Для определения устойчивости годограф строить необязательно. Для этого достаточно проанализировать АЧХ и ФЧХ. Следовательно, третья альтернативная формулировка критерия Найквиста: если АЧХ больше единице на частотах, при которых ФЧХ равна 0 или где n € z , то система с обратной связью не устойчива, в противном случае устойчива (Рисунок 3.10).

Рис. 3.9 АЧХ и ФЧХ разомкнутой системы с обратной связью

4 Прохождение случайных сигналов через линейные стационарные цепи

Основными характеристиками случайного процесса является плотность вероятности мгновенных значений сигнала, корреляционная функция и спектральная плотность мощности. Отыскание плотности вероятности мгновенных значений сигнала на выходе линейной цепи по известной плотности вероятности на входе цепи и известным характеристикам цепи представляет весьма сложную задачу. Однако, если входной сигнал является гауссовым, то выходной сигнал так же всегда будет гауссовым. Это означает, что решение задачи упрощается и сводится к нахождению параметров выходного сигнала (математического ожидания и дисперсии).

Задача нахождения корреляционной функции и спектральной плотности мощности выходного сигнала значительно проще.

Обратные преобразования Фурье от спектральной плотности мощности согласно теории Винера – Хинчина:

– корреляционная функция сигнала

Обратные преобразования Фурье от коэффициента передачи по мощности:

– корреляционная функция импульсной характеристики сигнала

Так как произведение спектров двух сигналов равно спектру свёртки этих сигналов, то можно записать:

То есть корреляционная функция сигнала на выходе линейной цепи равна свёртке корреляционной функции сигнала на входе цепи и корреляционной функции импульсной характеристики цепи.

При анализе различных систем в качестве помехи часто выступает белый шум, имеющий спектральную плотность мощности постоянную во всём диапазоне частот:

и корреляционная функция

Следовательно, корреляционная функция выходного сигнала равна автокорреляционной функции импульсной характеристики с коэффициентом .

5 Прохождение сигналов через нелинейные цепи

Линейные стационарные цепи не изменяют спектральный состав сигнала. Основные радиотехнические преобразования, связанные с изменением спектрального состава сигнала, осуществляется либо с помощью нелинейных цепей, либо линейных цепей с переменными параметрами.

Исследование нелинейных цепей представляет собой сложную задачу, состоящую в решении нелинейных дифференциальных уравнений. Анализ нелинейных цепей упрощается, если нелинейный элемент является безынерционным, т. е. реакция на изменение входного воздействия происходит мгновенно. Строго говоря, безынерционных элементов (БНЭ) нет, но в случае, когда время изменения входного сигнала значительно превышает время установления процесса в нелинейном элементе, элемент может считаться безынерционным. В радиотехнике в качестве нелинейных элементов чаще всего используют полупроводниковые приборы (диоды, транзисторы). Для описания таких приборов используют ВАХ, которые связывают между собой напряжения, приложенные к приборам и токи, протекающие через приборы.

В гл. 6 рассматривалась передача различных сигналов через линейные цепи с постоянными параметрами. Связь между входным и выходным сигналами в таких цепях определялась с помощью передаточной функции (спектральный метод) или с помощью импульсной характеристики (метод интеграла наложения).

Аналогичные соотношения можно составить и для линейных цепей с переменными параметрами. Очевидно, что в подобных цепях характер зависимости между входным и выходным сигналами в процессе передачи изменяется. Иными словами, передаточная функция цепи зависит не только от но и от времени; импульсная характеристика также зависит от двух переменных: от интервала между моментом приложения единичного импульса и моментом наблюдения выходного сигнала t (как и для цепи с постоянными параметрами) и, кроме того, от положения интервала на оси времени. Поэтому для цепи с переменными параметрами импульсную характеристику следует записывать в общей форме

Если на входе четырехполюсника с импульсной характеристикой действует произвольный сигнал s(t) (рис. 10.2), то, основываясь на принципе суперпозиции, выходной сигнал по аналогии с выражением (6.11) можно определить с помощью выражения

(10.12)

Постараемся теперь ввести передаточную функцию для цепи с переменными параметрами. Для этого представим функцию в виде интеграла Фурье:

(10.13)

где - спектральная плотность сигнала s(t).

Тогда выражение (10.13) переходит в следующее:

Рис. 10.2. Параметрический четырехполюсник

Обозначив внутренний интеграл через перепишем последнее выражение следующим образом:

(10.14)

Из (10.14) следует, что функцию определяемую выражением

Цель работы : Приобрести первичные навыки в исследовании статистических характеристик случайных сигналов. Экспериментально определить законы распределения случайных сигналов на выходе линейных и нелинейных радиотехнических цепей.

КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

1. Классификация радиотехнических цепей

Радиотехнические цепи, применяемые для преобразования сигналов, весьма разнообразны по своему составу, структуре и характеристикам. В процессе их разработки и аналитического исследования используют различные математические модели, удовлетворяющие требованиям адекватности и простоты. В общем случае, любую радиотехническую цепь можно описать формализованным соотношением, определяющим преобразование входного сигнала x(t) в выходной y(t), которое символически можно представить в виде

y(t) = T ,

Где Т — оператор, укапывающий правило, по которому осуществляется преобразование входного сигнала.

