論理式 f の真理値表を作成します。論理関数の入力規則

論理の主体

機能

基本的な二項関数

論理演算を実行する順序

例その1

例その2

例その3

真理値表を作成するにはどうすればよいですか?

1.4 論理回路の構築

論理演算の優先順位

20.09.2020

今日はコンピューターサイエンスと呼ばれるテーマについて話します。真理値表、関数の種類、それらの実行順序 - これらが私たちの主な質問であり、この記事で答えを見つけようとします。

いつものこのコース高校で教えられますが、多数の学生が一部の機能を誤解する原因となっています。そして、これに人生を捧げるつもりなら、コンピュータサイエンスの統一国家試験に合格しないわけにはいきません。真理値表、複雑な式の変換、論理的問題の解決 - これらすべてがチケットで見つかります。ここで、このトピックをさらに詳しく見て、統一州試験でより多くのポイントを獲得できるように支援します。

コンピューターサイエンスとはどのような学問ですか? 真理値表 - どのように構築するか? なぜ論理学が必要なのでしょうか? これからこれらすべての質問に答えていきます。

コンピューターサイエンスは非常に魅力的な学問です。問題を引き起こすことはできません現代社会なぜなら、私たちの周りにあるものはすべて、何らかの形でコンピューターに関係しているからです。

論理科学の基礎は、高校の教師によってコンピューターサイエンスのクラスで教えられます。真理値表、関数、式の簡略化 - これらすべてはコンピューターサイエンスの教師によって説明される必要があります。この科学は私たちの生活に必要なものです。よく見てみると、すべてのものはいくつかの法則に従っています。ボールを投げると、ボールは上に飛びましたが、その後地面に戻ります。これは物理法則と重力によって起こります。お母さんはスープを作り、塩を加えます。食べても穀物が入らないのはなぜでしょうか? それは単純で、化学の法則に従い、塩が水に溶けます。

今度は話し方に注目してください。

「猫を獣医に連れて行けば、ワクチンを接種してもらえるでしょう。」
「今日はテストが近づいていたのでとても難しい日でした。」
「今日はコロキウムがあるから大学には行きたくない」など。

あなたが言うことはすべて論理の法則に従わなければなりません。これはビジネス会話にもフレンドリーな会話にも当てはまります。このため、ランダムに行動するのではなく、出来事の結果に自信を持って行動できるように、論理の法則を理解する必要があります。

提示された問題の真理値表を作成するには、論理関数を知る必要があります。それは何ですか？論理関数にはステートメント (true または false) である変数がいくつかあり、関数自体の値によって「式は true か false?」という質問に対する答えが得られます。

すべての式は次の意味を持ちます。

真か偽か。
私かL。
1 または 0。
プラスかマイナスか。

ここでは、自分にとってより便利な方法を優先してください。真理値表を構築するには、変数のすべての組み合わせをリストする必要があります。それらの数は、2 の n 乗という式で計算されます。計算の結果は、可能な組み合わせの数です。この式の変数 n は、条件内の変数の数を示します。式に多くの変数が含まれる場合は、電卓を使用するか、2 の累乗を使った小さな表を自分で作成できます。

ロジックには合計 7 つの関数または式を接続する接続があります。

乗算（結合）。
加算（論理和）。
結果（含意）。
等価。
反転。
シェーファー脳卒中。
ピアースの矢。

リストにある最初の演算は「論理乗算」と呼ばれます。逆チェックマーク、& または * の形でグラフィカルにマークできます。リストの 2 番目の演算は論理加算で、チェックマーク + で図示されています。この含意は論理的帰結と呼ばれ、条件から結果へ向かう矢印で示されます。等価性は双方向の矢印で示されます。関数は、両方の値が値「1」または「0」の場合にのみ真の値を持ちます。反転することを論理否定といいます。シェーファーストロークは結合を否定する関数と呼ばれ、パースの矢印は論理和を否定する関数と呼ばれます。

