Прежде чем познакомится с понятием натурального логарифма, рассмотрим понятие постоянного числа $е$.

Число $e$

Определение 1

Число $e$ – это математическое постоянное, которое является трансцендентным числом и равно $e \approx 2,718281828459045\ldots$.

Определение 2

Трансцендентным называется число, которое не является корнем полинома с целыми коэффициентами.

Замечание 1

Последней формулой описывается второй замечательный предел .

Число е также носит название числа Эйлера , а иногда и числа Непера .

Замечание 2

Чтобы запомнить первые знаки числа $е$ зачастую пользуются следующим выражением: «$2$, $7$, дважды Лев Толстой» . Конечно же, для того, чтобы можно было его использовать, необходимо помнить, что Лев Толстой родился в $1828$ г. Именно эти числа дважды повторяются в значении числа $е$ после целой части $2$ и десятичной $7$.

Рассмотрение понятия числа $е$ при изучении натурального логарифма мы начали именно потому, что оно стоит в основании логарифма $\log_{e}⁡a$, который принято называть натуральным и записывать в виде $\ln ⁡a$.

Натуральный логарифм

Часто при расчетах используют логарифмы, в основании которых стоит число $е$.

Определение 4

Логарифм с основанием $е$ называют натуральным .

Т.е. натуральный логарифм можно обозначить как $\log_{e}⁡a$, но в математике принято использовать обозначение $\ln ⁡a$.

Свойства натурального логарифма

Т.к. логарифм по любому основанию от единицы равен $0$, то и натуральный логарифм единицы равен $0$:

Натуральный логарифм от числа $е$ равен единице:

Натуральный логарифм произведения двух чисел равен сумме натуральных логарифмов от этих чисел:

$\ln ⁡(ab)=\ln ⁡a+\ln ⁡b$.

Натуральный логарифм частного двух чисел равен разнице натуральных логарифмов этих чисел:

$\ln⁡\frac{a}{b}=\ln ⁡a-\ln⁡ b$.

Натуральный логарифм степени числа может быть представлен в виде произведения показателя степени на натуральный логарифм подлогарифмического числа:

$\ln⁡ a^s=s \cdot \ln⁡ a$.

Пример 1

Упростить выражение $\frac{2 \ln ⁡4e-\ln ⁡16}{\ln ⁡5e-\frac{1}{2} \ln ⁡25}$.

Решение .

Применим к первому логарифму в числителе и в знаменателе свойство логарифма произведения, а ко второму логарифму числителя и знаменателя – свойство логарифма степени:

$\frac{2 \ln ⁡4e-\ln⁡16}{\ln ⁡5e-\frac{1}{2} \ln ⁡25}=\frac{2(\ln ⁡4+\ln ⁡e)-\ln⁡ 4^2}{\ln ⁡5+\ln ⁡e-\frac{1}{2} \ln⁡ 5^2}=$

откроем скобки и приведем подобные слагаемые, а также применим свойство $\ln ⁡e=1$:

$=\frac{2 \ln ⁡4+2-2 \ln ⁡4}{\ln ⁡5+1-\frac{1}{2} \cdot 2 \ln ⁡5}=\frac{2}{\ln ⁡5+1-\ln ⁡5}=2$.

Ответ : $\frac{2 \ln ⁡4e-\ln ⁡16}{\ln ⁡5e-\frac{1}{2} \ln ⁡25}=2$.

Пример 2

Найти значение выражения $\ln⁡ 2e^2+\ln \frac{1}{2e}$.

Решение .

Применим формулу суммы логарифмов:

$\ln 2e^2+\ln \frac{1}{2e}=\ln 2e^2 \cdot \frac{1}{2e}=\ln ⁡e=1$.

Ответ : $\ln 2e^2+\ln \frac{1}{2e}=1$.

Пример 3

Вычислить значение логарифмического выражения $2 \lg ⁡0,1+3 \ln⁡ e^5$.

Решение .

Применим свойство логарифма степени:

$2 \lg ⁡0,1+3 \ln e^5=2 \lg 10^{-1}+3 \cdot 5 \ln ⁡e=-2 \lg ⁡10+15 \ln ⁡e=-2+15=13$.

Ответ : $2 \lg ⁡0,1+3 \ln e^5=13$.