Таким образом, в качестве математической модели радиотехнической цепи может служить совокупность оператора Т и двух множеств X={xi(t)} и Y={yi(t)} сигналов на входе и выходе цепи так, что

{y I (t)} = T{x I (t)} .

По виду преобразования входных сигналов в выходные, то есть по виду оператора Т, производят классификацию радиотехнических цепей.

Радиотехническая цепь, является линейной, если оператор Т таков, что цепь удовлетворяет условиям аддитивности и однородности, то есть справедливы равенства

T = T : T = c T

i I

Где с — константа.

Эти условия выражают суть принципа суперпозиции, свойственного только линейным цепям.

Функционирование линейных цепей описывается линейными дифференциальными уравнениями c постоянными коэффициентами. Характерно, что линейное преобразование сигнала любой формы не сопровождается появлением в спектре выходного сигнала гармонических составляющих с новыми частотами, то есть не приводит к обогащению спектра сигнала.

Радиотехническая цепь является Нелинейной , если оператор Т не обеспечивает выполнение условий аддитивности и однородности. Функционирование таких цепей описывается нелинейными дифференциальными уравнениями.

Структурно линейные цепи содержат только линейные устройства (усилители, фильтры, длинные линии и др.). Нелинейные цепи содержат одно или несколько нелинейных устройств (генераторы, детекторы, умножители, ограничители и др.)

По характеру временной зависимости выходного сигнала от входного различают инерционные и безынерционные радиотехнические цепи.

Радиотехническая цепь, значение выходного сигнала которой y(t) В момент t=t0 зависит не только от значения входного сигнала x(t) в этот момент времени, но и от значений x(t) в моменты времени, предшествовавшие моменту t0 называется Инерционной цепью. Если значение выходного сигнала y(t) и момент t=t0 полностью определяется значением x(t) в тот же момент времени t0, то такая цепь называется Безынерционной .

2. Преобразование случайных процессов в линейных цепях

Задача преобразования случайных процессов в линейных радиотехнических цепях в общем случае рассматривается в следующей постановке. Пусть на вход линейной цепи c частотной характеристикой K(jw) поступает случайный процесс x(t) с заданными статистическими свойствами. Требуется определить статистические характеристики случайного процесса y(t) на выходе цепи. В зависимости от анализируемых характеристик случайных процессов x(t) и y(t) рассматривают два варианта общей задачи:

1. Определение энергетического спектра и корреляционной функции случайного процесса на выходе линейной цепи.

2. Определение законов распределения вероятностей случайного процесса на выходе линейной цепи.

Наиболее простой является, первая задача. Решение ее в частотной области основано на том, что энергетический спектр случайного процесса на выходе линейной цепи Wy(w) в стационарном режиме равен энергетическому спектру входного процесса Wx(w), умноженному на квадрат модуля частотной характеристики цепи, то есть

Wy (W )= Wx (W ) ∙│ K (Jw )│ A (1)

Известно, что энергетический спектр Wx(w) случайного процесса x(t) с математическим ожиданием mx=0 связан с его ковариационной функцией Вx(t) преобразованиями Фурье, то есть

Wx (W )= В X (T ) E — J W T D T

В X (T )= Wx (W ) Ej W T D W .

Следовательно, ковариационную функцию Вy(t) случайного процесса на выходе линейной цепи можно определить следующим образом:

В Y (T )= Wy (W ) Ej W T D W = Wx (W ))│ K (Jw )│ A Ej W T D W

Ry (T )= В Y (T )+ Mya .

При этом дисперсия Dy и математическое ожидание my выходного случайного процесса равны

Dy= Ry(0)= Wx(w)) │K(jw)│adw

My = Mx ∙ K (0) .

Где mx — математическое ожидание входного случайного процесса:

К(0) — коэффициент передачи линейной цепи по постоянному току, то есть

K (0)= K (Jw )/ W =0

Формулы (1,2,3,4) представляют собой по сути дела полное решение поставленной задачи в частотной области.

Метода решения второй задачи, который позволял бы непосредственно находить плотность вероятности процесса y(t) на выходе линейной инерционной цепи по заданной плотности вероятности процесса x(t) на входе, в общем виде не существует. Решается задача только для некоторых частных случаев и для случайных процессов с гауссовским (нормальным) законом распределения, а также марковских случайных процессов.

Применительно к процессу о нормальным законом распределении решение упрощается на том основании, что при линейном преобразовании такого процесса закон распределения не изменяется. Поскольку нормальный процесс полностью определяется математическим ожиданием и корреляционной функцией, то для нахождения плотности вероятности процесса достаточно вычислить его математическое ожидание и корреляционную функцию.

Закон распределения вероятностей сигнала на выходе линейной безынерционной цепи совпадает в функциональном смысле с законом распределения входного сигнала. Изменяются только некоторые его параметры. Так, если линейная безынерционная цепь реализует функциональное преобразование вида y(t) = a·x(t) + b, где а и b — постоянные коэффициенты, то плотность вероятности р(у) случайного процесса на выходе цепи определяется по известной формуле функционального преобразования случайных процессов

P (Y )= =

Где р(х) — плотность вероятности случайного процесса x(t) па входе цепи.