論理真理値表は問題の答えを見つけるのに役立ちますが、そのためには二項関数の表を暗記する必要があります。それらについてはこのセクションで説明します。

結合（乗算）。 2 つある場合は、結果として真実が得られますが、それ以外の場合はすべて嘘が得られます。

論理和の結果が偽になるのは、2 つの入力データが偽の場合のみです。

論理的結果が偽となるのは、条件が真で結果が偽の場合のみです。ここで、人生の例を挙げることができます。「砂糖を買いたかったのですが、店が閉まっていた」ため、砂糖は購入されませんでした。

等価性は、入力データ値が同じである場合にのみ真となります。つまり、ペアの場合は「0;0」または「1;1」です。

反転の場合、すべてが基本的なものです。入力に true の式が含まれている場合は false に変換され、その逆も同様です。画像は、それがどのようにグラフィカルに示されるかを示しています。

シファーストロークは、真の式が 2 つある場合にのみ偽の結果を生成します。

パースの矢印の場合、関数は、入力として false の式のみがある場合にのみ true になります。

真理値表の構築と式の簡略化は、正しい順序で演算を行った場合にのみ可能であることに注意してください。どの順序で実行する必要があるかを覚えておいてください。これは正しい結果を得るために非常に重要です。

論理否定。
乗算;
追加;
結果;
等価;
乗算の否定 (シェーファーストローク);
加算の否定 (ピアースの矢)。

ここで、4 つの変数の真理値表を構築する例を検討することを提案します。 A+B+C*D ではなく、方程式の F=0 がどのような場合にあるかを調べる必要があります。

このタスクの答えは、「1;0;0;0」、「1;0;0;1」、および「1;0;1;0」の組み合わせのリストになります。ご覧のとおり、真理値表の作成は非常に簡単です。もう一度、アクションの順序に注意していただきたいと思います。この特定のケースでは、次のようになりました。

最初の単純な式の逆。
3 番目と 4 番目の式の接続詞。
2 番目の式と前の計算の結果との論理和。

次に、真理値表の構築が必要な別のタスクを見ていきます。コンピューターサイエンス (例は学校のコースから取得したもの) も課題として使用できます。そのうちの 1 つについて簡単に考えてみましょう。以下のことが分かっている場合、ワーニャはボールを盗んだ罪で有罪になりますか?

ヴァーニャが盗まなかった、またはペティアが盗んだ場合、セリョーザは窃盗に参加しました。
ワーニャが無罪なら、セリョージャはボールを盗んでいないことになる。

表記法を導入しましょう: 私 - ワーニャはボールを盗みました。 P - Petya が盗んだ。 S - セリョーザが盗んだ。

この条件に基づいて、次の方程式を作成できます。F=((notI+P) 含意 C)*(notI 含意 notC)。関数が true 値を取るオプションが必要です。次に、テーブルを作成する必要があります。この関数には 7 つものアクションがあるため、省略します。入力データと結果のみを入力します。

この問題では、記号「0」と「1」の代わりにプラスとマイナスを使用していることに注意してください。これも許容範囲です。 F=+ の組み合わせに興味があります。それらを分析すると、次の結論を導き出すことができます。F が + の値をとり、AND が正の値をとるため、ワーニャはボールを盗むのに参加しました。

ここで、F=1 の場合の組み合わせの数を見つけることをお勧めします。方程式は次のとおりです: F=notA+B*A+notB。真理値表を作成しましょう。

答え: 組み合わせは 4 つあります。

複雑なステートメントの真理値表の構築。

1) 倒置 2) 接続 3) 分離 4) 含意と等価

定義によれば、論理式の真理値表は、考えられるすべての変数値のセットと式の値の間の対応関係を表します。

2 つの変数を含む数式の場合、変数値のセットは 4 つだけです。

(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1).