Пример 4

Упростить логарифмическое выражение $\ln \frac{1}{8}-3 \ln ⁡4$.

$3 \ln \frac{9}{e^2}-2 \ln ⁡27=3 \ln (\frac{3}{e})^2-2 \ln 3^3=3 \cdot 2 \ln \frac{3}{e}-2 \cdot 3 \ln ⁡3=6 \ln \frac{3}{e}-6 \ln ⁡3=$

применим к первому логарифму свойство логарифма частного:

$=6(\ln ⁡3-\ln ⁡e)-6 \ln⁡ 3=$

откроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$=6 \ln ⁡3-6 \ln ⁡e-6 \ln ⁡3=-6$.

Ответ : $3 \ln \frac{9}{e^2}-2 \ln ⁡27=-6$.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Число — иррациональная и трансцендентная математическая константа, называемая числом Эйлера или числом Непера , являющаяся основанием натурального логарифма.

Негласно константа присутствует в работе «Описание удивительной таблицы логарифмов» шотландского математика Джона Непера (1550-1617) (а точнее в приложении к переводу этой работы, который был опубликован в 1618 г.). Первые упоминания про эту константу имеются в письмах саксонского философа, логика, математика, механика, физика, юриста, историка, дипломата, изобретателя и языковеда Готфрида Вильгельма Лейбница (1646-1716) к нидерландскому механику, физику, математику, астроному и изобретателю Христиану Гюйнгенсу ван Зёйлихему (1629-1695) в 1690-91 гг. Там она обозначалась буквой . Традиционное обозначение в 1727 г. начал использовать швейцарский, немецкий, российский математик и механик Леонард Эйлер (1707-1783); впервые он употребил ее в своем письме к немецкому математику Кристиану Гольдбаху (1690-1764) в 1731 г. Первой публикацией с этой буквой была работа Л. Эйлера «Механика, или Наука о движении, изложенная аналитически» (1736). Сама же константа впервые была вычислена швейцарским математиком Якобом Бернулли (1655-1705) в ходе решения задачи о предельной величине процентного дохода:

Число играет большую роль в различных разделах математики, а особенно в дифференциальном и интегральном исчислении. Трансцендентность числа Эйлера была доказана французским математиком Шарлем Эрмитом (1822-1901) только в 1873 г.

Задания числа e

1) Через предел:

y(x) = e x , производная которой равна самой функции.

Экспоненту обозначают так , или .

Число e

Основанием степени экспоненты является число e . Это иррациональное число. Оно примерно равно
е ≈ 2,718281828459045...

Число e определяется через предел последовательности. Это, так называемый, второй замечательный предел :
.

Также число e можно представить в виде ряда:
.

График экспоненты

График экспоненты, y = e x .

На графике представлена экспонента, е в степени х .
y(x) = е х
На графике видно, что экспонента монотонно возрастает.

Формулы

Основные формулы такие же, как и для показательной функции с основанием степени е .

;
;
;

Выражение показательной функции с произвольным основанием степени a через экспоненту:
.

Частные значения

Пусть y(x) = e x . Тогда
.

Свойства экспоненты

Экспонента обладает свойствами показательной функции с основанием степени е > 1 .

Область определения, множество значений

Экспонента y(x) = e x определена для всех x .
Ее область определения:
- ∞ < x + ∞ .
Ее множество значений:
0 < y < + ∞ .

Экстремумы, возрастание, убывание

Экспонента является монотонно возрастающей функцией, поэтому экстремумов не имеет. Основные ее свойства представлены в таблице.

Обратная функция

Обратной для экспоненты является натуральный логарифм .
;
.

Производная экспоненты

Производная е в степени х равна е в степени х :
.
Производная n-го порядка:
.
Вывод формул > > >

Интеграл

Комплексные числа

Действия с комплексными числами осуществляются при помощи формулы Эйлера :
,
где есть мнимая единица:
.

Выражения через гиперболические функции

; ;
.

Выражения через тригонометрические функции

; ;
;
.

Разложение в степенной ряд

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

Описывать е как «константу, приблизительно равную 2,71828…» - это все равно, что называть число пи «иррациональным числом, приблизительно равным 3,1415…». Несомненно, так и есть, но суть по-прежнему ускользает от нас.