В некоторых случаях приближенно решить задачу определения вероятностных характеристик случайного процесса на выходе инерционных цепей позволяет использование эффекта нормализации случайного процесса инерционными системами. Если негауссовский процесс x(t1) с интервалом корреляции tk воздействует на инерционную линейную цепь с постоянной времени t»tk (при этом ширина энергетического спектра случайного процесса x(t) больше полосы пропускания цепи), то процесс y(t) на выходе такой цепи приближается к гауссовскому по мере увеличения отношения t/tk. Этот результат называется эффектом нормализации случайного процесса. Эффект нормализации проявляется тем сильней, чем уже полоса пропускания цепи.

3. Преобразование случайных процессов в нелинейных цепях

Нелинейные инерционные преобразования рассматриваются в ходе анализа нелинейных цепей, инерционностью которых при заданных воздействиях нельзя пренебрегать. Поведение таких цепей описывается нелинейными дифференциальными уравнениями, общих методов решения которых не существует. Поэтому задачи, связанные с исследованием нелинейных инерционных преобразований случайных процессов, почти всегда решают приближенно, пользуясь различными искусственными приемами.

Один из таких приемов состоит в представлении нелинейной инерционной цепи комбинацией линейной инерционной и нелинейной безынерционной цепей. Задача исследования воздействия случайных процессов на линейную цепь рассматривалась выше. Было показано, что в этом случае достаточно просто определить спектральную плотность (или корреляционную функцию) выходного сигнала, но сложно — закон распределения. В нелинейных безынерционных цепях основная трудность состоит в нахождении корреляционной функции. При этом общих методов анализа воздействия случайных сигналов на нелинейные цепи нет. Ограничиваются решением некоторых частных задач, представляющих практический интерес.

3.1. Статистические характеристики случайного процесса на выходе нелинейных цепей

Рассмотрим преобразование случайного процесса с одномерной плотностью вероятности нелинейной безынерционной цепью с характеристикой

Y = f(x) .

Очевидно, что любая реализация случайного процесса x(t) преобразуется в соответствующую реализацию нового случайного процесса y(t), то есть

y(t)= F [ X (T )] .

А. Определение закона распределения случайного процесса y(t)

Пусть известна плотность вероятности р(х) случайного процесса x(t). Необходимо определить плотность вероятности p(y) случайного процесса y(t). Рассмотрим три характерных случая.

1. Функция y= f(x) нелинейной цепи определяет однозначное соответствие между x(t) и у(t). Полагаем, что существует обратная функция х= j(у), которая также определяет однозначное соответствие между y(t) и x(t). В этом случае, вероятность нахождения реализации случайного процесса x(t) в интервале (x0, x0+dx) равна вероятности нахождения реализации случайного процесса y(t)=f в интервале (y0, y0+dу) при y0= f(x0) и y0+dy= f(x0+dx), то есть

P (X ) Dx = P (Y ) Dy

Следовательно,

P (Y )= .

Производная взята по абсолютной величине потому что плотность вероятности р(у) > 0, в то время как производная может быть и отрицательной.

2. Обратная функция х= j(у) неоднозначна, то есть одному значению у соответствует несколько значений х. Пусть, например, значению у1=y0 соответствуют значения х= x1, x2,…,xn.

Тогда из того факта, что у0≤ y(t)≤ у0+dy, следует одна из n взаимно несовместимых возможностей

X 1 ≤ X (T )≤ X 1 + Dx , или X 2 ≤ X (T )≤ X 2 + Dx , или … Xn ≤ X (T )≤ Xn + Dx .

Применяя правило сложения вероятностей получаем

P (Y )= + +…+ .

/ X = X 1 / X = X 2 / X = Xn

3, Характеристика нелинейного элемента у= f(x) имеет один или более горизонтальных участков (участки, где y= const.). Тогда выражение

P (Y )=

Следует дополнить слагаемым, учитывающим вероятность пребывания у(t) на интервале, где у= const.

Проще всего этот случай рассмотреть не примере.

Пусть функция у= f(x) имеет вид, представленный на рис.1 и формулой

Рис. 1 Воздействие случайного процесса на двусторонний ограничитель.

При х(t)<а выходной сигнал y(t)=0, Это значит, что вероятность принятия случайным процессом y(t) нулевого значения равна

P1= P= P= P(x)dx ,

А плотность вероятности

P1(y) = P1∙δ(y).

Аналогично рассуждая для случая x(t)> b, получаем

Pa= P= P= P(x)dx,

pa (Y ) = Pa ∙ δ (Y — C ).

/ Y = C

Для случая a≤ x≤ b справедлива формула

Pa (Y ) =

/0≤ Y ≤ C

В целом плотность вероятности выходного процесса определяется выражением

P (Y )= P 1 ∙ δ (Y )+ Pa ∙ δ (Y — C )+ .

Заметим, что для получения окончательного выражения необходимо функциональные зависимости р(х) и dy/dx, являющиеся функциями от х, преобразовать в функции от у, используя обратную функцию х= j(у). Таким образом, задача определения плотности распределения случайного процесса на выходе нелинейной безынерционной цепи решается аналитически для достаточно простых характеристик у = f(х).

В. Определение энергетического спектра и корреляционной функции случайного процесса y(t)

Непосредственно определить энергетический спектр случайного процесса на выходе нелинейной цепи не представляется возможным. Существует единственный метод — определение корреляционной функции сигнала на выходе цепи с последующим применением прямого преобразования Фурье для определения спектра.