数式に 3 つの変数が含まれる場合、変数値のセットは 8 つあります (0, 0, 0)、(0, 0, 1)、(0, 1, 0)、(0, 1, 1)、 (1, 0, 0 )、(1, 0, 1)、(1, 1, 0)、(1, 1, 1)。

4 つの変数を含む式のセット数は 16 などです。

式の値を見つけるときに便利な記録形式は、変数の値と式の値に加えて、中間式の値も含むテーブルです。

例。

1. 式 96%" style="width:96.0%"> の真理値表を作成してみましょう。

表から明らかなように、 変数 x と y の値のすべてのセットについて、式は値 1 をとります。、つまり 真と同じ.

2. 96% 式の真理値表" style="width:96.0%">

表から明らかなように、 変数 x と y の値のすべてのセットについて、式は 値0を取る、つまり まったくもって偽り .

3. 96% 式の真理値表" style="width:96.0%">

表から明らかなように、 式 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

結論: 最後の列ですべての結果が得られました。これは、複雑なステートメントの意味が、単純なステートメント K と S のどの意味にも当てはまることを意味します。したがって、教師は論理的に正しく推論したことになります。

論理式の真理値表をコンパイルするときは、次のことを行う必要があります。

テーブル内の行数を調べます (2 n として計算されます。n は変数の数です)。

列の数を調べます (変数の数 + 論理演算の数として定義されます)。

論理演算のシーケンスを確立します。

列の名前と元の論理変数の可能な値のセットを示すテーブルを作成します。

真理値表を列ごとに完成させます。

テストケース。式 F = (A V B) & (ŠA V ŠB) の真理値表を作成します。

テーブルの行数は、2 2 (2 つの変数) + 1 (テーブルヘッダー) = 5 として定義されます。

列数は、論理変数 2 個 (A、B) + 論理演算 5 個 (&、V、ε、→、↔) です。

操作の順序を整理してみましょう。

(A V B) & (–A V –B)。

この論理式の真理値表を作成してみましょう (表 5)。

表 5 – 論理式の真理値表

テストケース。論理式 X V Y & ŠZ の真理値表を作成します。

行数 = 2 3 + 1 = 9。

列の数 = 3 論理変数 + 3 論理演算 = 6。

手順を示しましょう。

表 6 を描いて記入しましょう。

表 6 – 論理式の真理値表

(A V B) & ( �A V �B)

論理的に見ると、電流は流れるか流れないかのどちらかです。電気インパルスがあるかどうか。電圧があるかどうか。論理演算を実装する電気接点回路 (回路 1 ～ 3) を考えてみましょう。図 1 ～ 3 では、接点はラテン文字 A および B で示されています。

スキーム 1 – 結合スキーム 2 – 論理和スキーム 3 – 反転

(自動キー)

回路 4 – 結合器回路 5 – 分離器回路 6 – インバータ

接点の直列接続を備えたスキーム 1 の回路は、論理演算「AND」に対応し、結合子で表されます (スキーム 4)。接点が並列接続されている図 2 の回路は、論理演算「OR」に対応し、分離子で表されます (図 5)。図3の回路（電磁リレー）は論理演算「NOT」に対応し、インバータで表されます（図6）。

まさにそのような電子回路が、コンピューターの基本基盤として応用されています。基本的な論理演算を実装する要素は、基本論理要素または基本論理要素と呼ばれます。 バルブそして、それらは接点の状態によってではなく、要素の入力および出力における信号の存在によって特徴付けられます。それらの名前と記号は標準であり、コンピュータ論理回路のコンパイルと記述に使用されます。

論理回路は可能な限り最小限の要素で構築する必要があり、これにより動作速度が向上し、デバイスの信頼性が向上します。

論理回路を構築するためのルール:

論理変数の数を決定します。

基本的な論理演算の数とその順序を決定します。

論理演算ごとに、対応するゲートを描画します。

論理演算を実行する順序でゲートを接続します。

テストケース。 X = True (1)、Y = False (0) とします。次の論理式の論理図を作成します: F = X V Y & X。

1) 2 つの変数 –X と Y。

2) 2 つの論理演算: X V Y & X。

3) ダイアグラムを作成します (図 3)。

4) 答え: 1 V 0 & 1 = 1。

図 3 – 論理式 F = X V Y & X の論理図

論理式の解は通常、次の形式で記述されます。 真理値表 – アクションが論理式が変数のすべての可能なセットに対してどのような値を取るかを示す表。

論理式の真理値表を構築するときは、次のことを考慮する必要があります。 論理演算の実行順序 、つまり:

括弧内のアクション、
反転（否定）、
& (接続詞)、
v (論理和)、
=> (暗示)、
<=> (等価 ).