Число пи - это соотношение длины окружности к диаметру, одинаковое для всех окружностей . Это фундаментальная пропорция, свойственная всем окружностям, а следовательно, она участвует в вычислении длины окружности, площади, объема и площади поверхности для кругов, сфер, цилиндров и т.д. Пи показывает, что все окружности связаны, не говоря уже о тригонометрических функциях, выводимых из окружностей (синус, косинус, тангенс).

Число е является базовым соотношением роста для всех непрерывно растущих процессов. Число е позволяет взять простой темп прироста (где разница видна только в конце года) и вычислить составляющие этого показателя, нормальный рост, при котором с каждой наносекундой (или даже быстрее) всё вырастает еще на немного.

Число е участвует как в системах с экспоненциальным, так и постоянным ростом: население, радиоактивный распад, подсчет процентов, и много-много других. Даже ступенчатые системы, которые не растут равномерно, можно аппроксимировать с помощью числа е.

Также, как любое число можно рассматривать в виде «масштабированной» версии 1 (базовой единицы), любую окружность можно рассматривать в виде «масштабированной» версии единичной окружности (с радиусом 1). И любой коэффициент роста может быть рассмотрен в виде «масштабированной» версии е («единичного» коэффициента роста).

Так что число е – это не случайное, взятое наугад число. Число е воплощает в себе идею, что все непрерывно растущие системы являются масштабированными версиями одного и того же показателя.

Понятие экспоненциального роста

Давайте начнем с рассмотрения базовой системы, которая удваивается за определенный период времени. Например:

• Бактерии делятся и «удваиваются» в количестве каждые 24 часа
• Мы получаем вдвое больше лапшинок, если разламываем их пополам
• Ваши деньги каждый год увеличиваются вдвое, если вы получаете 100% прибыли (везунчик!)

И выглядит это примерно так:

Деление на два или удваивание – это очень простая прогрессия. Конечно, мы можем утроить или учетверить, но удваивание более удобно для пояснения.

Математически, если у нас есть х разделений, мы получаем в 2^x раз больше добра, чем было вначале. Если сделано только 1 разбиение, получаем в 2^1 раза больше. Если разбиений 4, у нас получится 2^4=16 частей. Общая формула выглядит так:

рост = 2 x

Другими словами, удвоение – это 100% рост. Мы можем переписать эту формулу так:

рост = (1+100%) x

Это то же равенство, мы только разделили «2» на составные части, которыми в сущности и является это число: начальное значение (1) плюс 100%. Умно, да?

Конечно, мы можем подставить и любое другое число (50%, 25%, 200%) вместо 100% и получить формулу роста для этого нового коэффициента. Общая формула для х периодов временного ряда будет иметь вид:

рост = (1+прирост ) x

Это просто означает, что мы используем норму возврата, (1 + прирост), «х» раз подряд.

Приглядимся поближе

Наша формула предполагает, что прирост происходит дискретными шагами. Наши бактерии ждут, ждут, а потом бац!, и в последнюю минуту они удваиваются в количестве. Наша прибыль по процентам от депозита магическим образом появляется ровно через 1 год. На основе формулы, написанной выше, прибыль растет ступенчато. Зеленые точки появляются внезапно.

Но мир не всегда таков. Если мы увеличим картинку, мы увидим, что наши друзья-бактерии делятся постоянно:

Зеленый малый не возникает из ничего: он медленно вырастает из синего родителя. После 1 периода времени (24 часа в нашем случае), зеленый друг уже полностью созрел. Повзрослев, он стает полноценным синим членом стада и может создавать новые зеленые клеточки сам.

Эта информация как-то изменит наше уравнение?

Не-а. В случае с бактериями, полусформированные зеленые клетки все же не могут ничего делать, пока не вырастут и совсем не отделятся от своих синих родителей. Так что уравнение справедливо.

e - математическая константа, основание натурального логарифма, иррациональное и трансцендентное число. e = 2,718281828459045… Иногда число e называют числом Эйлера или неперовым числом . Играет важную роль в дифференциальном и интегральном исчислении.

Способы определения

Число e может быть определено несколькими способами.