Если на вход нелинейной безынерционной цепи поступает стационарный случайный процесс x(t), то корреляционная функция случайного процесса y(t) на выходе может быть представлена в виде

Ry (T )= By (T )- My 2 ,

Где By(t) — ковариационная функция;

my — математическое ожидание случайного процесса y(t). Ковариационная функция случайного процесса представляет собой статистически усредненное произведение значений случайного процесса y(t) в моменты t и t+t, то есть

By (T )= M [ Y (T )∙ Y (T + T )].

Для реализаций случайного процесса y(t) произведение y(t)∙y(t+t) является числом. Для процесса как совокупности реализаций это произведение образует случайную величину, распределение которой характеризуется двумерной плотностью вероятности р2 (у1, у2, t), где у1= y(t), ya= y(t+t). Заметим, что в последней формуле переменная t не фигурирует, так как процесс стационарный — результат от t но зависит.

При заданной функции р2 (у1, у2, t) операция усреднения по множеству осуществляется по Формуле

By (T )=У1∙у2∙р2 (у1, у2, T ) Dy 1 Dy 2 = F (X 1 )∙ F (X 2 )∙ P (X 1 , X 2 , T ) Dx 1 Dx 2 .

Математическое ожидание my определяется следующим выражением:

My = Y ∙ P (Y ) Dy .

Учитывая, что p(y)dy = p(x)dx, получаем

My = F (X )∙ P (X ) Dx .

Энергетический спектр выходного сигнала в соответствии с теоремой Винера — Хинчина находится как прямое преобразование Фурье от ковариацинной функции, то есть

Wy (W )= By (T ) E — J W T D T

Практическое применение данного метода затруднено, так как двойной интеграл для By(t) удается вычислить не всегда. Приходится использовать различные упрощающие методы, связанные со спецификой решаемой задачи.

3.2. Воздействие узкополосного шума на амплитудный детектор

В статистической радиотехнике различают широкополосные и узкополосные случайные процессы.

Пусть ∆ fэ — ширина энергетического спектра случайного процесса, определенная по формуле (рис. 2.)

Рис. 2. Ширина энергетического спектра случайного процесса

Узкополосным случайным процессом называется процесс, у которого ∆fэ«f0 , где f0 — частота, соответствующая максимуму энергетического спектра. Случайный процесс, ширина энергетического спектра которого не удовлетворяет этому условию, является Широкополосным .

Узкополосный случайный процесс принято представлять высокочастотным колебанием с медленно меняющимися (по сравнению с колебанием на частоте f0) амплитудой и фазой, то есть

X(t)= A(t)∙cos,

Где A(t) = √x2(t) + z2(t) ,

J(t) = arctg,

z(t) — функция, сопряженная по Гильберту с исходной функцией x(t), то

z(t)= — D T

Все параметры этого колебания (амплитуда, частота и фаза) являются случайными функциями времени.

Амплитудный детектор, являющийся составной частью приемного тракта, представляет собой сочетание нелинейного безынерционного элемента (например диода) и инерционной линейной цепи (фильтра нижних частот). Напряжение на выходе детектора воспроизводит огибающую амплитуд высокочастотного колебания на входе.

Пусть на вход амплитудного детектора поступает узкополосный случайный сигнал (например с выхода УПЧ, имеющего узкую относительно промежуточной частоты полосу пропускания), обладающий свойствами эргодического случайного процесса с нормальным законом распределения. Очевидно, что сигнал на выходе детектора будет представлять собой огибающую входного случайного сигнала, которая также является случайной функцией времени. Доказано, что эта огибающая, то есть огибающая узкополосного случайного процесса характеризуется плотностью вероятности, называемой распределением Релея и имеющей вид:

Где А — значения огибающей;

Sx2- дисперсия случайного сигнала на входа детектора.

График распределения Релея представлен на рис.3.

Рис.3. График закона распределения Релея

Функция р(А) имеет максимальное значение, равное

При А= sx. Это означает, что значения А= sx и является наивероятнейшим значением огибающей.

Математическое ожидание огибающей случайного процесса

MA = = =

Таким образом, огибающая узкополосного случайного процесса с нормальным законом распределения является случайной функцией времени, плотность распределения которой описывается законом Релея.

3.3. Закон распределения огибающей суммы гармонического сигнала и узкополосного случайного шума

Задача определения закона распределения огибающей суммы гармонического сигнала и узкополосного случайного шума возникает при анализе процесса линейного детектирования в радиолокационных и связных системах, работающих в условиях, когда собственные или внешние шумы соизмеримы по уровню с полезным сигналом.

Пусть на вход приемника поступает сумма гармонического сигнала a(t)=E∙cos(wt) и узкополосного шума х(t)=A(t)∙cos с нормальным законом распределения. Суммарное колебание в этом случае можно записать

N (T ) = S (T )+ X (T )= Е∙со S (Wt )+ A (T )∙ Cos [ Wt + J (T )]=

=[Е+ A (T )∙ Cos (J (T ))]∙со S (Wt )- A (T )∙ Sin (J (T ))∙ Sin (Wt )= U (T )∙ Cos [ Wt + J (T )],

Где U(t) и j (t) — огибающая и фаза суммарного сигнала, определяемые выражениями

U (T )= ;

J (T )= Arctg

При воздействии суммарного колебания u(t) на амплитудный детектор на выходе последнего формируется огибающая. Плотность вероятности p(U) этой огибающей определяется по формуле

P (U )= (5)

Где sxa — дисперсия шума x(t);

I0- функция Бесселя нулевого порядка (модифицированная).