真理値表を構築するためのアルゴリズム :

1. テーブル内の行数を調べます (2 として計算) n、ここで、n – 変数の数 + 列見出しの行)。

2. 列の数を調べます (変数の数 + 論理演算の数として計算されます)。

3. 論理演算のシーケンスを確立します。

4. 列の名前と元の論理変数の可能な値のセットを示すテーブルを作成します。

5. 真理値表を列ごとに完成させます。

6. 答えを書き留めます。

例6

式の真理値表を作成しましょうF =(Av B )&( ¬ あ v¬ B) .

1. 行数 = 2 2 (2 つの変数 + 列ヘッダー行) = 5。

2. 列数 = 2 論理変数 (A、B) + 5 論理演算 (v,&, ¬ , v, ¬ ) = 7.

3. 操作の順序を整理しましょう: 1 5 2 43

(A v B)&( ¬ あ v¬ B)

4-5. テーブルを作成して列を埋めてみましょう。

6. 答え: F =0、A= B=0、および A=B=1

例 7

論理式の真理値表を作成しましょう F=X v Y& ¬ Z.

1. 行数 = 2 3 +1 = (3 つの変数 + 列ヘッダー行) = 9。

2. 列の数 = 3 論理変数 + 3 論理演算 = 6。

3. アクションの順序を示しましょう: 3 2 1

× v Y& ¬ Z

4-5.建てるm テーブルを作成し、列に入力します。

			¬ Z	Y& ¬ Z	× v Y& ¬ Z
0	0	0			0
0	0	1			0

6. 答え:
F =0、で X= Y= Z= 0; で X= Y=0 および Z= 1.

演習 8

次の論理式の真理値表を作成します。

1. F =(Av B )&( ¬ A& ¬ B)。

2. F = X& ¬ Y v Z.

自分自身をテストしてください (標準的な回答)

注意してください！

エラーを回避するには、次のように入力変数のセットをリストすることをお勧めします。

A) 最初の変数の値の列を半分に分割し、列の上部を 0 で埋め、下部を 1 で埋めます。

B) 2 番目の変数の値の列を 4 つの部分に分割し、0 のグループから始めて、各四半期を 0 と 1 のグループで交互に埋めます。

C) 後続の変数の値の列を 8、16 などで分割し続けます。 0 と 1 のグループが 1 つの文字になるまで、それらの部分を 0 または 1 のグループで埋めます。

トートロジー - 全く同じ真の公式 真実 " ("1

矛盾 - 全く同じ間違った式 、または値を取る数式 " 嘘 " ("0 ") に含まれる変数の値。

同等の式 - 2つの式あそしてで同じ値を取り、それらに含まれる変数の同じ値のセットを使用します。2 つの論理代数式が等価であることは、という記号で示されます。

真理値表は、論理関数を説明する表です。ここでいう論理関数とは、変数の値や関数自体の値が真理を表す関数のことです。たとえば、「true」または「false」の値 (true または false、1 または 0) を受け入れます。

真理値表は、ステートメントを構成するステートメントの真理値の考えられるすべてのケースについてステートメントの意味を判断するために使用されます。テーブル内のすべての既存の組み合わせの数は、式 N=2*n によって決定されます。ここで、N は可能な組み合わせの総数、n は入力変数の数です。真理値表は、デジタルエンジニアリングやブール代数で論理回路の動作を記述するためによく使用されます。