Свойства

История

Данное число иногда называют неперовым в честь шотландского учёного Джона Непера, автора работы «Описание удивительной таблицы логарифмов» (1614 г.). Однако это название не совсем корректно, т. к. у него логарифм числа x был равен .

Впервые константа негласно присутствует в приложении к переводу на английский язык вышеупомянутой работы Непера, опубликованному в 1618 г. Негласно, потому что там содержится только таблица натуральных логарифмов, сама же константа не определена. Предполагается, что автором таблицы был английский математик Вильям Отред. Саму же константу впервые вывел швейцарский математик Якоб Бернулли при попытке вычислить значение следующего предела:

Первое известное использование этой константы, где она обозначалась буквой b , встречается в письмах Готфрида Лейбница Кристиану Гюйгенсу, 1690 и 1691 гг. Букву e начал использовать Леонард Эйлер в 1727 г., а первой публикацией с этой буквой была его работа «Механика, или Наука о движении, изложенная аналитически» 1736 г. Соответственно, e иногда называют числом Эйлера . Хотя впоследствии некоторые учёные использовали букву c , буква e применялась чаще и в наши дни является стандартным обозначением.

Почему была выбрана именно буква e , точно неизвестно. Возможно, это связано с тем, что с неё начинается слово exponential («показательный», «экспоненциальный»). Другое предположение заключается в том, что буквы a , b , c и d уже довольно широко использовались в иных целях, и e была первой «свободной» буквой. Неправдоподобно предположение, что Эйлер выбрал e как первую букву в своей фамилии (нем. Euler ), поскольку он был очень скромным человеком и всегда старался подчеркнуть значимость труда других людей.

Способы запоминания

Число e можно запомнить по следующему мнемоническому правилу: два и семь, далее два раза год рождения Льва Толстого (1828), затем углы равнобедренного прямоугольного треугольника (45 , 90 и 45 градусов).

В другом варианте правила e связывается с президентом США Эндрю Джексоном: 2 - столько раз избирался, 7 - он был седьмым президентом США, 1828 - год его избрания, повторяется дважды, поскольку Джексон дважды избирался. Затем - опять-таки равнобедренный прямоугольный треугольник.

В ещё одном небезынтересном способе предлагается запомнить число e с точностью до трёх знаков после запятой через «число дьявола»: нужно разделить 666 на число, составленное из цифр 6 − 4, 6 − 2, 6 − 1 (три шестёрки, из которых в обратном порядке удаляются три первые степени двойки): .

В четвёртом способе предлагается запомнить e как .

Грубое (с точностью до 0,001), но красивое приближение полагает e равным . Совсем грубое (с точностью 0,01) приближение даётся выражением .

«Правило Боинга»: даёт неплохую точность 0,0005.

«Стих»: Мы порхали и блистали, но застряли в перевале; не признали наши крали авторалли.

e = 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 95749 66967 62772 40766 30353 54759 45713 82178 52516 64274 27466 39193 20030 59921 81741 35966 29043 57290 03342 95260 59563 07381 32328 62794 34907 63233 82988 07531 95251 01901 15738 34187 93070 21540 89149 93488 41675 09244 76146 06680 82264 80016 84774 11853 74234 54424 37107 53907 77449 92069 55170 27618 38606 26133 13845 83000 75204 49338 26560 29760 67371 13200 70932 87091 27443 74704 72306 96977 20931 01416 92836 81902 55151 08657 46377 21112 52389 78442 50569 53696 77078 54499 69967 94686 44549 05987 93163 68892 30098 79312 77361 78215 42499 92295 76351 48220 82698 95193 66803 31825 28869 39849 64651 05820 93923 98294 88793 32036 25094 43117 30123 81970 68416 14039 70198 37679 32068 32823 76464 80429 53118 02328 78250 98194 55815 30175 67173 61332 06981 12509 96181 88159 30416 90351 59888 85193 45807 27386 67385 89422 87922 84998 92086 80582 57492 79610 48419 84443 63463 24496 84875 60233 62482 70419 78623 20900 21609 90235 30436 99418 49146 31409 34317 38143 64054 62531 52096 18369 08887 07016 76839 64243 78140 59271 45635 49061 30310 72085 10383 75051 01157 47704 17189 86106 87396 96552 12671 54688 95703 50354 02123 40784 98193 34321 06817 01210 05627 88023 51920