Плотность вероятности, определяемую данной формулой, называют обобщенным законом Релея, или законом Райса. Графики функции p(U) для нескольких значений отношения сигнала к шуму E/sx приведены на рис.4.

В отсутствие полезного сигнала, то есть при E/sx=0, выражение (5) приобретает вид

P (U )=

То есть, огибающая результирующего сигнала распределена в этом случае по закону Релея.

Рис.4. Графики обобщенного закона распределения Релея

Если амплитуда полезного сигнала превышает среднеквадратический уровень шума, то есть E/sx»1, то при U≃Е можно воспользоваться асимптотическим представлением функции Бесселя с большим аргументом, то есть

≃≃.

Подставив это выражение в (5), имеем

P (U )= ,

То есть, огибающая результирующего сигнала описывается нормальным законом распределения с дисперсией sx2 и математическим ожиданием Е. Практически считают, что уже при Е/sx=3 огибающая результирующего сигнала нормализуется.

4. Экспериментальное определение законов распределения случайных процессов

Одним из методов экспериментального определения функции распределения случайного процесса x(t) является метод, основанный на использовании вспомогательной случайной функции z(t) вида

Где x — значение функции x(t), для которого рассчитывается z(t).

Как следует из смыслового содержания функции z(t), ее статистические параметры определяются параметрами случайного процесса x(t), так как изменения значений z(t) происходят в моменты пересечения случайным процессом x(t) уровня х. Следовательно, если x(t) — эргодический случайный процесс с функцией распределения F(х), то функция z(t) будет также описывать эргодический случайный процесс с такой же функцией распределения.

На рис.5 представлены реализации случайных процессов x(t) и z(t), которые иллюстрируют очевидность соотношения

P [ Z (T )=1]= P [ X (T )< X ]= F (X );

P [ Z (T )=0]= P [ X (T )≥ X ]= 1- F (X ).

Рис.5 Реализации случайных процессов x(t), z(t), z1(t)

Математическое ожидание (статистическое среднее) функции z(t), имеющей два дискретных значения, определяется в соответствии c формулой (см. табл.1)

M [ Z (T )]=1∙ P [ Z (T )=1]+0 ∙ P [ Z (T )=0]= F (X ).

C другой стороны, для эргодического случайного процесса

Таким образом,

Анализируя данное выражение, можно сделать вывод, что устройство для измерения функции распределения эргодического случайного процесса x(t) должно содержать в своем составе дискриминатор уровней для получения случайного процесса, описываемого функцией z(t) в соответствии с выражением (6), и интегрирующее устройство, выполненное, например, в виде фильтра нижних частот.

Метод экспериментального определения плотности распределения случайного процесса x(t) по своей сути аналогичен рассмотренному выше. При этом используется вспомогательная случайная функция z1(t) вида

Математическое ожидание функции z1(t), имеющей два дискретных значения (рис.5), равно

M [ Z 1 (T )]=1∙ P [ Z 1 (T )=1]+0 ∙ P [ Z 1 (T )=0]= P [ X < X (T )< X +∆ X ].

Учитывая эргодичность случайного процесса, описываемого функцией z1(t), можно записать

Таким образом,

Известно, что

P (X ≤ X (T )< X +∆ X ) ≃ P (X )∙∆ X .

Следовательно,

Таким образом, устройство для измерения плотности распределения эргодического случайного процесса x(t) имеет такую же структуру и состав, как и устройство для измерения функции распределения.

Точность измерения F(x) и р(х) зависит от длительности интервала наблюдения и качества выполнения операции интегрирования. Вполне очевидно, что в реальных условиях получаем Оценки законов распределения, так как время усреднения (интегрирования) конечно. Возвращаясь к выражению (6) и рис. 5. заметим, что

Z (T ) Dt = ∆ T 1 ,

Где ∆ t1 — 1-й временной интервал пребывания функции x(t) ниже уровня x, то есть временной интервал, когда функция z(t)=l.

Справедливость этой формулы определяется геометрическим смыслом определенного интеграла (площадь фигуры, ограниченной функцией z(t) и отрезком (0,Т) оси времени).

Таким образом, можно записать

То есть функция распределения случайного процесса x(t) равна относительному времени пребывания реализации процесса в интервале -¥< x(t) < х.

Аналогично рассуждая, можно получить

Где ∆ t1- 1-й временной интервал пребывания функции x(t) в пределах (х, х+∆х).

При практической реализации рассмотренного метода экспериментального определения законов распределения случайного процесса анализу подвергается случайный сигнал x(t) в пределах изменения его мгновенных значений от xmin до хmax (рис.6). В этих пределах сосредоточено основное множество (в вероятностном смысле) мгновенных значений процесса x(t).

Значения xmin и хmax выбираются исходя из необходимой точности измерения законов распределения. При этом исследованию будут подвергаться усеченные распределения так, чтобы

F (Xmin )+<<1.

Весь диапазон (xmin, хmax) значений х(t) делится на N одинаковых интервалов ∆х, то есть

х Max — Xmin = N ∙∆ X .

