いに反対になるはずです。

図 33 は、これら 2 つのコピーのペアを示しています。この図から、シグナルコピーの類似性と反類似性が何を意味するのかがわかります。

相関関数には次の特性があります。

1. τ = 0 では、自己相関関数は信号エネルギーに等しい最大値をとります。

2. 自己相関関数は時間シフトの偶関数です .

3. τ が増加すると、自己相関関数はゼロに減少します。

4. 信号にタイプ δ - 関数の不連続性が含まれていない場合、それは連続関数です。

5. 信号が電圧の場合、相関関数の次元はになります。

自己相関関数の定義における周期信号の場合、同じ積分が信号の繰り返し周期でさらに除算されます。

導入された相関関数には次の特性があります。

ゼロにおける相関関数の値は信号パワーに等しく、

相関関数の次元は、たとえば信号の次元の二乗に等しい。

たとえば、調和振動の相関関数を計算してみましょう。

一連の三角関数変換を使用すると、最終的に次の結果が得られます。

したがって、調和振動の自己相関関数は、信号自体と同じ変化周期を持つ余弦波です。発振周期の倍数のシフトにより、高調波はそれ自体に変換され、ACF は振幅の 2 乗の半分に等しい最大値をとります。発振周期の半分の倍数である時間シフトは、角度による位相シフトに相当します。この場合、発振の符号が変化し、ACF は負の最小値 (振幅の 2 乗の半分に等しい) をとります。周期の 4 分の 1 の倍数であるシフトは、たとえば、正弦波振動を余弦波振動に、またはその逆に変換します。この場合、ACF はゼロになります。このような信号は、相互に直角位相にありますが、自己相関関数の観点からは、相互に完全に異なることがわかります。

信号の相関関数の式には初期位相が含まれないことが重要です。位相情報が失われます。これは、信号の相関関数から信号自体を再構成できないことを意味します。マッピング対マッピングは 1 対 1 ではありません。

信号生成メカニズムとは、選択した相関関数に従って信号を作成する特定のデミウルゴスのことを意味する場合、彼は実際には同じ相関関数を持つが、互いに異なる信号のセット全体 (信号のアンサンブル) を作成することができます。位相関係で。

創造者の意志とは無関係に、その自由意志を表明する信号の行為（何らかのランダムなプロセスの個々の実装の出現）、

信号に対する無関係な暴力の結果（あらゆる物理量の測定中に得られた測定情報の信号への導入）。

状況は任意の周期信号でも同様です。主周期 T の周期信号に振幅スペクトルと位相スペクトルがある場合、信号の相関関数は次の形式になります。