Рис. 6. Функция распределения (а), плотность вероятности (б) и реализация (в) случайного процессе x(t)

Интервалы задают ширину дифференциальных коридоров, в которых производятся измерения. Определяется оценка вероятности

Pi * ≃ P [ Xi -∆ X /2≤ X (T )< Xi -∆ X /2]

Пребывания реализации x(t) в пределах дифференциального коридора со средним значением x(t) в его пределах, равным xi. Оценка Рi* определяется в результате измерения относительного времени пребывания реализации x(t) в каждом из дифференциальных коридоров, то есть

Pi*=1/T Zi(t)dt= ,

I= 1,…,N.

Учитывая, что

Pi * ≃ P 1 = P (X ) Dx ,

Можно определить оценки плотности распределения в каждом из дифференциальных коридоров

Pi * (X )= Pi */∆ X .

Пользуясь полученными результатами, то есть значениями pi*(x), xi, ∆x, cтроится ступенчатая кривая р*(х), которая называется гистограммой плотности распределения (см. рис.7).

Рис.7. Гистограмма плотности распределения

Площадь под каждым фрагментом гистограммы в пределах ∆x численно равна площади, занимаемой истинной кривой распределения р(х) на данном интервале.

Количество N дифференциальных коридоров должно быть в пределах 10…20. Дальнейшее увеличение их количества не приводит к получению более точного закона р(х), так как с ростом N уменьшается величина интервала ∆х, что ухудшает условия для точного измерения ∆ti.

Полученные результаты позволяют вычислить оценки математического ожидания и дисперсии случайного процесса x(t)

Mx * = Xi ∙ Pi * ; Dx * = (Xi — Mx * )2∙ Pi * .

При вычислении Mx * и Dx * по этим формулам учитывается, что если значение реализации случайного процесса x(t) попадает в 1-й дифференциальный коридор, то ему приписывается значение и (середина дифференциального коридора).

Рассмотренный метод определения законов распределения случайных процессов положен в основу работы статистического анализатора, используемого в данной лабораторной работе.

ОПИСАНИЕ ЛАБОРАТОРНОЙ УСТАНОВКИ

Исследование законов распределения случайных сигналов осуществляется с помощью лабораторной установки, в состав которой входят лабораторный макет, статистический анализатор и осциллограф С1-72 (рис.8).

Рис.8. Схема лабораторной установки

Лабораторный макет осуществляет формирование и преобразование случайных сигналов, обеспечивая их статистический анализ, построение гистограмм законов распределения и графическое отображение этих законов на индикаторе статистического анализатора. Он содержит следующие функциональные узлы:

А. Блок генераторов сигналов. Формирует четыре различных случайных сигнала.

— Сигнал x1(t)= A∙sin — гармоническое колебание со случайной начальной фазой, закон распределения которой Равномерный в интервале 0

P (J )= 1/2 P , 0< J <2 P .

Плотность вероятности мгновенных значений такого сигнала равна

— Сигнал x2(t) — пилообразное периодическое напряжение с постоянной амплитудой А и случайным параметром сдвига q, закон распределения
которого Равномерный в интервале , где Т0 – период сигнала, то есть плотность вероятности равна

P (Q )= 1/ T 0 ; 0< Q ≤ T 0 .

Плотность вероятности мгновенных значений такого сигнала определяется выражением

— Сигнал x3(t) — случайный сигнал с нормальным законом распределения (законом Гаусса) мгновенных значений, то есть

Pa (X )= ,

Где mx, sx — математическое ожидание и дисперсия случайного сигнала x3(t).

— Сигнал x4(t) — случайный клиппированный сигнал, представляющий собой последовательность прямоугольных импульсов постоянной амплитуды А и случайной длительности, возникающих в случайные моменты времени. Такой сигнал появляется на выходе идеального ограничителя, когда на вход его действует случайный процесс с нормальным законом распределения. Характеристика преобразования имеет вид

Где x — уровень ограничения.

Таким образом, случайный процесс x4(t) принимает два значения (А и — А) с вероятностями

P= P= F3(x);

P= P= 1-F3(x);

Где F3(x) — интегральный закон распределения случайного процесса x3(t).

Учитывая сказанное, плотность вероятности клиппированного сигнала равна

P4(x)= F3(x)∙ D (x+ A)+ ∙ D (x — A).

На рис.9 представлены реализации каждого из случайных сигналов, формируемых итератором лабораторного макета, и их плотности вероятности.

Эти сигналы, каждый из которых характеризуется свойственной ему плотностью распределения, могут быть поданы на входы типовых элементов радиотехнических устройств с целью преобразования и исследования законов распределения сигналов на их выходах.

Б. Линейный смеситель сигналов. Формирует сумму двух случайных сигналов xi(t) и x1(t), подаваемых на его входы, в соответствии с соотношением

Y (T )= R ∙ Xi (T )+ (1- R )∙ X 1 (T ),

Где R — коэффициент, устанавливаемый ручкой потенциометра в пределах 0…1.

Используется для исследования законов распределения суммы двух случайных сигналов.

В. Гнезда для подключения различных четырехполюсников — функциональных преобразователей. В комплект лабораторной установки входят 4 функциональных преобразователя (рис.10).

Рис. 9. Реализации случайных процессов x1(t), x2(t), x3(t), x4(t) и их плотности вероятности

Усилитель — ограничитель (огр.) с характеристикой преобразования

Где U1, U2 — нижний и верхний уровни ограничения соответственно;

k — коэффициент, равный tg угла наклона характеристики преобразования.

Осуществляет нелинейное безынерционное, преобразование входных сигналов.

Узкополосный фильтр (Ф1) о резонансной частотой f0=20 кГц. Используется для формирования узкополосных случайных процессов с законом распределения, близким к нормальному.

Типовой тракт приемника АМ-колебаний (узкополосный фильтр Ф1 — линейный детектор Д — фильтр НЧ Ф2). Осуществляет формирование огибающей узкополосного случайного сигнала при линейном детектировании.

Конструктивно рассмотренные функциональные преобразователи выполнены в виде сменных блоков небольшого размера.

В качестве еще одного функционального преобразователя используется "идеальный" усилитель — ограничитель (электронный ключ), входящий в состав блока генераторов сигналов макета. Он обеспечивает формирование клиппированного сигнала, являясь нелинейным безынерционным преобразователем входного случайного сигнала.

Рис. 10. Функциональные преобразователи

Г. Согласующий усилитель. Обеспечивает согласование диапазона значений исследуемого сигнала и амплитудного диапазона статистического анализатора. Согласование осуществляется потенциометрами "Усиление" и "Смещение" при установке переключателя П1 (рис.8) в положение "Калибровка."

Согласующий усилитель используется также в качестве функционального преобразователя (кроме четырех, рассмотренных выше), обеспечивая линейное безынерционное преобразование в соответствии с формулой

Y (T )= A ∙ X (T )= B ,

Где а — коэффициент усиления, устанавливаемый ручкой "Усиление";

b — постоянная составляющая сигнала, устанавливаемая ручкой "Смещение".

Приведенный на схеме рис.8 блок анализатора в составе макета в данной работе не используется. Лабораторная установка предусматривает применение цифрового статистического анализатора, выполненного в виде отдельного прибора.

Д. Цифровой статистический анализатор служит для измерения и формирования законов распределения значений сигналов, подаваемых на его вход. Работает анализатор следующим образом.

Включение анализатора в режим измерения осуществляется кнопкой "Пуск". Время измерения равно 20 с. В течение этого времени берутся отсчеты значений входного сигнала (в случайные моменты времени), общее количество N которых равно 1 млн. Отсчеты дискретизируются по уровню так, что каждый из них оказывается в одном из 32-х интервалов (называемых дифференциальными коридорами, или интервалами группирования выборочных значений). Интервалы нумеруются с 0-го по 31-й, их ширина равна 0,1 В, причем нижняя граница 0-го интервала равна 0 В, верхняя граница 31-го интервала равна +3,2 В. В течение времени измерения подсчитывается количество отсчетов ni, попавших в каждый интервал. Результат измерения выдается в виде гистограммы распределения на экран монитора, где горизонтальная ось масштабной сетки является осью значений сигнала в пределах 0…+3,2 В, вертикальная — осью относительных частот ni/N, i = 0,1…31.

Для считывания результатов измерения в цифровой форме служит цифровой индикатор, на котором отображается номер выбранного интервала и соответствующая ему частота (оценка вероятности) ni/N. Перебор номеров интервалов для цифрового индикатора осуществляется переключателем "Интервал". При этом на экране монитора выбранный интервал отмечается маркером.

Переключателем "Множитель" можно выбирать удобный для наблюдения масштаб гистограммы по вертикальной оси.

При выполнения настоящей работы переключатель диапазона входных напряжений анализатора (диапазона аналого-цифрового преобразования) должен быть установлен а положение 0…+3,2 В. Перед каждым измерением необходимо поочередно нажимать кнопки "Сброс" и "Пуск" (при нажатии кнопки "Сброс" обнуляется запоминающее устройство, а результаты предыдущего измерения переписываются в стековую память, из которой их можно вызвать переключателем "Страница").

Цель работы:

изучение процессов прохождения гармонических сигналов и сигналов прямоугольной формы через линейные цепи, такие как дифференцирующая и интегрирующая цепи, последовательный и параллельный колебательные контуры, трансформатор;

изучение переходных процессов в линейных цепях;

получение навыка работы с измерительными приборами;

научиться выполнять расчеты RCL–цепей, используя символический метод;

обработка и анализ полученных экспериментальных данных.

Задачи:

измерить амплитудно-частотные характеристики семи линейных цепей;

измерить фазочастотные характеристики выше перечисленных линейных цепей;

получить и исследовать переходные характеристики семи линейных цепей;

1 Линейные цепи

В радиоэлектронике электрические цепи представляют собой совокупность соединенных схемных элементов, таких как резисторы, конденсаторы, катушки индуктивности, диоды, транзисторы, операционные усилители, источники тока, источники напряжения и другие.

Соединяются схемные элементы с помощью проводов или печатных шин. Электрические цепи, составленные из идеализированных элементов, классифицируются по ряду признаков:

По энергетическим особенностям:

активные (содержащие источники питания);

пассивные цепи (не содержат источников тока и (или) напряжения);

По топологическим особенностям:

планарные (плоские);

непланарные;

разветвленные;

неразветвленные;

простые (одно-, двухконтурные);

сложные (многоконтурные, многоузловые);

По числу внешних выводов:

двухполюсники;

четырехполюсники;

многополюсники;

От частоты измерительного поля:

цепи с сосредоточенными параметрами (в цепях с сосредоточенными параметрами сопротивлением обладает только резистор, емкостью только конденсатор, индуктивностью только катушка индуктивности);

цепи с распределенными параметрами (в цепях с распределенными параметрами даже соединительные провода обладают емкостью, проводимостью и индуктивностью, которые распределены вдоль их длины; наиболее характерен такой подход к цепям в области сверхвысоких частот);

От типа элементов:

линейные цепи, если они состоят из линейных идеализированных элементов;

нелинейные цепи, если в состав цепи входит хотя бы один нелинейный элемент;

В данной работе рассмотрены пассивные цепи, состоящие из трех схемных элементов . Элементы
– называют идеализированными схемными элементами. Ток, протекающий через такие элементы, представляет собой линейную функцию от приложенного напряжения:

для резистора
:
;

для конденсатора :
;

для катушки индуктивности :

Поэтому цепи, состоящие из
элементов, называютсялинейными .

Строго говоря, на практике не все
элементы линейны, но во многих случаях отклонения от линейности невелико и действительный элемент можно принимать как идеализированный линейный. Активное сопротивление можно рассматривать как линейный элемент только в том случае, если текущий через него ток настолько мал, что выделяющееся тепло не приводит к заметному изменению величины его сопротивления. Аналогичные соображения можно высказать в отношении катушки индуктивности и конденсатора. Если параметры
цепи остаются неизменными в течение времени, когда протекает изучаемый электрический процесс, то говорят о цепи с постоянными параметрами.

Поскольку процессы в линейных цепях описываются линейными уравнениями, к ним применим принцип суперпозиции. Это значит, что результат действия в линейной цепи сигнала сложной формы можно найти как сумму результатов действий сигналов более простых, на которые разлагается исходный, сложный сигнал.

Для анализа линейных цепей используется два метода: метод частотных характеристик и метод переходных характеристик.

Общая задача изучения прохождения случайных сигналов через нелинейные

цепи состоит в нахождении статистических характеристик выходного сигнала по известным данным цепи и статистическим характеристикам сигнала. Эту задачу следует разбить на ряд отдельных задач по признакам, относящимся к характеристикам входного сигнала, свойствам цепи и исходным характеристикам выходного сигнала.

Нелинейные цепи представляют собой соотношение нелинейных элементов с однозначной вольт-амперной характеристикой и определяются как безынерционные.

По искомым статистическим характеристикам выходного сигнала следует различать задачи, с помощью которых должен быть найден закон распределения мгновенных значений или огибающей, и задачи, когда достаточно определить первые моменты этих законов.

Анализ исследований и публикаций. В зависимости от способов обработки сигналов от различных источников возникает необходимость проводить такие математические действия над ними как, например, деление, умножение и др. Такие математические действия над сигналами технически могут быть реализованы с помощью нелинейных безынерционных устройств. Вследствие этого задачи изучения прохождения случайных сигналов через нелинейные цепи, с помощью математических действий, далеко не всегда могут быть доведены до решения в приемлемой форме.

В общем виде принципиальное решение задачи о нелинейных безынерционных преобразованиях случайных процессов производится известным свойством инвариантности дифференциала вероятности. Однако применение этого свойства к практически интересным нелинейным преобразованиям вызывает большие трудности. Поэтому ввиду сложности вычисления плотности вероятностей часто ограничиваются нахождением более простых не менее полных статистических характеристик выходного сигнала.

Постановка задачи. Операция деления двух случайных сигналов может быть отнесена к задаче синтеза нелинейной цепи по заданному преобразованию входного сигнала, котораявключает установление вида характеристики цепи, осуществляющей данное преобразование, а затем реализация полученной характеристики. При двух входных сигналах, представляющих собой случайные процессы, например, операция умножения выполняется с помощью нелинейной детерминированной безынерционной системы, которая представлена на рис. 1. Она состоит из двух логарифматоров 1, 2 (устройства с логарифмической амплитудной характеристикой), сумматора и экспонатора 3, устройства с экспоненциальной амплитудной характеристикой. Такой подход к решению задачи основан на том, что нелинейное безынерционное преобразование случайного процесса не вносит дополнительных временных связей. То есть, если процесс до безынерционного преобразования характеризировался n-мерным распределением, то и процесс после него будет характеризироваться распределением n-го порядка.

Известно, что закон распределения вероятностей суммы двух случайных процессов с нормальными законами распределения также является нормальным. Поэтому можно считать, что сигнал на входе экспонатора имеет нормальный закон распределения плотностей вероятностей.

Полученный результат имеет столь простое решение, как исключение и имеет место только при экспоненциальном преобразовании нормального стационарного процесса.

Однако такой результат имеет сравнительно общее значение, так как часто характеристики нелинейных элементов можно аппроксимировать суммой, содержащей два – три экспоненциальных слагаемых; при таком подходе общая корреляционная функция выходного процесса будет равна сумме корреляционных функций, вычисленных для каждого экспоненциального слагаемого в отдельности.

Задачи изучения прохождения случайных сигналов через нелинейные безынерционные цепи, которые выполняют над сигналами функции математических действий, например деление или умножение двух сигналов, не всегда могут быть доведены до решения в прямой форме. Однако получение результата решения задачи определения статистических характеристик в этих случаях можно осуществить путем решения задачи синтеза нелинейных цепей по заданному преобразованию входных сигналов, в которую входит установление вида характеристик отдельных элементов цепи, осуществляющих данное преобразование сигнала. При таком подходе задача определения результирующего сигнала будет определяться на выходе каждого элемента, выполняющего заданную ему функцию.